कोण: Difference between revisions

Revision as of 17:33, 18 July 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्) कहा जाता है।^[1] दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।^[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी 'अन्ताकिया के कार्पस' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।^[3]

कोणों की पहचान

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक $π$ प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को $∠BAC$ या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि $∠BAC$ हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा $∠CAB$ सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।^[4]^[5]

0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है।
अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा 1/4 मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या $π$ /2 रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है।
एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है।
1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या $π$ रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2 $π$ रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

इकाइयाँ	अंतराल
नाम	शून्य	न्यून	समकोण	अधिक	ऋजु	प्रतिवर्ती	पेरिगॉन
मोड़ (टर्न)	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
रेडियन	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
डिग्री	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
गोन	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

तुल्यता कोण जोड़े

समान माप वाले कोण सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
दो कोण जो अंतिम रेखाओं का साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ (टर्न) के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री) या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ (टर्न) के बीच का मान, 90° (डिग्री), या $π$ /2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30° (डिग्री) के कोण में 30° डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150° (डिग्री) के कोण में 30° (डिग्री) (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750° (डिग्री) के कोण का संदर्भ कोण 30° (डिग्री) (750-720) होता है।^[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.^[7] उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के 'यूडेमस' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।^[8]^[9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,^[9] जब 'थेल्स' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। 'थेल्स' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

सभी समकोण समान होते हैं।
बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।

जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण ए (A) की माप x के बराबर है, तो कोण सी (C) की माप 180° − x होगी। इसी प्रकार, कोण डी (D) की माप 180° − x होगी। कोण सी (C) और कोण डी (D) दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और सर्वांगसम हैं। चूँकि कोण बी (B) दोनों कोणों सी (C) और डी (D) का पूरक है, कोण बी (B) की माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण सी (C) या कोण डी (D) की माप का उपयोग करके, हम कोण बी (B) की माप 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x ज्ञात करते हैं। इसलिए, कोण ए (A) और कोण बी (B) दोनों के माप x के बराबर हैं, और माप में बराबर हैं।

कोण A और B आसन्न हैं।

आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (∠s) ऐसे कोण हैं, जो एक सामान्य शीर्ष और रेखा साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु का साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, आसन्न कोण एक ही भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण का योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।^[10]

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a का पूरक है। > b) का पूरक है।

पूरक कोण कोण युग्म होते हैं, जिनकी मापों का योग एक समकोण (1/4 मोड़, 90° (डिग्री), या $π$ /2 रेडियन) होता है ।^[11] यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° (डिग्री) होता है, और समकोण स्वयं 90° (डिग्री) का होता है।

विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है।

कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।^[12] यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते है।

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)

कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।

दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या $π$ रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।^[13] यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।^[14] हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा चक्रीय चतुर्भुज (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।

यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।

संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि परिभाषित है) परिमाण में बराबर होते हैं, लेकिन विपरीत चिह्न होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।

दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2 $π$ रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

बहुभुज-संबंधित कोण

एक साधारण बहुभुज के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग $π$ रेडियन, 180° (डिग्री) या 1/2 मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2 $π$ रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) $π$ रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2)1/2 मोड़ (टर्न) होता है।
एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।^[15] यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाए तो एक पूर्ण मोड़ (टर्न) 360°(डिग्री) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।^[16]
एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।^[16]
एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।^[16]
कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।^[17] यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।

समतल से संबंधित कोण

दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।^[12] यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।

मापने के कोण

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक रेखा को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ (टर्न) के निश्चित गुणक से भिन्न कोण प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ (टर्न) के अशून्य गुणक से भिन्न कोण समतुल्य नहीं होते हैं।

आर}} रेडियन}}।

कोण θ को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (s) का वृत्त की त्रिज्या आर (r) से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया है, अतः कोण को k/2 $π$ के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ (टर्न) का माप है (उदाहरण के लिए, k = 360° के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।

\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.

