अनबाउंड ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 12:01, 3 December 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण और संचालिका सिद्धांत में, परिबद्ध संचालिका की धारणा विभेदक संचालक, क्वांटम यांत्रिकी में असीमित वेधशालाओं और अन्य स्तिथियों से निपटने के लिए अमूर्त रूपरेखा प्रदान करती है।

चूंकि असीमित संचालिका शब्द भ्रामक हो सकता है।

असीमित को कभी-कभी यह समझा जाना चाहिए कि आवश्यक रूप से बाध्य नहीं है;
संचालिका को रैखिक संचालिका के रूप में समझा जाना चाहिए (जैसा कि परिबद्ध संचालिका के स्तिथि में होता है);
संचालिका का कार्यक्षेत्र रैखिक उप-स्थान है, आवश्यक नहीं कि संपूर्ण स्थान हो;
यह रैखिक उपस्थान आवश्यक रूप से संवृत समुच्चय नहीं है; अधिकांशतः (किन्तु सदैव नहीं) इसे सघन (सांस्थितिक) माना जाता है;
एक परिबद्ध संचालिका के विशेष स्तिथि में, फिर भी, कार्यक्षेत्र को सामान्यतः संपूर्ण स्थान माना जाता है।

परिबद्ध संचालक के विपरीत, किसी दिए गए स्थान पर असीमित संचालिका किसी क्षेत्र पर बीजगणित नहीं बनाते हैं, न ही रैखिक स्थान बनाते हैं, क्योंकि प्रत्येक को अपने स्वयं के कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है।

संचालिका शब्द का अर्थ अधिकांशतः परिबद्ध रेखीय संचालिका होता है, किन्तु इस लेख के संदर्भ में इसका अर्थ ऊपर दिए गए आरक्षणों के साथ, असीमित संचालिका है। और दिया गया स्थान हिल्बर्ट स्थान माना जाता है।^{[clarification needed]} बनच स्थान और अधिक सामान्य संस्थानिक सदिश स्थान के लिए कुछ सामान्यीकरण संभव हैं।

संक्षिप्त इतिहास

हिल्बर्ट स्थान क्वांटम यांत्रिकी के लिए कठोर गणितीय रूप विकसित करने के भाग के रूप में असीमित संचालक का सिद्धांत 1920 के दशक के अंत और 1930 के दशक की आरंभ में विकसित हुआ।^[1] किन्तु सिद्धांत का विकास जॉन वॉन न्यूमैन और मार्शल स्टोन के कारण हुआ है।^[2] ^[3] वॉन न्यूमैन ने 1932 में असीमित संचालक का विश्लेषण करने के लिए फलन के ग्राफ़ का उपयोग प्रारंभ किया।^[4]

परिभाषाएँ और बुनियादी गुण

मान लीजिए कि $X, Y$ बनच स्थान हैं। असीमित संचालिका (या बस संचालिका) $T : D (T) \to Y$ रेखीय मानचित्र $T$ है जो एक रैखिक उपस्थान से $D (T) \subseteq X$ —का कार्यक्षेत्र $T$ —स्थान $Y$ तक है।^[5] सामान्य परिपाटी के विपरीत, $T$ को संपूर्ण स्थान $X$ पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

एक संचालिका $T$ को संवृत संचालिका कहा जाता है यदि इसका फलन ग्राफ़ $Γ(T)$ एक संवृत समुच्चय है.^[6] (यहाँ, ग्राफ $Γ(T)$ के प्रत्यक्ष योग $X \oplus Y$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग का रैखिक उपस्थान है जिसे, सभी जोड़ियों $(x, Tx)$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित , जहाँ $x$ , $T$ के कार्यक्षेत्र पर चलता है.) स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि $T$ प्रत्येक अनुक्रम {x_n} के लिए कार्यक्षेत्र इस प्रकार है कि $x n \to x$ और $Tx n \to y$ , यह उसे धारण करता है की $x$ , $T$ और $Tx = y$ के कार्यक्षेत्र के अंतर्गत आता है.^[6] क्लोजनेस को ग्राफ मानदंड के संदर्भ में भी तैयार किया जा सकता है: संचालिका $T$ संवृत है यदि और केवल यदि इसका कार्यक्षेत्र $D (T)$ मानक के संबंध में पूर्ण स्थान है:^[7]

\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.

