स्पिन निरूपण

गणित में, स्पिन निरूपण आर्बिटरी आयाम और हस्ताक्षर (अर्थात, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूह के विशेष प्रक्षेपी निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह स्पिन समूह के लाई समूह के दो समकक्ष निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इस प्रकार इनका अध्ययन सामान्यतः वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

स्पिन निरूपण के घटको को स्पिनर कहा जाता है। वह इलेक्ट्रॉन जैसे फरमिओन्स के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

इस प्रकार स्पिन निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन निरूपण को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को प्रस्तुत करके वास्तविक निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है।

इस प्रकार स्पिन निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन निरूपण अधिकांशतः अपरिवर्तनीय (गणित) द्विरेखीय रूप को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को क्लासिकल लाई समूह में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह एम्बेडिंग विशेषण होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।

सेट-अप

मान लीजिए कि V एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप Q है। इस प्रकार Q को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह O(V, Q) बनाते हैं। इस प्रकार समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(V, Q) कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ V वास्तविक के लिए, यह शब्दावलाई मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, SO(V, Q) में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह Spin(V, Q) को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता h: Spin(V, Q) → SO(V, Q) है जिसके कर्नेल में दो घटक {1, −1} दर्शाए गए हैं, जहां 1 पहचान घटक है। इस प्रकार, Spin(V, Q) के समूह घटक g और −g, SO(V, Q) की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, Spin(V, Q) में किसी भी g के लिए h(g) = h(−g) उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार समूह O(V, Q), SO(V, Q) और Spin(V, Q) सभी लाई समूह हैं और निश्चित (V, Q) के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए so(V, Q) यदि V वास्तविक है तो V इसकी सम्मिश्रता V_C = V ⊗_R C का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप Q स्वाभाविक रूप से V_C पर द्विघात रूप Q_C तक विस्तारित होता है। यह SO(V, Q) को SO(V_C, Q_C) के उपसमूह के रूप में एम्बेड करता है और इसलिए हम Spin(V, Q) को Spin(V_C, Q_C) के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त so(V_C, Q_C) so(V, Q) का सम्मिश्रता है।

इस प्रकार सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को V के आयाम n द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम V = Cⁿ मान सकते हैं और

$Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.$

इस प्रकार संबंधित लाई समूहों O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C) और उनके लाई बीजगणित so(n, C) के रूप में दर्शाया गया है .

इस प्रकार वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों (p, q) की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां n = p + q V का आयाम है और p − q हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम V = Rⁿ और मान सकते हैं

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).$

इस प्रकार संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q) और so(p, q) से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए Rⁿ के समष्टि पर R^p,q लिखते हैं।

इस प्रकार स्पिन निरूपण एक अर्थ में Spin(n, C) और Spin(p, q) का सबसे सरल निरूपण है जो SO(n, C) और SO(p, q) के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि S है, जिसमें Spin(n, C) या Spin(p, q) से सामान्य रैखिक समूह GL(S) तक एक समूह समरूपता ρ सम्मिलित है, जैसे कि घटक −1 नहीं है

यदि S एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात so(n, C) या so(p, q) से लाई बीजगणित gl(S) तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ S के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि S Spin(p, q) का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता Spin(p, q) का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो so(p, q) के निरूपण के रूप में है। इसलिए so(n, C) के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले Spin(n, C) और so(n, C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें so(p, q) और Spin(p, q) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं।

सम्मिश्र स्पिन निरूपण

मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप Q के साथ V = Cⁿ है

${\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).$

इस प्रकार ध्रुवीकरण द्वारा Q से जुड़े V पर सममित द्विरेखीय रूप को ⟨.,.⟩ दर्शाया जाता है।

आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम

इस प्रकार so(n, C) के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण W ∩ W^∗ = 0 के साथ V के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि (Q के संबंध में) की एक जोड़ी (W, W^∗) की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि n = 2m या n = 2m + 1, तो W और W^∗ दोनों का आयाम m है। यदि n = 2m, तो V = W ⊕ W^∗, जबकि यदि n = 2m + 1, तो V = W ⊕ U ⊕ W^∗, जहां U, W ⊕ W^∗ का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। इस प्रकार Q से जुड़ा द्विरेखीय रूप ⟨.,.⟩ W और W^∗ के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि W और W^∗ पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और Q अविघटित है। इसलिए W और W^∗ दोहरे सदिश समष्टि हैं।

अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि a₁, … a_m, W के लिए एक आधार है। फिर W^∗ का एक अद्वितीय आधार α₁, ... α_m है, जैसे कि

$\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

यदि A एक m × m आव्यूह है तो A इस आधार के संबंध में W के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और A^T का समष्टिांतरण W^∗ के परिवर्तन को प्रेरित करता है

$\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle$

इस प्रकार W में सभी w और w^∗ में W^∗ के लिए। यह इस प्रकार है कि V का एंडोमोर्फिज्म ρ_A, W पर A के समान, W∗ पर −A^T और U पर शून्य (यदि n विषम है) विषम है

$\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle$

सभी u, v में V के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) so(n, C) ⊂ End(V) का एक घटक है

इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके so(n, C) के कार्टन उपबीजगणित h को परिभाषित किया जाता है, so(n, C) की रैंक m है और विकर्ण n × n आव्यूह एक m-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं।

मान लीजिए ε₁, … ε_m h^∗ का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स A के लिए A, ε_k(ρ_A) की kवीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह h^∗ के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप so(n, C) की पहचान करता है स्पष्ट रूप से $\wedge ^{2}V$ के साथ है

$x\wedge <!--\; \wedge \; -->y\mapsto <!--\; \mapsto \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y}(v)=2(⟨<!--\; ⟨\; -->y,v⟩<!--\; ⟩\; -->x-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,v⟩<!--\; ⟩\; -->y),x\wedge <!--\; \wedge \; -->y\in <!--\; \in \; -->{\wedge <!--\; \wedge \; -->}^{2}V,x,y,v\in <!--\; \in \; -->V,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y}\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{s}\mathfrak{o}(n,\mathbb{C}),$