लिंडब्लाडियन: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 89: | Line 89: | ||
हम यह मानकर व्युत्पत्ति के साथ आगे बढ़ते हैं कि इंट्रैक्ट <math> t=0 </math> पर शुरू हुई है, और उस समय प्रणाली और बाथ के मध्य कोई संबंध नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रारंभिक स्थिति <math> \chi(0) = \rho(0) R_0 </math> के रूप में कारक योग्य है, जहां <math> R_0 </math> प्रारंभ में बाथ का घनत्व संचालक है। | हम यह मानकर व्युत्पत्ति के साथ आगे बढ़ते हैं कि इंट्रैक्ट <math> t=0 </math> पर शुरू हुई है, और उस समय प्रणाली और बाथ के मध्य कोई संबंध नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रारंभिक स्थिति <math> \chi(0) = \rho(0) R_0 </math> के रूप में कारक योग्य है, जहां <math> R_0 </math> प्रारंभ में बाथ का घनत्व संचालक है। | ||
उपरोक्त भिन्न-अभिन्न समीकरण उत्पन्न में से <math> \operatorname{tr}_R \tilde{\chi} = \tilde{\rho} </math> की स्वतंत्रता की डिग्री का पता लगाने से पता चलता है | |||
:<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\chi}(t')]]\} </math> | :<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\chi}(t')]]\} </math> | ||
यह समीकरण प्रणाली घनत्व आव्यूह की समय गतिशीलता के लिए स्पष्ट है किन्तु स्वतंत्रता की बाथ डिग्री की गतिशीलता के पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता है। बोर्न सन्निकटन नामक सरलीकरण धारणा बाथ की विशालता और युग्मन की सापेक्ष | यह समीकरण प्रणाली घनत्व आव्यूह की समय गतिशीलता के लिए स्पष्ट है किन्तु स्वतंत्रता की बाथ डिग्री की गतिशीलता के पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता है। बोर्न सन्निकटन नामक सरलीकरण धारणा बाथ की विशालता और युग्मन की सापेक्ष अशक्त पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि बाथ के लिए प्रणाली के युग्मन से बाथ के आइजेनस्टेट्स में महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होना चाहिए। इस स्थिति में पूर्ण घनत्व आव्यूह प्रत्येक समय के लिए <math> \tilde{\chi}(t)=\tilde{\rho}(t)R_0 </math> के रूप में गुणनखंडनीय है। मास्टर समीकरण बनता है | ||
:<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\rho}(t')R_0]]\} </math> | :<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\rho}(t')R_0]]\} </math> | ||
समीकरण अब स्वतंत्रता की डिग्री प्रणाली में स्पष्ट है, किन्तु इसे हल करना बहुत | समीकरण अब स्वतंत्रता की डिग्री प्रणाली में स्पष्ट है, किन्तु इसे हल करना बहुत कठिन है। अंतिम धारणा बोर्न-मार्कोव सन्निकटन है कि घनत्व आव्यूह का समय व्युत्पन्न केवल इसकी वर्तमान स्थिति पर निर्भर करता है, न कि इसके अतीत पर यह धारणा तीव्र बाथ गतिशीलता के अनुसार मान्य है, जिसमें बाथ के अन्दर सहसंबंध बहुत तीव्रता से विलुप्त हो जाते हैं, और समीकरण के दाईं ओर <math> \rho(t')\rightarrow \rho(t)</math> को प्रतिस्थापित करने के समान होता है। | ||
:<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\rho}(t)R_0]]\} </math> | :<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\rho}(t)R_0]]\} </math> | ||
| Line 102: | Line 101: | ||
:<math>H_{BS}=\sum_i \alpha_i \Gamma_i</math> | :<math>H_{BS}=\sum_i \alpha_i \Gamma_i</math> | ||
प्रणाली संचालक | प्रणाली संचालक <math> \alpha_i </math> और बाथ संचालक के लिए <math> \Gamma_i </math> फिर <math>\tilde{H}_{BS}=\sum_i \tilde{\alpha}_i \tilde{\Gamma}_i</math> मास्टर समीकरण बन जाता है | ||