एक संचालिका $T$ को सघन रूप से परिभाषित संचालिका कहा जाता है यदि इसका कार्यक्षेत्र $X$ सघन रूप से समुच्चय है .^[5]इसमें संपूर्ण स्थान $X$ पर परिभाषित संचालिका भी सम्मिलित हैं , चूंकि संपूर्ण स्थान अपने आप में सघन है। कार्यक्षेत्र की सघनता सहायक के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त है (यदि $X$ और $Y$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं) और स्थानान्तरण; नीचे अनुभाग देखें.

यदि $T : X \to Y$ अपने कार्यक्षेत्र पर संवृत, सघन रूप से परिभाषित और निरंतर संचालिका है, तो इसका कार्यक्षेत्र संपूर्ण $X$ है.^{[nb 1]}

हिल्बर्ट स्थान $H$ पर सघन रूप से परिभाषित संचालिका $T$ को नीचे से परिबद्ध हुआ कहा जाता है यदि $T + a$ किसी वास्तविक संख्या $a$ के लिए धनात्मक संकारक है। अर्थात्, $T$ के कार्यक्षेत्र में सभी $x$ के लिए $⟨ Tx | x ⟩ \geq - a || x || 2$ के क्षेत्र में (या वैकल्पिक रूप से $⟨ Tx | x ⟩ \geq a || x || 2$ चूँकि से $a$ मनमाना है)।^[8] यदि दोनों $T$ और $- T$ फिर नीचे से बाध्य हैं तो $T$ परिबद्ध है।^[8]

उदाहरण

मान लीजिए कि $C ([0, 1])$ इकाई अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान को निरूपित करें, और $C 1 ([0, 1])$ निरंतर भिन्न-भिन्न कार्यों के स्थान को निरूपित करें। हम $C([0,1])$ सर्वोच्च मानदंड $\|\cdot \|_{\infty }$ के साथ, सुसज्जित करते हैं, इसे बानाच स्थान बना रहा है। शास्त्रीय विभेदीकरण संचालिका को $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/dx : C1([0, 1]) → C([0, 1])$ सामान्य सूत्र द्वारा परिभाषित करें :

\left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].

प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत है, इसलिए $C 1 ([0, 1]) \subseteq C ([0, 1])$ . हम इसका प्रभुत्व करते हैं,कि $d / dx : C ([0, 1]) \to C ([0, 1])$ कार्यक्षेत्र $C 1 ([0, 1])$ के साथ अच्छी तरह से परिभाषित असीमित संचालिका है . इसके लिए हमें वो दिखाना होगा कि ${\frac {d}{dx}}$ रैखिक है और फिर, उदाहरण के लिए, कुछ $\{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])$ को इस प्रकार प्रदर्शित करें कि $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ और $\sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty$ .

यह एक रैखिक संचालिका है, क्योंकि दो निरंतर अवकलनीय फलनों $f, g$ का एक रैखिक संयोजन $a f + bg$ भी निरंतर अवकलनीय है, और

\left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).

संचालिका बाध्य नहीं है. उदाहरण के लिए,

{\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}

संतुष्ट

\left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,

किन्तु

\left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty

जैसा $n\to \infty$ .

संचालिका सघन रूप से परिभाषित और संवृत है।

उसी संचालिका को संचालिका माना जा सकता है $Z \to Z$ बनच स्थान के कई विकल्पों के लिए $Z$ और उनमें से किसी के बीच सीमित न रहें। साथ ही, इसे संचालिका के रूप में भी बाध्य किया जा सकता है $X \to Y$ बानाच स्थानों के अन्य जोड़े के लिए $X, Y$ , और संचालिका के रूप में भी $Z \to Z$ कुछ संस्थानिक सदिश स्थान के लिए $Z$ . उदाहरण के तौर पर चलो $I \subset R$ खुला अंतराल बनें और विचार करें

{\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),

जहाँ:

\|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.

संयुक्त

एक असीमित संचालिका के एडजॉइंट को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $T:D(T)\subseteq H_{1}\to H_{2}$ हिल्बर्ट स्थानों के बीच असीमित संचालिका बनें।

सबसे पहले, इसे तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे कोई बंधे हुए संचालिका के जोड़ को कैसे परिभाषित करता है। अर्थात्, जोड़ $T^{*}:D\left(T^{*}\right)\subseteq H_{2}\to H_{1}$ का $T$ को संपत्ति वाले संचालिका के रूप में परिभाषित किया गया है:

\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).

