सामान्य क्रम: Difference between revisions
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[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का | [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः सामान्य क्रम (जिसे विक क्रम भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य क्रमण (जिसे विक क्रमण भी कहा जाता है) कहा जाता है। असामान्य क्रम और असामान्य क्रमण को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है। | ||
क्वांटम | क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक [[अपेक्षा मूल्य|अपेक्षा मानों]] पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है। | ||
सामान्य क्रम की प्रक्रिया [[क्वांटम यांत्रिकी]] [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय | सामान्य क्रम की प्रक्रिया [[क्वांटम यांत्रिकी]] [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। | ||
== | ==संकेतन== | ||
यदि <math>\hat{O}</math> निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो <math>\hat{O}</math> का सामान्य क्रमबद्ध रूप <math>\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। | |||
एक वैकल्पिक संकेतन | एक वैकल्पिक संकेतन <math> \mathcal{N}(\hat{O})</math> है। | ||
ध्यान दें कि सामान्य | ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है। | ||
==बोसोन== | ==बोसोन== | ||
बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और | बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे। | ||
===एकल बोसॉन=== | ===एकल बोसॉन=== | ||
यदि हम | यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं: | ||
* <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण | * <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{b}</math>: बोसॉन का | * <math>\hat{b}</math>: बोसॉन का विलोपन संक्रियक। | ||
ये [[कम्यूटेटर]] संबंध | ये [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] संबंध | ||
:<math>\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0</math> | :<math>\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0</math> | ||
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math> | :<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math> | ||
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | :<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | ||
को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1</math>। | |||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. हम | 1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। यह <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>: | ||
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} | :<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> सामान्य क्रम है। | ||
अभिव्यक्ति <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> को नहीं बदला गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक <math>(\hat{b}^\dagger)</math> स्थिति से ही विलोपन संक्रियक <math>(\hat{b})</math> के बाईं ओर है। | |||
2. अधिक | 2. एक अधिक रोचक उदाहरण <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>: | ||
:<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} | :<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} </math> का सामान्य क्रम है। | ||
यहां सामान्य | यहां सामान्य क्रमण क्रिया ने <math>\hat{b}</math> के बाईं ओर <math>\hat{b}^\dagger</math> रखकर प्रतिबंधों को फिर से व्यवस्थित किया है। | ||
इन दोनों परिणामों को | इन दोनों परिणामों को | ||
:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} + 1 = {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} \; + 1 | :<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger \, \hat{b} + 1 = {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} \; + 1</math> प्राप्त करने के लिए <math>\hat{b}</math> और <math>\hat{b}^\dagger</math> द्वारा पालन किए गए दिक्परिवर्तक संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है। | ||
या | या | ||
:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger - {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1 | :<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger - {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1</math>। | ||
इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | ||
3. एकाधिक | 3. एकाधिक संक्रियकों वाला उदाहरण है: | ||
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math> | :<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math> | ||
4. सरल उदाहरण से | 4. सरल उदाहरण से ज्ञात होता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी संक्रियकों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर विधि से नहीं बढ़ाया जा सकता है: | ||
:<math> {:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:} = {:\,}1 + \hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = {:\,}1{\,:} + {:\,}\hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = | :<math> {:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:} = {:\,}1 + \hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = {:\,}1{\,:} + {:\,}\hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = | ||
1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}={:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:}</math> | 1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}={:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:}</math> | ||
निहितार्थ यह है कि सामान्य | निहितार्थ यह है कि सामान्य क्रमण संक्रियकों पर रैखिक फलन नहीं है। | ||
