टपल: Difference between revisions

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{{short description|Finite ordered list of elements}}
{{short description|Finite ordered list of elements}}
{{hatnote|For the musical term, see [[Tuplet]]. "Octuple" redirects here; for the boat, see [[Octuple scull]]. "Duodecuple" redirects here; for the term in music, see [[Twelve-tone technique]].}}
संगीतमय शब्द के लिए, टुपलेट देखें। "ऑक्टूपल" यहाँ पुनर्प्रेषित होता है। नाव के लिए, ऑक्टूपल स्कल देखें। "डुओडेक्यूपल" यहां पुनर्निर्देश करता है। संगीत विधि के लिए, ट्वेल्व-टोन विधि देखें
गणित में, एक टपल [[ तत्व (गणित) | तत्व]] की  परिमित क्रमबद्ध सूची (अनुक्रम) है। एक {{mvar|n}}-टपल [[ क्रम |अनुक्रम]] (या आदेशित सूची) है {{mvar|n}} तत्व, जहां {{mvar|n}} एक गैर-ऋणात्मक [[ पूर्णांक ]] है। केवल एक 0-टपल है, जिसे खाली टपल कहा जाता है। एक {{mvar|n}}-ट्पल एक आदेशित जोड़ी के निर्माण का उपयोग करके [[ पुनरावर्ती परिभाषा ]] है।


गणितज्ञ सामान्यतः पर तत्वों को कोष्ठक के भीतर सूचीबद्ध करके टुपल्स लिखते हैं "{{math|( )}}" और अल्पवि"राम से अलग; उदाहरण के लिए, {{math|(2, 7, 4, 1, 7)}} 5-ट्यूपल को दर्शाता है। कभी-कभी अन्य प्रतीकों का उपयोग तत्वों को घेरने के लिए किया जाता है, जैसे वर्ग कोष्ठक "[ ]" या कोण कोष्ठक "⟨ ⟩"। ब्रेसेस "{ }" का उपयोग कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में सरणी जानकारी प्रकारों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्तियों में नहीं, क्योंकि वे [[ सेट (गणित) | सेट]] के लिए मानक संकेतन हैं। टपल शब्द अक्सर अन्य गणितीय वस्तुओं, जैसे [[ वेक्टर (गणित और भौतिकी) ]] पर चर्चा करते समय हो सकता है।
गणित में, एक टपल [[ तत्व (गणित) |तत्व]] की परिमित क्रमबद्ध सूची (अनुक्रम) है। एक {{mvar|n}}-टपल [[ क्रम |अनुक्रम]] (या आदेशित सूची) है {{mvar|n}} तत्व, जहां {{mvar|n}} एक गैर-ऋणात्मक [[ पूर्णांक |पूर्णांक]] है। केवल एक 0-टपल है, जिसे खाली टपल कहा जाता है। एक {{mvar|n}}-ट्पल एक आदेशित जोड़ी के निर्माण का उपयोग करके [[ पुनरावर्ती परिभाषा |पुनरावर्ती परिभाषा]] है।


