उच्चावचन क्षय प्रमेय: Difference between revisions

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उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय (FDT) या उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध (FDR) [[विस्तृत संतुलन]] का पालन करने वाली प्रणालियों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए [[सांख्यिकीय भौतिकी]] में एक शक्तिशाली उपकरण है। यह देखते हुए कि एक प्रणाली विस्तृत संतुलन का पालन करती है, प्रमेय एक प्रमाण है कि एक भौतिक चर में [[थर्मल उतार-चढ़ाव]] एक ही भौतिक चर के [[प्रवेश]] या [[विद्युत प्रतिबाधा]] (उनके सामान्य अर्थों में, न केवल विद्युत चुम्बकीय शब्दों में) द्वारा परिमाणित प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। (जैसे वोल्टेज, तापमान अंतर, आदि), और इसके विपरीत। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय [[शास्त्रीय भौतिकी]] और [[क्वांटम यांत्रिकी]] प्रणालियों दोनों पर लागू होता है।
'''उच्चावचन क्षय प्रमेय (एफडीटी)''' या '''उच्चावचन-क्षय संबंध (एफडीआर)''' [[विस्तृत संतुलन]] का पालन करने वाली प्रणालियों के व्यवहार की पूर्वानुमान करने के लिए [[सांख्यिकीय भौतिकी]] में एक शक्तिशाली उपकरण है। यह देखते हुए कि एक प्रणाली विस्तृत संतुलन का पालन करती है, प्रमेय एक प्रमाण है कि एक भौतिक चर में [[थर्मल उतार-चढ़ाव|ऊष्मीय उच्चावचन]] एक ही भौतिक चर के [[प्रवेश]] या [[विद्युत प्रतिबाधा]] (उनके सामान्य अर्थों में, न केवल विद्युत चुम्बकीय शब्दों में) द्वारा परिमाणित प्रतिक्रिया की पूर्वानुमान करता है। (जैसे वोल्टेज, तापमान अंतर, आदि), और इसके विपरीत। उच्चावचन क्षय मौलिक प्रमेय और [[क्वांटम यांत्रिकी]] प्रणालियों दोनों पर प्रयुक्त होता है।


उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय 1951 में [[हर्बर्ट कैलन]] और थिओडोर ए वेल्टन द्वारा सिद्ध किया गया था<ref name=Callen-Welton>
उच्चावचन क्षय प्रमेय 1951 में [[हर्बर्ट कैलन]] और थिओडोर ए वेल्टन द्वारा सिद्ध किया गया था<ref name=Callen-Welton>
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विद्युत प्रतिरोधों में जॉनसन-न्याक्विस्ट शोर के 1928 में अपने [[एनस मिराबिलिस]] और [[हैरी निक्विस्ट]] के स्पष्टीकरण के दौरान।<ref>
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== गुणात्मक अवलोकन और उदाहरण ==
== गुणात्मक अवलोकन और उदाहरण ==


उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय कहता है कि जब कोई प्रक्रिया होती है जो ऊर्जा को नष्ट कर देती है, इसे गर्मी में बदल देती है (जैसे, घर्षण), तो [[थर्मल उतार-चढ़ाव]] से संबंधित एक रिवर्स प्रक्रिया होती है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने से इसे सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है:
उच्चावचन क्षय प्रमेय कहता है कि जब कोई प्रक्रिया होती है जो ऊर्जा को नष्ट कर देती है, इसे गर्मी में बदल देती है (जैसे, घर्षण), तो [[थर्मल उतार-चढ़ाव|ऊष्मीय उच्चावचन]] से संबंधित एक रिवर्स प्रक्रिया होती है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने से इसे सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है:


* [[खींचें (भौतिकी)]] और ब्राउनियन गति
* [[खींचें (भौतिकी)|ड्रैग (भौतिकी)]] और ब्राउनियन गति
*: यदि कोई वस्तु किसी द्रव के माध्यम से आगे बढ़ रही है, तो वह ड्रैग (भौतिकी) (वायु प्रतिरोध या द्रव प्रतिरोध) का अनुभव करती है। ड्रैग गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी में बदल देता है। संगत उतार-चढ़ाव ब्राउनियन गति है। एक द्रव में एक वस्तु स्थिर नहीं बैठती है, बल्कि एक छोटे और तेजी से बदलते वेग के साथ चलती है, क्योंकि द्रव में अणु इससे टकराते हैं। ब्राउनियन गति ऊष्मा ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करती है - ड्रैग के विपरीत।
*: यदि कोई वस्तु किसी द्रव के माध्यम से आगे बढ़ रही है, तो वह ड्रैग (भौतिकी) (वायु प्रतिरोध या द्रव प्रतिरोध) का अनुभव करती है। ड्रैग गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी में बदल देता है। संगत उच्चावचन ब्राउनियन गति है। एक द्रव में एक वस्तु स्थिर नहीं बैठती है, किंतु एक छोटे और तेजी से बदलते वेग के साथ चलती है, क्योंकि द्रव में अणु इससे टकराते हैं। ब्राउनियन गति ऊष्मा ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करती है - ड्रैग के विपरीत।
* [[विद्युत प्रतिरोध और चालन]] और [[जॉनसन शोर]]
* [[विद्युत प्रतिरोध और चालन]] और [[जॉनसन शोर|जॉनसन ध्वनि]]
*: यदि विद्युत धारा एक तार लूप के माध्यम से उसमें एक प्रतिरोधक के साथ चल रही है, तो प्रतिरोध के कारण धारा तेजी से शून्य हो जाएगी। प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी ([[जूल हीटिंग]]) में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव जॉनसन शोर है। इसमें एक रोकनेवाला के साथ एक वायर लूप में वास्तव में शून्य करंट नहीं होता है, इसमें एक छोटा और तेजी से उतार-चढ़ाव वाला करंट होता है, जो [[अवरोध]] में इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण होता है। जॉनसन शोर ऊष्मा ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है - प्रतिरोध का उल्टा।
*: यदि विद्युत धारा एक तार लूप के माध्यम से उसमें एक प्रतिरोधक के साथ चल रही है, तो प्रतिरोध के कारण धारा तेजी से शून्य हो जाएगी। प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी ([[जूल हीटिंग]]) में बदल देता है। संबंधित उच्चावचन जॉनसन ध्वनि है। इसमें एक अवरोधक के साथ एक वायर लूप में वास्तव में शून्य करंट नहीं होता है, इसमें एक छोटा और तेजी से उच्चावचन वाला करंट होता है, जो [[अवरोध]] में इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के ऊष्मीय उच्चावचन के कारण होता है। जॉनसन ध्वनि ऊष्मा ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है - प्रतिरोध का उल्टा।
* [[अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण)]] और थर्मल विकिरण
* [[अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण)]] और ऊष्मीय विकिरण
*: जब प्रकाश किसी वस्तु से टकराता है, तो प्रकाश का कुछ अंश अवशोषित हो जाता है, जिससे वस्तु अधिक गर्म हो जाती है। इस प्रकार, प्रकाश अवशोषण प्रकाश ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव थर्मल विकिरण है (उदाहरण के लिए, लाल गर्म वस्तु की चमक)। [[ऊष्मीय विकिरण]] ऊष्मा ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में बदल देता है - प्रकाश अवशोषण के विपरीत। दरअसल, थर्मल रेडिएशन का किरचॉफ का नियम इस बात की पुष्टि करता है कि कोई वस्तु जितनी प्रभावी रूप से प्रकाश को अवशोषित करती है, उतने ही अधिक थर्मल विकिरण का उत्सर्जन करती है।
*: जब प्रकाश किसी वस्तु से टकराता है, तो प्रकाश का कुछ अंश अवशोषित हो जाता है, जिससे वस्तु अधिक गर्म हो जाती है। इस प्रकार, प्रकाश अवशोषण प्रकाश ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देता है। संबंधित उच्चावचन ऊष्मीय विकिरण है (उदाहरण के लिए, लाल गर्म वस्तु की चमक)। [[ऊष्मीय विकिरण]] ऊष्मा ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में बदल देता है - प्रकाश अवशोषण के विपरीत। दरअसल, ऊष्मीय रेडिएशन का किरचॉफ का नियम इस बात की पुष्टि करता है कि कोई वस्तु जितनी प्रभावी रूप से प्रकाश को अवशोषित करती है, उतने ही अधिक ऊष्मीय विकिरण का उत्सर्जन करती है।


== विस्तार से उदाहरण ==
== विस्तार से उदाहरण ==
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय [[सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी]] का एक सामान्य परिणाम है जो एक प्रणाली में उतार-चढ़ाव के बीच के संबंध को निर्धारित करता है जो विस्तृत संतुलन का पालन करता है और लागू गड़बड़ी के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया करता है।
उच्चावचन क्षय प्रमेय [[सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी]] का एक सामान्य परिणाम है जो एक प्रणाली में उच्चावचन के मध्य के संबंध को निर्धारित करता है जो विस्तृत संतुलन का पालन करता है और प्रयुक्त क्षोभ के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया करता है।