:<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \sum_i \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\Gamma}_i(t),[\tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\Gamma}_j(t'),\tilde{\rho}(t)R_0]]\} </math> | :<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \sum_i \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\Gamma}_i(t),[\tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\Gamma}_j(t'),\tilde{\rho}(t)R_0]]\} </math> | ||
| Line 108: | Line 107: | ||
:<math>\dot{\tilde{\rho}} = - \sum_i \int^t_0 dt' \left[ \left( \tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\rho}(t) - \tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_j(t') \right) \langle\tilde{\Gamma}_i(t)\tilde{\Gamma}_j(t')\rangle + \left( \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\alpha}_i(t) - \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_i(t) \right) \langle\tilde{\Gamma}_j(t')\tilde{\Gamma}_i(t)\rangle \right] </math> | :<math>\dot{\tilde{\rho}} = - \sum_i \int^t_0 dt' \left[ \left( \tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\rho}(t) - \tilde{\alpha}_i(t) \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_j(t') \right) \langle\tilde{\Gamma}_i(t)\tilde{\Gamma}_j(t')\rangle + \left( \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\alpha}_i(t) - \tilde{\alpha}_j(t') \tilde{\rho}(t) \tilde{\alpha}_i(t) \right) \langle\tilde{\Gamma}_j(t')\tilde{\Gamma}_i(t)\rangle \right] </math> | ||
आपेक्षित मान <math> \langle \Gamma_i\Gamma_j \rangle=\operatorname{tr}\{\Gamma_i\Gamma_jR_0\} </math> स्वतंत्रता की बाथ डिग्री के संबंध में हैं। इन सहसंबंधों के तेजी से क्षय को मानते हुए (आदर्श रूप से <math> \langle \Gamma_i(t)\Gamma_j(t') \rangle \propto \delta(t-t') </math>) उपरोक्त रूप में लिंडब्लैड सुपरऑपरेटर L प्राप्त किया गया है। | |||
इन सहसंबंधों के | |||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
एक जंप संचालक <math> F </math> और कोई एकात्मक विकास नहीं होने के लिए लिंडब्लाड सुपरऑपरेटर घनत्व आव्यूह <math> \rho </math> पर कार्य करता है | |||
:<math> \mathcal{D}[F](\rho) ={F\rho F^\dagger} -\frac{1}{2}\left( F^\dagger F \rho + \rho F^\dagger F\right) </math> | :<math> \mathcal{D}[F](\rho) ={F\rho F^\dagger} -\frac{1}{2}\left( F^\dagger F \rho + \rho F^\dagger F\right) </math> | ||
ऐसा शब्द नियमित रूप से लिंडब्लाड समीकरण में पाया जाता है जैसा कि [[ क्वांटम प्रकाशिकी |क्वांटम प्रकाशिकी]] में उपयोग किया जाता है, जहां यह जलाशय से फोटॉन के अवशोषण या उत्सर्जन को व्यक्त कर सकता है। यदि कोई अवशोषण और उत्सर्जन दोनों चाहता है, तो उसे प्रत्येक के लिए जंप संचालक की आवश्यकता होगी। यह सबसे सामान्य लिंडब्लाड समीकरण की ओर ले जाता है जो [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] (उदाहरण के लिए फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर | ऐसा शब्द नियमित रूप से लिंडब्लाड समीकरण में पाया जाता है जैसा कि [[ क्वांटम प्रकाशिकी |क्वांटम प्रकाशिकी]] में उपयोग किया जाता है, जहां यह जलाशय से फोटॉन के अवशोषण या उत्सर्जन को व्यक्त कर सकता है। यदि कोई अवशोषण और उत्सर्जन दोनों चाहता है, तो उसे प्रत्येक के लिए जंप संचालक की आवश्यकता होगी। यह सबसे सामान्य लिंडब्लाड समीकरण की ओर ले जाता है जो [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] (उदाहरण के लिए फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर या फैब्री-पेरोट कैविटी) के डंपिंग का वर्णन करता है, जो जंप संचालक के साथ [[थर्मल जलाशय|तापीय जलाशय]] से जुड़ा होता है। | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 123: | Line 121: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
