आईईईई 754-1985: Difference between revisions

'''आईईईई 754-1985'''<ref>{{Cite book|title=बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए आईईईई मानक|year=1985|doi=10.1109/IEEESTD.1985.82928|isbn=0-7381-1165-1}}</ref> [[कंप्यूटर]] में [[ तैरनेवाला स्थल |फ्लोटिंग-पॉइंट]] नंबर्स को रिप्रेजेंट करने के लिए इंडस्ट्री [[तकनीकी मानक|स्टैण्डर्ड]] था, जिसे सामान्यतः 1985 में स्वीकार किया गया था और 2008 में [[IEEE 754-2008|आईईईई 754-2008]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, और फिर 2019 में माइनर वर्ज़न [[IEEE 754-2019|आईईईई 754-2019]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।<ref>{{Cite web|url=http://754r.ucbtest.org/background/|title=ANSI/IEEE Std 754-2019|website=754r.ucbtest.org|access-date=2019-08-06}}</ref> अपने 23 वर्षों के समय में, यह फ़्लोटिंग-पॉइंट कैलकुलेशन के लिए सबसे वाइड रूप से उपयोग किया जाने वाला प्रारूप था। इसे सॉफ़्टवेयर में, फ़्लोटिंग-पॉइंट [[ पुस्तकालय (कंप्यूटिंग) |लाइब्रेरीज़]] के रूप में, और हार्डवेयर में, कई [[ CPU |सीपीयू]] और [[फ़्लोटिंग-पॉइंट इकाई|एफपीयू]] के [[निर्देश (कंप्यूटर विज्ञान)|इंस्ट्रक्शन]] में इम्प्लीमेंट किया गया था। आईईईई 754-1985 बनने वाले ड्राफ्ट को इम्प्लीमेंट करने वाला प्रथम इंटीग्रेटेड सर्किट [[इंटेल 8087]] था।

आईईईई 754-1985 बाइनरी में नंबर्स को रिप्रेजेंट करता है, जो एक्यूरेसी के चार लेवल्स की परिभाषा प्रदान करता है, जिनमें से दो सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं:

!पूर्ण एक्यूरेसी से रेंज करें

स्टैण्डर्ड पॉजिटिव और नेगेटिव इनफाइनाइट के लिए रिप्रेजेंट को भी परिभाषित करता है, [[नकारात्मक शून्य|नेगेटिव शून्य]], [[शून्य से विभाजन]] जैसे अमान्य परिणामों को सुरक्षित करने के लिए पांच एक्सेप्शन, उन एक्सेप्शन्स का रिप्रेजेंट करने के लिए विशेष मान जिन्हें [[NaN]] कहा जाता है, ऊपर दिखाए गए छोटी नंबर्स का रिप्रेजेंट करने के लिए [[असामान्य संख्या|डिनॉर्मल नंबर्स]], और चार गोल मोड है।

==नंबर्स का रिप्रेजेंट==

[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg|right|frame|संख्या 0.15625 को सिंगल-त्रुटिहीन आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए टेक्स्ट देखें। ]]

[[Image:IEEE 754 Double Floating Point Format.svg|right|frame|64 बिट आईईईई 754 में तीन क्षेत्र फ़्लोट होते हैं।]]आईईईई 754 प्रारूप में फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों में तीन क्षेत्र होते हैं: [[साइन बिट]], बायस्ड घातांक और अंश। निम्नलिखित उदाहरण प्रत्येक का अर्थ बताता है।

दशमलव संख्या 0.15625₁₀ बाइनरी में 0.00101₂ (अर्थात् 1/8 + 1/32) प्रदर्शित किया गया है। (अंकाक्षर संख्या [[मूलांक]] प्रदर्शित करते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां नंबर्स को दशमलव बिंदु के बाईं ओर अन्य-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस संख्या को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर सिंगल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:

अब हम भिन्न और घातांक को पढ़ सकते हैं: भिन्न .01₂ है और घातांक −3 है।

जैसा कि चित्रों में प्रदर्शित किया गया है, आईईईई 754 में इस संख्या का रिप्रेजेंट करने वाले तीन क्षेत्र हैं:

: चिन्ह = 0, क्योंकि संख्या पॉजिटिव है (1 नेगेटिव प्रदर्शित करता है।)।

: बायस्ड घातांक = −3 + बायस है। 'सिंगल एक्यूरेसी' में, बायस '127' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 124 है; 'डबल प्रिसिजन' में, बायस '1023' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 1020 है।

: अपूर्णांक = .01000…₂.

