सामान्य क्रम: Difference between revisions
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:<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math> | :<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math> | ||
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | :<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | ||
को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1</math>। | को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अतः हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1</math>। | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। यह <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>: | 1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। इस प्रकार से यह <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>: | ||
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> सामान्य क्रम है। | :<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> सामान्य क्रम है। | ||
अभिव्यक्ति <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> को नहीं | अभिव्यक्ति <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> को नहीं परिवर्तित किया गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक <math>(\hat{b}^\dagger)</math> स्थिति से ही विलोपन संक्रियक <math>(\hat{b})</math> के बाईं ओर है। | ||
2. एक अधिक रोचक उदाहरण <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>: | 2. एक अधिक रोचक उदाहरण <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>: | ||
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===एकाधिक बोसॉन=== | ===एकाधिक बोसॉन=== | ||
यदि हम अब <math>N</math> विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | यदि हम अब <math>N</math> विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | ||
* <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: | * <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> बोसॉन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{b}_i</math>: | * <math>\hat{b}_i</math>: <math>i^{th}</math> बोसॉन का विलोपन संक्रियक। | ||
यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>. | यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>. | ||
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:<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | :<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | ||
===बोसोनिक संक्रियक फलन=== | ===बोसोनिक संक्रियक फलन=== | ||
अधिष्ठान संख्या संक्रियक <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math> के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन <math>f(\hat n)</math> का सामान्य क्रम , [[टेलर श्रृंखला]] के अतिरिक्त [[ भाज्य शक्ति |भाज्य घात]]<math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात <math>\hat n^{k}</math><ref name="Hucht">{{cite journal | last1=König | first1=Jürgen | last2=Hucht | first2=Alfred | title=बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार| journal=SciPost Physics | publisher=Stichting SciPost | volume=10 | issue=1 | date=2021-01-13 | issn=2542-4653 | doi=10.21468/scipostphys.10.1.007 | page=007| arxiv=2008.11139 | bibcode=2021ScPP...10....7K | s2cid=221293056 | doi-access=free }}</ref> सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) [[घातांक]] <math>\hat n^{\underline{k}}</math> के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं, | इस प्रकार से अधिष्ठान संख्या संक्रियक <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math> के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन <math>f(\hat n)</math> का सामान्य क्रम, [[टेलर श्रृंखला]] के अतिरिक्त [[ भाज्य शक्ति |भाज्य घात]]<math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात <math>\hat n^{k}</math><ref name="Hucht">{{cite journal | last1=König | first1=Jürgen | last2=Hucht | first2=Alfred | title=बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार| journal=SciPost Physics | publisher=Stichting SciPost | volume=10 | issue=1 | date=2021-01-13 | issn=2542-4653 | doi=10.21468/scipostphys.10.1.007 | page=007| arxiv=2008.11139 | bibcode=2021ScPP...10....7K | s2cid=221293056 | doi-access=free }}</ref> सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) [[घातांक]] <math>\hat n^{\underline{k}}</math> के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं, | ||
<math> | <math> | ||
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===एकल फर्मियन=== | ===एकल फर्मियन=== | ||
एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं: | इस प्रकार से एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं: | ||
* <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | * <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | ||
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1. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं: | 1. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं: | ||
:<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं | यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित किया गया है। इस प्रकार से विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो संक्रियकों का क्रम परिवर्तित करना होता है: | ||
:<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
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यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | ||
2. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए: | 2. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। इस प्रकार से उदाहरण के लिए: | ||
:<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | :<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | ||
===एकाधिक फर्मियन=== | ===एकाधिक फर्मियन=== | ||
<math>N</math> अलग-अलग फर्मियन के लिए <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | इस प्रकार से <math>N</math> अलग-अलग फर्मियन के लिए <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | ||
* <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | * <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{f}_i</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का विलोपन संक्रियक। | * <math>\hat{f}_i</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का विलोपन संक्रियक। | ||
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जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है। | जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है। | ||
इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: | इन्हें इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है: | ||
:<math>\hat{f}_i^\dagger \, \hat{f}_j^\dagger = -\hat{f}_j^\dagger \, \hat{f}_i^\dagger </math> | :<math>\hat{f}_i^\dagger \, \hat{f}_j^\dagger = -\hat{f}_j^\dagger \, \hat{f}_i^\dagger </math> | ||
:<math>\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i </math> | :<math>\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i </math> | ||
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1. दो अलग-अलग फर्मियन (<math>N=2</math>) के लिए हमारे निकट | 1. दो अलग-अलग फर्मियन (<math>N=2</math>) के लिए हमारे निकट | ||
:<math> : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> है। | :<math> : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> है। | ||
यहां अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं | यहां अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं परिवर्तित होता है। | ||