[[ कंप्यूटर विज्ञान ]] में, टुपल्स कई रूपों में आते हैं। अधिकांश टाइप की गई [[ कार्यात्मक प्रोग्रामिंग ]] भाषाएं टुपल्स को सीधे [[ उत्पाद प्रकार ]] के रूप में लागू करती हैं,<ref>{{cite web|url=https://wiki.haskell.org/Algebraic_data_type|title=बीजगणितीय डेटा प्रकार - HaskellWiki|website=wiki.haskell.org}}</ref> बीजगणितीय डेटा प्रकार, [[ पैटर्न मिलान ]], और असाइनमेंट (कंप्यूटर विज्ञान) # समानांतर असाइनमेंट के साथ कसकर जुड़ा हुआ है।<ref>{{cite web|url=https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Operators/Destructuring_assignment|title=विनाशकारी असाइनमेंट|website=MDN Web Docs}}</ref> कई प्रोग्रामिंग भाषाएं टुपल्स के विकल्प की पेशकश करती हैं, जिन्हें [[ रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान) ]] के रूप में जाना जाता है, जिसमें लेबल द्वारा एक्सेस किए गए अनियंत्रित तत्व होते हैं।<ref>{{cite web|url=https://stackoverflow.com/q/5525795 |title=क्या जावास्क्रिप्ट ऑब्जेक्ट प्रॉपर्टी ऑर्डर की गारंटी देता है?|website=Stack Overflow}}</ref> कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं ऑर्डर किए गए टुपल उत्पाद प्रकारों और अनियंत्रित रिकॉर्ड प्रकारों को एक ही निर्माण में जोड़ती हैं, जैसे कि स्ट्रक्चर (सी प्रोग्रामिंग भाषा) और हास्केल रिकॉर्ड। संबंधपरक डेटाबेस औपचारिक रूप से अपनी [[ पंक्ति (डेटाबेस) ]] (रिकॉर्ड) को टुपल्स के रूप में पहचान सकते हैं।
गणितज्ञ सामान्यतः पर तत्वों को कोष्ठक के भीतर सूचीबद्ध करके टुपल्स लिखते हैं "{{math|( )}}" और अल्पवि"राम से अलग; उदाहरण के लिए, {{math|(2, 7, 4, 1, 7)}} 5-ट्यूपल को दर्शाता है। कभी-कभी अन्य प्रतीकों का उपयोग तत्वों को घेरने के लिए किया जाता है, जैसे वर्ग कोष्ठक "[ ]" या कोण कोष्ठक "⟨ ⟩"। ब्रेसेस "{ }" का उपयोग कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में सरणी जानकारी प्रकारों को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्तियों में नहीं, क्योंकि वे [[ सेट (गणित) |सेट]] के लिए मानक संकेतन हैं। टपल शब्द अक्सर अन्य गणितीय वस्तुओं, जैसे [[ वेक्टर (गणित और भौतिकी) |वेक्टर (गणित और भौतिकी)]] पर चर्चा करते समय हो सकता है।


[[ संबंधपरक बीजगणित ]] में भी टुपल्स होते हैं; [[ संसाधन विवरण ढांचा ]] (RDF) के साथ [[ सेमांटिक वेब ]] की प्रोग्रामिंग करते समय; भाषाविज्ञान में;<ref>{{cite book|url= http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276|title= न्यूटपल - ऑक्सफोर्ड संदर्भ|chapter= N‐tuple|work= oxfordreference.com|date= January 2007|publisher= Oxford University Press|isbn= 9780199202720|access-date= 1 May 2015}}</ref> और [[ दर्शन ]] में।<ref>
[[ कंप्यूटर विज्ञान | कंप्यूटर विज्ञान]] में, टुपल्स कई रूपों में आते हैं। अधिकांश टाइप की गई [[ कार्यात्मक प्रोग्रामिंग |कार्यात्मक प्रोग्रामिंग]] भाषाएं टुपल्स को सीधे [[ उत्पाद प्रकार |उत्पाद प्रकार]] के रूप में लागू करती हैं,<ref>{{cite web|url=https://wiki.haskell.org/Algebraic_data_type|title=बीजगणितीय डेटा प्रकार - HaskellWiki|website=wiki.haskell.org}}</ref> बीजगणितीय डेटा प्रकार, [[ पैटर्न मिलान |पैटर्न मिलान]] , और असाइनमेंट (कंप्यूटर विज्ञान) समानांतर असाइनमेंट के साथ कसकर जुड़ा हुआ है।<ref>{{cite web|url=https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Operators/Destructuring_assignment|title=विनाशकारी असाइनमेंट|website=MDN Web Docs}}</ref> कई प्रोग्रामिंग भाषाएं टुपल्स के विकल्प का प्रस्ताव रखती हैं, जिन्हें [[ रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान) |रिकॉर्ड (कंप्यूटर विज्ञान)]] के रूप में जाना जाता है, जिसमें लेबल द्वारा एक्सेस किए गए अनियंत्रित तत्व होते हैं।<ref>{{cite web|url=https://stackoverflow.com/q/5525795 |title=क्या जावास्क्रिप्ट ऑब्जेक्ट प्रॉपर्टी ऑर्डर की गारंटी देता है?|website=Stack Overflow}}</ref> कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं ऑर्डर किए गए टुपल उत्पाद प्रकारों और अनियंत्रित रिकॉर्ड प्रकारों को एक ही निर्माण में जोड़ती हैं, जैसे कि स्ट्रक्चर (सी प्रोग्रामिंग भाषा) और हास्केल रिकॉर्ड। संबंधपरक डेटाबेस औपचारिक रूप से अपनी [[ पंक्ति (डेटाबेस) |पंक्ति (डेटाबेस)]] (रिकॉर्ड) को टुपल्स के रूप में पहचान सकते हैं।
 
