श्रेणी (गणित): Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
 
(19 intermediate revisions by 3 users not shown)
Line 1: Line 1:
{{Short description|Mathematical object that generalizes the standard notions of sets and functions}}
{{Short description|Mathematical object that generalizes the standard notions of sets and functions}}
{{Other uses|Category (disambiguation)#Mathematics}}
{{Other uses|श्रेणी (बहुविकल्पी)#गणित}}


[[File:Category_SVG.svg|thumbकील | यह एक श्रेणी है जिसमें वस्तुओं ए, बी, सी का संग्रह होता है और एफ, जी, {{nowrap|g ∘ f}}, और लूप आइडेंटिटी एरो हैं। इस श्रेणी को आमतौर पर बोल्डफेस 3 द्वारा दर्शाया जाता है।]]
[[File:Category_SVG.svg|thumbकील | यह एक श्रेणी है जिसमें वस्तुओं ए, बी, सी का संग्रह होता है और एफ, जी, {{nowrap|g ∘ f}}, और लूप आइडेंटिटी एरो हैं। इस श्रेणी को आमतौर पर बोल्डफेस 3 द्वारा दर्शाया जाता है।]]


गणित में, एक श्रेणी (कभी-कभी इसे एक [[ ठोस श्रेणी | ठोस श्रेणी]] से अलग करने के लिए एक सार श्रेणी कहा जाता है)"वस्तुओं" का एक संग्रह होता है जो "तीर" से जुड़ा होता है। एक श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: साहचर्य रूप से तीरों की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए एक पहचान तीर का अस्तित्व। एक सरल उदाहरण [[ सेट की श्रेणी |समुच्चयों की श्रेणी]]है, जिनके ऑब्जेक्ट समुच्चय हैं और जिनके तीर कार्य हैं।
गणित में, श्रेणी (कभी-कभी इसे[[ ठोस श्रेणी | ठोस श्रेणी]] से अलग करने के लिए सार श्रेणी कहा जाता है) "वस्तुओं" का एक संग्रह होता है जो "एरो (तीर)" से जुड़ा होता है। श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: सहचारिता रूप से एरो की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए पहचान एरो का अस्तित्व होते हैं। सरल उदाहरण [[ सेट की श्रेणी |समुच्चयों की श्रेणी]] है, जिनके वस्तु समुच्चय हैं और जिनके एरो एक फलन हैं।


''[[ श्रेणी सिद्धांत | श्रेणी सिद्धांत]]''गणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्य बनाने का प्रयास करता है, जो उनकी वस्तुओं और तीरों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयंसिद्ध नींव स्थापित करने के लिए एक वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्य तौर पर, वस्तुएं और तीर किसी भी प्रकार की अमूर्त संस्थाएं हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और अमूर्त तरीका प्रदान करती है।
''[[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]]'' गणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्य बनाने का प्रयास करता है, जो उनकी वस्तुओं और एरो का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयं सिद्ध नींव स्थापित करने के लिए वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्यतः, वस्तुएं और एरो किसी भी प्रकार की काल्पनिक संस्थाएं हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और काल्पनिक तरीका प्रदान करती है।


गणित को औपचारिक बनाने के अलावा, कंप्यूटर विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे[[ प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ |प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ]] ।
गणित को औपचारिक बनाने के अलावा, संगणक विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे [[ प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ |प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ]] ।


दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का एक ही संग्रह है, तीरों का एक ही संग्रह है, और तीरों के किसी भी जोड़े को बनाने की एक ही सहयोगी विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग-अलग श्रेणियों को [[ श्रेणियों की समानता |"समतुल्य"]]माना जा सकता है, भले ही उनकी संरचना बिल्कुल समान न हो।
दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का एक ही संग्रह है, एरो का एक ही संग्रह है, और एरो के किसी भी जोड़े को बनाने की एक ही सहयोगी विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग-अलग श्रेणियों को [[ श्रेणियों की समानता |"समतुल्य"]] माना जा सकता है, भले ही उनकी संरचना बिल्कुल समान न हो।