=== ब्राउनियन गति ===
=== ब्राउनियन गति ===
उदाहरण के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति पर अपने 1905 के पेपर में उल्लेख किया कि ब्राउनियन गति में एक कण की अनियमित गति का कारण बनने वाले समान यादृच्छिक बल भी द्रव के माध्यम से कण को ​​​​खींचने का कारण बनेंगे। दूसरे शब्दों में, विश्राम की स्थिति में कण के उतार-चढ़ाव का वही मूल होता है, जो विघटनकारी घर्षण बल के विरुद्ध काम करता है, यदि कोई किसी विशेष दिशा में सिस्टम को परेशान करने की कोशिश करता है।
उदाहरण के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति पर अपने 1905 के पेपर में उल्लेख किया कि ब्राउनियन गति में एक कण की अनियमित गति का कारण बनने वाले समान यादृच्छिक बल भी द्रव के माध्यम से कण को ​​​​खींचने का कारण बनेंगे। दूसरे शब्दों में, विश्राम की स्थिति में कण के उच्चावचन का वही मूल होता है, जो विघटनकारी घर्षण बल के विरुद्ध काम करता है, यदि कोई किसी विशेष दिशा में प्रणाली को विक्षोभ करने की प्रयास करता है।


इस अवलोकन से आइंस्टीन आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध को प्राप्त करने के लिए [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] का उपयोग करने में सक्षम थे
इस अवलोकन से आइंस्टीन आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध को प्राप्त करने के लिए [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] का उपयोग करने में सक्षम थे


:<math> D =  {\mu \, k_{\rm B} T} </math>
:<math> D =  {\mu \, k_{\rm B} T} </math>
जो फ़िक के प्रसार डी के नियम और कण गतिशीलता μ को जोड़ता है, कण के [[टर्मिनल वेग]] बहाव वेग का एक लागू बल के अनुपात में। क<sub>B</sub> बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और T पूर्ण तापमान है।
जो फ़िक के प्रसार डी के नियम और कण गतिशीलता μ को जोड़ता है, कण के [[टर्मिनल वेग]] बहाव वेग का एक प्रयुक्त बल के अनुपात में। ''k''<sub>B</sub> बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और T पूर्ण तापमान है।


=== एक रोकनेवाला में थर्मल शोर ===
=== ऊष्मीय ध्वनि में अवरोधक ===
1928 में, जॉन बर्ट्रेंड जॉनसन|जॉन बी. जॉनसन ने खोज की और हैरी निक्विस्ट ने जॉनसन-निक्विस्ट शोर की व्याख्या की। बिना लागू करंट के, माध्य-स्क्वायर वोल्टेज प्रतिरोध पर निर्भर करता है <math>R</math>, <math>k_{\rm B}T</math>, और बैंडविड्थ <math>\Delta\nu</math> जिस पर वोल्टेज मापा जाता है:<ref name="Blundell2009">{{cite book |last1=Blundell |first1=Stephen J. |last2=Blundell |first2=Katherine M. |title=थर्मल भौतिकी में अवधारणाएं|date=2009 |publisher=OUP Oxford}}</ref>
1928 में, जॉन बर्ट्रेंड जॉनसन ने खोज की और हैरी निक्विस्ट ने जॉनसन-निक्विस्ट ध्वनि की व्याख्या की। बिना प्रयुक्त करंट के, माध्य-स्क्वायर वोल्टेज प्रतिरोध <math>R                                                                                                                                                                                                                     </math>,<math>k_{\rm B}T</math>व्युत्क्रमबैंडविड्थ पर निर्भर करता है, और <math>\Delta\nu</math> जिस पर वोल्टेज मापा जाता है:<ref name="Blundell2009">{{cite book |last1=Blundell |first1=Stephen J. |last2=Blundell |first2=Katherine M. |title=थर्मल भौतिकी में अवधारणाएं|date=2009 |publisher=OUP Oxford}}</ref>
: <math> \langle V^2 \rangle \approx 4Rk_{\rm B}T\,\Delta\nu. </math>
: <math> \langle V^2 \rangle \approx 4Rk_{\rm B}T\,\Delta\nu. </math>


[[File:JohnsonThermalNoise.png|thumb|रेसिस्टर में जॉनसन-निक्विस्ट थर्मल शोर को दर्शाने के लिए एक सरल सर्किट।]]इस अवलोकन को उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोध के साथ एक रोकनेवाला युक्त एक साधारण सर्किट लें <math>R</math> और एक छोटे समाई के साथ एक [[संधारित्र]] <math>C</math>. किरचॉफ के सर्किट नियम|किरचॉफ के नियम से लाभ होता है
[[File:JohnsonThermalNoise.png|thumb|रेसिस्टर में जॉनसन-निक्विस्ट ऊष्मीय ध्वनि को दर्शाने के लिए एक सरल परिपथ।]]इस अवलोकन को उच्चावचन क्षय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोध के साथ एक अवरोधक युक्त एक साधारण परिपथ लें <math>R</math> और एक छोटे समाई के साथ एक [[संधारित्र]] <math>C</math>. किरचॉफ के परिपथ नियम|किरचॉफ के नियम से लाभ होता है
 
इस अवलोकन को उच्चावचन-अपव्यय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण परिपथ लें जिसमें प्रतिरोध <math>R</math> के साथ एक प्रतिरोधी और छोटी [[संधारित्र]] <math>C</math> के साथ एक संधारित्र सम्मिलित है। किरचॉफ के वोल्टेज कानून की उत्पत्ति है


:<math>V=-R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}</math>
:<math>V=-R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}</math>
और इसलिए इस सर्किट के लिए प्रतिक्रिया कार्य है
और इसलिए इस परिपथ के लिए प्रतिक्रिया कार्य है


:<math>\chi(\omega)\equiv\frac{Q(\omega)}{V(\omega)}=\frac{1}{\frac{1}{C}-i\omega R}</math>
:<math>\chi(\omega)\equiv\frac{Q(\omega)}{V(\omega)}=\frac{1}{\frac{1}{C}-i\omega R}</math>
कम-आवृत्ति सीमा में <math>\omega\ll (RC)^{-1}</math>, इसका काल्पनिक हिस्सा सरल है
कम-आवृत्ति सीमा में <math>\omega\ll (RC)^{-1}</math>, इसका काल्पनिक भाग सरल है


:<math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\approx \omega RC^2</math>
:<math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\approx \omega RC^2</math>
जिसे तब पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी फंक्शन से जोड़ा जा सकता है <math>S_V(\omega)</math> उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के माध्यम से वोल्टेज का
जिसे तब पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी फंक्शन से जोड़ा जा सकता है <math>S_V(\omega)</math> उच्चावचन क्षय प्रमेय के माध्यम से वोल्टेज का


:<math>S_V(\omega)=\frac{S_Q(\omega)}{C^2}\approx \frac{2k_{\rm B}T}{C^2\omega}\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=2Rk_{\rm B}T</math>
:<math>S_V(\omega)=\frac{S_Q(\omega)}{C^2}\approx \frac{2k_{\rm B}T}{C^2\omega}\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=2Rk_{\rm B}T</math>
जॉनसन-निक्विस्ट वोल्टेज शोर <math>\langle V^2 \rangle</math> एक छोटी आवृत्ति [[बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] के भीतर देखा गया था <math>\Delta \nu=\Delta\omega/(2\pi)</math> आसपास केंद्रित <math>\omega=\pm \omega_0</math>. इस तरह
जॉनसन-निक्विस्ट वोल्टेज ध्वनि <math>\langle V^2 \rangle</math> एक छोटी आवृत्ति [[बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)]] के भीतर देखा गया था <math>\Delta \nu=\Delta\omega/(2\pi)</math> आसपास केंद्रित <math>\omega=\pm \omega_0</math>. इस तरह


:<math>\langle V^2 \rangle\approx S_V(\omega)\times 2\Delta \nu\approx 4Rk_{\rm B}T\Delta \nu</math>
:<math>\langle V^2 \rangle\approx S_V(\omega)\times 2\Delta \nu\approx 4Rk_{\rm B}T\Delta \nu</math>
 
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== सामान्य सूत्रीकरण ==
== सामान्य सूत्रीकरण ==
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को कई तरह से तैयार किया जा सकता है; एक विशेष रूप से उपयोगी रूप निम्नलिखित है:{{Citation needed|date=October 2010}}.
उच्चावचन क्षय प्रमेय को कई तरह से तैयार किया जा सकता है; एक विशेष रूप से उपयोगी रूप निम्नलिखित है:.


होने देना <math>x(t)</math> [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] के साथ एक [[गतिशील प्रणाली]] का अवलोकनीय होना <math>H_0(x)</math> थर्मल उतार-चढ़ाव के अधीन।
मान लीजिए कि <math>x(t)</math> ऊष्मीय उच्चावचन के अधीन [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] <math>H_0(x)</math> के साथ एक गतिशील प्रणाली का अवलोकन योग्य है। देखने योग्य <math>x(t)</math> अपने औसत मान <math>\langle x\rangle_0</math> के आसपास उच्चावचन करेगा, जिसमें पावर स्पेक्ट्रम <math>S_x(\omega) = \langle \hat{x}(\omega)\hat{x}^*(\omega) \rangle</math> की विशेषता वाले उच्चावचन होंगे। मान लीजिए कि हम समय-भिन्न, स्थानिक रूप से स्थिर क्षेत्र <math>f(t)</math> पर स्विच कर सकते हैं जो हैमिल्टनियन को <math>H(x)=H_0(x)-f(t)x</math> में बदल देता है। समय-निर्भर क्षेत्र <math>f(t)</math> के लिए अवलोकन योग्य <math>x(t)</math> की प्रतिक्रिया को पहले दर्शाया गया है प्रणाली की संवेदनशीलता या रैखिक प्रतिक्रिया फलन <math>x(t)</math> द्वारा क्रम है
देखने योग्य <math>x(t)</math> इसके औसत मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव होगा <math>\langle x\rangle_0</math>
एक शक्ति स्पेक्ट्रम की विशेषता वाले उतार-चढ़ाव के साथ <math>S_x(\omega) = \langle \hat{x}(\omega)\hat{x}^*(\omega) \rangle</math>.
मान लीजिए कि हम समय-परिवर्तनशील, स्थानिक रूप से स्थिर क्षेत्र पर स्विच कर सकते हैं <math>f(t)</math> जो हैमिल्टन को बदल देता है
को <math>H(x)=H_0(x)-f(t)x</math>.
अवलोकनीय की प्रतिक्रिया <math>x(t)</math> एक समय-निर्भर क्षेत्र के लिए <math>f(t)</math> है
[[रैखिक प्रतिक्रिया समारोह]] या रैखिक प्रतिक्रिया समारोह द्वारा पहले आदेश की विशेषता
<math>\chi(t)</math> प्रणाली में


: <math> \langle x(t) \rangle = \langle x \rangle_0 + \int_{-\infty}^{t} \! f(\tau) \chi(t-\tau)\,d\tau, </math>
: <math> \langle x(t) \rangle = \langle x \rangle_0 + \int_{-\infty}^{t} \! f(\tau) \chi(t-\tau)\,d\tau, </math>
जहां गड़बड़ी रुद्धोष्म रूप से (बहुत धीरे-धीरे) चालू होती है <math>\tau =-\infty</math>.
जहां क्षोभ <math>\tau =-\infty</math> रुद्धोष्म रूप से (बहुत धीरे-धीरे) चालू होती है .


उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय दो तरफा शक्ति स्पेक्ट्रम (अर्थात सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों) से संबंधित है <math>x</math> [[फूरियर रूपांतरण]] के काल्पनिक भाग के लिए <math>\hat{\chi}(\omega)</math> संवेदनशीलता की <math>\chi(t)</math>:
उच्चावचन क्षय प्रमेय <math>x</math> के दो-तरफा पावर स्पेक्ट्रम (अर्थात घनात्मक और ऋणात्मकदोनों आवृत्तियों) को संवेदनशीलता <math>x(t)                                                                                                                                                                                                                                  </math> के [[फूरियर रूपांतरण]] <math>\hat{\chi}(\omega)</math> के काल्पनिक भाग से संबंधित करता है:
<math display="block">S_x(\omega) = -\frac{2 k_\mathrm{B} T}{\omega} \operatorname{Im}\hat{\chi}(\omega).</math>
<math display="block">S_x(\omega) = -\frac{2 k_\mathrm{B} T}{\omega} \operatorname{Im}\hat{\chi}(\omega).</math>
जो फूरियर ट्रांसफॉर्म कन्वेंशन के तहत है <math>f(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\, dt</math>. बाएं हाथ की ओर उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है <math>x</math>, दाहिने हाथ की ओर एक ऑसिलेटरी क्षेत्र द्वारा पंप किए जाने पर सिस्टम द्वारा छोड़ी गई ऊर्जा से निकटता से संबंधित है <math>f(t) = F \sin(\omega t + \phi)</math>.
जो फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म कन्वेंशन <math>f(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\, dt</math> के अंतर्गत आता है, बायां हाथ <math>x</math> में उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है, दायां हाथ एक दोलन क्षेत्र <math>f(t) = F \sin(\omega t + \phi)</math> द्वारा पंप किए जाने पर प्रणाली द्वारा नष्ट होने वाली ऊर्जा से निकटता से संबंधित है।.


यह प्रमेय का शास्त्रीय रूप है; क्वांटम उतार-चढ़ाव को प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जाता है <math>2 k_\mathrm{B} T / \omega</math> साथ <math>\hbar \, \coth(\hbar\omega / 2k_\mathrm{B}T)</math> (जिसकी सीमा <math>\hbar\to 0</math> है <math>2 k_\mathrm{B} T/\omega</math>). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से एक पहचान, [[एलएसजेड कमी]] के माध्यम से एक प्रमाण पाया जा सकता है।{{Citation needed|date=August 2013}}
यह प्रमेय का मौलिक रूप है; क्वांटम उच्चावचन को <math>\hbar \, \coth(\hbar\omega / 2k_\mathrm{B}T)</math> प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जाता हैव्युत्क्रम(जिसकी सीमा <math>2 k_\mathrm{B} T / \omega</math> साथ <math>\hbar\to 0</math> है <math>2 k_\mathrm{B} T/\omega</math>). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से एक पहचान, [[एलएसजेड कमी]] के माध्यम से एक प्रमाण पाया जा सकता है।
 
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को अंतरिक्ष-निर्भर क्षेत्रों के मामले में, कई चर या क्वांटम-यांत्रिकी सेटिंग के मामले में सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref name=Callen-Welton/>एक विशेष मामला जिसमें उतार-चढ़ाव वाली मात्रा ही ऊर्जा है, आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट गर्मी के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय है।<ref>{{Cite journal|last1=Nielsen|first1=Johannes K.| last2=Dyre|first2=Jeppe C.| date=1996-12-01|title=आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट ताप के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय| journal=Physical Review B|language=en| volume=54|issue=22|pages=15754–15761| doi=10.1103/PhysRevB.54.15754|pmid=9985643 |bibcode=1996PhRvB..5415754N | issn=0163-1829|doi-access=free}}</ref>


उच्चावचन क्षय प्रमेय को अंतरिक्ष-निर्भर क्षेत्रों के स्थिति में, कई चर या क्वांटम-यांत्रिकी सेटिंग के स्थिति में सीधे विधि से सामान्यीकृत किया जा सकता है।<ref name=Callen-Welton/> एक विशेष स्थिति जिसमें उच्चावचन वाली मात्रा ही ऊर्जा है, आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट गर्मी के लिए उच्चावचन क्षय प्रमेय है।<ref>{{Cite journal|last1=Nielsen|first1=Johannes K.| last2=Dyre|first2=Jeppe C.| date=1996-12-01|title=आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट ताप के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय| journal=Physical Review B|language=en| volume=54|issue=22|pages=15754–15761| doi=10.1103/PhysRevB.54.15754|pmid=9985643 |bibcode=1996PhRvB..5415754N | issn=0163-1829|doi-access=free}}</ref>
== व्युत्पत्ति ==


== व्युत्पत्ति ==
=== मौलिक संस्करण ===
हम ऊपर दिए गए रूप में उच्चावचन क्षय प्रमेय को उसी संकेतन का उपयोग करके प्राप्त करते हैं।


=== शास्त्रीय संस्करण ===
निम्नलिखित परीक्षण स्थिति पर विचार करें: क्षेत्र f अनंत समय से चालू है और t=0 पर बंद है
हम ऊपर दिए गए रूप में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को उसी संकेतन का उपयोग करके प्राप्त करते हैं।
निम्नलिखित परीक्षण मामले पर विचार करें: फ़ील्ड f अनंत समय से चालू है और t=0 पर बंद है


: <math> f(t)=f_0 \theta(-t) , </math>
: <math> f(t)=f_0 \theta(-t) , </math>
कहाँ <math> \theta(t)</math> [[हेविसाइड फ़ंक्शन]] है।
जहाँ <math> \theta(t)</math> [[हेविसाइड फ़ंक्शन|हेविसाइड फलन]] है।हम <math>x</math> की अपेक्षा मूल्य व्यक्त कर सकते हैंव्युत्क्रमप्रायिकता वितरण W(x, 0) और संक्रमण संभाव्यता <math> P(x',t | x,0) </math> द्वारा
हम की अपेक्षा मूल्य व्यक्त कर सकते हैं <math>x</math> प्रायिकता वितरण W(x, 0) और संक्रमण संभाव्यता द्वारा <math> P(x',t | x,0) </math>
: <math> \langle x(t) \rangle = \int dx' \int dx \, x' P(x',t|x,0) W(x,0) . </math>
: <math> \langle x(t) \rangle = \int dx' \int dx \, x' P(x',t|x,0) W(x,0) . </math>
प्रायिकता बंटन फलन W(x, 0) एक संतुलन बंटन है और इसलिए
प्रायिकता बंटन फलन W(x, 0) एक संतुलन बंटन है और इसलिए हैमिल्टनियन के लिए [[बोल्ट्जमैन वितरण]] <math> H(x) = H_0(x) - x f_0 </math> द्वारा दिया गया
हैमिल्टनियन के लिए [[बोल्ट्जमैन वितरण]] द्वारा दिया गया <math> H(x) = H_0(x) - x f_0 </math>
: <math> W(x,0)= \frac{\exp(-\beta H(x))}{\int dx' \, \exp(-\beta H(x'))} \,, </math>
: <math> W(x,0)= \frac{\exp(-\beta H(x))}{\int dx' \, \exp(-\beta H(x'))} \,, </math>
कहाँ <math>\beta^{-1} = k_{\rm B}T</math>.
जहाँ <math>\beta^{-1} = k_{\rm B}T</math>.
कमजोर मैदान के लिए <math> \beta x f_0 \ll 1 </math>, हम दाईं ओर विस्तार कर सकते हैं
कमजोर मैदान के लिए <math> \beta x f_0 \ll 1 </math>, हम दाईं ओर विस्तार कर सकते हैं


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{{NumBlk|:|<math>\langle x(t) \rangle = \langle x \rangle_0 + \beta f_0 A(t),</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
{{NumBlk|:|<math>\langle x(t) \rangle = \langle x \rangle_0 + \beta f_0 A(t),</math>|{{EquationRef|<nowiki>*</nowiki>}}}}
जहां ए (टी) क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक्स का ऑटो-सहसंबंध समारोह है:
जहां <math> A(t) </math> क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक्स का ऑटो-सहसंबंध फलन है:


: <math> A(t)=\langle [x(t)-\langle x \rangle_0][ x(0)-\langle x \rangle_0] \rangle_0. </math>
: <math> A(t)=\langle [x(t)-\langle x \rangle_0][ x(0)-\langle x \rangle_0] \rangle_0. </math>
ध्यान दें कि एक क्षेत्र की अनुपस्थिति में समय-शिफ्ट के तहत सिस्टम अपरिवर्तनीय है।
ध्यान दें कि एक क्षेत्र की अनुपस्थिति में समय-शिफ्ट के तहत प्रणाली अपरिवर्तनीय है। हम <math> \langle x(t) \rangle - \langle x \rangle_0 </math> फिर से लिख सकते हैंव्युत्क्रमसंवेदनशीलता का उपयोग करना प्रणाली का और इसलिए उपरोक्त समीकरण (*) के साथ खोजें
हम फिर से लिख सकते हैं <math> \langle x(t) \rangle - \langle x \rangle_0 </math> संवेदनशीलता का उपयोग करना
सिस्टम का और इसलिए उपरोक्त समीकरण (*) के साथ खोजें


: <math> f_0 \int_0^{\infty} d\tau \, \chi(\tau) \theta(\tau-t) = \beta f_0 A(t) </math>
: <math> f_0 \int_0^{\infty} d\tau \, \chi(\tau) \theta(\tau-t) = \beta f_0 A(t) </math>
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तब से <math>A(t)</math> वास्तविक और सममित है, यह इस प्रकार है
तब से <math>A(t)</math> वास्तविक और सममित है, यह इस प्रकार है
:<math> 2 \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)] = -\omega\beta \hat A(\omega).</math>
:<math> 2 \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)] = -\omega\beta \hat A(\omega).</math>
अंत में, [[स्थिर प्रक्रिया]]ओं के लिए, वीनर-खिनचिन प्रमेय कहता है कि दो तरफा पावर स्पेक्ट्रम ऑटो-सहसंबंध समारोह के फूरियर रूपांतरण के बराबर है:
अंत में, [[स्थिर प्रक्रिया]]ओं के लिए, वीनर-खिनचिन प्रमेय कहता है कि दो तरफा पावर स्पेक्ट्रम ऑटो-सहसंबंध फलन के फूरियर रूपांतरण के समान है:
: <math> S_x(\omega) = \hat{A}(\omega).</math>
: <math> S_x(\omega) = \hat{A}(\omega).</math>
इसलिए, यह इस प्रकार है
इसलिए, यह इस प्रकार है
:<math> S_x(\omega) = -\frac{2k_\text{B} T}{\omega} \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)].</math>
:<math> S_x(\omega) = -\frac{2k_\text{B} T}{\omega} \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)].</math>
 
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=== क्वांटम संस्करण ===
=== क्वांटम संस्करण ===


उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय ब्याज के अवलोकन योग्य के [[सहसंबंध समारोह]] से संबंधित है <math>\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle</math> (उतार-चढ़ाव का एक उपाय) प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग के लिए <math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\left[\chi(\omega)-\chi^*(\omega)\right]/2i</math> आवृत्ति डोमेन में (अपव्यय का एक उपाय)। इन राशियों के बीच एक लिंक तथाकथित कुबो सूत्र के माध्यम से पाया जा सकता है<ref>{{cite journal |title=उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय|doi=10.1088/0034-4885/29/1/306 | volume=29 |year=1966 |journal=Reports on Progress in Physics |pages=255–284 |author=Kubo R |issue=1 |bibcode=1966RPPh...29..255K|s2cid=250892844 }}</ref>
उच्चावचन क्षय प्रमेय ब्याज के अवलोकन योग्य के [[सहसंबंध समारोह|सहसंबंध फलन]] से संबंधित है <math>\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle</math> (उच्चावचन का एक उपाय) प्रतिक्रिया फलन के काल्पनिक भाग के लिए <math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\left[\chi(\omega)-\chi^*(\omega)\right]/2i</math> आवृत्ति डोमेन में (क्षय का एक उपाय)। इन राशियों के मध्य एक लिंक तथाकथित कुबो सूत्र के माध्यम से पाया जा सकता है<ref>{{cite journal |title=उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय|doi=10.1088/0034-4885/29/1/306 | volume=29 |year=1966 |journal=Reports on Progress in Physics |pages=255–284 |author=Kubo R |issue=1 |bibcode=1966RPPh...29..255K|s2cid=250892844 }}</ref>
:<math>\chi(t-t')=\frac{i}{\hbar}\theta(t-t')\langle [\hat{x}(t),\hat{x}(t')] \rangle</math>
:<math>\chi(t-t')=\frac{i}{\hbar}\theta(t-t')\langle [\hat{x}(t),\hat{x}(t')] \rangle</math>
जो बाद में, रैखिक प्रतिक्रिया समारोह सिद्धांत की धारणाओं के तहत, अवलोकन योग्य के समेकन औसत के विकास के समय से <math>\langle\hat{x}(t)\rangle</math> एक परेशान करने वाले स्रोत की उपस्थिति में। एक बार फूरियर रूपांतरित हो जाने के बाद, कुबो सूत्र प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग को लिखने की अनुमति देता है
जो बाद में, रैखिक प्रतिक्रिया फलन सिद्धांत की धारणाओं के तहत, अवलोकन योग्य के समेकन औसत के विकास के समय से <math>\langle\hat{x}(t)\rangle</math> एक विक्षोभ करने वाले स्रोत की उपस्थिति में। एक बार फूरियर रूपांतरित हो जाने के बाद, कुबो सूत्र प्रतिक्रिया फलन के काल्पनिक भाग को लिखने की अनुमति देता है


:<math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\frac{1}{2\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)-\hat{x}(0)\hat{x}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.</math>
:<math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\frac{1}{2\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)-\hat{x}(0)\hat{x}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.</math>
[[विहित पहनावा]] में, दूसरे पद को फिर से व्यक्त किया जा सकता है
[[विहित पहनावा|विहित समुच्चय]] में, दूसरे पद को फिर से व्यक्त किया जा सकता है


:<math>\langle \hat{x}(0) \hat{x}(t)\rangle=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)\hat{x}(t)=\text{Tr } \hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\underbrace{e^{\beta \hat{H}}\hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}}_{\hat{x}(t-i\hbar\beta)}\hat{x}(0)=\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta) \hat{x}(0)\rangle</math>
:<math>\langle \hat{x}(0) \hat{x}(t)\rangle=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)\hat{x}(t)=\text{Tr } \hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\underbrace{e^{\beta \hat{H}}\hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}}_{\hat{x}(t-i\hbar\beta)}\hat{x}(0)=\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta) \hat{x}(0)\rangle</math>
जहां दूसरी समानता में हमने पुन: स्थान दिया <math>\hat{x}(t)</math> ट्रेस की चक्रीय संपत्ति का उपयोग करना। अगला, तीसरी समानता में, हमने डाला <math>e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}</math> ट्रेस के बगल में और व्याख्या की <math>e^{-\beta\hat{H}}</math> एक समय विकास ऑपरेटर के रूप में <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}</math> [[काल्पनिक समय]] अंतराल के साथ <math>\Delta t=-i\hbar\beta</math>. काल्पनिक समय बदलाव एक में बदल जाता है <math>e^{-\beta\hbar\omega}</math> फूरियर रूपांतरण के बाद का कारक
जहां दूसरी समानता में हमने पुन: स्थान दिया <math>\hat{x}(t)                                                                                                                                                                                                             </math> ट्रेस की चक्रीय गुण का उपयोग करना। अगला, तीसरी समानता में, हमने डाला <math>e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}</math> ट्रेस के बगल में और व्याख्या की <math>e^{-\beta\hat{H}}                                                                                                                                                                                             </math> एक समय विकास ऑपरेटर के रूप में <math>e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}</math> [[काल्पनिक समय]] अंतराल के साथ <math>\Delta t=-i\hbar\beta</math>. काल्पनिक समय बदलाव <math>e^{-\beta\hbar\omega}</math> में बदल जाता हैव्युत्क्रमफूरियर रूपांतरण के बाद का कारक


:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta\hbar\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt</math>
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta\hbar\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt</math>
और इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति <math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]</math> क्वांटम उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के रूप में आसानी से फिर से लिखा जा सकता है <ref>{{cite journal |title=क्वांटम ब्राउनियन गति के मौलिक पहलू|doi=10.1063/1.1853631 | volume=15 |year=2005 |journal=Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science |page=026105 |author=Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig|issue=2 |pmid=16035907 |arxiv=quant-ph/0412052 |bibcode=2005Chaos..15b6105H |s2cid=9787833 |url=https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bvb:384-opus4-301764 }}</ref>
और इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति <math>\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]</math> क्वांटम उच्चावचन-क्षय संबंध के रूप में आसानी से फिर से लिखा जा सकता है <ref>{{cite journal |title=क्वांटम ब्राउनियन गति के मौलिक पहलू|doi=10.1063/1.1853631 | volume=15 |year=2005 |journal=Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science |page=026105 |author=Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig|issue=2 |pmid=16035907 |arxiv=quant-ph/0412052 |bibcode=2005Chaos..15b6105H |s2cid=9787833 |url=https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bvb:384-opus4-301764 }}</ref>
:<math>S_{x}(\omega)=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+1\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]</math>
:<math>S_{x}(\omega)=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+1\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]</math>
जहां बिजली वर्णक्रमीय घनत्व <math>S_{x}(\omega)</math> ऑटो-सहसंबंध का फूरियर रूपांतरण है <math>\langle \hat{x}(t) \hat{x}(0)\rangle</math> और <math>n_{\rm BE}(\omega)=\left(e^{\beta\hbar\omega}-1\right)^{-1}</math> [[बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी]] है। बोस-आइंस्टीन वितरण समारोह। वही हिसाब भी निकलता है
जहां विद्युत वर्णक्रमीय घनत्व <math>S_{x}(\omega)</math> ऑटो-सहसंबंध का फूरियर रूपांतरण <math>\langle \hat{x}(t) \hat{x}(0)\rangle</math> और <math>n_{\rm BE}(\omega)=\left(e^{\beta\hbar\omega}-1\right)^{-1}</math> हैव्युत्क्रम[[बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी]] है। बोस-आइंस्टीन वितरण फलन है