ज्यादा ठीक,

T^{*}y

निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया गया है। यदि

y\in H_{2}

इस प्रकार कि

x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle

के क्षेत्र पर सतत रैखिक कार्यात्मक है

T

, तब

y

का तत्व घोषित किया गया है

D\left(T^{*}\right),

और हैन-बानाच प्रमेय के माध्यम से पूरे स्थान में रैखिक कार्यात्मकता का विस्तार करने के बाद, कुछ खोजना संभव है

z

में

H_{1}

ऐसा है कि

\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),

चूँकि रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय हिल्बर्ट स्थान के निरंतर दोहरेपन की अनुमति देता है

H_{1}

आंतरिक उत्पाद द्वारा दिए गए रैखिक कार्यात्मकताओं के समुच्चय से पहचाना जाना। यह सदिश

z

द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है

y

यदि और केवल यदि रैखिक कार्यात्मक

x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle

सघन रूप से परिभाषित है; या समकक्ष, यदि

T

सघन रूप से परिभाषित है। अंत में, दे रहा हूँ

T^{*}y=z

का निर्माण पूरा करता है

T^{*},

जो आवश्यक रूप से रेखीय मानचित्र है। जोड़

T^{*}y

अस्तित्व में है यदि और केवल यदि

T

सघन रूप से परिभाषित है।

परिभाषा के अनुसार, का कार्यक्षेत्र $T^{*}$ तत्वों से मिलकर बनता है $y$ में $H_{2}$ ऐसा है कि $x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle$ के क्षेत्र में निरंतर है $T$ . नतीजतन, का कार्यक्षेत्र $T^{*}$ कुछ भी हो सकता है; यह तुच्छ हो सकता है (अर्थात इसमें केवल शून्य होता है)।^[9] ऐसा हो सकता है कि का कार्यक्षेत्र $T^{*}$ संवृत हाइपरप्लेन है और $T^{*}$ कार्यक्षेत्र पर हर जगह गायब हो जाता है।^[10]^[11] इस प्रकार, की सीमा $T^{*}$ इसके कार्यक्षेत्र की सीमा का तात्पर्य नहीं है $T$ . दूसरी ओर, यदि $T^{*}$ तब संपूर्ण स्थान पर परिभाषित किया गया है $T$ अपने कार्यक्षेत्र पर घिरा हुआ है और इसलिए इसे संपूर्ण स्थान पर बंधे हुए संचालिका तक निरंतरता द्वारा बढ़ाया जा सकता है।^{[nb 2]} यदि का कार्यक्षेत्र $T^{*}$ घना है, तो उसका जोड़ है $T^{**}.$ ^[12] एक संवृत सघन रूप से परिभाषित संचालिका $T$ यदि और केवल यदि परिबद्ध है $T^{*}$ घिरा है।^{[nb 3]} योजक की अन्य समकक्ष परिभाषा सामान्य तथ्य पर ध्यान देकर प्राप्त की जा सकती है। रैखिक संचालिका को परिभाषित करें $J$ निम्नलिखित नुसार:^[12]

{\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}

तब से

J

सममितीय अनुमान है, यह एकात्मक है। इस तरह:

J(\Gamma (T))^{\bot }

कुछ संचालिका का ग्राफ़ है

S

यदि और केवल यदि

T

सघन रूप से परिभाषित है।^[13] साधारण गणना से पता चलता है कि यह कुछ है

S

संतुष्ट करता है:

\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},

हरएक के लिए

x

के क्षेत्र में

T

. इस प्रकार

S

का जोड़ है

T

.

उपरोक्त परिभाषा से यह तुरंत पता चलता है कि जोड़ $T^{*}$ बन्द है।^[12]विशेष रूप से, स्व-सहायक संचालिका (अर्थ $T=T^{*}$ ) बन्द है। संचालिका $T$ संवृत है और सघन रूप से परिभाषित है यदि और केवल यदि $T^{**}=T.$ ^{[nb 4]}

परिबद्ध संचालक के लिए कुछ प्रसिद्ध गुण संवृत सघन रूप से परिभाषित संचालक के लिए सामान्यीकरण करते हैं। संवृत संचालिका का कर्नेल संवृत है। इसके अलावा, संवृत सघन रूप से परिभाषित संचालिका का कर्नेल $T:H_{1}\to H_{2}$ जोड़ की सीमा के ऑर्थोगोनल पूरक के साथ मेल खाता है। वह है,^[14]

\operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.