यहाँ <math>\overline{n}</math> थरथरानवाला को भिगोने वाले जलाशय में उत्तेजनाओं की औसत संख्या है और {{mvar|γ}} क्षय दर है. यदि हम आवृत्ति के साथ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त एकात्मक विकास भी जोड़ते हैं <math> \omega_c </math>, हमने प्राप्त | यहाँ <math>\overline{n}</math> थरथरानवाला को भिगोने वाले जलाशय में उत्तेजनाओं की औसत संख्या है और {{mvar|γ}} क्षय दर है. यदि हम आवृत्ति के साथ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त एकात्मक विकास भी जोड़ते हैं <math> \omega_c </math>, हमने प्राप्त | ||
यहां <math>\overline{n}</math> ऑसिलेटर को भिगोने वाले जलाशय में उत्तेजनाओं की औसत संख्या है और {{mvar|γ}} क्षय दर है। यदि हम आवृत्ति <math> \omega_c </math> के साथ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त एकात्मक विकास भी जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त होता हैं | |||
:<math> \dot{\rho}=-i[\omega_c a^\dagger a,\rho]+\gamma_1\mathcal{D}[F_1](\rho) + \gamma_2\mathcal{D}[F_2](\rho). </math> | :<math> \dot{\rho}=-i[\omega_c a^\dagger a,\rho]+\gamma_1\mathcal{D}[F_1](\rho) + \gamma_2\mathcal{D}[F_2](\rho). </math> | ||
अतिरिक्त लिंडब्लैड संचालक को डिफ़ेज़िंग और कंपन संबंधी | अतिरिक्त लिंडब्लैड संचालक को डिफ़ेज़िंग और कंपन संबंधी रिलेक्स के विभिन्न रूपों को मॉडल करने के लिए सम्मिलित किया जा सकता है। इन विधियों को ग्रिड-आधारित घनत्व आव्यूह प्रसार विधियों में सम्मिलित किया गया है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
*क्वांटम मास्टर समीकरण | *क्वांटम मास्टर समीकरण | ||
* [[रेडफील्ड समीकरण]] | * [[रेडफील्ड समीकरण]] | ||
* ओपन क्वांटम सिस्टम | |||
* [[क्वांटम जंप विधि]] | * [[क्वांटम जंप विधि]] | ||
Revision as of 01:49, 5 December 2023
क्वांटम यांत्रिकी में, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम विटोरियो गोरिनी, आंद्रेज कोसाकोव्स्की, ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी) या गोरान लिंडब्लैड के नाम पर रखा गया है), लिंडब्लैड रूप में मास्टर समीकरण, क्वांटम लिउविलियन, या लिंडब्लैडियन मार्कोव प्रक्रिया क्वांटम मास्टर समीकरण के सामान्य रूपों में से है जो विवृत क्वांटम प्रणाली का वर्णन करता है। यह क्वांटम प्रणाली प्रदर्शित के लिए श्रोडिंगर समीकरण को सामान्यीकृत करता है; अर्थात्, प्रणाली अपने वातावरण के संपर्क में हैं। परिणामी गतिशीलता अब एकात्मक नहीं है, किन्तु पुनः भी ट्रेस-संरक्षण और पूर्ण रूप से धनात्मक या ट्रेस-संरक्षण और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूर्ण रूप से धनात्मक होने की प्रोपर्टी को संतुष्ट करती है।[1] श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का विशेष स्थिति है, जिसके कारण कुछ अनुमान लगाई गई हैं कि क्वांटम यांत्रिकी को लिंडब्लैड समीकरण के आगे के अनुप्रयोग और विश्लेषण के माध्यम से उत्पादक रूप से विस्तारित और विस्तारित किया जा सकता है।[2] श्रोडिंगर समीकरण स्थिति सदिश से संबंधित है, जो केवल शुद्ध क्वांटम अवस्था का वर्णन कर सकता है और इस प्रकार घनत्व आव्यूह की तुलना में कम सामान्य है, जो मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का भी वर्णन कर सकता है।