[[ संबंधपरक बीजगणित | संबंधपरक बीजगणित]] में भी टुपल्स होते हैं; [[ संसाधन विवरण ढांचा |संसाधन विवरण ढांचा]] (RDF) के साथ [[ सेमांटिक वेब |सेमांटिक वेब]] की प्रोग्रामिंग करते समय; भाषाविज्ञान में;<ref>{{cite book|url= http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199202720.001.0001/acref-9780199202720-e-2276|title= न्यूटपल - ऑक्सफोर्ड संदर्भ|chapter= N‐tuple|work= oxfordreference.com|date= January 2007|publisher= Oxford University Press|isbn= 9780199202720|access-date= 1 May 2015}}</ref> और [[ दर्शन |दर्शन]] में।<ref>
{{cite book
{{cite book
| last1 = Blackburn
| last1 = Blackburn
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}}
}}
</ref>
</ref>
== व्युत्पत्ति ==
== व्युत्पत्ति ==
यह शब्द अनुक्रम के एक अमूर्त के रूप में उत्पन्न हुआ: सिंगल, युगल / डबल, ट्रिपल, चौगुनी, क्विंटुपल, सेक्स्टुपल, सेप्टुपल, ऑक्टुपल, ..., {{math|''n''}}-टपल, ..., जहां उपसर्ग अंकों के [[ लैटिन ]] नामों से लिए गए हैं। अद्वितीय 0-टुपल को नल टपल या खाली टपल कहा जाता है। 1-टुपल को एक (या एकमात्र) कहा जाता है, 2-टपल को क्रमित युग्म या जोड़ा कहा जाता है, और 3-टुपल को ट्रिपल (या ट्रिपलेट) कहा जाता है। जो नंबर {{math|''n''}} कोई भी अऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक जटिल संख्या को वास्तविक के 2-टपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक चतुष्कोण को 4-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक [[ ऑक्टोनियन ]] को 8-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, और एक [[ sedenion |सेदेनिओन (sedenion]] ) को 16-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है .
यह शब्द अनुक्रम के एक अमूर्त के रूप में उत्पन्न हुआ: सिंगल, युगल / डबल, ट्रिपल, चौगुनी, क्विंटुपल, सेक्स्टुपल, सेप्टुपल, ऑक्टुपल, ..., {{math|''n''}}-टपल, ..., जहां उपसर्ग अंकों के [[ लैटिन |लैटिन]] नामों से लिए गए हैं। अद्वितीय 0-टुपल को नल टपल या खाली टपल कहा जाता है। 1-टुपल को एक (या एकमात्र) कहा जाता है, 2-टपल को क्रमित युग्म या जोड़ा कहा जाता है, और 3-टुपल को ट्रिपल (या ट्रिपलेट) कहा जाता है। जो नंबर {{math|''n''}} कोई भी अऋणात्मक पूर्णांक हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक जटिल संख्या को वास्तविक के 2-टपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक चतुष्कोण को 4-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, एक [[ ऑक्टोनियन |ऑक्टोनियन]] को 8-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है, और एक [[ sedenion |सेदेनिओन (sedenion]] ) को 16-ट्यूपल के रूप में दर्शाया जा सकता है .