वॉन न्यूमैन का प्रमेय यह बताता है

T^{*}T

और

TT^{*}

स्व-सहायक हैं, और वह

I+T^{*}T

और

I+TT^{*}

दोनों में सीमित व्युत्क्रम हैं।^[15] यदि

T^{*}

इसमें तुच्छ कर्नेल है,

T

की सघन सीमा है (उपरोक्त पहचान के अनुसार।) इसके अलावा:

T

विशेषण है यदि और केवल यदि कोई है

K>0

ऐसा है कि

\|f\|_{2}\leq K\left\|T^{*}f\right\|_{1}

सभी के लिए

f

में

D\left(T^{*}\right).

^{[nb 5]} (यह अनिवार्य रूप से तथाकथित संवृत सीमा प्रमेय का प्रकार है।) विशेष रूप से,

T

ने यदि और केवल यदि की सीमा संवृत कर दी है

T^{*}

संवृत सीमा है.

परिबद्ध स्तिथि के विपरीत, यह आवश्यक नहीं है $(TS)^{*}=S^{*}T^{*},$ चूँकि, उदाहरण के लिए, यह भी संभव है $(TS)^{*}$ मौजूद नहीं होना। हालाँकि, यह स्तिथि है, उदाहरण के लिए, $T$ घिरा है।^[16]

एक सघन रूप से परिभाषित, संवृत संचालिका $T$ को सामान्य संचालिका कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों को पूरा करता है:^[17]

$T^{*}T=TT^{*}$ ;
का कार्यक्षेत्र $T$ के कार्यक्षेत्र के बराबर है $T^{*},$ और $\|Tx\|=\left\|T^{*}x\right\|$ हरएक के लिए $x$ इस कार्यक्षेत्र में;
स्व-सहायक संचालिका मौजूद हैं $A,B$ ऐसा है कि $T=A+iB,$ $T^{*}=A-iB,$ और $\|Tx\|^{2}=\|Ax\|^{2}+\|Bx\|^{2}$ हरएक के लिए $x$ के क्षेत्र में $T$ .

प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सामान्य है।

स्थानांतरण

मान लीजिए कि $T:B_{1}\to B_{2}$ बनच स्थानों के बीच संचालिका बनें। फिर स्थानान्तरण (या दोहरा) ${}^{t}T:{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}$ का $T$ क्या रैखिक संचालिका संतोषजनक है:

\langle Tx,y'\rangle =\langle x,\left({}^{t}T\right)y'\rangle

सभी के लिए

x\in B_{1}

और

y\in B_{2}^{*}.

यहां, हमने संकेतन का उपयोग किया है:

\langle x,x'\rangle =x'(x).

^[18]

के स्थानान्तरण के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त $T$ अस्तित्व में रहना ही वह है $T$ सघन रूप से परिभाषित किया गया है (अनिवार्य रूप से उसी कारण से जो जोड़ों के लिए है, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है।)

किसी भी हिल्बर्ट स्थान के लिए $H,$ वहाँ विरोधी रेखीय समरूपता है:

J:H^{*}\to H

द्वारा दिए गए

Jf=y

जहाँ

f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H).

इस समरूपता के माध्यम से, स्थानान्तरण

{}^{t}T

जोड़ से संबंधित है

T^{*}

इस अनुसार:^[19]

T^{*}=J_{1}\left({}^{t}T\right)J_{2}^{-1},

जहाँ

J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}

. (परिमित-आयामी स्तिथि के लिए, यह इस तथ्य से मेल खाता है कि मैट्रिक्स का जोड़ इसका संयुग्म स्थानान्तरण है।) ध्यान दें कि यह स्थानान्तरण के संदर्भ में जोड़ की परिभाषा देता है।

