तुल्यता संबंध: Difference between revisions

{{stack|{{Binary relations}}}}

[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व सेट पर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित  हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता वर्गों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता वर्ग होता है)।]]गणित में, एक तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध ]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध | सममित]] और [[ सकर्मक संबंध ]]होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक सेट के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे आम हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है "  a _''R'' ''b,''  "''a'' ≡_''R'' ''b''", या <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>.

समुच्चय <math>X</math>  पर द्विआधारी संबंध  <math>\,\sim\,</math> को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल  विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए <math>a, b,</math> तथा <math>c</math> में <math>X:</math>

<math>X</math> रिश्ते के साथ <math>\,\sim\,</math> एक [[ सेटॉइड ]] कहा जाता है। तुल्यता वर्ग <math>a</math> नीचे <math>\,\sim,</math> लक्षित <math>[a],</math> को इस तरह परिभाषित किया गया है <math>[a] = \{x \in X : x \sim a\}.</math><ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=तुल्यता वर्ग|url=https://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html|access-date=2020-08-30|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|date=2017-09-20|title=7.3: तुल्यता वर्ग|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Logic_and_Proof/Book%3A_Mathematical_Reasoning__Writing_and_Proof_(Sundstrom)/7%3A_Equivalence_Relations/7.3%3A_Equivalence_Classes|access-date=2020-08-30|website=Mathematics LibreTexts|language=en}}</ref>

संबंधपरक बीजगणित में, यदि <math>R\subseteq X\times Y</math> तथा <math>S\subseteq Y\times Z</math>  के संबंध हैं, तो [[ संबंधों की संरचना ]] को  <math>SR\subseteq X\times Z</math> से परिभाषित किया गया है ताकि <math>x \, SR \, z</math> अगर और केवल अगर वहाँ एक है <math>y\in Y</math> ऐसा है कि <math>x \, R \, y</math> तथा <math>y \, S \, z</math>.<ref group="note">Sometimes the composition <math>SR\subseteq X\times Z</math> is instead written as <math>R;S</math>, or as <math>RS</math>; in both cases, <math>R</math> is the first relation that is applied. See the article on [[Composition of relations#Notational variations|Composition of relations]] for more information.</ref> यह परिभाषा [[ समारोह संरचना | कार्यात्मक संरचना]] की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण <math>R</math> एक सेट पर <math>X</math> फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है

* <math>\operatorname{id} \subseteq R</math>. (परावर्तन रिलेशन)। (यहां, आई डी [[पहचान फलन]] को <math>X</math>.से दर्शाता है)

सेट पर <math>X = \{a, b, c\}</math>, सम्बन्ध <math>R = \{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)\}</math> एक तुल्यता संबंध है। निम्नलिखित समुच्चय इस संबंध के तुल्यता वर्ग हैं<math display=block>[a] = \{a\}, ~~~~ [b] = [c] = \{b, c\}.</math>

<math>R</math> के लिए सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय <math>\{\{a\}, \{b, c\}\}.</math>है यह समुच्चय <math>R</math> के संबंध में समुच्चय <math>X</math> का एक विभाजन है।

*सभी लोगों के सेट पर वही जन्मदिन होता है।

* सभी [[ त्रिभुज (ज्यामिति) | त्रिभुज (ज्यामिति)]]  के सेट पर [[ समानता (ज्यामिति) | समान]]  है।

* सभी त्रिभुज (ज्यामिति) के सेट पर [[ सर्वांगसमता (ज्यामिति) | सर्वांगसमता]]  है।

* एक प्राकृतिक संख्या दी गई <math>n</math>, के अनुरूप है, [[ मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूलर अंकगणित]]  <math>n</math>[[ पूर्णांकों | पूर्णांकों]]  पर।<ref name=":0" />* एक फलन को देखते हुए <math>f:X \to Y</math>, एक ही [[ छवि (गणित) | छवि (गणित)]]  के अंतर्गत है <math>f</math> के तत्वों के रूप में <math>f</math> किसी [[ फ़ंक्शन का डोमेन | फ़ंक्शन का डोमेन]] <math>X</math>. उदाहरण के लिए, <math>0</math> तथा <math>\pi</math> नीचे एक ही छवि है <math>\sin</math>, <math>0</math>