सुप्रसिद्ध श्रेणियों को एक छोटे बड़े शब्द या संक्षिप्त रूप में बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में सेट, सेट की श्रेणी और सेट फ़ंक्शन शामिल हैं; वलय, वलय की श्रेणी और वलय समरूपता; और शीर्ष,[[ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी | टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]]और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी। पिछली सभी श्रेणियों में पहचान तीर के रूप में पहचान मानचित्र और तीरों पर सहयोगी संचालन के रूप में संरचना है।
सुप्रसिद्ध श्रेणियों को छोटे बड़े शब्द या संक्षिप्त रूप में बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में समुच्चय, समुच्चय की श्रेणी और समुच्चय फलन, वलय, वलय की श्रेणी और वलय समरूपता, और शीर्ष,[[ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी | सांस्थितिक समष्टि]] और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी सम्मिलित हैं। पिछली सभी श्रेणियों में पहचान एरो के रूप में पहचान मानचित्र और एरो पर सहयोगी संचालन के रूप में संरचना है।


श्रेणी सिद्धांत पर क्लासिक और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा कार्यशील गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ है। अन्य संदर्भ नीचे दिए गए संदर्भों में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएं इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में निहित हैं।
श्रेणी सिद्धांत पर उत्कृष्ट और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा कार्यशील गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ है। अन्य संदर्भ नीचे दिए गए संदर्भों में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएं इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में निहित हैं।


{{Group-like structures}}किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक एकल वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी [[ पूर्व आदेश |पूर्व आदेश]] कर सकता है।
{{Group-like structures}}किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक एकल वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी [[ पूर्व आदेश |अग्रिम आदेश]] कर सकता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
एक श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं।<ref>{{harvnb|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}}</ref> एक आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। एक श्रेणी 'सी' के होते हैं
श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं।<ref>{{harvnb|Barr|Wells|2005|loc=Chapter 1}}</ref> सामान्यतः  प्रयोग की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। श्रेणी 'C' के होते हैं
* गणितीय_वस्तुओं का एक [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) ]] ओबी (''सी''),
* गणितीय वस्तुओं का [[ वर्ग (सेट सिद्धांत) |वर्ग (समुच्चय सिद्धांत)]] Ob(''C''),
* [[ morphism ]]s, या तीर, या वस्तुओं के बीच नक्शे का एक वर्ग घर (''सी''),
* अकारिता(आकारिकी), या एरो, या वस्तुओं के बीच नक्शे का वर्ग hom(''C''),
*एक डोमेन, या स्रोत वस्तु वर्ग समारोह <math>\mathrm{dom}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
*प्रांत, या स्रोत वस्तु वर्ग फलन <math>\mathrm{dom}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
*एक कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग समारोह <math>\mathrm{cod}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
*कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग फलन <math>\mathrm{cod}\colon \mathrm{hom}(C)\rightarrow \mathrm{ob}(C) </math>,
* हर तीन वस्तुओं ए, बी और सी के लिए, एक बाइनरी ऑपरेशन होम (ए, बी) × होम (बी, सी) → होम (ए, सी) को आकारिकी की रचना कहा जाता है; f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं, एफ; जी या एफजी लिखते हैं)।
* हर तीन वस्तुओं a, b और c  के लिए, द्विआधारी संक्रिया hom(a,b) × hom(b, c) → hom(a, c) को आकारिकी की रचना कहा जाता है, f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं ''f;g'' or ''fg'' लिखते हैं)।
नोट: यहाँ hom(a, b) hom(C) में morphisms f के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि <math>\mathrm{dom}(f) = a</math> तथा <math>\mathrm{cod}(f) = b</math>. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।
नोट: यहाँ hom(a, b) hom(c) मेंअकारिताf के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि <math>\mathrm{dom}(f) = a</math> तथा <math>\mathrm{cod}(f) = b</math>. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।


ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:
ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:
* (साहचर्य) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
* (सहचारिता) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
* ([[ पहचान (गणित) ]]) प्रत्येक वस्तु x के लिए, एक आकृति 1 मौजूद है<sub>''x''</sub> : x → x (कुछ लेखक आईडी लिखते हैं<sub>''x''</sub>) x के लिए तत्समक आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x 1 को संतुष्ट करता है<sub>''x''</sub> ∘ f = f, और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, g ∘ 1 . को संतुष्ट करता है<sub>''x''</sub> = जी।
* ([[ पहचान (गणित) |पहचान (गणित)]] ) प्रत्येक वस्तु x के लिए, आकृति मौजूद है 1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x'' (कुछ लेखक ''id<sub>x</sub>'' लिखते हैं) x के लिए पहचान आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x को संतुष्ट करता है1<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' = ''f'', और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, को संतुष्ट करता है ''g'' ∘ 1<sub>''x''</sub> = ''g''


हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम होम (ए, बी) (या होम<sub>''C''</sub>(ए, बी) जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के होम (ए, बी) को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-क्लास' को ए से बी तक दर्शाता है।<ref>Some authors write Mor(''a'', ''b'') or simply ''C''(''a'', ''b'') instead.</ref> इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक पहचान रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित पहचान रूपवाद के साथ पहचाना जाता है।
हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम hom(a, b) (या hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'') जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के hom(''a'', ''b'') को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-वर्ग' को a से b तक दर्शाता है।<ref>Some authors write Mor(''a'', ''b'') or simply ''C''(''a'', ''b'') instead.</ref> इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह प्रमाणित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल पहचान रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित पहचान रूपवाद के साथ पहचाना जाता है।


==छोटी और बड़ी श्रेणियां==
==छोटी और बड़ी श्रेणियां==


श्रेणी सी को छोटा कहा जाता है यदि दोनों ओबी (सी) और होम (सी) वास्तव में सेट हैं और[[ उचित वर्ग |उचित वर्ग]]नहीं हैं, और अन्यथा बड़े हैं। स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, होम-क्लास hom(a, b) एक सेट है, जिसे होमसेट कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे सेट की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक सेट बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान [[ बीजगणितीय संरचना |बीजगणितीय संरचना]]के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन [[ क्लोजर (गणित) |क्लोजर (गणित)]]गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की "संरचनाएं" बनाने के लिए किया जा सकता है।
श्रेणी C को छोटा कहा जाता है यदि दोनों ob(C) और hom(C) वास्तव में समुच्चय हैं और [[ उचित वर्ग |उचित वर्ग]] नहीं हैं, और अन्यथा बड़े हैं। स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है, जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, hom-वर्ग hom(a, b) समुच्चय है, जिसे होमसेट कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे समुच्चय की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक समुच्चय बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान [[ बीजगणितीय संरचना |बीजगणितीय संरचना]] के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन [[ क्लोजर (गणित) |क्लोजर (गणित)]] गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की "संरचनाएं" बनाने के लिए किया जा सकता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
सभी सेटों का वर्ग (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच के सभी कार्यों के साथ (आकृति के रूप में), जहां morphisms की संरचना सामान्य कार्य संरचना है, एक बड़ी श्रेणी, सेट बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली श्रेणी है। [[ संबंधों की श्रेणी |रिले श्रेणी]] में सभी सेट (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच द्विआधारी संबंधों के साथ होते हैं (रूपों के रूप में)। कार्यों के बजाय [[ संबंध (गणित) |संबंध (गणित)]]से सार निकालने से [[ रूपक (श्रेणी सिद्धांत) |रूपक (श्रेणी सिद्धांत)]] , श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।
सभी समुच्चयों का वर्ग (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच के सभी कार्यों के साथ (आकृति के रूप में), जहांअकारिताकी संरचना सामान्य कार्य संरचना है, बड़ी श्रेणी, समुच्चय बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक प्रयोग की जाने वाली श्रेणी है। [[ संबंधों की श्रेणी |रिले श्रेणी]] में सभी समुच्चय (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच द्विआधारी संबंधों के साथ होते हैं (रूपों के रूप में)। कार्यों के बजाय [[ संबंध (गणित) |संबंध (गणित)]] से सार निकालने से [[ रूपक (श्रेणी सिद्धांत) |रूपक (श्रेणी सिद्धांत)]], श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।


किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही पहचान रूप है। ऐसी श्रेणियों को [[ असतत श्रेणी |असतत श्रेणी]]कहा जाता है। किसी दिए गए समुच्चय I के लिए, I पर असतत श्रेणी वह छोटी श्रेणी है जिसमें I के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल पहचान आकारिकी रूपवाद के रूप में होती है। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।
किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही पहचान रूप है। ऐसी श्रेणियों को [[ असतत श्रेणी |असतत श्रेणी]] कहा जाता है। किसी दिए गए समुच्चय I के लिए, I पर असतत श्रेणी वह छोटी श्रेणी है जिसमें I के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल पहचान आकारिकी रूपवाद के रूप में होती है। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।