संवृत रैखिक संचालिका

क्लोज्ड रेखीय संचालिका्स बानाच स्थान पर रेखीय संचालिका्स का वर्ग है। वे बंधे हुए संचालक की तुलना में अधिक सामान्य हैं, और इसलिए आवश्यक रूप से निरंतर कार्य नहीं करते हैं, किन्तु वे अभी भी पर्याप्त गुण बरकरार रखते हैं कि कोई ऐसे संचालक के लिए स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) और (कुछ मान्यताओं के साथ) कार्यात्मक कैलकुलस को परिभाषित कर सकता है। कई महत्वपूर्ण रैखिक संचालिका जो परिबद्ध होने में विफल रहते हैं, संवृत हो जाते हैं, जैसे व्युत्पन्न और अंतर संचालक का बड़ा वर्ग।

मान लीजिए कि $X, Y$ दो बनच स्थान हों। रेखीय परिवर्तन $A : D (A) \subseteq X \to Y$ यदि प्रत्येक अनुक्रम के लिए संवृत है ${x n}$ में $D (A)$ किसी अनुक्रम की सीमा $x$ में $X$ ऐसा है कि $Ax n \to y \in Y$ जैसा $n \to \infty$ किसी के पास $x \in D (A)$ और $Ax = y$ .

समान रूप से, $A$ संवृत है यदि इसका फलन ग्राफ़ बनच रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग में संवृत समुच्चय है $X \oplus Y$ .

एक रैखिक संचालिका दी गई है $A$ , आवश्यक नहीं कि संवृत हो, यदि इसके ग्राफ को संवृत किया जाए $X \oplus Y$ किसी संचालिका का ग्राफ होता है, उस संचालिका को क्लोजर ऑफ कहा जाता है $A$ , और हम ऐसा कहते हैं $A$ संवृत करने योग्य है. के समापन को निरूपित करें $A$ द्वारा $A$ . यह इस प्रकार है कि $A$ का कार्य (गणित) है $A$ को $D (A)$ .

एक संवृत करने योग्य संचालिका का कोर (या आवश्यक कार्यक्षेत्र) उपसमुच्चय है $C$ का $D (A)$ जैसे कि प्रतिबंध का समापन $A$ को $C$ है $A$ .

उदाहरण

व्युत्पन्न संचालिका पर विचार करें $A = d / dx$ जहाँ $X = Y = C ([a, b])$ अंतराल पर सभी निरंतर कार्यों का बानाच स्थान है (गणित) $[a, b]$ .

यदि कोई इसका कार्यक्षेत्र ले लेता है $D (A)$ होना $C 1 ([a, b])$ , तब $A$ संवृत संचालिका है जो बाध्य नहीं है।^[20] दूसरी ओर यदि {{math|1=D(A) = [[smooth function|C^∞([a, b])]]}}, तब $A$ अब संवृत नहीं होगा, किन्तु यह संवृत होने योग्य होगा, संवृत होने पर इसका विस्तार परिभाषित किया जाएगा $C 1 ([a, b])$ .

सममित संचालिका और स्व-सहायक संचालिका

हिल्बर्ट स्थान पर संचालिका टी सममित है यदि और केवल यदि के कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x और y के लिए $T$ हमारे पास है $\langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle$ . सघन रूप से परिभाषित संचालिका $T$ सममित है यदि और केवल यदि यह अपने संलग्न टी से सहमत है^∗T के कार्यक्षेत्र तक ही सीमित है, दूसरे शब्दों में जब T^∗ का विस्तार है $T$ .^[21]

सामान्य तौर पर, यदि T सघन रूप से परिभाषित और सममित है, तो आसन्न T का कार्यक्षेत्र^∗ को T के कार्यक्षेत्र के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है। यदि T सममित है और T का कार्यक्षेत्र और एडजॉइंट का कार्यक्षेत्र मेल खाता है, तो हम कहते हैं कि T स्व-सहायक है।^[22] ध्यान दें कि, जब T स्वयं-सहायक है, तो सहायक के अस्तित्व का अर्थ है कि T सघन रूप से परिभाषित है और चूँकि T^∗ आवश्यक रूप से संवृत है, T संवृत है।

एक सघन रूप से परिभाषित संचालिका टी सममित है, यदि उप-स्थान $Γ(T)$ (पिछले अनुभाग में परिभाषित) इसकी छवि के लिए ऑर्थोगोनल है $J (Γ(T))$ J के अंतर्गत (जहाँ J(x,y):=(y,-x))।^{[nb 6]}