* वास्तविक संख्याओं के बीच संबंध लगभग बराबर है, लेकिन तुल्यता संबंध को सटीक रूप से परिभाषित नहीं किया है, क्योंकि परावर्तक और सममित होने के बावजूद, यह सकर्मक नहीं है, क्योंकि कई छोटे परिवर्तन बड़ा परिवर्तन बनने के लिए इकट्ठा हो सकते हैं। चूँकि, यदि सन्निकटन को विषम रूप से परिभाषित किया गया है, जैसा कि उदाहरण के लिए दो फलन f और g किसी बिंदु के पास लगभग बराबर हैं यदि उस बिंदु पर f - g की सीमा 0 है, तो यह एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है।  

*[[ समानता (गणित) | समानता]]  तुल्यता संबंध और आंशिक क्रम दोनों है। समानता भी सेट पर एकमात्र संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक सममित और प्रतिसममित होती है। बीजगणितीय व्यंजकों में समान चरों को एक दूसरे के स्थान पर [[प्रतिस्थापित]] किया जा सकता है, ऐसी सुविधा जो तुल्यता संबंधित चरों के लिए उपलब्ध नहीं है। तुल्यता वर्ग तुल्यता संबंध को एक दूसरे के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं लेकिन एक वर्ग के भीतर अलग अलग नहीं।

*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) ]] की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह | सामान्य उपसमूहों]]  के अनुरूप होते हैं)।

*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित ]] ([[ रचनात्मक गणित | रचनात्मक गणित )]] के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है।

यदि <math>\,\sim\,</math> पर एक तुल्यता संबंध है <math>X,</math> तथा <math>P(x)</math> के तत्वों की एक सामग्री <math>X,</math>है और यदि ऐसा कि <math>x \sim y,</math> तो <math>P(x)</math> सच है यदि <math>P(y)</math> सत्य है, तो सामग्री <math>P</math> [[ अच्छी तरह से परिभाषित ]] है या {{em|class invariant}} संबंध <math>\,\sim.</math> के तहत एक वर्ग अपरिवर्तनीय होता है

एक नियमित विशेष में वस्तुस्थिति <math>f</math> तब होती है, जब <math>X</math> के दूसरे समुच्चय में <math>Y;</math> फलन होता है, यदि <math>x_1 \sim x_2</math> का तात्पर्य <math>f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)</math> है और <math>f</math> को {{em|आकृति विज्ञान}} कहा जाता है <math>\,\sim,</math> एक वर्ग अपरिवर्तनीय के तहत है<math>\,\sim,</math> या साधारण अपरिवर्तनीय के अंतर्गत है <math>\,\sim.</math> इस प्रकार का उदाहरण परिमित समूहों के चरित्र सिद्धांत में होता है। फलन <math>f</math> के साथ आगामी स्थिति,को क्रम विनिमेय त्रिभुज द्वारा व्यक्त किया जाता है। [[ अपरिवर्तनीय (गणित) | अपरिवर्तनीय (गणित)]] भी देखें। कुछ लेखक संगत का उपयोग करते हैं <math>\,\sim</math>या सिर्फ सम्मान <math>\,\sim</math>अपरिवर्तनीय के जगह है  <math>\,\sim</math>.

सामान्तया , फ़ंक्शन समकक्ष तर्कों को प्रतिचित्र कर सकता है (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_A</math>) समकक्ष मूल्यों के लिए (एक तुल्यता संबंध के तहत <math>\,\sim_B</math>) इस तरह के एक फलन को आकृति विज्ञान के रूप में जाना जाता है <math>\,\sim_A</math> प्रति <math>\,\sim_B.</math>

==तुल्यता वर्ग, भागफल सेट, विभाजन==

=== तुल्यता वर्ग ===

X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता वर्ग' कहलाता है। ये<math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता वर्ग को निरूपित करती है जो a संबंधित है। और एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता वर्ग के अवयव होते हैं।

=== भागफल सेट ===

X के सभी तुल्यता वर्गों का समुच्चय ~, से निरूपित है <math>X / \mathord{\sim} := \{[x] : x \in X\},</math> ~ ''X'' का भागफल समुच्चय है। यदि ''X'' एक[[ टोपोलॉजिकल स्पेस |  सांस्थितिक समष्टि]] है, तो बदलने का एक प्राकृतिक तरीका है <math>X / \sim</math> सांस्थितिक समष्टि में; विवरण के लिए [[ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) | भागफल स्थान (सांस्थितिक )]]  को देखें।

प्रक्षेपण का <math>\,\sim\,</math> फलन है, <math>\pi : X \to X/\mathord{\sim}</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(x) = [x]</math> जो के तत्वों को छायाचित्र करता है <math>X</math> द्वारा संबंधित तुल्यता वर्गों में <math>\,\sim.</math> है