आईईईई 754 घातांक में [[ऑफसेट बाइनरी]] जोड़ता है जिससे कि कई स्थितियों में नंबर्स की अपेक्षा उसी हार्डवेयर द्वारा सरलता से की जा सके जो हस्ताक्षरित 2-पूरक पूर्णांकों की अपेक्षा करता है। बायस्ड घातांक का उपयोग करते हुए, दो पॉजिटिव फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स में से छोटी संख्या चिह्न और परिमाण पूर्णांक के समान क्रम के पश्चात बड़ी संख्या से कम निकलती है। यदि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स के भिन्न-भिन्न चिह्न हैं, तो चिह्न-और-परिमाण अपेक्षा बायस्ड घातांक के साथ भी कार्य करती है। चूँकि, यदि दोनों बायस्ड-घातांक फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर्स नेगेटिव हैं, तो क्रम को विपरीत कर दिया जाना चाहिए। यदि घातांक को, मान लीजिए, 2-पूरक संख्या के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, तो यह देखने के लिए अपेक्षा करना कि दो नंबर्स में से कौन सी बड़ी है, सुविधाजनक नहीं होता है।

अग्रणी 1 बिट को विस्थापित कर दिया गया है क्योंकि शून्य को त्यागकर सभी नंबर्स अग्रणी 1 से प्रारंभ होती हैं; अग्रणी 1 अंतर्निहित है और वास्तव में इसे संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है जो मुफ़्त में अतिरिक्त एक्यूरेसी प्रदान करता है।

शून्य संख्या को विशेष रूप से प्रदर्शित किया गया है:

: बायस्ड घातांक = 0 है।

: अपूर्णांक = 0 है।

=== असामान्यीकृत नंबर्स ===

ऊपर वर्णित संख्या निरूपण को सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित अग्रणी बाइनरी अंक 1 है। अंडरफ्लो होने पर एक्यूरेसी की हानि को कम करने के लिए, आईईईई 754 में सामान्यीकृत रिप्रेजेंट में संभव से छोटे अंशों का रिप्रेजेंट करने की क्षमता सम्मिलित है। अंतर्निहित अग्रणी अंक 0 बनाता है। ऐसी नंबर्स को असामान्य नंबर्स कहा जाता है। उनमें सामान्यीकृत संख्या के रूप में कई [[महत्वपूर्ण अंक]] सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु जब किसी ऑपरेशन का परिणाम शून्य नहीं होता है, किन्तु सामान्यीकृत संख्या द्वारा प्रदर्शित किये जाने के लिए शून्य के अधिक निकट होता है, तो वे एक्यूरेसी की क्रमिक हानि को सक्षम करते हैं।

असामान्य संख्या को सभी 0 बिट्स के बायस्ड घातांक के साथ प्रदर्शित किया जाता है, जो सिंगल एक्यूरेसी में −126 के घातांक का रिप्रेजेंट करता है (−127 नहीं), या दोहरी एक्यूरेसी में −1022 (−1023 नहीं) का रिप्रेजेंट करता है।<ref>{{cite book|last=Hennessy|title=कंप्यूटर संगठन और डिज़ाइन|year=2009|url=https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779|url-access=limited|publisher=Morgan Kaufmann|page=[https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779/page/n291 270]|isbn=9780123744937 }}</ref> इसके विपरीत,  सामान्य संख्या का रिप्रेजेंट करने वाला सबसे छोटा बायस्ड घातांक 1 है (नीचे उदाहरण देखें)।

==गैर-नंबर्स का रिप्रेजेंट ==

किसी कैलकुलेशन की अनंतता या अमान्य परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए बायस्ड-घातांक क्षेत्र सभी 1 बिट्स से पूर्ण है।