कोई भी पूर्व-आदेशित सेट (P, ) एक छोटी श्रेणी बनाता है, जहाँ वस्तुएँ P के सदस्य हैं, morphisms x ≤ y होने पर x से y की ओर इशारा करते हुए तीर हैं। इसके अलावा, यदि एंटीसिमेट्रिक है, तो किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अधिकतम एक रूपवाद हो सकता है। आइडेंटिटी मॉर्फिज्म के अस्तित्व और मॉर्फिज्म की कंपोजिबिलिटी की गारंटी [[ प्रतिवर्त संबंध |रिफ्लेक्सिविटी]] और प्रीऑर्डर की [[ सकर्मक संबंध |ट्रांजिटिविटी]] द्वारा दी जाती है। उसी तर्क से, किसी भी [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट |आंशिक रूप से आदेशित सेट]]और किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। [[ कुल आदेश |आदेशित सेट]]के रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रम संख्या को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।
कोई भी पूर्व-आदेशित समुच्चय (''P'', ≤) छोटी श्रेणी बनाता है, जहाँ वस्तुएँ P के सदस्य हैं,अकारिताx ≤ y होने पर x से y की ओर संकेत करते हुए एरो हैं। इसके अलावा, यदि ≤ प्रतिसममितीय है, तो किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अधिकतम रूपवाद हो सकता है। पहचानअकारिताके अस्तित्व औरअकारिताकी कंपोजिबिलिटी की गारंटी प्रतिक्रियात्मकता और अग्रिम आदेश की [[ सकर्मक संबंध |संक्रामिता]] द्वारा दी जाती है। उस तर्क से, किसी भी [[ आंशिक रूप से आदेशित सेट |आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय]] और किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। [[ कुल आदेश |आदेशित समुच्चय]] के रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रम संख्या को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।


कोई भी मोनोइड (एकल सहयोगी [[ द्विआधारी संबंध |बाइनरी ऑपरेशन]] और एक [[ पहचान तत्व | पहचान तत्व]]के साथ कोई बीजगणितीय संरचना) एक वस्तु x के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, x कोई निश्चित समुच्चय है।) x से x तक के morphisms ठीक monoid के तत्व हैं, x की पहचान morphism monoid की पहचान है, और morphisms की श्रेणीबद्ध संरचना monoid संचालन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।
कोई भी मोनोइड (एकल सहयोगी द्विआधारी संक्रिया और [[ पहचान तत्व |पहचान तत्व]] के साथ कोई बीजगणितीय संरचना) एक वस्तु x के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, x कोई निश्चित समुच्चय है।) x से x तक केअकारिताठीक मोनोइड के तत्व हैं, x की पहचानअकारितामोनोइड की पहचान है, औरअकारिताकी श्रेणीबद्ध संरचना मोनोइड संचालन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।


इसी तरह किसी भी [[ समूह (गणित) ]]को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक ही वस्तु होती है जिसमें प्रत्येक रूपवाद उलटा होता है, यानी, प्रत्येक रूपवाद के लिए एक आकृतिवाद होता है जो संरचना के तहत एफ के विपरीत बाएं और दाएं दोनों होता है। एक रूपवाद जो इस अर्थ में उलटा होता है, एक समरूपता कहलाता है।
इस तरह किसी भी [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक ही वस्तु होती है जिसमें प्रत्येक रूपवाद उलटा होता है, यानी, प्रत्येक रूपवाद के लिए एक आकृतिवाद होता है जो संरचना के तहत एफ के विपरीत बाएं और दाएं दोनों होता है। रूपवाद का उल्टा अर्थ समरूपता कहलाता है।


