लिंडब्लाडियन: Difference between revisions

{{Short description|Markovian quantum master equation for density matrices (mixed states)}}

== प्रेरणा ==

==परिभाषा==

|journal=AIP Advances | volume=10 | page=025106 | year=2020|issue=2|arxiv=1906.04478|bibcode=2020AIPA...10b5106M|s2cid=184487806}}</ref>)

<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{i}^{} \gamma_i\left(L_i\rho L_i^\dagger -\frac{1}{2} \left\{L_i^\dagger L_i, \rho\right\} \right)</math>

अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है

:<math>\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{n,m } h_{nm}\left(A_n\rho A_m^\dagger-\frac{1}{2}\left\{A_m^\dagger A_n, \rho\right\}\right)</math>

मैट्रिक्स के बाद से {{mvar|h}} सकारात्मक अर्धनिश्चित है, यह [[एकात्मक परिवर्तन]] के साथ [[विकर्णीय मैट्रिक्स]] हो सकता है {{mvar|u}}:

{{Main|Quantum Markov semigroup}}

:<math>\phi_s(\phi_t(\rho)) = \phi_{t+s}(\rho) , \qquad t,s \ge 0.</math>

लिंडब्लैड समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

:<math>\mathcal{L}(\rho) = \mathrm{lim}_{\Delta t \to 0} \frac{\phi_{\Delta t}(\rho)-\phi_0(\rho)}{\Delta t}</math>

:<math>\phi_{t+s}(\rho) = e^{\mathcal{L}s} \phi_t(\rho).</math>

:<math> L_i \to  L_i' =  L_i + a_i I,</math>

:<math> H \to  H' =  H + \frac{1}{2i} \sum_j \gamma_j \left (a_j^* L_j - a_j L_j^\dagger \right ) +bI,</math>

हालाँकि, पहला परिवर्तन ऑपरेटरों की रूढ़िवादिता को नष्ट कर देता है {{mvar|L_i}} (जब तक कि सभी {{mvar|γ_i}} बराबर हैं) और दूसरा परिवर्तन ट्रेसलेसनेस को नष्ट कर देता है। इसलिए, के बीच पतन तक {{mvar|γ_i}}, द {{mvar|L_i}}लिंडब्लाड समीकरण के विकर्ण रूप को गतिशीलता द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जब तक हमें उन्हें ऑर्थोनॉर्मल और ट्रेसलेस होने की आवश्यकता होती है।

श्रोडिंगर चित्र में घनत्व मैट्रिक्स के लिंडब्लाड-प्रकार के विकास को हाइजेनबर्ग चित्र में समकक्ष रूप से वर्णित किया जा सकता है

:<math>\dot{X} = \frac{i}{\hbar} [H, X] +\sum_i \gamma_i \left(L_i^\dagger X L_i -\frac{1}{2}\left\{L_i^\dagger L_i, X\right\} \right).</math>

एक समान समीकरण एरेनफेस्ट प्रमेय द्वारा दिए गए वेधशालाओं के अपेक्षित मूल्यों के समय विकास का वर्णन करता है।

==भौतिक व्युत्पत्ति==

{{cite book | first1=Robert | last1=Alicki | first2=Karl | last2=Lendi | title=Quantum Dynamical Semigroups and Applications | series=Lecture Notes in Physics | publisher=Springer | year=2007 | volume=717 | doi=10.1007/3-540-70861-8| isbn=978-3-540-70860-5 }}</ref><ref>[[Howard Carmichael|Carmichael, Howard]]. ''An Open Systems Approach to Quantum Optics''. Springer Verlag, 1991</ref> सिस्टम और पर्यावरण दोनों पर हैमिल्टनियन अभिनय से शुरू होने वाले लिंडब्लैडियन की तीन सामान्य प्रकार की व्युत्पत्तियों को शामिल किया गया है: कमजोर युग्मन सीमा (नीचे विस्तार से वर्णित), कम घनत्व सन्निकटन, और एकवचन युग्मन सीमा। इनमें से प्रत्येक, पर्यावरण के सहसंबंध कार्यों के संबंध में विशिष्ट भौतिक धारणाओं पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कमजोर युग्मन सीमा व्युत्पत्ति में, कोई आम तौर पर मानता है कि (ए) पर्यावरण के साथ सिस्टम के सहसंबंध धीरे-धीरे विकसित होते हैं, (बी) सिस्टम क्षय के कारण पर्यावरण की उत्तेजनाएं तेजी से बढ़ती हैं, और (सी) शब्द जो तेजी से दोलन कर रहे हैं जब तुलना की

ब्याज की प्रणाली समयसीमा की उपेक्षा की जा सकती है। इन तीन सन्निकटनों को बोर्न कहा जाता है,

मार्कोव, और घूर्णन तरंग, क्रमशः।<ref name="VA">This paragraph was adapted from {{cite arXiv |last=Albert |first=Victor V. |eprint=1802.00010 |title=Lindbladians with multiple steady states: theory and applications|year=2018 |class=quant-ph }}</ref>

:<math> H= H_S + H_B + H_{BS} \, </math>

:<math> \dot{\tilde{\chi}}=-i[\tilde{H}_{BS},\tilde{\chi}] \, </math>

:<math> \tilde{\chi}(t)=\tilde{\chi}(0) -i\int^t_0 dt' [\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\chi}(t')] </math>

:<math> \dot{\tilde{\chi}}=-i[\tilde{H}_{BS}(t),\tilde{\chi}(0)] - \int^t_0 dt' [\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\chi}(t')]]</math>

:<math> \dot{\tilde{\rho}}= - \int^t_0 dt' \operatorname{tr}_R\{[\tilde{H}_{BS}(t),[\tilde{H}_{BS}(t'),\tilde{\chi}(t')]]\} </math>