लिंडब्लाडियन: Difference between revisions
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[[क्वांटम यांत्रिकी]] में, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम [[विटोरियो गोरिनी]], [[आंद्रेज कोसाकोव्स्की]], ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी) | [[क्वांटम यांत्रिकी]] में, '''गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण''' (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम [[विटोरियो गोरिनी]], [[आंद्रेज कोसाकोव्स्की]], ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी) या गोरान लिंडब्लैड के नाम पर रखा गया है), लिंडब्लैड रूप में मास्टर समीकरण, क्वांटम लिउविलियन, या लिंडब्लैडियन [[मार्कोव प्रक्रिया]] [[क्वांटम मास्टर समीकरण]] के सामान्य रूपों में से है जो विवृत क्वांटम प्रणाली का वर्णन करता है। इस प्रकार यह क्वांटम प्रणाली प्रदर्शित के लिए श्रोडिंगर समीकरण को सामान्यीकृत करता है; अर्थात्, प्रणाली अपने वातावरण के संपर्क में हैं। परिणामी गतिशीलता अब एकात्मक नहीं है, किन्तु पुनः भी [[पूरी तरह से सकारात्मक ट्रेस-संरक्षण|ट्रेस-संरक्षण और पूर्ण रूप से धनात्मक]] या ट्रेस-संरक्षण और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूर्ण रूप से धनात्मक होने की प्रोपर्टी को संतुष्ट करती है।<ref name="BP"> | ||
{{cite book |last1=Breuer |first1=Heinz-Peter |title=The Theory of Open Quantum Systems |last2=Petruccione |first2=F. |publisher=Oxford University Press |year=2002 |isbn=978-0-1985-2063-4}}</ref> श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का | {{cite book |last1=Breuer |first1=Heinz-Peter |title=The Theory of Open Quantum Systems |last2=Petruccione |first2=F. |publisher=Oxford University Press |year=2002 |isbn=978-0-1985-2063-4}}</ref> श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का विशेष स्थिति है, जिसके कारण कुछ अनुमान लगाई गई हैं कि क्वांटम यांत्रिकी को लिंडब्लैड समीकरण के आगे के अनुप्रयोग और विश्लेषण के माध्यम से उत्पादक रूप से विस्तारित और विस्तारित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Weinberg|first=Steven|author-link=Steven Weinberg|title=राज्य वैक्टर के बिना क्वांटम यांत्रिकी|doi=10.1103/PhysRevA.90.042102|journal=Phys. Rev. A| volume=90 | page=042102 | year=2014|issue=4|arxiv=1405.3483|bibcode=2014PhRvA..90d2102W|s2cid=53990012}}</ref> श्रोडिंगर समीकरण [[जितना राज्य|स्थिति सदिश]] से संबंधित है, जो केवल [[शुद्ध क्वांटम अवस्था]] का वर्णन कर सकता है और इस प्रकार [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] की तुलना में कम सामान्य है, जो [[मिश्रित अवस्था (भौतिकी)]] का भी वर्णन कर सकता है। | ||
== प्रेरणा == | == प्रेरणा == | ||
क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, | इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, प्रणाली का समय विकास एकात्मक गतिशीलता द्वारा नियंत्रित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रक्रिया में कोई क्षय नहीं होता है और चरण सुसंगतता बनी रहती है, और यह इस तथ्य का परिणाम है कि स्वतंत्रता की सभी भाग लेने वाली डिग्री पर विचार किया जाता है। चूंकि, कोई भी वास्तविक भौतिक प्रणाली पूर्णतः पृथक नहीं है, और अपने पर्यावरण के साथ इंट्रैक्ट करेगी। प्रणाली के बाहर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ इस अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप वातावरण में ऊर्जा का अपव्यय होता है, जिससे चरण का क्षय और यादृच्छिककरण होता है। इससे भी अधिक, किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया को समझना विभिन्न सामान्यतः देखी जाने वाली घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है, जैसे उत्तेजित परमाणुओं से प्रकाश का सहज उत्सर्जन, या लेजर जैसे विभिन्न क्वांटम तकनीकी उपकरणों का प्रदर्शन किया गया था। | ||
किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के | इस प्रकार किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के समाधान के लिए कुछ गणितीय तकनीकें प्रस्तुत की गई हैं। इनमें घनत्व आव्यूह और उससे जुड़े मास्टर समीकरण का उपयोग का उपयोग किया जाता है। जबकि सैद्धांतिक रूप से क्वांटम गतिशीलता को हल करने का यह दृष्टिकोण श्रोडिंगर चित्र या [[हाइजेनबर्ग चित्र]] के समान है, यह असंगत प्रक्रियाओं को सम्मिलित करने की अधिक सरलता से अनुमति देता है, जो पर्यावरणीय इंट्रैक्ट का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व संचालक की प्रोपर्टी यह है कि यह क्वांटम स्थितियों के मौलिक मिश्रण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इस प्रकार तथाकथित विवृत क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता का स्पष्ट वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
इस प्रकार प्रणाली के घनत्व आव्यूह के लिए लिंडब्लैड मास्टर समीकरण {{mvar|ρ}} के रूप में लिखा जा सकता है <ref name="BP"/> (शैक्षणिक परिचय के लिए आप इसका उल्लेख कर सकते हैं <ref>{{cite journal|last=Manzano|first=Daniel|title=लिंडब्लैड मास्टर समीकरण का संक्षिप्त परिचय|doi=10.1063/1.5115323 | |||
|journal=AIP Advances | volume=10 | page=025106 | year=2020|issue=2|arxiv=1906.04478|bibcode=2020AIPA...10b5106M|s2cid=184487806}}</ref>) | |journal=AIP Advances | volume=10 | page=025106 | year=2020|issue=2|arxiv=1906.04478|bibcode=2020AIPA...10b5106M|s2cid=184487806}}</ref>) | ||
<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{i}^{} \gamma_i\left(L_i\rho L_i^\dagger -\frac{1}{2} \left\{L_i^\dagger L_i, \rho\right\} \right)</math> | <math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{i}^{} \gamma_i\left(L_i\rho L_i^\dagger -\frac{1}{2} \left\{L_i^\dagger L_i, \rho\right\} \right)</math> | ||
जहाँ <math>\{a, b\} = ab + ba </math> [[एंटीकम्यूटेटर]] है, <math>H</math> हैमिल्टनियन प्रणाली है, जो गतिकी के एकात्मक तथ्यों का वर्णन करती है, और <math>L_i</math> जंप संचालक का समूह है जो गतिशीलता के विघटनकारी भाग का वर्णन करता है। जंप संचालक का आकार बताता है कि पर्यावरण प्रणाली पर कैसे कार्य करता है, और अंततः प्रणाली-पर्यावरण गतिशीलता के सूक्ष्म मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए। इस प्रकार अंत में, <math>\gamma_i \geq 0</math> गैर-ऋणात्मक गुणांकों का सेट है जिसे अवमंदन दर कहा जाता है। यदि सभी <math>\gamma_i = 0</math> एकात्मक प्लाज्मा का वर्णन करने वाले वॉन न्यूमैन गुणांक <math>\dot\rho=-(i/\hbar)[H,\rho]</math> को पुनः प्राप्त करना संभव है, जो मौलिक लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का क्वांटम एनालॉग है। | |||
अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है | अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है | ||