ग्रुपॉइड एक श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। Groupoids समूहों, [[ समूह क्रिया (गणित) | समूह क्रिया (गणित)]]और तुल्यता संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से ग्रुपॉइड और ग्रुप के बीच एकमात्र अंतर यह है कि ग्रुपॉइड में एक से अधिक ऑब्जेक्ट हो सकते हैं लेकिन ग्रुप में केवल एक ही होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर विचार करें और एक्स के आधार बिंदु <math>x_0</math> को ठीक करें, फिर <math>\pi_1(X,x_0)</math>टोपोलॉजिकल स्पेस X और आधार बिंदु <math>x_0</math>, का मूलभूत समूह है, और एक सेट के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है; यदि फिर आधार बिंदु <math>x_0</math> को X के सभी बिंदुओं पर चलने दें, और सभी का मिलन करें<math>\pi_1(X,x_0)</math>,तो हमें जो समुच्चय मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे एक्स का [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]]कहा जाता है): दो लूप (समरूपता के तुल्यता संबंध के तहत) हो सकता है कि उनका आधार बिंदु समान न हो इसलिए वे एक दूसरे से गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी रूपवाद के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे रचना नहीं कर सकते एक दूसरे।
ग्रुपॉइड एक श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। ग्रुपॉइड समूहों, [[ समूह क्रिया (गणित) |समूह क्रिया (गणित)]] और तुल्यता संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से ग्रुपॉइड और ग्रुप के बीच एकमात्र अंतर यह है कि ग्रुपॉइड में एक से अधिक वस्तु हो सकते हैं लेकिन ग्रुप में केवल एक ही होना चाहिए। सांस्थितिक समष्टि X पर विचार करें और X के आधार बिंदु <math>x_0</math> को ठीक करें, फिर <math>\pi_1(X,x_0)</math> सांस्थितिक समष्टि X और आधार बिंदु <math>x_0</math>, का मूलभूत समूह है, और एक समुच्चय के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है, यदि फिर आधार बिंदु <math>x_0</math> को X के सभी बिंदुओं पर चलने दें, और सभी का मिलन करें <math>\pi_1(X,x_0)</math>,तो हमें जो समुच्चय मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे X का [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]] कहा जाता है): दो प्रस्पंद (समरूपता के तुल्यता संबंध के तहत) हो सकता है कि उनका आधार बिंदु समान न हो इसलिए वे एक दूसरे से गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी रूपवाद के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे एक दूसरे के साथ रचना नहीं कर सकते।


[[File:Directed.svg|125px|thumb|निर्देशित ग्राफ।]]कोई भी [[ निर्देशित ग्राफ | निर्देशित ग्राफ]] [[ जनरेटिंग सेट ]] छोटी श्रेणी सेट करता है: ऑब्जेक्ट ग्राफ़ के वर्टेक्स (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, और morphisms ग्राफ़ में पथ हैं (लूप (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँ morphisms की रचना का संयोजन है पथ। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न [[ मुक्त श्रेणी ]] कहा जाता है।
[[File:Directed.svg|125px|thumb|निर्देशित ग्राफ।]]कोई भी [[ निर्देशित ग्राफ |निर्देशित ग्राफ]] [[ जनरेटिंग सेट |जनरेटिंग समुच्चय]] छोटी श्रेणी समुच्चय करता है: वस्तु ग्राफ़ (लेखाचित्र) के शिराबिन्दु (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, औरअकारिताग्राफ़ में पथ हैं ( प्रस्पंद (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँअकारितासंरचना पथों का संयोजन है। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न[[ मुक्त श्रेणी | मुक्त श्रेणी]] कहा जाता है।


मोर्फिज्म के रूप में मोनोटोनिक कार्यों के साथ सभी पूर्ववर्ती सेटों का वर्ग एक श्रेणी बनाता है, 'पूर्ववर्ती सेटों की श्रेणी'। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी 'सेट' पर किसी प्रकार की संरचना को जोड़कर प्राप्त की जाने वाली श्रेणी, और यह आवश्यक है कि morphisms ऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।
मॉर्फिज्म के रूप में एकदिष्ट फलन वाले सभी अग्रिम आदेश किए गए समुच्चयों का वर्ग एक श्रेणी, ऑर्ड बनाता है। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी समुच्चय पर किसी प्रकार की संरचना जोड़कर प्राप्त की गई श्रेणी, और यह आवश्यक है किअकारिताऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।