यद्यपि ये प्रत्यय के रूप में ‑uple का उपयोग करते हैं, मूल प्रत्यय −ple था जैसा कि ट्रिपल (तीन-गुना) या decuple (दस-गुना) में होता है। यह [[ ग्रीक भाषा ]] ‑πλοῦς से संबंधित मध्यकालीन लैटिन प्लस (जिसका अर्थ है अधिक) से उत्पन्न हुआ है, जिसने क्लासिकल और लेट एंटीक ''‑plex'' (अर्थात् मुड़ा हुआ) को डुप्लेक्स के रूप में बदल दिया।<ref>''OED'', ''s.v.'' "triple", "quadruple", "quintuple", "decuple"</ref>{{efn|Compare the etymology of [[ploidy]], from the Greek for -fold.}}
यद्यपि ये प्रत्यय के रूप में ‑uple का उपयोग करते हैं, मूल प्रत्यय −ple था जैसा कि ट्रिपल (तीन-गुना) या decuple (दस-गुना) में होता है। यह [[ ग्रीक भाषा |ग्रीक भाषा]] ‑πλοῦς से संबंधित मध्यकालीन लैटिन प्लस (जिसका अर्थ है अधिक) से उत्पन्न हुआ है, जिसने क्लासिकल और लेट एंटीक ''‑plex'' (अर्थात् मुड़ा हुआ) को डुप्लेक्स के रूप में बदल दिया।<ref>''OED'', ''s.v.'' "triple", "quadruple", "quintuple", "decuple"</ref>{{efn|Compare the etymology of [[ploidy]], from the Greek for -fold.}}