प्रेरणा
क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, प्रणाली का समय विकास एकात्मक गतिशीलता द्वारा नियंत्रित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रक्रिया में कोई क्षय नहीं होता है और चरण सुसंगतता बनी रहती है, और यह इस तथ्य का परिणाम है कि स्वतंत्रता की सभी भाग लेने वाली डिग्री पर विचार किया जाता है। चूंकि, कोई भी वास्तविक भौतिक प्रणाली पूर्णतः पृथक नहीं है, और अपने पर्यावरण के साथ इंट्रैक्ट करेगी। प्रणाली के बाहर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ इस अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप वातावरण में ऊर्जा का अपव्यय होता है, जिससे चरण का क्षय और यादृच्छिककरण होता है। इससे भी अधिक, किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया को समझना विभिन्न सामान्यतः देखी जाने वाली घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है, जैसे उत्तेजित परमाणुओं से प्रकाश का सहज उत्सर्जन, या लेजर जैसे विभिन्न क्वांटम तकनीकी उपकरणों का प्रदर्शन किया गया था।
किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के समाधान के लिए कुछ गणितीय तकनीकें प्रस्तुत की गई हैं। इनमें घनत्व आव्यूह और उससे जुड़े मास्टर समीकरण का उपयोग का उपयोग किया जाता है। जबकि सैद्धांतिक रूप से क्वांटम गतिशीलता को हल करने का यह दृष्टिकोण श्रोडिंगर चित्र या हाइजेनबर्ग चित्र के समान है, यह असंगत प्रक्रियाओं को सम्मिलित करने की अधिक सरलता से अनुमति देता है, जो पर्यावरणीय इंट्रैक्ट का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व संचालक की प्रोपर्टी यह है कि यह क्वांटम स्थितियों के मौलिक मिश्रण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इस प्रकार तथाकथित विवृत क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता का स्पष्ट वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है।
परिभाषा
प्रणाली के घनत्व आव्यूह के लिए लिंडब्लैड मास्टर समीकरण ρ के रूप में लिखा जा सकता है [1] (शैक्षणिक परिचय के लिए आप इसका उल्लेख कर सकते हैं [3])
जहाँ एंटीकम्यूटेटर है, हैमिल्टनियन प्रणाली है, जो गतिकी के एकात्मक तथ्यों का वर्णन करती है, और जंप संचालक का समूह है जो गतिशीलता के विघटनकारी भाग का वर्णन करता है। जंप संचालक का आकार बताता है कि पर्यावरण प्रणाली पर कैसे कार्य करता है, और अंततः प्रणाली-पर्यावरण गतिशीलता के सूक्ष्म मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए। अंत में, गैर-ऋणात्मक गुणांकों का सेट है जिसे अवमंदन दर कहा जाता है। यदि सभी एकात्मक प्लाज्मा का वर्णन करने वाले वॉन न्यूमैन गुणांक को पुनः प्राप्त करना संभव है, जो मौलिक लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का क्वांटम एनालॉग है।
अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है
जहाँ इच्छानुसार संचालक हैं और h धनात्मक-निश्चित आव्यूह आव्यूह है। उत्तरार्द्ध यह सुनिश्चित करने के लिए सख्त आवश्यकता है कि गतिशीलता ट्रेस-संरक्षित और पूर्ण रूप से धनात्मक है। की संख्या संचालक का कार्य इच्छानुसार है, और उन्हें किसी विशेष गुण को पूर्ण करने की आवश्यकता नहीं है। किन्तु यदि -आयामी प्रणाली है , इसे दिखाया जा सकता है [1] कि मास्टर समीकरण