:<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{n,m } h_{nm}\left(A_n\rho A_m^\dagger-\frac{1}{2}\left\{A_m^\dagger A_n, \rho\right\}\right)</math> | :<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{n,m } h_{nm}\left(A_n\rho A_m^\dagger-\frac{1}{2}\left\{A_m^\dagger A_n, \rho\right\}\right)</math> | ||
जहाँ <math>\{A_m\}</math> इच्छानुसार संचालक हैं और {{mvar|h}} [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित आव्यूह]] आव्यूह है। इस प्रकार उत्तरार्द्ध यह सुनिश्चित करने के लिए सख्त आवश्यकता है कि गतिशीलता ट्रेस-संरक्षित और पूर्ण रूप से धनात्मक है। की संख्या <math>A_m</math> संचालक का कार्य इच्छानुसार है, और उन्हें किसी विशेष गुण को पूर्ण करने की आवश्यकता नहीं है। किन्तु यदि <math>N</math>-आयामी प्रणाली है , इसे दिखाया जा सकता है <ref name="BP" /> कि मास्टर समीकरण <math>N^2-1</math> संचालक को सेट द्वारा पूर्ण रूप से वर्णित किया जा सकता है, किन्तु वह संचालक के समष्टि के लिए आधार बनाते हों। | |||
चूँकि आव्यूह {{mvar|h}} धनात्मक अर्धनिश्चित है, इसे एकात्मक परिवर्तन {{mvar|u}} के साथ विकर्ण किया जा सकता है: | |||
:<math>u^\dagger h u = \begin{bmatrix} | :<math>u^\dagger h u = \begin{bmatrix} | ||
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0 & 0 & \cdots & \gamma_{N^2-1} | 0 & 0 & \cdots & \gamma_{N^2-1} | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
जहां | जहां ईजेनवैल्यू {{mvar|γ<sub>i</sub>}} गैर-ऋणात्मक हैं। यदि हम किसी अन्य ऑर्थोनॉर्मल संचालक आधार को परिभाषित करते हैं | ||
:<math> L_i = \sum_j u_{ji} A_j </math> | :<math> L_i = \sum_j u_{ji} A_j </math> | ||
यह मास्टर समीकरण को पहले के समान रूप में कम कर देता है: | इस प्रकार यह मास्टर समीकरण को पहले के समान रूप में कम कर देता है: | ||
<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{i}^{} \gamma_i\left(L_i\rho L_i^\dagger -\frac{1}{2} \left\{L_i^\dagger L_i, \rho\right\} \right)</math> | <math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{i}^{} \gamma_i\left(L_i\rho L_i^\dagger -\frac{1}{2} \left\{L_i^\dagger L_i, \rho\right\} \right)</math> | ||
| Line 39: | Line 40: | ||
===क्वांटम गतिशील अर्धसमूह=== | ===क्वांटम गतिशील अर्धसमूह=== | ||
{{Main| | {{Main|क्वांटम मार्कोव अर्धसमूह}} | ||
लिंडब्लैडियन द्वारा विभिन्न समय के लिए बनाए गए मानचित्रों को सामूहिक रूप से क्वांटम | इस प्रकार लिंडब्लैडियन द्वारा विभिन्न समय के लिए बनाए गए मानचित्रों को सामूहिक रूप से क्वांटम गतिशील अर्धसमूह के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो एकल समय पैरामीटर <math>\phi_t</math> द्वारा अनुक्रमित घनत्व आव्यूह के समष्टि पर क्वांटम गतिशील मानचित्रों <math>t \ge 0</math> का एक वर्ग है जो अर्धसमूह का पालन करता है। | ||
:<math>\phi_s(\phi_t(\rho)) = \phi_{t+s}(\rho) , \qquad t,s \ge 0.</math> | :<math>\phi_s(\phi_t(\rho)) = \phi_{t+s}(\rho) , \qquad t,s \ge 0.</math> | ||
लिंडब्लैड समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है | इस प्रकार लिंडब्लैड समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है | ||
:<math>\mathcal{L}(\rho) = \mathrm{lim}_{\Delta t \to 0} \frac{\phi_{\Delta t}(\rho)-\phi_0(\rho)}{\Delta t}</math> | :<math>\mathcal{L}(\rho) = \mathrm{lim}_{\Delta t \to 0} \frac{\phi_{\Delta t}(\rho)-\phi_0(\rho)}{\Delta t}</math> | ||