इस प्रकार परिभाषित θ का मान वृत्त के आकार पर निर्भर नहीं करता, यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, अतः अनुपात एस/आर (s/r) अपरिवर्तित रहता है।^{[nb 1]}

कोण योग अभिधारणा

कोण योग अभिधारणा बताती है कि यदि बी (B) कोण एओसी (∠AOC) के अंदर है, तो

m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण एओबी (∠AOB) के माप और कोण बीओसी (∠BOC) के माप का योग होता है।

इकाइयां

1 रेडियन की परिभाषा

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) इत्यादि हैं।^[19]

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (टर्न) (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री)) है। 360° (डिग्री) का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, $2 π$ रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।

कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।

नाम	एक मोड़ (टर्न) में संख्या	डिग्री में	विवरण
मोड़ (टर्न)	1	360°	मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
$π$ के गुणज	2	180°	$π$ रेडियन एमयूएल $π$ (MUL $π$ ) इकाई के गुणकों को आरपीएन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। WP 43S।^[20]^[21]^[22] यह भी देखें IEEE 754 recommended operations
चतुर्थाँश	4	90°	एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और समकोण भी कहते है। चतुर्थांश यूक्लिड के तत्वों में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ^∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = $π$ /2 रेड (rad) = 1/4 टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
सेक्सटैंट	6	60°	सेक्स्टेंट बेबीलोनियों द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई कि षाष्टिक (सेक्सेजिमल) उपइकाई हैं।^[23]^[24] यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह समबाहु त्रिभुज का कोण या 1/6 मोड़ (टर्न) होता है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = $π$ /3 रेड ≈ 1.047197551 रेड
रेडियन	$2 π$	57°17′	रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2 $π$ रेडियन होता है, और एक रेडियन 180°/ $π$ या लगभग 57.2958° (डिग्री) होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन को विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है। रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो त्रिकोणमितीय फलन प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं। रेडियन एसआई (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को विमाहीन भी मानता है।
हेक्साकॉन्टेडे	60	6°	हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग एराटोस्थनीज द्वारा किया जाता है। यह 6° (डिग्री) के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ (टर्न) 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है।
बाइनरी डिग्री	256	1°33'45"	बाइनरी डिग्री, जिसे बाइनरी रेडियन या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप बीएएम (BAM) से भी जाना जाता है।^[25] बाइनरी डिग्री का उपयोग अभिकलन में किया जाता है ताकि एक कोण को एक बाइट में अच्छे से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। अभिकलन में प्रयुक्त कोण के अन्य माप, n के अन्य मान के लिए एक पूरे मोड़ (टर्न) को 2ⁿ बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित होते हैं।^[26] यह एक मोड़ (टर्न) का 1/256 है। ^[25]
डिग्री	360	1°	इस पुराने षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में सामान्य कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव संकेतन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन "डिग्री-मिनट-सेकंड" प्रणाली के "मिनट" और "सेकंड" षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपिकाई भी उपयोग में हैं, विशेष रूप से भौगोलिक निर्देशांक के लिए और खगोल विज्ञान और अस्त्रविज्ञान में (n = 360)। ऊपर लिखे हुए एक छोटे वृत्त (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ (टर्न) का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ (टर्न) 360° (डिग्री) का होता है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, k = 360°/2 $π$ निर्धारित करके n = 360° (डिग्री) इकाई प्राप्त की जाती है।
ग्रेड	400	0°54′	ग्रेड, जिसे, ग्रैड, ग्रेडियन या गॉन चतुर्थांश की दशमलव उपइकाईयां कहलाती है। एक समकोण 100 ग्रैड होता है। एक किलोमीटर को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक मध्याह्न रेखा के साथ चाप के एक सेंटी-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) समुद्री मील (n = 400) का दशमलव अनुरूप है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुजन और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है।
चाप के मिनट	21,600	0°1′	चाप का मिनट (या एमओए, चाप-मिनट, या केवल मिनट) डिग्री का 1/60 होता है। एक समुद्री मील को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक बड़े वृत्त (n = 21,600) के साथ चाप के एक मिनट के रूप में परिभाषित किया गया था। चाप-मिनट 1/60 डिग्री 1/21,600 मोड़ (टर्न) होता है। इसे प्रतीक ( ′ ) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3° 30′, 3 × 60 + 30 = 210 मिनट या 3 + 30/60 = 3.5 डिग्री के बराबर होता है। कभी-कभी दशमलव अंशों के साथ मिश्रित प्रारूप का भी उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए 3° 5.72′ = 3 + 5.72/60 डिग्री।
चाप के सेकंड	1,296,000	0°0′1″	चाप का सेकंड (या चाप-सेकंड, या केवल सेकंड) चाप के एक मिनट का 1/60 और डिग्री का 1/3600 (n = 1,296,000) होता है। चाप-सेकंड (या चाप का सेकंड, या केवल सेकंड) एक चाप-मिनट का 1/60 और एक डिग्री का 1/3600 होता है। इसे प्रतीक ( ″ ) से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3° 7′ 30″ 3 + 7/60 + 30/3600 डिग्री या 3.125 डिग्री के बराबर है।