:<math>S_{x}(-\omega)=e^{-\beta\hbar\omega}S_{x}(\omega) = 2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\neq S_{x}(+\omega)</math>
:<math>S_{x}(-\omega)=e^{-\beta\hbar\omega}S_{x}(\omega) = 2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\neq S_{x}(+\omega)</math>
इस प्रकार, शास्त्रीय मामले में जो प्राप्त हुआ है, उससे अलग, क्वांटम सीमा में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व बिल्कुल आवृत्ति-सममित नहीं है। लगातार, <math>\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle</math> ऑपरेटरों के कम्यूटेशन नियमों से उत्पन्न होने वाला एक काल्पनिक हिस्सा है।<ref>{{cite journal |title=क्वांटम शोर, मापन और प्रवर्धन का परिचय|doi=10.1103/RevModPhys.82.1155 |volume=82 |year=2010 |journal= Reviews of Modern Physics|page=1155 |arxiv=0810.4729 |last1=Clerk |first1=A. A. |last2=Devoret |first2=M. H. |last3=Girvin |first3=S. M. |last4=Marquardt |first4=Florian |last5=Schoelkopf |first5=R. J. |issue=2 |bibcode=2010RvMP...82.1155C |s2cid=119200464 }}</ref> अतिरिक्त<math>+1</math>शब्द की अभिव्यक्ति में <math>S_x(\omega)</math> सकारात्मक आवृत्तियों पर सहज उत्सर्जन से जुड़ा हुआ भी माना जा सकता है। एक अक्सर उद्धृत परिणाम सममित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व भी है
इस प्रकार, मौलिक स्थिति में जो प्राप्त हुआ है, उससे अलग, क्वांटम सीमा में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व बिल्कुल आवृत्ति-सममित नहीं है। क्रमानुसार, <math>\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle</math> ऑपरेटरों के कम्यूटेशन नियमों से उत्पन्न होने वाला एक काल्पनिक भाग है।<ref>{{cite journal |title=क्वांटम शोर, मापन और प्रवर्धन का परिचय|doi=10.1103/RevModPhys.82.1155 |volume=82 |year=2010 |journal= Reviews of Modern Physics|page=1155 |arxiv=0810.4729 |last1=Clerk |first1=A. A. |last2=Devoret |first2=M. H. |last3=Girvin |first3=S. M. |last4=Marquardt |first4=Florian |last5=Schoelkopf |first5=R. J. |issue=2 |bibcode=2010RvMP...82.1155C |s2cid=119200464 }}</ref> अतिरिक्त<math>+1                                                                                                                                                                                                                   </math>शब्द की अभिव्यक्ति में <math>S_x(\omega)</math> घनात्मक आवृत्तियों पर सहज उत्सर्जन से जुड़ा हुआ भी माना जा सकता है। एक अक्सर उद्धृत परिणाम सममित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व भी है


:<math>\frac{S_x(\omega)+S_x(-\omega)}{2}=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+\frac{1}{2}\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\hbar\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_BT}\right)\text{Im}\left[\chi(\omega)\right].</math>
:<math>\frac{S_x(\omega)+S_x(-\omega)}{2}=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+\frac{1}{2}\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\hbar\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_BT}\right)\text{Im}\left[\chi(\omega)\right].</math>
<math>+1/2</math>[[क्वांटम उतार-चढ़ाव]] से जुड़ा हुआ माना जा सकता है, या [[शून्य-बिंदु ऊर्जा]] से। अवलोकनीय की शून्य-बिंदु गति <math>\hat{x}</math>. पर्याप्त उच्च तापमान पर, <math>n_{\rm BE}\approx (\beta\hbar\omega)^{-1}\gg 1</math>, यानी क्वांटम योगदान नगण्य है, और हम शास्त्रीय संस्करण को पुनर्प्राप्त करते हैं।
<math>+1/2</math>[[क्वांटम उतार-चढ़ाव|क्वांटम उच्चावचन]] से जुड़ा हुआ माना जा सकता है, या [[शून्य-बिंदु ऊर्जा]] से। अवलोकनीय की शून्य-बिंदु गति <math>\hat{x}</math>. पर्याप्त उच्च तापमान पर, <math>n_{\rm BE}\approx (\beta\hbar\omega)^{-1}\gg 1</math>, यानी क्वांटम योगदान नगण्य है, और हम मौलिक संस्करण को पुनर्प्राप्त करते हैं।


== ग्लासी सिस्टम में उल्लंघन ==
== ग्लासी प्रणाली में उल्लंघन ==
जबकि उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों की प्रतिक्रिया के बीच एक सामान्य संबंध प्रदान करता है, जब विस्तृत संतुलन का उल्लंघन होता है तो उतार-चढ़ाव की तुलना अपव्यय अधिक जटिल होती है। तथाकथित कांच के तापमान के नीचे <math>T_{\rm g}</math>, [[स्पिन ग्लास]] संतुलित नहीं होते हैं, और धीरे-धीरे उनकी संतुलन स्थिति तक पहुंचते हैं। संतुलन के लिए यह धीमा दृष्टिकोण विस्तृत संतुलन के उल्लंघन का पर्याय है। इस प्रकार इन प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए बड़े समय-मानों की आवश्यकता होती है, जबकि वे धीरे-धीरे संतुलन की ओर बढ़ते हैं।
जबकि उच्चावचन क्षय प्रमेय विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों की प्रतिक्रिया के मध्य एक सामान्य संबंध प्रदान करता है, जब विस्तृत संतुलन का उल्लंघन होता है तो उच्चावचन की तुलना क्षय अधिक जटिल होती है। तथाकथित कांच के तापमान <math>T_{\rm g}                                                                                                                                                                                                               </math> के नीचे , [[स्पिन ग्लास]] संतुलित नहीं होते हैं, और धीरे-धीरे उनकी संतुलन स्थिति तक पहुंचते हैं। संतुलन के लिए यह धीमा दृष्टिकोण विस्तृत संतुलन के उल्लंघन का पर्याय है। इस प्रकार इन प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए बड़े समय-मानों की आवश्यकता होती है, जबकि वे धीरे-धीरे संतुलन की ओर बढ़ते हैं।