समान रूप से, संचालिका टी स्व-सहायक है यदि यह सघन रूप से परिभाषित, संवृत, सममित है, और चौथी शर्त को संतुष्ट करता है: दोनों संचालिका $T - i$ , $T + i$ विशेषण हैं, अर्थात, T के कार्यक्षेत्र को संपूर्ण स्थान H पर मैप करें। दूसरे शब्दों में: H में प्रत्येक x के लिए T के कार्यक्षेत्र में y और z मौजूद हैं जैसे कि $Ty - iy = x$ और $Tz + iz = x$ .^[23]

यदि दो उपस्थान हों तो संचालिका T स्व-सहायक है $Γ(T)$ , $J (Γ(T))$ ऑर्थोगोनल हैं और उनका योग संपूर्ण स्थान है $H\oplus H.$ ^[12]

यह दृष्टिकोण गैर-सघन रूप से परिभाषित संवृत संचालक को कवर नहीं करता है। गैर-घनत्व परिभाषित सममित संचालक को सीधे या ग्राफ़ के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, किन्तु सहायक संचालक के माध्यम से नहीं।

एक सममित संचालिका का अध्ययन अधिकांशतः इसके केली परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है।

जटिल हिल्बर्ट स्थान पर संचालिका टी सममित है यदि और केवल यदि इसका द्विघात रूप वास्तविक है, अर्थात संख्या $\langle Tx\mid x\rangle$ T के कार्यक्षेत्र में सभी x के लिए वास्तविक है।^[21]

एक सघन रूप से परिभाषित संवृत सममित संचालिका टी स्व-सहायक है यदि और केवल यदि टी^∗सममित है।^[24] ऐसा हो सकता है कि ऐसा न हो.^[25]^[26]

सघन रूप से परिभाषित संकारक T को धनात्मक कहा जाता है^[8] (या गैर-नकारात्मक^[27]) यदि इसका द्विघात रूप अऋणात्मक है, अर्थात, $\langle Tx\mid x\rangle \geq 0$ T के कार्यक्षेत्र में सभी x के लिए। ऐसा संचालिका आवश्यक रूप से सममित है।

संचालक टी^∗T स्व-सहायक है^[28] और सकारात्मक^[8] प्रत्येक सघन रूप से परिभाषित, संवृत टी के लिए।

सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका#स्पेक्ट्रल प्रमेय सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका्स पर लागू होता है ^[29] और इसके अलावा, सामान्य संचालक के लिए,^[30]^[31] किन्तु सामान्य तौर पर सघन रूप से परिभाषित, संवृत संचालक के लिए नहीं, क्योंकि इस स्तिथि में स्पेक्ट्रम खाली हो सकता है।^[32]^[33]

हर जगह परिभाषित सममित संचालिका संवृत है, इसलिए घिरा हुआ है,^[6]जो हेलिंगर-टोएप्लिट्ज़ प्रमेय है।^[34]

विस्तार-संबंधी

परिभाषा के अनुसार, संचालिका T, संचालिका S का विस्तार है यदि $Γ(S) \subseteq Γ(T)$ .^[35] समतुल्य प्रत्यक्ष परिभाषा: S के कार्यक्षेत्र में प्रत्येक x के लिए, x, T के कार्यक्षेत्र से संबंधित है $Sx = Tx$ .^[5]^[35]

ध्यान दें कि प्रत्येक संचालिका के लिए हर जगह परिभाषित एक्सटेंशन मौजूद है, जो कि विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तथ्य है Discontinuous linear map § General existence theorem और पसंद के सिद्धांत पर आधारित है। यदि दिया गया संचालिका परिबद्ध नहीं है तो विस्तार असंतत रैखिक मानचित्र है। इसका बहुत कम उपयोग है क्योंकि यह दिए गए संचालिका के महत्वपूर्ण गुणों को संरक्षित नहीं कर सकता है (नीचे देखें), और सामान्यतः अत्यधिक गैर-अद्वितीय है।

एक संचालिका टी को संवृत करने योग्य कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों को पूरा करता है:^[6]^[35]^[36]

टी का संवृत विस्तार है;
टी के ग्राफ का संवृत होना किसी संचालिका का ग्राफ है;
प्रत्येक अनुक्रम के लिए (x_n) T के कार्यक्षेत्र से बिंदु इस प्रकार हैं कि x_n→ 0 और Tx भी_n→ यह इसे धारण करता है $y = 0$ .