अन्य वर्णनकर्ता

घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण 1/24 मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° (डिग्री) = $π$ /12 रेड = 1/6 क्वाड = 1/24 मोड़ (टर्न) = 16+2/3 ग्रेड।
(कम्पास) बिंदु या विन्ड (n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का 1/32 होता है। 1 बिंदु = समकोण का 1/8 = 11.25° (डिग्री) = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ (टर्न) 128 तिमाही-अंक के बराबर हो।
पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° (डिग्री) या 2+1/2° (डिग्री) बराबर होती है।
टाऊ, एक मोड़ (टर्न) में रेडियन की संख्या (1 मोड़ (टर्न) = $τ$ रेड), $τ = 2π$ ।
व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° (डिग्री) और 1/60 रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं।
मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिली रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ (टर्न) का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06° (डिग्री) (3.375 से 3.6' (मिनट)) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578° डिग्री (3.43775° (मिनट)) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के 1/6400 से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिली रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है, जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है (2 $π$ /6400 = 0.0009817... ≈ 1/1000)।
पुराने अरब में एक मोड़ (टर्न) को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ (टर्न) 224 का ज़म हो।

सांकेतिक कोण

हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक ऋणात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह प्रायः एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक कोणीय मानो को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास या घुर्णन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है।

द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसकी दोनो रेखाओ और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक रेखा धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दुसरी रेखा या अंतिम रेखा, प्रारंभिक रेखा द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं।

कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° (डिग्री), − 45° (डिग्री) या 315° (डिग्री) के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° (डिग्री) का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° (डिग्री) के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)।

त्रि-विमीय ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक कोणों की दिशा को कुछ निर्देशो के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, उस तल मे जिसमें कोण की किरणें होती हैं, प्रया: कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक सदिश और समतल के लंबवत होता है।

संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° (डिग्री) का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है।

कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके

एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण योग अभिधारणा रखते है। कुछ कोण माप जहां कोण योग अभिधारणा नहीं रखते है, उनमें शामिल हैं:

ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, एक ढाल को प्राय: प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है।
दो रेखाओं के बीच के प्रसार को परिमेय ज्यामिति में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है।
हालांकि शायद ही कभी, कोई त्रिकोणमितीय कार्य के प्रत्यक्ष परिणामों का वर्णन कर सकता है, जैसे कोण की ज्या।

खगोलीय अनुमान

खगोलविद वस्तुओं के स्पष्ट आकार और उनके बीच की दूरी को उनके विचार बिंदु से डिग्री में मापते हैं।हैं।

पृथ्वी से देखे गए सूर्य या चंद्रमा का अनुमानित व्यास 0.5° (डिग्री) है।
हाथ की लंबाई पर छोटी उंगली की अनुमानित चौड़ाई 1° (डिग्री) है।
बांह की लंबाई पर बंद मुट्ठी की अनुमानित चौड़ाई 10° (डिग्री) है।
हाथ की लंबाई पर एक हैंड्सपैन (बालिश्त) की अनुमानित चौड़ाई 20° (डिग्री) है।

ये माप स्पष्ट रूप से विशेष विषय पर निर्भर करती हैं, और उपरोक्त को केवल अंगूठे के अनुमान के नियम के रूप में माना जाना चाहिए।

खगोल विज्ञान में, दाएं उदगम और गिरावट को प्रायः कोणीय इकाइयों में मापा जाता है, जो कि 24 घंटे के दिन के आधार पर समय के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।

इकाई	प्रतीक	डिग्री	रेडियन	वृत्त	अन्य
घंटे	एच (h)	15°	$π$ ⁄12	1⁄24
मिनट	एम (m)	0°15′	$π$ ⁄720	1⁄1,440	1⁄60 घंटा
सेकंड	एस (s)	0°0′15″	$π$ ⁄43200	1⁄86,400	1⁄60 मिनट

वक्रों के बीच कोण

P पर दो वक्रों के बीच के कोण को P पर स्पर्शरेखा A और B के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है।

एक रेखा और एक वक्र (मिश्रित कोण) के बीच के कोण या दो प्रतिच्छेदी वक्रों (वक्रीय कोण) के बीच के कोण को प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखाओ के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। विशेष स्थितियों को विभिन्न नाम (अब शायद ही कभी, यदि कभी इस्तेमाल किया जाता है) दिए गए हैं:— एम्फीसिर्टिक या सिसोइडल, उभयोत्तल; जाइस्ट्रोइडल या सिस्टॉइडल (स्क्रैपिंग के लिए एक उपकरण), अवतल-उत्तल; एम्फीकोएलिक या एंगुलस लन्युलरिस, उभयावतल।^[27]

