पॉलीटॉप: Difference between revisions

Revision as of 14:29, 23 November 2022

File:First stellation of octahedron.png	File:First stellation of dodecahedron.png	File:Second stellation of dodecahedron.png	File:Third stellation of dodecahedron.png	File:Sixteenth stellation of icosahedron.png	File:First stellation of icosahedron.png
एक बहुतल एक 3-आयामी पॉलीटॉप है

File:Assorted polygons.svg

एक बहुभुज एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें समतल फेसेस होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी बहुतल का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम $n$ में $n$ -विमीय पॉलीटोप या $n$ -पॉलीटोप के रूप में उपलब्ध हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुतल 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ $(k + 1)$ पॉलीटोप से मिलकर बनाता है और $k$ -पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें $(k - 1)$ पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।

कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध अनंतता और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें गोलाकार पॉलीहेड्रा, और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।

1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।^[1] जर्मन भाषा का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ रेनहोल्ड हॉपी द्वारा निर्मित किया गया था, और एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।

परिभाषा के दृष्टिकोण

आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें ऑब्जेक्ट्स की एक विस्तृत श्रेणी सम्मिलित है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप ऑब्जेक्ट्स के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य ऑब्जेक्ट्स को सम्मिलित करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, थोरोल्ड गॉसम्मुचय और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और बहुतल के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।^[2]

पॉलीहेड्रा की यूलर विशेषता को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या सीडब्ल्यू-जटिल के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।^[3] इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के चौकोर या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से सरलताओं का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।^[4] चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

तारक(स्टार) पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुतल को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल(पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए अर्धवृत्ताकार टाइलिंग और टोरॉयडल बहुतल देखें। बहुतल को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस ज्यामिति बहुभुज के होते हैं, एक 4-पॉलीटॉप एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे 1-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या शीर्ष को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और बहुतल शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक बहुतल किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक घिरा हुआ सम्मुचय पॉलीहेड्रॉन। <ref>नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, ISBN 978-0471359432, परिभाषा 2.2।</ref> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो उत्तल हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल बहुतल अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का उत्तल पतवार है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।

आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।

आयाम पॉलीटोप का	विवरण
−1	नुलिटोप
0	Monon
1	डायोन
2	बहुभुज
3	बहुतल
4	पॉलीकोरोन

तत्व

एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फेसेस, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-फेसेस को निरूपित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग कर सकते हैं। कुछ किनारे का उपयोग रिज को संदर्भित करने के लिए करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सम्मुचयर सेल का उपयोग एन -1 आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए सेल का उपयोग करता है।^[5]^{[citation needed]} इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।

आयाम तत्व का	शर्त (एन-पॉलीटॉप में)
−1	शून्यता (अमूर्त सिद्धांत में आवश्यक))^[6]
0	शिखर
1	किनारा
2	फेस
3	कक्ष
$\vdots$	$\vdots$
j	j-फेस – पद का तत्व j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 3	शिखर – (n − 3)-फेस
n − 2	चोटी or subfacet – (n − 2)-फेस
n − 1	पहलू– (n − 1)-फेस
n	पॉलीटॉप ही

एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी पहलुओं गणित से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी रिज (ज्यामिति) के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की(n - 3) आयामी सीमाओं को निर्मित करते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस(ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी सेल (गणित) कहा जाता है, और इसमें एक बहुतल होता है।

बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स

पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ , पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है। यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक अभिन्न पॉलीटॉप है।

उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न $d$ -पॉलीटॉप ${\mathcal {P}}$ कुछ पूर्णांक मैट्रिक्स के लिए प्रतिवर्ती है $\mathbf {A}$ , ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$ , जहां पे $\mathbf {1}$ सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि ${\mathcal {P}}$ प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर

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 | colspan="6" | एक बहुतल एक 3-आयामी पॉलीटॉप है
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-[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें समतल [[फेसेस]] होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुतल 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनाता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
+[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें समतल [[फेसेस]] होते है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में उपलब्ध हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी बहुतल 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनाता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
 कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध [[ अनंतता |अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।
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 [[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।
-तारक (स्टार) पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुतल को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अन्य अंडाकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन|टोरॉयडल]] बहुतल देखें। बहुतल को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस  [[ बहुभुज |ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप | 4-पॉलीटॉप]] एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।
+तारक(स्टार) पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुतल को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल(पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग|अर्धवृत्ताकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन|टोरॉयडल]] बहुतल देखें। बहुतल को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस  [[ बहुभुज |ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप | 4-पॉलीटॉप]] एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।
 निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।
-गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और बहुतल शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक बहुतल किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक [[ घिरा हुआ सेट | घिरा हुआ सम्मुचय]] पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, {{isbn|978-0471359432}}, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो [[उत्तल]] हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल बहुतल अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का [[उत्तल पतवार]] है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।
+गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और बहुतल शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक बहुतल किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक [[ घिरा हुआ सेट | घिरा हुआ सम्मुचय]] पॉलीहेड्रॉन। <nowiki><ref>नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, </nowiki>{{isbn|978-0471359432}}, परिभाषा 2.2।<nowiki></ref></nowiki> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो [[उत्तल]] हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल बहुतल अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का [[उत्तल पतवार]] है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।
 आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।
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-एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी [[ पहलू (गणित) | पहलुओं गणित]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी [[ रिज (ज्यामिति) | रिज (ज्यामिति)]] के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की (n - 3) आयामी सीमाओं को जन्म देते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी [[ सेल (गणित) |सेल (गणित)]] कहा जाता है, और इसमें एक बहुतल होता है।
+एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी [[ पहलू (गणित) | पहलुओं गणित]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी [[ रिज (ज्यामिति) | रिज (ज्यामिति)]] के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की(n - 3) आयामी सीमाओं को निर्मित करते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस(ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी [[ सेल (गणित) |सेल (गणित)]] कहा जाता है, और इसमें एक बहुतल होता है।
 ==बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग ==
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 यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]] है।
-उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-polytope}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स ]] के लिए प्रतिवर्ती है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, जहां पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए है <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन | दोहरी बहुतल]] है तो <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटॉप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>
+उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-पॉलीटॉप}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स ]] के लिए प्रतिवर्ती है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, जहां पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए है <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-डाईलेट}} का <math>\mathcal{P}</math> भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन | दोहरी बहुतल]] है तो <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटॉप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>
 === नियमित पॉलीटोप्स ===
 {{Main|नियमित पॉलीटॉप}}
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 ===जटिल पॉलीटोप्स ===
-{{Main|Complex polytope}}
+{{Main|जटिल पॉलीटॉप}}
-जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान में पॉलीटोप्स में समान संरचनाएं मौजूद हैं <math> \Complex^n</math> जहाँ n वास्तविक आयामों के साथ n [[ काल्पनिक संख्या | काल्पनिक]] [[संख्याए]]  हैं। नियमित रूप से जटिल पॉलीटॉप्स को अधिक उचित रूप से [[ विन्यास (पॉलीटोप) ]] के रूप में जाना जाता है।<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Complex Polytopes'', 1974</ref>
+जटिल हिल्बर्ट रिक्त स्थान में पॉलीटोप्स में समान संरचनाएं उपलब्ध हैं <math> \Complex^n</math> जहाँ n वास्तविक आयामों के साथ n [[ काल्पनिक संख्या | काल्पनिक]] [[संख्याए]]  हैं। नियमित रूप से जटिल पॉलीटॉप्स को अधिक उचित रूप से [[ विन्यास (पॉलीटोप) ]] के रूप में जाना जाता है।<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Complex Polytopes'', 1974</ref>
 ==द्वैत==
 प्रत्येक n-पॉलीटॉप में एक दोहरी संरचना होती है, जो पहलुओं के लिए इसके शीर्षों को परस्पर बदलकर प्राप्त की जाती है, लकीरों के लिए किनारों, और इसी तरह अधिकांशता इसके (j - 1) -आयामी तत्वों को (n - j) -आयामी तत्वों (j = 1 से n − 1) के लिए परस्पर बदलते तत्वों के बीच संपर्क या घटना को बनाए रखता है।
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 एक ज्यामितीय पॉलीटोप के मामले में, दोहरीकरण के लिए कुछ ज्यामितीय नियम आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए दोहरे पॉलीहेड्रा के लिए वर्णित नियम देखें। परिस्थिति के आधार पर, दोहरी आकृति और ज्यामितीय पॉलीटॉप हो सकती है या नहीं भी हो सकती है।<ref>Wenninger, M.; ''Dual Models'', CUP (1983).</ref>
-यदि दोहरे को उलट दिया जाता है, तो मूल पॉलीटोप पुनः प्राप्त हो जाता है। इस प्रकार, पॉलीटोप्स दोहरे जोड़े में मौजूद हैं।
+यदि दोहरे को उलट दिया जाता है, तो मूल पॉलीटोप पुनः प्राप्त हो जाता है। इस प्रकार, पॉलीटोप्स दोहरे जोड़े में उपलब्ध हैं।
 === स्व-दोहरी पॉलीटोप्स ===

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Contents

परिभाषा के दृष्टिकोण

तत्व

बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स