सभी संचालिका संवृत करने योग्य नहीं हैं.^[37]

एक संवृत करने योग्य संचालिका T का संवृत एक्सटेंशन सबसे कम है ${\overline {T}}$ इसे T का समापन कहा जाता है। T के ग्राफ़ का समापन, के ग्राफ़ के बराबर है ${\overline {T}}.$ ^[6]^[35] अन्य, गैर-न्यूनतम संवृत एक्सटेंशन मौजूद हो सकते हैं।^[25]^[26]

सघन रूप से परिभाषित संचालिका T संवृत हो सकता है यदि और केवल यदि T^∗ सघन रूप से परिभाषित है। इस स्तिथि में ${\overline {T}}=T^{**}$ और $({\overline {T}})^{*}=T^{*}.$ ^[12]^[38]

यदि S सघन रूप से परिभाषित है और T, S का विस्तार है तो S^∗ T का विस्तार है^∗.^[39]

प्रत्येक सममित संचालिका संवृत करने योग्य है।^[40]

एक सममित संचालिका को अधिकतम सममित कहा जाता है यदि उसके पास स्वयं को छोड़कर कोई सममित विस्तार नहीं है।^[21] प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका अधिकतम सममित है।^[21]उलटा गलत है.^[41]

एक संचालिका को अनिवार्य रूप से स्व-सहायक कहा जाता है यदि उसका समापन स्व-सहायक है।^[40] एक संचालिका अनिवार्य रूप से स्व-सहायक होता है यदि और केवल तभी जब उसके पास और केवल स्व-सहायक एक्सटेंशन हो।^[24]

एक सममित संचालिका के पास से अधिक स्व-सहायक विस्तार और यहां तक कि उनका सातत्य भी हो सकता है।^[26]

एक सघन रूप से परिभाषित, सममित संचालिका टी अनिवार्य रूप से स्व-सहायक है यदि और केवल यदि दोनों संचालिका हों $T - i$ , $T + i$ सघन सीमा है।^[42]

मान लीजिए T सघन रूप से परिभाषित संचालिका है। संबंध को दर्शाते हुए T, S द्वारा S ⊂ T का विस्तार है (Γ(S) ⊆ Γ(T) के लिए पारंपरिक संक्षिप्त नाम) निम्नलिखित है।^[43]

यदि T सममित है तो T ⊂ T^∗∗ ⊂ टी^∗.
यदि T संवृत और सममित है तो T = T^∗∗ ⊂ टी^∗.
यदि T स्व-संयुक्त है तो T = T^∗∗ = टी^∗.
यदि T मूलतः स्व-संयुक्त है तो T ⊂ T^∗∗ = टी^∗.

स्वयं-सहायक संचालक का महत्व

गणितीय भौतिकी में स्व-सहायक संचालकों का वर्ग विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। प्रत्येक स्व-सहायक संचालिका सघन रूप से परिभाषित, संवृत और सममित है। यह बातचीत बंधे हुए संचालक के लिए है किन्तु सामान्य तौर पर विफल रहती है। स्व-संयुक्तता इन तीन गुणों की तुलना में काफी हद तक अधिक प्रतिबंधित है। प्रसिद्ध सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका#स्पेक्ट्रल प्रमेय सेल्फ-एडजॉइंट संचालक के लिए लागू है। एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन के प्रमेय के साथ संयोजन में यह पता चलता है कि स्व-सहायक संचालिका दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों के असीम रूप से छोटे जनरेटर हैं, देखें Self-adjoint operator § Self-adjoint extensions in quantum mechanics. ऐसे एकात्मक समूह शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी में समय विकास का वर्णन करने के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं।