==={{anchor|Names}}विशिष्ट लंबाई के टुपल्स के नाम ===
===विशिष्ट लंबाई के टुपल्स के नाम ===
{{further|Numeral prefix}}
{{further|अंकीय उपसर्ग}}
{{Unreferenced section|date=October 2022}}
{{Unreferenced section|date=October 2022}}
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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! Tuple length, <math>n</math> !! Name !! Alternative names
! Tuple length, <math>n</math> !! Name !! Alternative names
|-
|-
| align="right" | 0 || खाली टपल || null tuple / empty sequence / unit / none left
| align="right" | 0 || खाली टपल || शून्य टपल / खाली अनुक्रम / इकाई / कोई नहीं बचा
|-
|-
| align="right" | 1 || मोनूपल || single / [[Singleton (mathematics)|singleton]] / monad
| align="right" | 1 || मोनूपल || सिंगल/सिंगलटन/मोनाड
|-
|-
| align="right" | 2 || couple || double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome
| align="right" | 2 || जोडा || डबल/ऑर्डर की गई जोड़ी/टू-प्ले/ट्विन/ड्यूल/डुएड/ड्याड/टू-सम
|-
|-
| align="right" | 3 || triple || treble / triplet / triad / ordered triple / threesome
| align="right" | 3 || तिगुना || ट्रेबल/ट्रिपल/ट्रायड/ऑर्डर किए गए ट्रिपल/थ्रीसम
|-
|-
| align="right" | 4 || quadruple || quad / tetrad / quartet / quadruplet
| align="right" | 4 || चौगुना || क्वैड/टेट्राड/क्वार्टेट/चौगुना
|-
|-
| align="right" | 5 || quintuple || pentuple / quint / pentad
| align="right" | 5 || कुइनतुपले || पेंटूप्ले / क्विन्ट / पेंटेड
|-
|-
| align="right" | 6 || sextuple || hextuple / hexad
| align="right" | 6 || सेक्सटपल || हेक्सटुप्ले / हेक्साड
|-
|-
| align="right" | 7 || septuple || heptuple / heptad
| align="right" | 7 ||सेप्टपल
| हेपटुप्ले / हेप्टेड
|-
|-
| align="right" | 8 || octuple || octa / octet / octad / octuplet
| align="right" | 8 || ओकतूपले || ऑक्टा/ऑक्टेट/ऑक्टेड/ऑक्टुपलेट
|-
|-
| align="right" | 9 || nonuple || nonad / ennead
| align="right" | 9 || नोनुपले || नॉनड / एनएड
|-
|-
| align="right" | 10 || decuple || decad / decade (antiquated)  
| align="right" | 10 || डिकपल || दशक /दशक (पुरातन)  
|-
|-
| align="right" | 11 || undecuple || hendecuple / hendecad
| align="right" | 11 || उंडेकुपले || हेन्डुप्ले / हेंडेकडे
|-
|-
| align="right" | 12 || duodecuple || dozen / duodecad
| align="right" | 12 ||डूओडेकुपले
| दर्जनों / डुओडेकाड
|-
|-
| align="right" | 13 || tredecuple || [[Dozen#Baker's_dozen|baker's dozen]]
| align="right" | 13 ||ट्रेडीकप्ल
| [[Dozen#Baker's_dozen|बेकर'स डज़न]]
|-
|-
| align="right" | 14 || quattuordecuple || double septuple
| align="right" | 14 ||कुयततूओरदेकुपले
| डबल सेप्टपल
|-
|-
| align="right" | 15 || quindecuple || triple quintuple
| align="right" | 15 ||कुइनदेकुपले
| ट्रिपल क्विंटुपल
|-
|-
| align="right" | 16 || sexdecuple || quadruple quadruple
| align="right" | 16 || सेक्सडेकपल || कुयदृपले कुयदृपले
|-
|-
| align="right" | 17 || septendecuple || N/A
| align="right" | 17 ||सेपटेनदेकुपले
| N/A
|-
|-
| align="right" | 18 || octodecuple || Double Nonuple
| align="right" | 18 ||ओकटोडेकुपले
| डबल नॉनपल
|-
|-
| align="right" | 19 || novemdecuple || N/A
| align="right" | 19 ||नोवेमदेकुपले
| N/A
|-
|-
| align="right" | 20 || vigintuple || Quadruple Quintuple
| align="right" | 20 ||विगीनतुपले
| कुयदृपले कुइनतुपले
|-
|-
| align="right" | 21 || unvigintuple || Triple Septuple
| align="right" | 21 ||उनविगिंतुपले
| ट्रिपल सेप्टपल
|-
|-
| align="right" | 22 || duovigintuple || Double Undecuple
| align="right" | 22 ||दुओविगीनतुपले
| डबल उंडेकुपले
|-
|-
| align="right" | 23 || trevigintuple || N/A
| align="right" | 23 ||ट्रेविजिन्टप्ल
| N/A
|-
|-
| align="right" | 24 || quattuorvigintuple ||
| align="right" | 24 ||कुयततूओरविगिनतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 25 || quinvigintuple ||
| align="right" | 25 || कुइनविगिनतुपले ||
|-
|-
| align="right" | 26 || sexvigintuple ||
| align="right" | 26 ||सेक्सविजनटपल
|
|-
|-
| align="right" | 27 || septenvigintuple ||
| align="right" | 27 ||सेपटेंविगिंटुपले
|
|-
|-
| align="right" | 28 || octovigintuple ||
| align="right" | 28 ||ओकटोविगिंटुपले
|
|-
|-
| align="right" | 29 || novemvigintuple || N/A
| align="right" | 29 ||नोवेंविगिंतुपले
| N/A
|-
|-
| align="right" | 30 || trigintuple ||
| align="right" | 30 ||ट्रिगिन्टप्ल
|
|-
|-
| align="right" | 31 || untrigintuple || N/A
| align="right" | 31 ||उंतरिगिंतुपले
| N/A
|-
|-
| align="right" | 32 || duotrigintuple || Double Sexdecuple
| align="right" | 32 ||दुओटरीगिंतुपले
| डबल सेक्सडेकपल
|-
|-
| align="right" | 40 || quadragintuple ||
| align="right" | 40 || कुयदृगिंतुपले ||
|-
|-
| align="right" | 50 || quinquagintuple ||
| align="right" | 50 ||कुइंकुयगिंतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 60 || sexagintuple ||
| align="right" | 60 ||सेकसगिनतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 70 || septuagintuple ||
| align="right" | 70 ||सेपटुयागिनतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 80 || octogintuple ||
| align="right" | 80 ||ओकटोगिंतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 90 || nongentuple ||
| align="right" | 90 ||नोंगेंतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 100 || centuple ||
| align="right" | 100 ||केनतुपले
|
|-
|-
| align="right" | 1,000 || milluple || chiliad
| align="right" | 1,000 || मिलपल || चिलीयड
|-
|-
|}
|}
ध्यान दें कि <math>n \geq 3</math>, ऊपर दी गई तालिका में टपल नाम एक क्रिया के रूप में भी कार्य कर सकता है जिसका अर्थ [प्रत्यक्ष वस्तु] से गुणा करना है <math>n</math>; उदाहरण के लिए, क्विंटुपल का अर्थ है 5 से गुणा करना। यदि <math>n = 2</math>, तो संबंधित क्रिया दोहराना है। एक क्रिया सेसकिपल (sesquiple) भी है, जिसका अर्थ है 3/2 से गुणा करना। सैद्धांतिक रूप से, मोनूपल का उपयोग इस तरह भी किया जा सकता है।
ध्यान दें कि <math>n \geq 3</math>, ऊपर दी गई सारणी में टपल नाम एक क्रिया के रूप में भी कार्य कर सकता है जिसका अर्थ [प्रत्यक्ष वस्तु] से गुणा करना है <math>n</math>; उदाहरण के लिए, क्विंटुपल का अर्थ है 5 से गुणा करना। यदि <math>n = 2</math>, तो संबंधित क्रिया दोहराना है। एक क्रिया सेसकिपल (sesquiple) भी है, जिसका अर्थ है 3/2 से गुणा करना। सैद्धांतिक रूप से, मोनूपल का उपयोग इस तरह भी किया जा सकता है।