===एकाधिक बोसॉन=== | ===एकाधिक बोसॉन=== | ||
यदि हम अब <math>N</math> विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | |||
* <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का निर्माण | * <math>\hat{b}_i^\dagger</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{b}_i</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का | * <math>\hat{b}_i</math>: द <math>i^{th}</math> बोसॉन का विलोपन संक्रियक। | ||
यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>. | यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>. | ||
| Line 67: | Line 67: | ||
:<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0 </math> | :<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0 </math> | ||
:<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij} </math> | :<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij} </math> | ||
जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] को दर्शाते है। | |||
इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: | इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
:<math>\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.</math> | :<math>\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.</math> | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. दो | 1. दो भिन्न बोसॉन (<math>N=2</math>) के लिए हमारे निकट | ||
:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math> | :<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math> | ||
:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math> | :<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math> है। | ||
2. तीन | 2. तीन भिन्न बोसॉन (<math>N=3</math>) के लिए हमारे निकट | ||
:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3</math> | :<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3</math> है। | ||
ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) <math>\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2</math> जिस क्रम में हम | ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) <math>\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2</math> जिस क्रम में हम विलोपन संक्रियक लिखते हैं, वह कोई अंतर नहीं रखता है। | ||
:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | :<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | ||
:<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | :<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | ||
===बोसोनिक | ===बोसोनिक संक्रियक फलन=== | ||
अधिष्ठान संख्या संक्रियक <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math> के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन <math>f(\hat n)</math> का सामान्य क्रम , [[टेलर श्रृंखला]] के अतिरिक्त [[ भाज्य शक्ति |भाज्य घात]]<math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात <math>\hat n^{k}</math><ref name="Hucht">{{cite journal | last1=König | first1=Jürgen | last2=Hucht | first2=Alfred | title=बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का न्यूटन श्रृंखला विस्तार| journal=SciPost Physics | publisher=Stichting SciPost | volume=10 | issue=1 | date=2021-01-13 | issn=2542-4653 | doi=10.21468/scipostphys.10.1.007 | page=007| arxiv=2008.11139 | bibcode=2021ScPP...10....7K | s2cid=221293056 | doi-access=free }}</ref> सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) [[घातांक]] <math>\hat n^{\underline{k}}</math> के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं, | |||
यह दिखाना | |||
<math> | |||
\tilde f(\hat n) = \sum_{k=0}^\infty \Delta_n^k \tilde f(0) \, \frac{\hat n^{\underline{k}}}{k!} | |||
</math> | |||
जैसे कि एक संक्रियक फलन <math>\tilde f(\hat n)</math> का न्यूटन श्रृंखला विस्तार | |||
: <math> | : <math> | ||
\hat{n}^{\underline{k}} | \hat{n}^{\underline{k}} | ||
| Line 93: | Line 96: | ||
= {:\,}\hat n^k{\,:}, | = {:\,}\hat n^k{\,:}, | ||
</math> | </math> | ||
<math>n=0</math> पर <math>k</math>-वें [[आगे का अंतर|अग्र अंतर]] <math>\Delta_n^k \tilde f(0)</math> के साथ, सदैव सामान्य क्रम में होता है। | |||
यहां, आइगेनमान समीकरण <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle</math> <math>\hat n</math> और <math>n</math> से संबंधित है। | |||
परिणामस्वरूप, | परिणामस्वरूप, यादृच्छिक फलन <math>f(\hat n)</math> की सामान्य क्रम वाली टेलर श्रृंखला संबंधित फलन <math>\tilde f(\hat n)</math> की न्यूटन श्रृंखला के बराबर होती है, जो | ||
: <math> | : <math> | ||
\tilde f(\hat n) = {:\,} f(\hat n) {\,:} | \tilde f(\hat n) = {:\,} f(\hat n) {\,:} | ||
</math> | </math> को पूर्ण करती है, | ||
यदि | यदि <math>f(x)</math> की टेलर श्रृंखला के श्रृंखला गुणांक, निरंतर <math>x</math> के साथ, <math>\tilde f(n)</math> की न्यूटन श्रृंखला के गुणांक से मेल खाते हैं, पूर्णांक <math>n</math>, | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 114: | Line 114: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
साथ <math>k</math>- | के साथ, <math>x=0</math> पर <math>k</math>-वें [[आंशिक व्युत्पन्न]] <math>\partial_x^k f(0)</math> के साथ। फलन <math>f</math> और <math>\tilde f</math> <math>\mathcal N[f]</math> के अनुसार तथाकथित [[सामान्य-क्रम परिवर्तन]] | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 124: | Line 123: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