आकारिकी के रूप में [[ समूह समरूपता ]] वाले सभी समूहों का वर्ग और रचना संक्रिया के रूप में कार्य संयोजन एक बड़ी श्रेणी, '[[ समूहों की श्रेणी ]]' बनाता है। 'ऑर्ड' की तरह, 'जीआरपी' एक ठोस श्रेणी है। श्रेणी '[[ [[ एबेलियन समूह ]]ों की श्रेणी ]]', जिसमें सभी एबेलियन समूह और उनके समूह समरूपता शामिल हैं, 'जीआरपी' की एक [[ पूर्ण उपश्रेणी ]] है, और एक [[ एबेलियन श्रेणी ]] का प्रोटोटाइप है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।
[[ समूह समरूपता |समूह समरूपता]] के साथ सभी समूहों का वर्ग आकारिकी के रूप में और संरचना संचालन के रूप में कार्य संरचना एक बड़ी [[ समूहों की श्रेणी |श्रेणी]] 'बनाती है, जीआरपी। ऑर्ड की तरह, जीआरपी एक ठोस श्रेणी है। श्रेणीएबी, जिसमें सभी [[ एबेलियन समूह |एबेलियन समूह]] और उनके समूह समरूपता सम्मिलित  हैं, जीआरपी की एक [[ पूर्ण उपश्रेणी |पूर्ण उपश्रेणी]] है, और एक [[ एबेलियन श्रेणी |एबेलियन श्रेणी]] का प्रतिमान है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
!Category
!श्रेणी
!Objects
!वस्तुएँ
!Morphisms
!अकारिता
|-
|-
|'''[[category of groups|Grp]]'''
|जीआरपी
|[[Group (mathematics)|group]]s
|समूह
|[[group homomorphism]]s
|समूह समरूपता
|-
|-
|'''[[Magma category|Mag]]'''
|'''[[Magma category|Mag]]'''
|[[magma (algebra)|magma]]s
|मैग्मा
|[[Magma (algebra)#Morphism of magmas|magma homomorphisms]]
|[[Magma (algebra)#Morphism of magmas|मैग्मा समरूपता]]
|-
|-
|[[category of manifolds|'''Man'''<sup>''p''</sup>]]
|[[category of manifolds|'''Man'''<sup>''p''</sup>]]
|[[smooth manifold]]s
|सहज मैनिफोल्ड्स
|''p''-times [[continuously differentiable]] maps
|P-बार लगातार अलग-अलग नक्शे
|-
|-
|'''[[category of metric spaces|Met]]'''
|'''[[category of metric spaces|Met]]'''
|[[metric space]]s
|मीट्रिक समष्टि
|[[short map]]s
|लघु मानचित्र
|-
|-
|'''[[category of modules|''R''-Mod]]'''
|'''[[category of modules|''R''-Mod]]'''
|[[module (mathematics)|''R''-modules]], where ''R'' is a ring
|R-मॉड्यूल, जहाँ R एक वलय है
|[[module homomorphism|''R''-module homomorphisms]]
|[[module homomorphism|R-मॉड्यूल समरूपता]]
|-
|-
|'''[[category of monoids|Mon]]'''
|'''[[category of monoids|Mon]]'''
|[[monoids]]
|[[monoids|मोनोइड]]
|[[Monoid#Monoid homomorphisms|monoid homomorphisms]]
|[[Monoid#Monoid homomorphisms|मोनोइड समरूपता]]
|-
|-
|'''[[category of rings|Ring]]'''
|'''[[category of rings|Ring]]'''
|[[ring (mathematics)|ring]]s
|वलय
|[[ring homomorphism]]s
|[[ring homomorphism|वलय समरूपता]]
|-
|-
|'''[[category of sets|Set]]'''
|'''[[category of sets|Set]]'''
|[[Set (mathematics)|set]]s
|समुच्चय
|[[Function (mathematics)|function]]s
|फलन
|-
|-
|'''[[category of topological spaces|Top]]'''
|'''[[category of topological spaces|Top]]'''
|[[topological space]]s
|सांस्थितिक समष्टि
|[[continuous function (topology)|continuous function]]s
|सतत फलन
|-
|-
|'''[[category of uniform spaces|Uni]]'''
|'''[[category of uniform spaces|Uni]]'''
|[[uniform space]]s
|एकसमान समष्टि
|[[uniformly continuous function]]s
|एकसमान सांतत्य
|-
|-
|[[K-Vect|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]]
|[[K-Vect|'''Vect'''<sub>''K''</sub>]]
|[[vector space]]s over the [[field (mathematics)|field]] ''K''
|K . क्षेत्र के ऊपर सदिश स्थान
|''K''-[[linear map]]s
|''K''-[[linear map|रैखिक मानचित्र]]
|}
|}
उनके बीच [[ बंडल नक्शा ]] वाले [[ फाइबर बंडल ]] एक ठोस श्रेणी बनाते हैं।
उनके बीच [[ बंडल नक्शा |बंडल नक्शा]] वाले [[ फाइबर बंडल |फाइबर बंडल]] एक ठोस श्रेणी बनाते हैं।


[[ छोटी श्रेणियों की श्रेणी ]] श्रेणी में सभी छोटी श्रेणियां होती हैं, उनके बीच के फंक्शनलर्स मॉर्फिज्म के रूप में होते हैं।
[[ छोटी श्रेणियों की श्रेणी ]] श्रेणी में सभी छोटी श्रेणियां होती हैं, उनके बीच के प्रकार्यकअकारिता के रूप में होते हैं।


== नई श्रेणियों का निर्माण ==
== नई श्रेणियों का निर्माण ==


=== दोहरी श्रेणी ===
=== दोहरी श्रेणी ===
किसी भी श्रेणी