== गुण ==
== गुण ==
दो की पहचान के लिए सामान्य नियम {{math|''n''}}-टुपल्स is
दो एन-ट्यूपल की पहचान के लिए सामान्य नियम है
: <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> [[ अगर और केवल अगर ]] <math>a_1=b_1,\text{ }a_2=b_2,\text{ }\ldots,\text{ }a_n=b_n</math>.
: <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n) = (b_1, b_2, \ldots, b_n)</math> [[ अगर और केवल अगर |अगर और केवल अगर]] <math>a_1=b_1,\text{ }a_2=b_2,\text{ }\ldots,\text{ }a_n=b_n</math>.


इस प्रकार एक टपल में ऐसे गुण होते हैं जो इसे सेट (गणित) से अलग करते हैं:
इस प्रकार एक टपल में ऐसे गुण होते हैं जो इसे सेट (गणित) से अलग करते हैं:
# एक टपल में एक ही तत्व के कई उदाहरण हो सकते हैं, इसलिए <br/>टपल <math>(1,2,2,3) \neq (1,2,3)</math>; लेकिन सेट <math>\{1,2,2,3\} = \{1,2,3\}</math>.
# एक टपल में एक ही तत्व के कई उदाहरण हो सकते हैं, इसलिए <br/>टपल <math>(1,2,2,3) \neq (1,2,3)</math>; लेकिन सेट <math>\{1,2,2,3\} = \{1,2,3\}</math>.
# टपल तत्वों का आदेश दिया गया है: टपल <math>(1,2,3) \neq (3,2,1)</math>, लेकिन सेट <math>\{1,2,3\} = \{3,2,1\}</math>.
# टपल तत्वों का आदेश दिया गया है: टपल <math>(1,2,3) \neq (3,2,1)</math>, लेकिन सेट <math>\{1,2,3\} = \{3,2,1\}</math>.
# एक टपल में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, जबकि एक सेट या [[ multiset | मल्टीसेट]] में अनंत संख्या में तत्व हो सकते हैं।
# एक टपल में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, जबकि एक सेट या [[ multiset |मल्टीसेट]] में अनंत संख्या में तत्व हो सकते हैं।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
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टुपल्स की कई परिभाषाएँ हैं जो उन्हें पिछले अनुभाग में वर्णित गुण प्रदान करती हैं।
टुपल्स की कई परिभाषाएँ हैं जो उन्हें पिछले अनुभाग में वर्णित गुण प्रदान करती हैं।