यह भी देखें

Hilbert space § Unbounded operators
स्टोन-वॉन न्यूमैन प्रमेय
परिबद्ध संचालिका

↑ Suppose f_j is a sequence in the domain of $T$ that converges to $g \in X$ . Since $T$ is uniformly continuous on its domain, Tf_j is Cauchy in $Y$ . Thus, $(f j, T f j)$ is Cauchy and so converges to some $(f, T f)$ since the graph of $T$ is closed. Hence, $f = g$ , and the domain of $T$ is closed.
↑ Proof: being closed, the everywhere defined $T^{*}$ is bounded, which implies boundedness of $T^{**},$ the latter being the closure of $T$ . See also (Pedersen 1989, 2.3.11) for the case of everywhere defined $T$ .
↑ Proof: $T^{**}=T.$ So if $T^{*}$ is bounded then its adjoint $T$ is bounded.
↑ Proof: If $T$ is closed densely defined then $T^{*}$ exists and is densely defined. Thus $T^{**}$ exists. The graph of $T$ is dense in the graph of $T^{**};$ hence $T=T^{**}.$ Conversely, since the existence of $T^{**}$ implies that that of $T^{*},$ which in turn implies $T$ is densely defined. Since $T^{**}$ is closed, $T$ is densely defined and closed.
↑ If $T$ is surjective then $T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}$ has bounded inverse, denoted by $S.$ The estimate then follows since $\|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}$ Conversely, suppose the estimate holds. Since $T^{*}$ has closed range, it is the case that $\operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).$ Since $\operatorname {ran} (T)$ is dense, it suffices to show that $TT^{*}$ has closed range. If $TT^{*}f_{j}$ is convergent then $f_{j}$ is convergent by the estimate since $\|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.$ Say, $f_{j}\to g.$ Since $TT^{*}$ is self-adjoint; thus, closed, (von Neumann's theorem), $TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.$ QED
↑ Follows from (Pedersen 1989, 5.1.5) and the definition via adjoint operators.

संदर्भ

उद्धरण

↑ Reed & Simon 1980, Notes to Chapter VIII, page 305
↑ von Neumann 1930, pp. 49–131
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↑ von Neumann 1932, pp. 294–310
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ग्रन्थसूची

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[8] Suppose f_j is a sequence in the domain of $T$ that converges to $g \in X$ . Since $T$ is uniformly continuous on its domain, Tf_j is Cauchy in $Y$ . Thus, $(f j, T f j)$ is Cauchy and so converges to some $(f, T f)$ since the graph of $T$ is closed. Hence, $f = g$ , and the domain of $T$ is closed.

[13] Proof: being closed, the everywhere defined $T^{*}$ is bounded, which implies boundedness of $T^{**},$ the latter being the closure of $T$ . See also (Pedersen 1989, 2.3.11) for the case of everywhere defined $T$ .

[15] Proof: $T^{**}=T.$ So if $T^{*}$ is bounded then its adjoint $T$ is bounded.

[17] Proof: If $T$ is closed densely defined then $T^{*}$ exists and is densely defined. Thus $T^{**}$ exists. The graph of $T$ is dense in the graph of $T^{**};$ hence $T=T^{**}.$ Conversely, since the existence of $T^{**}$ implies that that of $T^{*},$ which in turn implies $T$ is densely defined. Since $T^{**}$ is closed, $T$ is densely defined and closed.

[20] If $T$ is surjective then $T:(\ker T)^{\bot }\to H_{2}$ has bounded inverse, denoted by $S.$ The estimate then follows since $\|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}$ Conversely, suppose the estimate holds. Since $T^{*}$ has closed range, it is the case that $\operatorname {ran} (T)=\operatorname {ran} \left(TT^{*}\right).$ Since $\operatorname {ran} (T)$ is dense, it suffices to show that $TT^{*}$ has closed range. If $TT^{*}f_{j}$ is convergent then $f_{j}$ is convergent by the estimate since $\|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.$ Say, $f_{j}\to g.$ Since $TT^{*}$ is self-adjoint; thus, closed, (von Neumann's theorem), $TT^{*}f_{j}\to TT^{*}g.$ QED

[28] Follows from (Pedersen 1989, 5.1.5) and the definition via adjoint operators.

[1] Reed & Simon 1980, Notes to Chapter VIII, page 305

[2] von Neumann 1930, pp. 49–131

[Stone1932-3] Stone 1932

[4] von Neumann 1932, pp. 294–310

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[18] Brezis 1983, p. 28

[19] Yoshida 1980, p. 200

[21] Yoshida 1980, p. 195.

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[23] Yoshida 1980, p. 193

[24] Yoshida 1980, p. 196

[25] Kreyszig 1978, p. 294

[Pedersen-5.1.3-26] 21.0 ^21.1 ^21.2 ^21.3 Pedersen 1989, 5.1.3

[27] Kato 1995, 5.3.3

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[RS-250-41] 35.0 ^35.1 ^35.2 ^35.3 Reed & Simon 1980, page 250

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