समद्विभाजक और समद्विभाजक कोण

प्राचीन यूनानी गणितज्ञ केवल एक परकार (कंपास) और पटरी की सहायता से कोण को द्विभाजित करना (इसे समान माप के दो कोणों में विभाजित करना) जानते थे, लेकिन केवल कुछ कोणों को ही समत्रिभाजित कर सकते थे। 1837 में, पियरे वॉन्टजेल ने दिखाया कि अधिकांश कोणों के लिए यह निर्माण नहीं किया जा सकता है।

डॉट उत्पाद और सामान्यीकरण

यूक्लिडियन स्थान में, दो यूक्लिडियन सदिश 'u' और 'v' के बीच का कोण उनके आदिश-गुणनफल और उनकी लंबाई से संबंधित होता है।

\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

यह सूत्र दो समतलो (या वक्रिय सतहों) के बीच के कोण को उनके सामान्य सदिश से और उनके सदिश समीकरणों से तिरछी रेखाओं के बीच के कोण को ज्ञात करने के लिए एक आसान विधि है।

आंतरिक उत्पाद

एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , अर्थात

\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =\cos(\theta )\ \left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|

एक जटिल आंतरिक गुणन स्थान में, उपरोक्त कोज्या के लिए व्यंजक अवास्तविक मान दे सकता है, इसलिए इसे इसके साथ बदल दिया जाता है

\operatorname {Re} \left(\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right)=\cos(\theta )\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

या, अधिक सामान्यतः, स्पष्ट मान का उपयोग करते हुए

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

परवर्ती (लैटर) की परिभाषा सदिश की दिशा को नजरअंदाज करता है और इस प्रकार एक-विमीय सबस्पेस के बीच के कोण का वर्णन करती है $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ तथा $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ सदिश द्वारा विस्तरित $\mathbf {u}$ तथा $\mathbf {v}$ अनुरूप।

उप-स्थानों के बीच कोण

एक-आयामी सबस्पेस के बीच कोण की परिभाषा $\operatorname {span} (\mathbf {u} )$ तथा $\operatorname {span} (\mathbf {v} )$ के द्वारा दिया गया

\left|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \right|=\left|\cos(\theta )\right|\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.

हिल्बर्ट स्पेस में किसी भी परिमित विमा के सबस्पेस तक बढ़ाया जा सकता है। दो सबस्पेस दिए गए हैं, ${\mathcal {U}}$ , ${\mathcal {W}}$ और $\dim({\mathcal {U}}):=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=l$ , यह $k$ कोणों की परिभाषा की ओर ले जाता है, सबस्पेस के बीच के कोणों को कैनोनिकल या प्रमुख कोण कहा जाता है।

रीमैनियन ज्यामिति में कोण

रीमैनियन ज्यामिति में, दो स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर का उपयोग किया जाता है। जहाँ U और V स्पर्शरेखा सदिश हैं और g_ij मीट्रिक टेंसर G के घटक हैं,

\cos \theta ={\frac {g_{ij}U^{i}V^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}U^{i}U^{j}\right|\left|g_{ij}V^{i}V^{j}\right|}}}

अतिपरवलयिक कोण

एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के मुख के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक स्थिति में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब चक्रीय और अतिपरवलयिक तर्क को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो चक्रीय वाले अतिपरवलयिक तर्क के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस वयन को 'लियोनहार्ड यूलर' द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया गया था।

भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण

भूगोल में, भौगोलिक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग करके पृथ्वी पर किसी भी बिंदु के स्थान पता लागया जा सकता है। यह प्रणाली भूमध्य रेखा और (प्रायः) ग्रिनिच याम्योत्तर को संदर्भ के रूप में उपयोग करते हुए, पृथ्वी के केंद्र में अंतरित कोणों के संदर्भ में किसी भी स्थान के अक्षांश और देशांतर को निर्दिष्ट करती है।

खगोल विज्ञान में, खगोलीय क्षेत्र पर एक दिए गए बिंदु (अर्थात, एक खगोलीय वस्तु की स्पष्ट स्थिति) को कई खगोलीय समन्वय प्रणालियों में से किसी का उपयोग करके पहचाना जा सकता है। खगोलविद पृथ्वी के केंद्र के माध्यम से दो रेखाओं की कल्पना करके दो तारों के कोणीय पृथक्करण को मापते हैं, जिनमें से प्रत्येक एक तारे को काटता है। उन रेखाओं के बीच के कोण को मापा जा सकता है और यह दो तारों के बीच कोणीय पृथक्करण है।