<!-- Deleted image removed: [[File:Violation of FDT1.png|600px|thumb|Violation of the fluctuation-dissipation theorem (FDT) in the <math>D=3</math> Edwards-Anderson system with temperature <math>T</math>, magnetic susceptibility <math>\chi</math>, and spin-temporal correlation function <math>C</math>. Figure replotted from <ref name="Parisi2017">{{cite journal |title=A statics-dynamics equivalence through the fluctuation–dissipation ratio provides a window into the spin-glass phase from nonequilibrium measurements |doi=10.1073/pnas.1621242114 |url=https://www.pnas.org/content/114/8/1838/tab-article-info | volume=114 |year=2017 |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |pages=1838–1843 |author=Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-Garcia Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David}}</ref>.]] -->
ग्लासी प्रणाली, विशेष रूप से [[स्पिन चश्मा]], Ref में उच्चावचन-क्षय संबंध के उल्लंघन का अध्ययन करने के लिए।<ref name="Parisi2017">{{cite journal |title=A statics-dynamics equivalence through the fluctuation–dissipation ratio provides a window into the spin-glass phase from nonequilibrium measurements | doi=10.1073/pnas.1621242114 | volume=114 | year=2017 |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |pages=1838–1843 |author=Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-Garcia Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David|issue=8 |pmid=28174274 |pmc=5338409 |arxiv=1610.01418 |bibcode=2017PNAS..114.1838B |doi-access=free }}</ref> सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके त्रि-आयामी [[एडवर्ड्स-एंडरसन मॉडल]] द्वारा वर्णित मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (यानी उनकी सहसंबंध लंबाई की तुलना में बड़ी) के संख्यात्मक सिमुलेशन का प्रदर्शन किया। उनके सिमुलेशन में, प्रणाली को प्रारंभ में उच्च तापमान पर तैयार किया जाता है, तेजी से एक तापमान <math>T=0.64 T_{\rm g}</math> पर ठंडा किया जाता हैव्युत्क्रमकांच के तापमान <math>T_g                                                                                                                                                                                                                     </math> के नीचे, और बहुत लंबे समय के लिए संतुलन <math>t_{\rm w}                                                                                                                                                                                                             </math> के लिए छोड़ दियाव्युत्क्रमएक चुंबकीय क्षेत्र <math>H                                                                                                                                                                                                                     </math> के तहत . फिर, बाद में <math>t + t_{\rm w}</math>, दो गतिशील वेधशालाओं की जांच की जाती है, अर्थात् प्रतिक्रिया कार्य
ग्लासी सिस्टम, विशेष रूप से [[स्पिन चश्मा]], Ref में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के उल्लंघन का अध्ययन करने के लिए।<ref name="Parisi2017">{{cite journal |title=A statics-dynamics equivalence through the fluctuation–dissipation ratio provides a window into the spin-glass phase from nonequilibrium measurements | doi=10.1073/pnas.1621242114 | volume=114 | year=2017 |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |pages=1838–1843 |author=Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-Garcia Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David|issue=8 |pmid=28174274 |pmc=5338409 |arxiv=1610.01418 |bibcode=2017PNAS..114.1838B |doi-access=free }}</ref> सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके त्रि-आयामी [[एडवर्ड्स-एंडरसन मॉडल]] द्वारा वर्णित मैक्रोस्कोपिक सिस्टम (यानी उनकी सहसंबंध लंबाई की तुलना में बड़ी) के संख्यात्मक सिमुलेशन का प्रदर्शन किया। उनके सिमुलेशन में, सिस्टम को शुरू में उच्च तापमान पर तैयार किया जाता है, तेजी से एक तापमान पर ठंडा किया जाता है <math>T=0.64 T_{\rm g}</math> कांच के तापमान के नीचे <math>T_g</math>, और बहुत लंबे समय के लिए संतुलन के लिए छोड़ दिया <math>t_{\rm w}</math> एक चुंबकीय क्षेत्र के तहत <math>H</math>. फिर, बाद में <math>t + t_{\rm w}</math>, दो गतिशील वेधशालाओं की जांच की जाती है, अर्थात् प्रतिक्रिया कार्य
<math display="block">\chi(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv\left.\frac{\partial m(t+t_{\rm w})}{\partial H}\right|_{H=0}</math>
<math display="block">\chi(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv\left.\frac{\partial m(t+t_{\rm w})}{\partial H}\right|_{H=0}</math>
और स्पिन-टेम्पोरल सहसंबंध समारोह
और स्पिन-टेम्पोरल सहसंबंध फलन
<math display="block">C(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv \frac{1}{V}\left.\sum_{x}\langle S_x(t_{\rm w}) S_x(t+t_{\rm w})\rangle\right|_{H=0}</math>
<math display="block">C(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv \frac{1}{V}\left.\sum_{x}\langle S_x(t_{\rm w}) S_x(t+t_{\rm w})\rangle\right|_{H=0}</math>
कहाँ <math>S_x=\pm 1</math> नोड पर रहने वाला स्पिन है <math>x</math> मात्रा के घन जाली का <math>V</math>, और <math display="inline">m(t)\equiv \frac{1}{V} \sum_{x} \langle S_{x}(t) \rangle</math> चुंबकीयकरण घनत्व है। इस प्रणाली में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध इन अवलोकनों के संदर्भ में लिखा जा सकता है
जहाँ <math>S_x=\pm 1</math> नोड पर रहने वाला स्पिन <math>x                                                                                                                                                                                                                                 </math> हैव्युत्क्रममात्रा के घन जाली का <math>V</math>, और <math display="inline">m(t)\equiv \frac{1}{V} \sum_{x} \langle S_{x}(t) \rangle</math> चुंबकीयकरण घनत्व है। इस प्रणाली में उच्चावचन-क्षय संबंध इन अवलोकनों के संदर्भ में लिखा जा सकता है<math display="block">T\chi(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})=1-C(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})</math>
<math display="block">T\chi(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})=1-C(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})</math>
 
उनके परिणाम इस अपेक्षा की पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे सिस्टम को लंबे समय के लिए संतुलित करने के लिए छोड़ दिया जाता है, उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध संतुष्ट होने के करीब होता है।


1990 के दशक के मध्य में, स्पिन ग्लास मॉडल की गतिशीलता के अध्ययन में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय का एक सामान्यीकरण खोजा गया था। <ref>{{cite journal | title=लंबी दूरी के स्पिन-ग्लास मॉडल के ऑफ-संतुलन गतिशीलता का विश्लेषणात्मक समाधान|doi=10.1103/PhysRevLett.71.173 | volume=71 |year=1993 |journal=Physical Review Letters |pages=173–176 |author=Cugliandolo L. F.|authorlink= Leticia Cugliandolo|author2= Kurchan J.|issue=1 |pmid=10054401 |arxiv=cond-mat/9303036 |bibcode=1993PhRvL..71..173C |s2cid=8591240 }}</ref> जो स्पर्शोन्मुख गैर-स्थिर अवस्थाओं के लिए है, जहां संतुलन संबंध में दिखाई देने वाला तापमान समय के पैमाने पर गैर-तुच्छ निर्भरता के साथ एक प्रभावी तापमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
उनके परिणाम इस अपेक्षा की पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे प्रणाली को लंबे समय के लिए संतुलित करने के लिए छोड़ दिया जाता है, उच्चावचन-क्षय संबंध संतुष्ट होने के निकट होता है।
यह संबंध ग्लासी सिस्टम में उन मॉडलों से परे रखने का प्रस्ताव है जिनके लिए इसे शुरू में पाया गया था।
 
1990 के दशक के मध्य में, स्पिन ग्लास मॉडल की गतिशीलता के अध्ययन में उच्चावचन क्षय प्रमेय का एक सामान्यीकरण खोजा गया था। <ref>{{cite journal | title=लंबी दूरी के स्पिन-ग्लास मॉडल के ऑफ-संतुलन गतिशीलता का विश्लेषणात्मक समाधान|doi=10.1103/PhysRevLett.71.173 | volume=71 |year=1993 |journal=Physical Review Letters |pages=173–176 |author=Cugliandolo L. F.|authorlink= Leticia Cugliandolo|author2= Kurchan J.|issue=1 |pmid=10054401 |arxiv=cond-mat/9303036 |bibcode=1993PhRvL..71..173C |s2cid=8591240 }}</ref> जो स्पर्शोन्मुख गैर-स्थिर अवस्थाओं के लिए है, जहां संतुलन संबंध में दिखाई देने वाला तापमान समय के पैमाने पर गैर-तुच्छ निर्भरता के साथ एक प्रभावी तापमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संबंध ग्लासी प्रणाली में उन मॉडलों से परे रखने का प्रस्ताव है जिनके लिए इसे प्रारंभ में पाया गया था।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी]]
* [[गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी]]
* हरा-कुबो संबंध
* हरा-कुबो संबंध
* [[ऑनसेगर पारस्परिक संबंध]]
* [[ऑनसेगर पारस्परिक संबंध|ऑनसेगर व्युत्क्रम संबंध]]
* [[समविभाजन प्रमेय]]
* [[समविभाजन प्रमेय]]
* बोल्ट्जमैन वितरण
* बोल्ट्जमैन वितरण
* अपव्यय प्रणाली
* क्षय प्रणाली


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
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==संदर्भ==
==संदर्भ==
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* {{cite book |author=L. D. Landau, E. M. Lifshitz |title=Statistical Physics |series=[[Course of Theoretical Physics]] |volume=5 |edition=3 |year=1980 }}
* {{cite book |author=L. D. Landau, E. M. Lifshitz |title=Statistical Physics |series=[[Course of Theoretical Physics]] |volume=5 |edition=3 |year=1980 }}
* {{cite journal|author1=Umberto Marini Bettolo Marconi|author2=Andrea Puglisi|author3=Lamberto Rondoni|author4=Angelo Vulpiani|title=Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics|year=2008|journal=[[Physics Reports]]|doi=10.1016/j.physrep.2008.02.002|volume=461|issue=4–6|pages=111–195|arxiv=0803.0719|bibcode = 2008PhR...461..111M |s2cid=118575899}}
* {{cite journal|author1=Umberto Marini Bettolo Marconi|author2=Andrea Puglisi|author3=Lamberto Rondoni|author4=Angelo Vulpiani|title=Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics|year=2008|journal=[[Physics Reports]]|doi=10.1016/j.physrep.2008.02.002|volume=461|issue=4–6|pages=111–195|arxiv=0803.0719|bibcode = 2008PhR...461..111M |s2cid=118575899}}
==अग्रिम पठन==
==अग्रिम पठन==
* [http://physics416.blogspot.com/2005/12/lecture-24-fluctuation-dissipation.html Audio recording] of a lecture by Prof. E. W. Carlson of [[Purdue University]]
* [http://physics416.blogspot.com/2005/12/lecture-24-fluctuation-dissipation.html Audio recording] of a lecture by Prof. E. W. Carlson of [[Purdue University]]
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Latest revision as of 08:56, 13 December 2023

उच्चावचन क्षय प्रमेय (एफडीटी) या उच्चावचन-क्षय संबंध (एफडीआर) विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों के व्यवहार की पूर्वानुमान करने के लिए सांख्यिकीय भौतिकी में एक शक्तिशाली उपकरण है। यह देखते हुए कि एक प्रणाली विस्तृत संतुलन का पालन करती है, प्रमेय एक प्रमाण है कि एक भौतिक चर में ऊष्मीय उच्चावचन एक ही भौतिक चर के प्रवेश या विद्युत प्रतिबाधा (उनके सामान्य अर्थों में, न केवल विद्युत चुम्बकीय शब्दों में) द्वारा परिमाणित प्रतिक्रिया की पूर्वानुमान करता है। (जैसे वोल्टेज, तापमान अंतर, आदि), और इसके विपरीत। उच्चावचन क्षय मौलिक प्रमेय और क्वांटम यांत्रिकी प्रणालियों दोनों पर प्रयुक्त होता है।

उच्चावचन क्षय प्रमेय 1951 में हर्बर्ट कैलन और थिओडोर ए वेल्टन द्वारा सिद्ध किया गया था[1] औरव्युत्क्रमरोगो कुबोव्युत्क्रमद्वारा विस्तारित। सामान्य प्रमेय के पूर्ववृत्त हैं, जिनमें अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा अपने एनस मिराबिलिस के समय ब्राउनियन गति की व्याख्या और 1928 में विद्युत प्रतिरोधकों में जॉनसन ध्वनि की हैरी निक्विस्ट की व्याख्या सम्मिलित है।[2][3]