के माध्यम से संबंधित हैं, <math>\mathcal M</math> के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, विवरण के लिए देखें।<ref name="Hucht" /> | |||
==फर्मिअन्स== | ==फर्मिअन्स== | ||
फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी- | फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिरैक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे। | ||
===एकल फर्मियन=== | ===एकल फर्मियन=== | ||
एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो | एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं: | ||
* <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण | * <math>\hat{f}^\dagger</math>: फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{f}</math>: फर्मियन का | * <math>\hat{f}</math>: फर्मियन का विलोपन संक्रियक। | ||
ये [[एंटीकम्यूटेटर]] संबंधों | ये [[एंटीकम्यूटेटर|प्रति दिक्परिवर्तक]] संबंधों | ||
:<math>\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0</math> | :<math>\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0</math> | ||
:<math>\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0</math> | :<math>\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0</math> | ||
:<math>\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1</math> | :<math>\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1</math> | ||
को संतुष्ट करते हैं, जहां <math>\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA</math> प्रति दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। इन्हें | |||
:<math>\hat{f}^\dagger\, \hat{f}^\dagger = 0 </math> | :<math>\hat{f}^\dagger\, \hat{f}^\dagger = 0 </math> | ||
:<math>\hat{f} \,\hat{f} = 0 </math> | :<math>\hat{f} \,\hat{f} = 0 </math> | ||
:<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} | :<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} </math> के रूप में पुनः लिखा जा सकता है। | ||
फर्मियोनिक निर्माण और | फर्मियोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें निकटवर्ती संक्रियकों के बीच दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए ऋण चिह्न मिलता है। | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. हम | 1. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं: | ||
:<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
यह अभिव्यक्ति | यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो संक्रियकों का क्रम बदलना होता है: | ||
:<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
इन्हें | |||
:<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger \,= 1 - \hat{f}^\dagger \, \hat{f} = 1 + :\hat{f} \,\hat{f}^\dagger :</math> | :<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger \,= 1 - \hat{f}^\dagger \, \hat{f} = 1 + :\hat{f} \,\hat{f}^\dagger :</math> | ||
या | या | ||
:<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger - : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1 | :<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger - : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1</math> दिखाने के लिए, दिक्परिवर्तक संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है। | ||
यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक | यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | ||
2. किसी भी अधिक जटिल | 2. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए: | ||
:<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | :<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | ||
===एकाधिक फर्मियन=== | ===एकाधिक फर्मियन=== | ||
<math>N</math> अलग-अलग फर्मियन के लिए <math>2 N</math> संक्रियक हैं: | |||
* <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: | * <math>\hat{f}_i^\dagger</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का निर्माण संक्रियक। | ||
* <math>\hat{f}_i</math>: | * <math>\hat{f}_i</math>: <math>i^{th}</math> फर्मियन का विलोपन संक्रियक। | ||
यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math> | यहाँ <math>i = 1,\ldots,N</math>। | ||
ये | ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को संतुष्ट करते हैं: | ||
:<math>\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 </math> | :<math>\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 </math> | ||
:<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 </math> | :<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 </math> | ||
:<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} </math> | :<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} </math> | ||
जहां <math>i,j = 1,\ldots,N</math> और <math>\delta_{ij}</math> क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है। | |||
इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: | इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: | ||
| Line 177: | Line 176: | ||
:<math>\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i </math> | :<math>\hat{f}_i \, \hat{f}_j = -\hat{f}_j \, \hat{f}_i </math> | ||
:<math>\hat{f}_i \,\hat{f}_j^\dagger = \delta_{ij} - \hat{f}_j^\dagger \,\hat{f}_i .</math> | :<math>\hat{f}_i \,\hat{f}_j^\dagger = \delta_{ij} - \hat{f}_j^\dagger \,\hat{f}_i .</math> | ||
फ़र्मियन | फ़र्मियन संक्रियकों के गुणनफलों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक निकटवर्ती संक्रियकों के दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और विलोपन संक्रियकों | ||