नेटवर्क समूहों की एन्ट्रॉपी

नेटवर्कों का एक सेट जो दी गई संरचनात्मक विशेषताओं को संतुष्ट करता है, उसे नेटवर्क समूह के रूप में माना जा सकता है। 2007 में गिनेस्ट्रा बियानकोनी द्वारा लाए गए, नेटवर्क समूह की एन्ट्रॉपी एक नेटवर्क समूह के क्रम या अनिश्चितता के स्तर को मापती है।

एंट्रॉपी ग्राफ़ की संख्या का लघुगणक है। एन्ट्रॉपी को एक नेटवर्क में भी परिभाषित किया जा सकता है। बेसिन एन्ट्रापी एक बूलियन नेटवर्क में आकर्षितकर्ताओं का लघुगणक है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी से दृष्टिकोण को नियोजित करते हुए, नेटवर्क की जटिलता, अनिश्चितता और यादृच्छिकता को विभिन्न प्रकार के अवरोधों के साथ नेटवर्क समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी

सांख्यिकीय यांत्रिकी के अनुरूप, कार्यान्वयन के लिए सूक्ष्मविहित समूहों और नेटवर्कों के विहित समूहों को पेश किया जाता है। समूह के विभाजन फ़ंक्शन Z को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है-

$$Z=\sum _{\mathbf {a} }\delta \left[{\vec {F}}(\mathbf {a} )-{\vec {C}}\right]\exp \left(\sum _{ij}h_{ij}\Theta (a_{ij})+r_{ij}a_{ij}\right)$$

जहां ${\vec {F}}(\mathbf {a} )={\vec {C}}$ अवरोध है, और $a_{ij}$ ($a_{ij}\geq {0}$) आसन्न मैट्रिक्स में तत्व हैं, $a_{ij}>0$ यदि और केवल तभी जब नोड i और नोड j के बीच कोई लिंक हो। $\Theta (a_{ij})$ एक चरण फ़ंक्शन है जिसमें $\Theta (a_{ij})=1$ है यदि $x>0$, और $\Theta (a_{ij})=0$ यदि $x=0$ है। सहायक क्षेत्रों $h_{ij}$ और $r_{ij}$ को चिरसम्मत यांत्रिकी में उष्मक के अनुरूप पेश किया गया है।

सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए, विभाजन फ़ंक्शन को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है

$$Z=\sum _{\{a_{ij}\}}\prod _{k}\delta ({\textrm {constraint}}_{k}(\{a_{ij}\}))\exp \left(\sum _{i<j}\sum _{\alpha }h_{ij}(\alpha )\delta _{a_{ij},\alpha }\right)$$

जहां $a_{ij}\in \alpha$, $\alpha$ वजन का सूचकांक है, और सरल नेटवर्क के लिए $\alpha =\{0,1\}$ है।

सूक्ष्मविहित समूहों और विहित समूहों को सरल अप्रत्यक्ष नेटवर्कों के साथ प्रदर्शित किया जाता है। सूक्ष्मविहित समूह के लिए, गिब्स एन्ट्रॉपी $\Sigma$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है-

$${\begin{aligned}\Sigma &={\frac {1}{N}}\log {\mathcal {N}}\\&={\frac {1}{N}}\log Z|_{h_{ij}(\alpha )=0\forall (i,j,\alpha )}\end{aligned}}$$

जहां ${\mathcal {N}}$ समूह की प्रमुखता को दर्शाता है, अर्थात समूह में नेटवर्कों की कुल संख्या है।

भार $\alpha$ के साथ नोड्स i और j के बीच लिंक होने की संभावना निम्न द्वारा दी गई है-

$$\pi _{ij}(\alpha )={\frac {\partial \log Z}{\partial {h_{ij}}(\alpha )}}$$

विहित समूह के लिए, एन्ट्रापी को शैनन एन्ट्रापी के रूप में प्रस्तुत किया जाता है-

$${S}=-\sum _{i<j}\sum _{\alpha }\pi _{ij}(\alpha )\log \pi _{ij}(\alpha )$$

गिब्स और शैनन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध

नेटवर्क समूह $G(N,L)$ को दिए गए नोड्स $N$ और लिंक $L$ की संख्या के साथ, और इसके संयुग्म-विहित समूह $G(N,p)$ को सूक्ष्मविहित और विहित समूह के रूप में जाना जाता है और उनके पास क्रमशः गिब्स एन्ट्रॉपी $\Sigma$ और शैनन एन्ट्रॉपी S है। $G(N,p)$ समूह में गिब्स एन्ट्रॉपी निम्न द्वारा दी गई है-

$${N}\Sigma =\log \left({\begin{matrix}{\cfrac {N(N-1)}{2}}\\L\end{matrix}}\right)$$

$G(N,p)$ समूह के लिए,

$${p}_{ij}=p={\cfrac {2L}{N(N-1)}}$$

शैनन एन्ट्रॉपी में $p_{ij}$ सम्मिलित करना

$$\Sigma =S/N+{\cfrac {1}{2N}}\left[\log \left({\cfrac {N(N-1)}{2L}}\right)-\log \left({\cfrac {N(N-1)}{2}}-L\right)\right]$$