गुणात्मक अवलोकन और उदाहरण

उच्चावचन क्षय प्रमेय कहता है कि जब कोई प्रक्रिया होती है जो ऊर्जा को नष्ट कर देती है, इसे गर्मी में बदल देती है (जैसे, घर्षण), तो ऊष्मीय उच्चावचन से संबंधित एक रिवर्स प्रक्रिया होती है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने से इसे सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है:

  • ड्रैग (भौतिकी) और ब्राउनियन गति
    यदि कोई वस्तु किसी द्रव के माध्यम से आगे बढ़ रही है, तो वह ड्रैग (भौतिकी) (वायु प्रतिरोध या द्रव प्रतिरोध) का अनुभव करती है। ड्रैग गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी में बदल देता है। संगत उच्चावचन ब्राउनियन गति है। एक द्रव में एक वस्तु स्थिर नहीं बैठती है, किंतु एक छोटे और तेजी से बदलते वेग के साथ चलती है, क्योंकि द्रव में अणु इससे टकराते हैं। ब्राउनियन गति ऊष्मा ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करती है - ड्रैग के विपरीत।
  • विद्युत प्रतिरोध और चालन और जॉनसन ध्वनि
    यदि विद्युत धारा एक तार लूप के माध्यम से उसमें एक प्रतिरोधक के साथ चल रही है, तो प्रतिरोध के कारण धारा तेजी से शून्य हो जाएगी। प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी (जूल हीटिंग) में बदल देता है। संबंधित उच्चावचन जॉनसन ध्वनि है। इसमें एक अवरोधक के साथ एक वायर लूप में वास्तव में शून्य करंट नहीं होता है, इसमें एक छोटा और तेजी से उच्चावचन वाला करंट होता है, जो अवरोध में इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के ऊष्मीय उच्चावचन के कारण होता है। जॉनसन ध्वनि ऊष्मा ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है - प्रतिरोध का उल्टा।
  • अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) और ऊष्मीय विकिरण
    जब प्रकाश किसी वस्तु से टकराता है, तो प्रकाश का कुछ अंश अवशोषित हो जाता है, जिससे वस्तु अधिक गर्म हो जाती है। इस प्रकार, प्रकाश अवशोषण प्रकाश ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देता है। संबंधित उच्चावचन ऊष्मीय विकिरण है (उदाहरण के लिए, लाल गर्म वस्तु की चमक)। ऊष्मीय विकिरण ऊष्मा ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में बदल देता है - प्रकाश अवशोषण के विपरीत। दरअसल, ऊष्मीय रेडिएशन का किरचॉफ का नियम इस बात की पुष्टि करता है कि कोई वस्तु जितनी प्रभावी रूप से प्रकाश को अवशोषित करती है, उतने ही अधिक ऊष्मीय विकिरण का उत्सर्जन करती है।

विस्तार से उदाहरण

उच्चावचन क्षय प्रमेय सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी का एक सामान्य परिणाम है जो एक प्रणाली में उच्चावचन के मध्य के संबंध को निर्धारित करता है जो विस्तृत संतुलन का पालन करता है और प्रयुक्त क्षोभ के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया करता है।

ब्राउनियन गति

उदाहरण के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति पर अपने 1905 के पेपर में उल्लेख किया कि ब्राउनियन गति में एक कण की अनियमित गति का कारण बनने वाले समान यादृच्छिक बल भी द्रव के माध्यम से कण को ​​​​खींचने का कारण बनेंगे। दूसरे शब्दों में, विश्राम की स्थिति में कण के उच्चावचन का वही मूल होता है, जो विघटनकारी घर्षण बल के विरुद्ध काम करता है, यदि कोई किसी विशेष दिशा में प्रणाली को विक्षोभ करने की प्रयास करता है।

इस अवलोकन से आइंस्टीन आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध को प्राप्त करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करने में सक्षम थे

जो फ़िक के प्रसार डी के नियम और कण गतिशीलता μ को जोड़ता है, कण के टर्मिनल वेग बहाव वेग का एक प्रयुक्त बल के अनुपात में। kB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और T पूर्ण तापमान है।

ऊष्मीय ध्वनि में अवरोधक

1928 में, जॉन बर्ट्रेंड जॉनसन ने खोज की और हैरी निक्विस्ट ने जॉनसन-निक्विस्ट ध्वनि की व्याख्या की। बिना प्रयुक्त करंट के, माध्य-स्क्वायर वोल्टेज प्रतिरोध ,व्युत्क्रमबैंडविड्थ पर निर्भर करता है, और जिस पर वोल्टेज मापा जाता है:[4]

File:JohnsonThermalNoise.png
रेसिस्टर में जॉनसन-निक्विस्ट ऊष्मीय ध्वनि को दर्शाने के लिए एक सरल परिपथ।

इस अवलोकन को उच्चावचन क्षय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोध के साथ एक अवरोधक युक्त एक साधारण परिपथ लें और एक छोटे समाई के साथ एक संधारित्र . किरचॉफ के परिपथ नियम|किरचॉफ के नियम से लाभ होता है

इस अवलोकन को उच्चावचन-अपव्यय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण परिपथ लें जिसमें प्रतिरोध के साथ एक प्रतिरोधी और छोटी संधारित्र के साथ एक संधारित्र सम्मिलित है। किरचॉफ के वोल्टेज कानून की उत्पत्ति है

और इसलिए इस परिपथ के लिए प्रतिक्रिया कार्य है

कम-आवृत्ति सीमा में , इसका काल्पनिक भाग सरल है

जिसे तब पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी फंक्शन से जोड़ा जा सकता है उच्चावचन क्षय प्रमेय के माध्यम से वोल्टेज का

जॉनसन-निक्विस्ट वोल्टेज ध्वनि एक छोटी आवृत्ति बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के भीतर देखा गया था आसपास केंद्रित . इस तरह

सामान्य सूत्रीकरण

उच्चावचन क्षय प्रमेय को कई तरह से तैयार किया जा सकता है; एक विशेष रूप से उपयोगी रूप निम्नलिखित है:.

मान लीजिए कि ऊष्मीय उच्चावचन के अधीन हैमिल्टनियन यांत्रिकी के साथ एक गतिशील प्रणाली का अवलोकन योग्य है। देखने योग्य अपने औसत मान के आसपास उच्चावचन करेगा, जिसमें पावर स्पेक्ट्रम की विशेषता वाले उच्चावचन होंगे। मान लीजिए कि हम समय-भिन्न, स्थानिक रूप से स्थिर क्षेत्र पर स्विच कर सकते हैं जो हैमिल्टनियन को में बदल देता है। समय-निर्भर क्षेत्र के लिए अवलोकन योग्य की प्रतिक्रिया को पहले दर्शाया गया है प्रणाली की संवेदनशीलता या रैखिक प्रतिक्रिया फलन द्वारा क्रम है

जहां क्षोभ रुद्धोष्म रूप से (बहुत धीरे-धीरे) चालू होती है .

उच्चावचन क्षय प्रमेय के दो-तरफा पावर स्पेक्ट्रम (अर्थात घनात्मक और ऋणात्मकदोनों आवृत्तियों) को संवेदनशीलता के फूरियर रूपांतरण के काल्पनिक भाग से संबंधित करता है:

जो फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म कन्वेंशन के अंतर्गत आता है, बायां हाथ में उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है, दायां हाथ एक दोलन क्षेत्र द्वारा पंप किए जाने पर प्रणाली द्वारा नष्ट होने वाली ऊर्जा से निकटता से संबंधित है।.

यह प्रमेय का मौलिक रूप है; क्वांटम उच्चावचन को प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जाता हैव्युत्क्रम(जिसकी सीमा साथ है ). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से एक पहचान, एलएसजेड कमी के माध्यम से एक प्रमाण पाया जा सकता है।

उच्चावचन क्षय प्रमेय को अंतरिक्ष-निर्भर क्षेत्रों के स्थिति में, कई चर या क्वांटम-यांत्रिकी सेटिंग के स्थिति में सीधे विधि से सामान्यीकृत किया जा सकता है।[1] एक विशेष स्थिति जिसमें उच्चावचन वाली मात्रा ही ऊर्जा है, आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट गर्मी के लिए उच्चावचन क्षय प्रमेय है।[5]

व्युत्पत्ति

मौलिक संस्करण

हम ऊपर दिए गए रूप में उच्चावचन क्षय प्रमेय को उसी संकेतन का उपयोग करके प्राप्त करते हैं।

निम्नलिखित परीक्षण स्थिति पर विचार करें: क्षेत्र f अनंत समय से चालू है और t=0 पर बंद है

जहाँ हेविसाइड फलन है।हम की अपेक्षा मूल्य व्यक्त कर सकते हैंव्युत्क्रमप्रायिकता वितरण W(x, 0) और संक्रमण संभाव्यता द्वारा

प्रायिकता बंटन फलन W(x, 0) एक संतुलन बंटन है और इसलिए हैमिल्टनियन के लिए बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दिया गया

जहाँ . कमजोर मैदान के लिए , हम दाईं ओर विस्तार कर सकते हैं

यहाँ क्षेत्र की अनुपस्थिति में संतुलन वितरण है। इस सन्निकटन को सूत्र में रखने पर पैदावार

 

 

 

 

(*)

जहां क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक्स का ऑटो-सहसंबंध फलन है:

ध्यान दें कि एक क्षेत्र की अनुपस्थिति में समय-शिफ्ट के तहत प्रणाली अपरिवर्तनीय है। हम फिर से लिख सकते हैंव्युत्क्रमसंवेदनशीलता का उपयोग करना प्रणाली का और इसलिए उपरोक्त समीकरण (*) के साथ खोजें

फलस्वरूप,

 

 

 

 

(**)

आवृत्ति निर्भरता के बारे में एक बयान देने के लिए, समीकरण (**) के फूरियर रूपांतरण को लेना आवश्यक है। भागों द्वारा एकीकृत करके, यह दिखाना संभव है

तब से वास्तविक और सममित है, यह इस प्रकार है

अंत में, स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, वीनर-खिनचिन प्रमेय कहता है कि दो तरफा पावर स्पेक्ट्रम ऑटो-सहसंबंध फलन के फूरियर रूपांतरण के समान है:

इसलिए, यह इस प्रकार है

क्वांटम संस्करण

उच्चावचन क्षय प्रमेय ब्याज के अवलोकन योग्य के सहसंबंध फलन से संबंधित है (उच्चावचन का एक उपाय) प्रतिक्रिया फलन के काल्पनिक भाग के लिए आवृत्ति डोमेन में (क्षय का एक उपाय)। इन राशियों के मध्य एक लिंक तथाकथित कुबो सूत्र के माध्यम से पाया जा सकता है[6]

जो बाद में, रैखिक प्रतिक्रिया फलन सिद्धांत की धारणाओं के तहत, अवलोकन योग्य के समेकन औसत के विकास के समय से एक विक्षोभ करने वाले स्रोत की उपस्थिति में। एक बार फूरियर रूपांतरित हो जाने के बाद, कुबो सूत्र प्रतिक्रिया फलन के काल्पनिक भाग को लिखने की अनुमति देता है

विहित समुच्चय में, दूसरे पद को फिर से व्यक्त किया जा सकता है

जहां दूसरी समानता में हमने पुन: स्थान दिया ट्रेस की चक्रीय गुण का उपयोग करना। अगला, तीसरी समानता में, हमने डाला ट्रेस के बगल में और व्याख्या की एक समय विकास ऑपरेटर के रूप में काल्पनिक समय अंतराल के साथ . काल्पनिक समय बदलाव में बदल जाता हैव्युत्क्रमफूरियर रूपांतरण के बाद का कारक

और इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति क्वांटम उच्चावचन-क्षय संबंध के रूप में आसानी से फिर से लिखा जा सकता है [7]

जहां विद्युत वर्णक्रमीय घनत्व ऑटो-सहसंबंध का फूरियर रूपांतरण और हैव्युत्क्रमबोस-आइंस्टीन सांख्यिकी है। बोस-आइंस्टीन वितरण फलन है

इस प्रकार, मौलिक स्थिति में जो प्राप्त हुआ है, उससे अलग, क्वांटम सीमा में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व बिल्कुल आवृत्ति-सममित नहीं है। क्रमानुसार, ऑपरेटरों के कम्यूटेशन नियमों से उत्पन्न होने वाला एक काल्पनिक भाग है।[8] अतिरिक्तशब्द की अभिव्यक्ति में घनात्मक आवृत्तियों पर सहज उत्सर्जन से जुड़ा हुआ भी माना जा सकता है। एक अक्सर उद्धृत परिणाम सममित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व भी है

क्वांटम उच्चावचन से जुड़ा हुआ माना जा सकता है, या शून्य-बिंदु ऊर्जा से। अवलोकनीय की शून्य-बिंदु गति . पर्याप्त उच्च तापमान पर, , यानी क्वांटम योगदान नगण्य है, और हम मौलिक संस्करण को पुनर्प्राप्त करते हैं।

ग्लासी प्रणाली में उल्लंघन

जबकि उच्चावचन क्षय प्रमेय विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों की प्रतिक्रिया के मध्य एक सामान्य संबंध प्रदान करता है, जब विस्तृत संतुलन का उल्लंघन होता है तो उच्चावचन की तुलना क्षय अधिक जटिल होती है। तथाकथित कांच के तापमान के नीचे , स्पिन ग्लास संतुलित नहीं होते हैं, और धीरे-धीरे उनकी संतुलन स्थिति तक पहुंचते हैं। संतुलन के लिए यह धीमा दृष्टिकोण विस्तृत संतुलन के उल्लंघन का पर्याय है। इस प्रकार इन प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए बड़े समय-मानों की आवश्यकता होती है, जबकि वे धीरे-धीरे संतुलन की ओर बढ़ते हैं।

ग्लासी प्रणाली, विशेष रूप से स्पिन चश्मा, Ref में उच्चावचन-क्षय संबंध के उल्लंघन का अध्ययन करने के लिए।[9] सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके त्रि-आयामी एडवर्ड्स-एंडरसन मॉडल द्वारा वर्णित मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (यानी उनकी सहसंबंध लंबाई की तुलना में बड़ी) के संख्यात्मक सिमुलेशन का प्रदर्शन किया। उनके सिमुलेशन में, प्रणाली को प्रारंभ में उच्च तापमान पर तैयार किया जाता है, तेजी से एक तापमान पर ठंडा किया जाता हैव्युत्क्रमकांच के तापमान के नीचे, और बहुत लंबे समय के लिए संतुलन के लिए छोड़ दियाव्युत्क्रमएक चुंबकीय क्षेत्र के तहत . फिर, बाद में , दो गतिशील वेधशालाओं की जांच की जाती है, अर्थात् प्रतिक्रिया कार्य

और स्पिन-टेम्पोरल सहसंबंध फलन
जहाँ नोड पर रहने वाला स्पिन हैव्युत्क्रममात्रा के घन जाली का , और चुंबकीयकरण घनत्व है। इस प्रणाली में उच्चावचन-क्षय संबंध इन अवलोकनों के संदर्भ में लिखा जा सकता है


उनके परिणाम इस अपेक्षा की पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे प्रणाली को लंबे समय के लिए संतुलित करने के लिए छोड़ दिया जाता है, उच्चावचन-क्षय संबंध संतुष्ट होने के निकट होता है।

1990 के दशक के मध्य में, स्पिन ग्लास मॉडल की गतिशीलता के अध्ययन में उच्चावचन क्षय प्रमेय का एक सामान्यीकरण खोजा गया था। [10] जो स्पर्शोन्मुख गैर-स्थिर अवस्थाओं के लिए है, जहां संतुलन संबंध में दिखाई देने वाला तापमान समय के पैमाने पर गैर-तुच्छ निर्भरता के साथ एक प्रभावी तापमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संबंध ग्लासी प्रणाली में उन मॉडलों से परे रखने का प्रस्ताव है जिनके लिए इसे प्रारंभ में पाया गया था।

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ 1.0 1.1 H.B. Callen; T.A. Welton (1951). "Irreversibility and Generalized Noise". Physical Review. 83 (1): 34–40. Bibcode:1951PhRv...83...34C. doi:10.1103/PhysRev.83.34.
  2. ↑ Einstein, Albert (May 1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik. 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806.
  3. ↑ Nyquist H (1928). "Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors". Physical Review. 32 (1): 110–113. Bibcode:1928PhRv...32..110N. doi:10.1103/PhysRev.32.110.
  4. ↑ Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2009). थर्मल भौतिकी में अवधारणाएं. OUP Oxford.
  5. ↑ Nielsen, Johannes K.; Dyre, Jeppe C. (1996-12-01). "आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट ताप के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय". Physical Review B (in English). 54 (22): 15754–15761. Bibcode:1996PhRvB..5415754N. doi:10.1103/PhysRevB.54.15754. ISSN 0163-1829. PMID 9985643.
  6. ↑ Kubo R (1966). "उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय". Reports on Progress in Physics. 29 (1): 255–284. Bibcode:1966RPPh...29..255K. doi:10.1088/0034-4885/29/1/306. S2CID 250892844.
  7. ↑ Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig (2005). "क्वांटम ब्राउनियन गति के मौलिक पहलू". Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. 15 (2): 026105. arXiv:quant-ph/0412052. Bibcode:2005Chaos..15b6105H. doi:10.1063/1.1853631. PMID 16035907. S2CID 9787833.
  8. ↑ Clerk, A. A.; Devoret, M. H.; Girvin, S. M.; Marquardt, Florian; Schoelkopf, R. J. (2010). "क्वांटम शोर, मापन और प्रवर्धन का परिचय". Reviews of Modern Physics. 82 (2): 1155. arXiv:0810.4729. Bibcode:2010RvMP...82.1155C. doi:10.1103/RevModPhys.82.1155. S2CID 119200464.
  9. ↑ Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-Garcia Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David (2017). "A statics-dynamics equivalence through the fluctuation–dissipation ratio provides a window into the spin-glass phase from nonequilibrium measurements". Proceedings of the National Academy of Sciences. 114 (8): 1838–1843. arXiv:1610.01418. Bibcode:2017PNAS..114.1838B. doi:10.1073/pnas.1621242114. PMC 5338409. PMID 28174274.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  10. ↑ Cugliandolo L. F.; Kurchan J. (1993). "लंबी दूरी के स्पिन-ग्लास मॉडल के ऑफ-संतुलन गतिशीलता का विश्लेषणात्मक समाधान". Physical Review Letters. 71 (1): 173–176. arXiv:cond-mat/9303036. Bibcode:1993PhRvL..71..173C. doi:10.1103/PhysRevLett.71.173. PMID 10054401. S2CID 8591240.

संदर्भ

अग्रिम पठन

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