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | ||
यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो संक्रियकों के क्रम को आपस में | यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो संक्रियकों के क्रम को आपस में परिवर्तित कर दिया है। | ||
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | ||
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को संतुष्ट कर सकता है परंतु हमारे निकट | को संतुष्ट कर सकता है परंतु हमारे निकट | ||
:<math>\langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0</math> है। | :<math>\langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0</math> है। | ||
क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य क्रमित संक्रियक विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो मूल अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: <math>\langle 0 |\hat{H}|0\rangle = 0</math>. | क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य क्रमित संक्रियक विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इस प्रकार से यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो मूल अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: <math>\langle 0 |\hat{H}|0\rangle = 0</math>. | ||
===मुक्त क्षेत्र=== | ===मुक्त क्षेत्र=== | ||
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:<math>:\phi(x)\chi(y):\,\,=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle</math> | :<math>:\phi(x)\chi(y):\,\,=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle</math> | ||
जहां <math>|0\rangle</math> फिर से निर्वात स्थिति है। जैसे-जैसे y, x के निकट पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक सामान्यतः सीमा में | जहां <math>|0\rangle</math> फिर से निर्वात स्थिति है। जैसे-जैसे y, x के निकट पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक सामान्यतः सीमा में परिवर्तित कर जाता है, परंतु उनके बीच के अंतर की ठीक रूप से परिभाषित सीमा होती है। उदाहरण के लिए यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। | ||
===विक की प्रमेय=== | ===विक की प्रमेय=== | ||
| Line 232: | Line 232: | ||
==वैकल्पिक परिभाषाएँ== | ==वैकल्पिक परिभाषाएँ== | ||
सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम क्षेत्र को दो भागों (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) <math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math> में विभाजित करना सम्मिलित है। क्षेत्र के गुणनफल में, क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस प्रकार स्थानांतरित किया जाता है कि वे सदैव सभी <math>\phi^-(x)</math> भागों के बाईं ओर रहें। लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य स्थिति में, <math>\phi^+(x)</math> में मात्र निर्माण संक्रियक सम्मिलित होते हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> में मात्र विलोपन संक्रियक होते हैं। चूँकि यह गणितीय तत्समक है, कोई भी व्यक्ति किसी भी प्रकार से क्षेत्र को विभाजित कर सकता है। यद्यपि, इसे एक उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि क्षेत्र के किसी भी संयोजन के सामान्य क्रमित गुणनफल में शून्य अपेक्षा मान | सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम क्षेत्र को दो भागों (इस प्रकार से उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) <math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math> में विभाजित करना सम्मिलित है। क्षेत्र के गुणनफल में, क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस प्रकार स्थानांतरित किया जाता है कि वे सदैव सभी <math>\phi^-(x)</math> भागों के बाईं ओर रहें। लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य स्थिति में, <math>\phi^+(x)</math> में मात्र निर्माण संक्रियक सम्मिलित होते हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> में मात्र विलोपन संक्रियक होते हैं। चूँकि यह गणितीय तत्समक है, कोई भी व्यक्ति किसी भी प्रकार से क्षेत्र को विभाजित कर सकता है। यद्यपि, इसे एक उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि क्षेत्र के किसी भी संयोजन के सामान्य क्रमित गुणनफल में शून्य अपेक्षा मान | ||
:<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math> हो। | :<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math> हो। | ||
व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> के सभी दिक्परिवर्तक (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए प्रति-दिक्परिवर्तक) सभी c-संख्या हैं। इन दो गुणों का अर्थ है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य विधि से लागू कर सकते हैं, क्षेत्र के समय-क्रम वाले गुणनफलों के अपेक्षित मानों को c-संख्या युग्म, संकुचन के गुणनफलों में | व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> के सभी दिक्परिवर्तक (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए प्रति-दिक्परिवर्तक) सभी c-संख्या हैं। इन दो गुणों का अर्थ है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य विधि से लागू कर सकते हैं, क्षेत्र के समय-क्रम वाले गुणनफलों के अपेक्षित मानों को c-संख्या युग्म, संकुचन के गुणनफलों में परिवर्तन कर सकते हैं। इस सामान्यीकृत समायोजन में, संकुचन को समय-क्रमित गुणनफल और क्षेत्र के युग्मों के सामान्य क्रमित गुणनफल के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|ऊष्मीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस स्थिति में रुचि के अपेक्षित मान सांख्यिकीय समूह हैं, सभी स्थितियों पर <math>\exp (-\beta \hat{H})</math> द्वारा भारित संकेत। उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम प्रसंवादी दोलक के लिए हमारे निकट है कि संख्या संक्रियक का ऊष्मीय अपेक्षा मान मात्र बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|ऊष्मीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस स्थिति में रुचि के अपेक्षित मान सांख्यिकीय समूह हैं, सभी स्थितियों पर <math>\exp (-\beta \hat{H})</math> द्वारा भारित संकेत। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम प्रसंवादी दोलक के लिए हमारे निकट है कि संख्या संक्रियक का ऊष्मीय अपेक्षा मान मात्र बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | ||
:<math>\langle\hat{b}^\dagger \hat{b}\rangle | :<math>\langle\hat{b}^\dagger \hat{b}\rangle | ||
Revision as of 22:22, 6 December 2023
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः सामान्य क्रम (जिसे विक क्रम भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य क्रमण (जिसे विक क्रमण भी कहा जाता है) कहा जाता है। असामान्य क्रम और असामान्य क्रमण को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है।
क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मानों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।
सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण होता है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।
संकेतन
यदि निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो का सामान्य क्रमबद्ध रूप द्वारा दर्शाया जाता है।
एक वैकल्पिक संकेतन है।
ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है।
बोसोन
बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।
एकल बोसॉन
यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं:
- : बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
- : बोसॉन का विलोपन संक्रियक।
ये दिक्परिवर्तक संबंध
को संतुष्ट करते हैं, जहां दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अतः हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: ।
उदाहरण
1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। इस प्रकार से यह :