=== कार्यों के रूप में टुपल्स === <math>0</math>th>-टपल को फंक्शन (गणित)#सामान्य गुणों के रूप में पहचाना जा सकता है। के लिये <math>n \geq 1,</math> <math>n</math>-टपल <math>\left(a_1, \ldots, a_n\right)</math> ([[ विशेषण समारोह ]]) फंक्शन (गणित) से पहचाना जा सकता है#परिभाषा
=== कार्यों के रूप में टुपल्स === <math>0</math>th>-टपल को फंक्शन (गणित)सामान्य गुणों के रूप में पहचाना जा सकता है। के लिये <math>n \geq 1,</math> <math>n</math>-टपल <math>\left(a_1, \ldots, a_n\right)</math> ([[ विशेषण समारोह ]]) फंक्शन (गणित) से पहचाना जा सकता हैपरिभाषा
:<math>F ~:~ \left\{ 1, \ldots, n \right\} ~\to~ \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\}</math>
:<math>F ~:~ \left\{ 1, \ldots, n \right\} ~\to~ \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\}</math>
फ़ंक्शन के डोमेन के साथ
फ़ंक्शन के डोमेन के साथ
:<math>\operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\} = \left\{ i \in \N : 1 \leq i \leq n\right\}</math>
:<math>\operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\} = \left\{ i \in \N : 1 \leq i \leq n\right\}</math>
और [[ कोडोमेन ]] के साथ
और [[ कोडोमेन |कोडोमेन]] के साथ
:<math>\operatorname{codomain} F = \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\},</math>
:<math>\operatorname{codomain} F = \left\{ a_1, \ldots, a_n \right\},</math>
जिसे परिभाषित किया गया है <math>i \in \operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\}</math> द्वारा
जिसे परिभाषित किया गया है <math>i \in \operatorname{domain} F = \left\{ 1, \ldots, n \right\}</math> द्वारा
Line 154: Line 179:
n  \;&\mapsto&&\;  a_n \\
n  \;&\mapsto&&\;  a_n \\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>
किस मामले में समानता
किस कारण में समानता


:<math>\left(a_1, a_2, \dots, a_n\right) = \left(F(1), F(2), \dots, F(n)\right)</math>
:<math>\left(a_1, a_2, \dots, a_n\right) = \left(F(1), F(2), \dots, F(n)\right)</math>
Line 161: Line 186:
आदेशित जोड़े के सेट के रूप में टुपल्स
आदेशित जोड़े के सेट के रूप में टुपल्स


फ़ंक्शन सामान्यतः उनके ग्राफ़ के साथ पहचाना जाता है, जो ऑर्डर किए गए जोड़े का एक निश्चित सेट है। वास्तव में, कई लेखक ग्राफ़ को फ़ंक्शन की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं।फ़ंक्शन की इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त फ़ंक्शन <math>F</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
फ़ंक्शन सामान्यतः उनके ग्राफ़ के साथ पहचाना जाता है, जो ऑर्डर किए गए जोड़े का एक निश्चित सेट है। वास्तव में, कई लेखक ग्राफ़ को फ़ंक्शन की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं।फ़ंक्शन की इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, उपरोक्त फ़ंक्शन <math>F</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


:<math>F ~:=~ \left\{ \left(1, a_1\right), \ldots, \left(n, a_n\right) \right\}.</math>
:<math>F ~:=~ \left\{ \left(1, a_1\right), \ldots, \left(n, a_n\right) \right\}.</math>




=== नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े === के रूप में ट्यूपल्स सेट थ्योरी में टुपल्स को मॉडलिंग करने का एक और तरीका नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में है। यह दृष्टिकोण मानता है कि आदेशित जोड़ी की धारणा पहले ही परिभाषित की जा चुकी है।
=== नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े === के रूप में ट्यूपल्स सेट थ्योरी में टुपल्स को मॉडलिंग करने का एक और विधि नेस्टेड ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में है। यह दृष्टिकोण मानता है कि आदेशित जोड़ी की धारणा पहले ही परिभाषित की जा चुकी है।
# 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है <math>\emptyset</math>.
# 0-टपल (यानी खाली टपल) को खाली सेट द्वारा दर्शाया जाता है <math>\emptyset</math>.
# एक {{math|''n''}}-टुपल, साथ {{math|''n'' > 0}}, को इसकी पहली प्रविष्टि के क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और a {{math|(''n'' − 1)}}-tuple (जिसमें शेष प्रविष्टियाँ होती हैं जब {{math|''n'' > 1)}}:
# एक {{math|''n''}}-टुपल, साथ {{math|''n'' > 0}}, को इसकी पहली प्रविष्टि के क्रमित युग्म के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और a {{math|(''n'' − 1)}}-टपल (जिसमें शेष प्रविष्टियाँ होती हैं जब {{math|''n'' > 1)}}:
#: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n))</math>
#: <math>(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n) = (a_1, (a_2, a_3, \ldots, a_n))</math>
इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है {{math|(''n'' − 1)}}-टुपल:
इस परिभाषा को पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है {{math|(''n'' − 1)}}-टुपल:
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     \end{array}
     \end{array}
   </math>
   </math>
=={{math|''n''}}-के टुपल्स {{math|''m''}}-सेट ==