जो | जो <math>\phi_t</math> की रैखिकता द्वारा एक रैखिक सुपरसंचालक है। अर्धसमूह को इस प्रकार पुनर्प्राप्त किया जा सकता है | ||
:<math>\phi_{t+s}(\rho) = e^{\mathcal{L}s} \phi_t(\rho).</math> | :<math>\phi_{t+s}(\rho) = e^{\mathcal{L}s} \phi_t(\rho).</math> | ||
| Line 51: | Line 52: | ||
===अपरिवर्तनीय गुण=== | ===अपरिवर्तनीय गुण=== | ||
लिंडब्लाड समीकरण किसी भी एकात्मक परिवर्तन | इस प्रकार लिंडब्लाड समीकरण लिंडब्लाड संचालक और स्थिरांकों के किसी भी एकात्मक परिवर्तन {{mvar|v}} के अनुसार अपरिवर्तनीय है | ||
:<math> \sqrt{\gamma_i} L_i \to \sqrt{\gamma_i'} L_i' = \sum_{j} v_{ij} \sqrt{\gamma_j} L_j ,</math> | :<math> \sqrt{\gamma_i} L_i \to \sqrt{\gamma_i'} L_i' = \sum_{j} v_{ij} \sqrt{\gamma_j} L_j ,</math> | ||
और | और विषम परिवर्तन के अनुसार भी | ||
:<math> L_i \to L_i' = L_i + a_i I,</math> | :<math> L_i \to L_i' = L_i + a_i I,</math> | ||
:<math> H \to H' = H + \frac{1}{2i} \sum_j \gamma_j \left (a_j^* L_j - a_j L_j^\dagger \right ) +bI,</math> | :<math> H \to H' = H + \frac{1}{2i} \sum_j \gamma_j \left (a_j^* L_j - a_j L_j^\dagger \right ) +bI,</math> | ||
जहाँ {{mvar|a<sub>i</sub>}} सम्मिश्र संख्याएँ हैं और {{mvar|b}} एक वास्तविक संख्या है। चूंकि पहला परिवर्तन संचालको {{mvar|L<sub>i</sub>}} की ऑर्थोनोर्मैलिटी को नष्ट कर देता है (जब तक कि सभी {{mvar|γ<sub>i</sub>}} समान न हों) और दूसरा परिवर्तन ट्रेसलेसनेस को नष्ट कर देता है। इसलिए लिंडब्लाड समीकरण के विकर्ण रूप के {{mvar|γ<sub>i</sub>}} {{mvar|L<sub>i</sub>}} के मध्य विकृति तक गतिशीलता द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है जब तक हमें उन्हें ऑर्थोनॉर्मल और ट्रेसलेस होने की आवश्यकता होती है। | |||
===हाइजेनबर्ग चित्र=== | ===हाइजेनबर्ग चित्र=== | ||
श्रोडिंगर चित्र में घनत्व | इस प्रकार श्रोडिंगर चित्र में घनत्व आव्यूह के लिंडब्लैड-प्रकार के विकास को प्रत्येक क्वांटम अवलोकन योग्य {{mvar|X}} के लिए गति के निम्नलिखित (विकर्ण) समीकरण का उपयोग करके हेइज़ेनबर्ग चित्र में समकक्ष रूप से वर्णित किया जा सकता है: | ||
:<math>\dot{X} = \frac{i}{\hbar} [H, X] +\sum_i \gamma_i \left(L_i^\dagger X L_i -\frac{1}{2}\left\{L_i^\dagger L_i, X\right\} \right).</math> | :<math>\dot{X} = \frac{i}{\hbar} [H, X] +\sum_i \gamma_i \left(L_i^\dagger X L_i -\frac{1}{2}\left\{L_i^\dagger L_i, X\right\} \right).</math> | ||
समान समीकरण एरेनफेस्ट प्रमेय द्वारा दिए गए वेधशालाओं के अपेक्षित मूल्यों के समय विकास का वर्णन करता है। श्रोडिंगर चित्र लिंडब्लाड समीकरण की ट्रेस-संरक्षण प्रोपर्टी के अनुरूप, हाइजेनबर्ग चित्र समीकरण [[यूनिटल मानचित्र]] है, अर्थात यह पहचान संचालक को संरक्षित करता है। | |||
श्रोडिंगर चित्र लिंडब्लाड समीकरण की ट्रेस-संरक्षण | |||
==भौतिक व्युत्पत्ति== | ==भौतिक व्युत्पत्ति== | ||
लिंडब्लैड मास्टर समीकरण विभिन्न प्रकार के | लिंडब्लैड मास्टर समीकरण विभिन्न प्रकार के विवृत क्वांटम प्रणाली के विकास का वर्णन करता है, जैसे प्रणाली अशक्त रूप से मार्कोवियन जलाशय से जुड़ी हुई है।<ref name="BP"/> ध्यान दें कि {{mvar|H}} समीकरण में प्रदर्शित होना आवश्यक रूप से प्रत्यक्ष प्रणाली हैमिल्टनियन के समान नहीं है, किन्तु इसमें प्रणाली-पर्यावरण इंटरैक्शन से उत्पन्न होने वाली प्रभावी एकात्मक गतिशीलता भी सम्मिलित हो सकती है। | ||
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