प्रक्षेपण पर प्रमेय,<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;35, Th. 19. Chelsea.</ref> फलन से <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> ये एक विशिष्ट फलन है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक [[ प्रक्षेपण | प्रक्षेपण]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है।

किसी फ़ंक्शन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[इंजेक्शन]] का तुल्यता कर्नेल [[पहचान]] संबंध है।

''X'' का विभाजन ''X'' के गैर-रिक्त उपसमुच्चय का एक समुच्चय ''P'' होता है, जैसे कि ''X'' का प्रत्येक अवयव ''P'' के एकल अवयव का एक अवयव है। ''P'' का प्रत्येक अवयव विभाजन की ''कोशिका'' है। इसके अलावा, ''P'' के अवयव जोड़ीवार असंबद्ध हैं और उनका संघ सेट थ्योरी ''X'' है।

मान लीजिए X एक परिमित समुच्चय है जिसमें n तत्व हैं। चूंकि एक्स पर प्रत्येक तुल्यता संबंध एक्स के विभाजन से मेल खाता है, और इसके विपरीत, एक्स पर तुल्यता संबंधों की संख्या एक्स के अलग-अलग विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जो कि एनटी बेल नंबर ''B_n'' है।

एक प्रमुख परिणाम तुल्यता संबंधों और विभाजनों को जोड़ता है,<ref>Wallace, D. A. R., 1998. ''Groups, Rings and Fields''. p.&nbsp;31, Th. 8. Springer-Verlag.</ref><ref>Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed. p.&nbsp;3, Prop. 2. John Wiley & Sons.</ref><ref>[[Karel Hrbacek]] & [[Thomas Jech]] (1999) ''Introduction to Set Theory'', 3rd edition, pages 29–32, [[Marcel Dekker]]</ref>

* एक सेट एक्स विभाजन एक्स पर तुल्यता संबंध ~ है।  

दोनों ही मामलों में, X के विभाजन की कोशिकाएँ X के ~ द्वारा तुल्यता वर्ग हैं। चूंकि एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के किसी भी विभाजन के अद्वितीय सेल से संबंधित है, और चूंकि विभाजन के प्रत्येक सेल एक्स के समकक्ष वर्ग ~ ~ के समान है, एक्स का प्रत्येक तत्व एक्स के अद्वितीय समकक्ष वर्ग ~ के अंतर्गत आता है। इस प्रकार X पर सभी तुल्यता संबंधों के समुच्चय और X के सभी विभाजनों के समुच्चय के बीच एक स्वाभाविक विभाजन होता है।

यदि <math>\sim</math> तथा <math>\approx</math> एक ही सेट पर दो तुल्यता संबंध हैं <math>S</math>, तथा <math>a \sim b</math> का तात्पर्य <math>a \approx b</math> सभी के लिए <math>a, b \in S,</math> फिर <math>\approx</math> की तुलना में गहरा संबंध कहा जाता है <math>\sim</math>, तथा <math>\sim</math> से बेहतर रिश्ता है <math>\approx</math>. समान रूप से,

* <math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math> अगर हर तुल्यता वर्ग <math>\sim</math> तुल्यता वर्ग का एक उपसमुच्चय है <math>\approx</math>, और इस प्रकार प्रत्येक तुल्यता वर्ग <math>\approx</math> तुल्यता वर्गों का एक संघ है <math>\sim</math>.

समानता तुल्यता संबंध किसी भी सेट पर सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है, जबकि सार्वभौमिक संबंध, जो तत्वों के सभी जोड़े से संबंधित है, सबसे स्थूल है।

सम्बन्ध<math>\sim</math> से बेहतर है <math>\approx</math>एक निश्चित सेट पर सभी तुल्यता संबंधों के संग्रह पर ही आंशिक क्रम संबंध है, जो संग्रह को एक [[ ज्यामितीय जाली ]] का बनाता है।<ref>{{citation|title=Lattice Theory|volume=25|series=Colloquium Publications|publisher=American Mathematical Society|first=Garrett|last=Birkhoff|author-link=Garrett Birkhoff|edition=3rd|year=1995|isbn=9780821810255}}. Sect. IV.9, Theorem 12, page 95</ref>

* किसी भी सेट को देखते हुए <math>X,</math> सेट पर एक तुल्यता संबंध <math>[X \to X]</math> सभी कार्यों का <math>X \to X</math> निम्नानुसार प्राप