: बायस्ड घातांक = सभी 1 बिट्स है।

: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के कुछ ऑपरेशन अमान्य हैं, जैसे नेगेटिव संख्या का वर्गमूल लेता है। किसी अमान्य परिणाम तक पहुंचने की क्रिया को फ़्लोटिंग-पॉइंट अपवाद कहा जाता है। असाधारण परिणाम को "नॉट ए नंबर" के लिए NaN नामक विशेष कोड द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। आईईईई 754-1985 में सभी NaN का प्रारूप यह है:

: बायस्ड घातांक = सभी 1 बिट्स है।

: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स को त्यागकर कुछ भी होता है (क्योंकि सभी 0 बिट्स इनफाइनाइट का रिप्रेजेंट करते हैं)।

== श्रेणी और एक्यूरेसी ==

[[File:IEEE 754 relative precision.svg|thumb|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित संख्या का उपयोग करके दशमलव रिप्रेजेंट की अपेक्षा में सिंगल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) नंबर्स की सापेक्ष एक्यूरेसी है। सापेक्ष एक्यूरेसी को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के रिप्रेजेंट में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात  x और अगले रिप्रेजेंट योग्य संख्या के मध्य का अंतर है।]]एक्यूरेसी को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक नंबर्स के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation |title=Computer Arithmetic |author1=Hossam A. H. Fahmy |author2=Shlomo Waser |author3=Michael J. Flynn |url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |access-date=2011-01-02 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |archive-date=2010-10-08}}</ref>

सिंगल-त्रुटिहीन नंबर्स 32 बिट्स पर व्याप्त हैं। सिंगल एक्यूरेसी में:

* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (घातक क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव सामान्यीकृत नंबर्स (घातक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (घातक क्षेत्र में 254 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:

सिंगल एक्यूरेसी में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:

! वास्तविक घातांक (अनबायस्ड)

! घातांक (बायस्ड)

उदाहरण के लिए, 16,777,217 को 32-बिट फ़्लोट के रूप में एन्कोड नहीं किया जा सकता क्योंकि इसे 16,777,216 पर पूर्णांकित किया जाएगा। इससे ज्ञात होता है कि फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित लेखांकन सॉफ़्टवेयर के लिए अनुपयुक्त क्यों है। चूँकि, रिप्रेजेंट योग्य सीमा के अंदर सभी पूर्णांक जो 2 की शक्ति हैं, उन्हें बिना गोलाई के 32-बिट फ़्लोट में संग्रहीत किया जा सकता है।

=== दोहरी एक्यूरेसी ===

डबल-त्रुटिहीन नंबर्स 64 बिट्स पर व्याप्त हैं। दोहरी एक्यूरेसी में:

* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं

* शून्य के निकटतम पॉजिटिव और नेगेटिव सामान्यीकृत नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित पॉजिटिव और परिमित नेगेटिव नंबर्स (एक्सप क्षेत्र में 2046 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:

दोहरी एक्यूरेसी में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:

! वास्तविक घातांक (अनबायस्ड)

! घातांक (बायस्ड)

'''विस्तारित प्रारूप'''

स्टैण्डर्ड राउंड-ऑफ त्रुटियों को कम करने के लिए, अंतिम परिणाम के लिए आवश्यक उच्च एक्यूरेसी पर आंतरिक कैलकुलेशन करने के लिए विस्तारित प्रारूप का उपयोग करने का अनुरोध करता है: स्टैण्डर्ड केवल ऐसे प्रारूपों के लिए न्यूनतम एक्यूरेसी और घातांक आवश्यकताओं को निर्दिष्ट करता है। [[x87]] 80-बिट विस्तारित प्रारूप सबसे अधिक कार्यान्वित विस्तारित प्रारूप है जो इन आवश्यकताओं को पूर्ण करता है।

यहां सिंगल-त्रुटिहीन आईईईई 754 अभ्यावेदन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

! वास्तविक घातांक

! घातांक (बायस्ड)

! घातांक क्षेत्र

! अपूर्णांक क्षेत्र

! मान

| सबसे छोटी [[Denormal number|असामान्यीकृत संख्या]]

| "मध्य" असामान्यीकृत संख्या

| सबसे बड़ी असामान्यीकृत संख्या