संबंध इंगित करता है कि यादृच्छिक ग्राफ़ के प्रति नोड S/N गिब्स एन्ट्रॉपी $\Sigma$ और शैनन एन्ट्रॉपी ऊष्मागतिक सीमा $N\to \infty$ में बराबर हैं।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी क्वांटम संदर्भ में चिरसम्मत गिब्स एन्ट्रॉपी का विस्तार है। यह एन्ट्रॉपी घनत्व मैट्रिक्स $\rho$ से निर्मित है- ऐतिहासिक रूप से, इस तरह के घनत्व मैट्रिक्स के लिए प्रथम प्रस्तावित उम्मीदवार नेटवर्क से जुड़े लाप्लासियन मैट्रिक्स L की अभिव्यक्ति रहा है। किसी समूह की औसत वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की गणना इस प्रकार की जाती है-

$${S}_{VN}=-\langle \mathrm {Tr} \rho \log(\rho )\rangle$$

यादृच्छिक नेटवर्क समूह $G(N,p)$ के लिए, औसत संबद्धता $p(N-1)$ भिन्न होने पर $S_{VN}$ और $S$ के बीच संबंध गैर-मोनोटोनिक है।

विहित शक्ति-नियम नेटवर्क समूहों के लिए, दो एन्ट्रॉपियां रैखिक रूप से संबंधित हैं।

$${S}_{VN}=\eta {S/N}+\beta$$

दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रमों वाले नेटवर्क सुझाव देते हैं कि, अपेक्षित डिग्री वितरण में विविधता क्वांटम और नेटवर्क के चिरसम्मत विवरण के बीच समानता का अर्थ है, जो क्रमशः वॉन न्यूमैन और शैनन एन्ट्रॉपी से मेल खाती है।

वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की इस परिभाषा को टेंसोरियल दृष्टिकोण के साथ बहुपरत नेटवर्कों तक भी बढ़ाया जा सकता है और संरचनात्मक दृष्टिकोण से उनकी विमीयता को कम करने के लिए इसका सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है।

हालाँकि, यह दिखाया गया है कि एन्ट्रॉपी की यह परिभाषा सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित उप-योजकता (वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी की उपयोजकता देखें) के गुण को संतुष्ट नहीं करती है। इस मौलिक गुण को संतुष्ट करने वाली एक अधिक आधारभूत परिभाषा, डी डोमेनिको और बियामोंटे द्वारा क्वांटम-जैसे गिब्स अवस्था के रूप में पेश की गई है

$$\rho (\beta )={\frac {e^{-\beta L}}{Z(\beta )}}$$

जहाँ

$$Z(\beta )=Tr[e^{-\beta L}]$$

सामान्यीकरण कारक है जो विभाजन फ़ंक्शन की भूमिका निभाता है, और $\beta$ समस्वरणीय पैरामीटर है जो बहु-विभेदन विश्लेषण की अनुमति देता है। यदि $\beta$ को अस्थायी पैरामीटर के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो यह घनत्व मैट्रिक्स औपचारिक रूप से नेटवर्क के शीर्ष पर प्रसार प्रक्रिया के प्रसारक के समानुपाती होता है।

इस विशेषता का उपयोग जटिल सूचना गतिकी के सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए किया गया है, जहां घनत्व मैट्रिक्स की व्याख्या स्ट्रीम संचालकोंं के अध्यारोपण के संदर्भ में की जा सकती है, जिनकी क्रिया नोड्स के बीच सूचना प्रवाह को सक्रिय करना है। स्थूलदर्शी, मध्यदर्शी और सूक्ष्मदर्शी पैमानों पर बाद के संक्रमण की प्रणालीगत विशेषताओं को स्पष्ट करने, SARS-CoV-2 सहित वायरस-मानव इंटरैक्टोम्स के प्रोटीन-प्रोटीन अंतःक्रिया नेटवर्कों, साथ ही नोड्स के महत्व का आकलन करने के लिए नेटवर्क के भीतर सूचना प्रवाह को एकीकृत करने और नेटवर्क की दृढ़ता में उनकी भूमिका का विश्लेषण करने के लिए रूपरेखा को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।

इस दृष्टिकोण को अन्य प्रकार की गतिकी से निपटने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जैसे कि बहुपरत नेटवर्कों के शीर्ष पर यादृच्छिक चाल, उनकी संरचना में बदलाव किए बिना ऐसी प्रणालियों की विमीयता को कम करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करना। चिरसम्मत और अधिकतम-एन्ट्रॉपी यादृच्छिक चालों दोनों का उपयोग करते हुए, संबंधित घनत्व मैट्रिक्स का उपयोग मानव मस्तिष्क की नेटवर्क अवस्थाओं को एनकोड करने और कई पैमानों पर, मनोभ्रंश के विभिन्न चरणों में कनेक्टोम की सूचना क्षमता का आकलन करने के लिए किया गया है।

यह भी देखें

• विहित समूह
• सूक्ष्मविहित समूह
• अधिकतम-एन्ट्रॉपी यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल
• ग्राफ़ एन्ट्रॉपी