भूगोल और खगोल विज्ञान दोनों में, देखने की दिशा को एक ऊर्ध्वाधर कोण के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है जैसे कि क्षितिज के संबंध में ऊंचाई के साथ-साथ उत्तर के संबंध में दिगंश होता है।

खगोलविद वस्तुओं के स्पष्ट आकार को कोणीय व्यास के रूप में भी मापते हैं। उदाहरण के लिए, जब पृथ्वी से देखने पर चंद्रमा का कोणीय व्यास लगभग 0.5° (डिग्री) होता है। इस तरह के कोणीय माप को दूरी/आकार अनुपात में बदलने के लिए छोटे-कोण सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

कोण मापने का यंत्र
कोणीय आँकड़े (माध्य, मानक विचलन)
कोण द्विभाजक
कोणीय त्वरण
कोणीय व्यास
कोणीय गति
तर्क (जटिल विश्लेषण)
ज्योतिषीय पहलू
केंद्रीय कोण
घड़ी कोण की समस्या
दशमलव डिग्री
डायहेड्रल कोण
बाहरी कोण प्रमेय
सुनहरा कोण
महान सर्कल दूरी
खुदा हुआ कोण
अपरिमेय कोण
चरण (लहरें)
चाँदा
ठोस कोण
गोलाकार कोण
उत्कृष्ट कोण
ट्राइसेक्शन
जेनिथ कोण

↑ This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius $r$ , चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।^[18]

संदर्भ

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ग्रंथ सूची

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This article incorporates text from a publication now in the public domain: Chisholm, Hugh, ed. (1911), "Angle", Encyclopædia Britannica (in English), vol. 2 (11th ed.), Cambridge University Press, p. 14

बाहरी संबंध

"Angle" , Encyclopædia Britannica, vol. 2 (9th ed.), 1878, pp. 29–30

[19] This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius $r$ , चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।^[18]

[1] Sidorov 2001

[2] Slocum 2007

[3] Chisholm 1911; Heiberg 1908, pp. 177–178

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[tb-7] Wong & Wong 2009, pp. 161–163

[8] Euclid. The Elements. प्रस्ताव I:13.

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[28] Chisholm 1911; Heiberg 1908, p. 178

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 [[:en:Euclidean_geometry|यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का [[शीर्ष (ज्यामिति)|शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्)]]  कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref> दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।
-कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
+कोण का उपयोग कोण या [[घूर्णन]] के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक [[:en:Curve#Differentiable_arc|वृत्ताकार चाप]] की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
 ==इतिहास और व्युत्पत्ति ==
 कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref>
-यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग '<nowiki/>'''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
+यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। '<nowiki/>'''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग '<nowiki/>'''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक [[:en:Line_(geometry)|सीधी रेखा]] से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref>
 == कोणों की पहचान ==
 गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
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 [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]]
 जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।
-* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
+* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>  उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब ''''थेल्स'''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
 :* सभी समकोण समान होते हैं।
 :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।

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Revision as of 17:33, 18 July 2022

Contents

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोणों की पहचान

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

तुल्यता कोण जोड़े

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण जोड़े का संयोजन

बहुभुज-संबंधित कोण

समतल से संबंधित कोण

कोण योग अभिधारणा

इकाइयां

अन्य वर्णनकर्ता

सांकेतिक कोण

कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके

खगोलीय अनुमान

वक्रों के बीच कोण

समद्विभाजक और समद्विभाजक कोण

डॉट उत्पाद और सामान्यीकरण

आंतरिक उत्पाद

उप-स्थानों के बीच कोण

रीमैनियन ज्यामिति में कोण

अतिपरवलयिक कोण

भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण

यह भी देखें

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संदर्भ

ग्रंथ सूची

बाहरी संबंध

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Revision as of 17:33, 18 July 2022

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोणों की पहचान

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

तुल्यता कोण जोड़े

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण जोड़े का संयोजन

बहुभुज-संबंधित कोण

समतल से संबंधित कोण

कोण योग अभिधारणा

इकाइयां

अन्य वर्णनकर्ता

सांकेतिक कोण

कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके

खगोलीय अनुमान

वक्रों के बीच कोण

समद्विभाजक और समद्विभाजक कोण

डॉट उत्पाद और सामान्यीकरण

आंतरिक उत्पाद

उप-स्थानों के बीच कोण

रीमैनियन ज्यामिति में कोण

अतिपरवलयिक कोण

भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण

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