 
असतत गणित में, विशेष रूप से संयोजन और परिमित संभाव्यता सिद्धांत, {{math|''n''}}-टुपल्स विभिन्न गणना समस्याओं के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं और लंबाई की क्रमबद्ध सूचियों के रूप में अधिक अनौपचारिक रूप से व्यवहार किए जाते हैं {{math|''n''}}.<ref>{{harvnb|D'Angelo|West|2000|p=9}}</ref> {{math|''n''}}-टुपल्स जिनकी प्रविष्टियाँ एक सेट से आती हैं {{math|''m''}} तत्वों को पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था, क्रमचय बहु सेट के क्रमपरिवर्तन और, कुछ गैर-अंग्रेजी साहित्य में पुनरावृत्ति के साथ भिन्नता भी कहा जाता है। की संख्या {{math|''n''}}-एक के टुपल्स {{math|''m''}}-सेट है {{math|''m''<sup>''n''</sup>}}. यह उत्पाद के संयोजन नियम से चलता है।<ref>{{harvnb|D'Angelo|West|2000|p=101}}</ref> यदि {{math|''S''}} [[ प्रमुखता |प्रमुखता]] का एक सीमित सेट है {{math|''m''}}, यह संख्या की प्रमुखता है {{math|''n''}}-गुना कार्टेशियन उत्पाद एन-आरी कार्टेशियन पावर {{math|''S'' × ''S'' × ⋯ × ''S''}}. टुपल्स इस उत्पाद सेट के तत्व हैं।
=={{anchor|n-tuple}}{{math|''n''}}-के टुपल्स {{math|''m''}}-सेट ==
 
असतत गणित में, विशेष रूप से संयोजन और परिमित संभाव्यता सिद्धांत, {{math|''n''}}-टुपल्स विभिन्न गणना समस्याओं के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं और लंबाई की क्रमबद्ध सूचियों के रूप में अधिक अनौपचारिक रूप से व्यवहार किए जाते हैं {{math|''n''}}.<ref>{{harvnb|D'Angelo|West|2000|p=9}}</ref> {{math|''n''}}-tuples जिनकी प्रविष्टियाँ एक सेट से आती हैं {{math|''m''}} तत्वों को पुनरावृत्ति के साथ व्यवस्था, क्रमचय # बहु सेट के क्रमपरिवर्तन और, कुछ गैर-अंग्रेजी साहित्य में पुनरावृत्ति के साथ भिन्नता भी कहा जाता है। की संख्या {{math|''n''}}-एक के tuples {{math|''m''}}-सेट है {{math|''m''<sup>''n''</sup>}}. यह उत्पाद के संयोजन नियम से चलता है।<ref>{{harvnb|D'Angelo|West|2000|p=101}}</ref> यदि {{math|''S''}} [[ प्रमुखता ]] का एक सीमित सेट है {{math|''m''}}, यह संख्या की प्रमुखता है {{math|''n''}}-गुना कार्टेशियन उत्पाद # एन-आरी कार्टेशियन पावर {{math|''S'' × ''S'' × ⋯ × ''S''}}. टुपल्स इस उत्पाद सेट के तत्व हैं।


== प्रकार सिद्धांत ==
== प्रकार सिद्धांत ==
{{main|Product type}}
{{main|उत्पाद प्रकार}}
[[ प्रकार सिद्धांत ]] में, आमतौर पर [[ प्रोग्रामिंग भाषा ]]ओं में उपयोग किया जाता है, एक