पैरावेक्टर: Difference between revisions

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{{Short description|Sum of a scalar and vector in Clifford algebra}}
{{Short description|Sum of a scalar and vector in Clifford algebra}}'''पैरावेक्टर''' नाम का उपयोग किसी भी [[क्लिफोर्ड बीजगणित]] में अदिश और सदिश के संयोजन के लिए किया जाता है, जिसे भौतिकविदों के मध्य [[ज्यामितीय बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है।
{{no footnotes|date=February 2010}}


पैरावेक्टर नाम का उपयोग किसी भी [[क्लिफोर्ड बीजगणित]] में एक अदिश और एक वेक्टर के संयोजन के लिए किया जाता है, जिसे भौतिकविदों के बीच [[ज्यामितीय बीजगणित]] के रूप में जाना जाता है।
यह नाम जे.जी. मैक्स द्वारा 1989 में टेक्नीश यूनिवर्सिटिट डेल्फ़्ट, नीदरलैंड में डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दिया गया था।


यह नाम जे.जी. मैक्स द्वारा 1989 में टेक्नीश यूनिवर्सिटिट डेल्फ़्ट, नीदरलैंड में एक डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दिया गया था।
तीन आयामों की यूक्लिडियन समष्टि के संदर्भ में संबंधित उच्च ग्रेड सामान्यीकरण के साथ पैरावेक्टरों का पूर्ण बीजगणित, [[डेविड हेस्टेनेस]] द्वारा प्रस्तुत किए गए [[स्पेसटाइम बीजगणित|समष्टि-समय बीजगणित]] (एसटीए) का वैकल्पिक दृष्टिकोण है। इस वैकल्पिक बीजगणित को [[भौतिक स्थान का बीजगणित|भौतिक समष्टि का बीजगणित]] (एपीएस) भी कहा जाता है।


तीन आयामों के यूक्लिडियन अंतरिक्ष के संदर्भ में संबंधित उच्च ग्रेड सामान्यीकरण के साथ पैरावेक्टरों का पूरा बीजगणित, [[डेविड हेस्टेनेस]] द्वारा पेश किए गए [[स्पेसटाइम बीजगणित]] (एसटीए) का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है। इस वैकल्पिक बीजगणित को [[भौतिक स्थान का बीजगणित]] (एपीएस) कहा जाता है।
==मूल सिद्धांत==
 
यूक्लिडियन समष्टि के लिए, मूल सिद्धांत यह दर्शाता है कि वेक्टर का मूल सिद्धांत स्वयं लंबाई वर्ग का अदिश मान है (धनात्मक)-
==मौलिक स्वयंसिद्ध==
यूक्लिडियन रिक्त स्थान के लिए, मौलिक स्वयंसिद्ध इंगित करता है कि एक वेक्टर का उत्पाद स्वयं लंबाई वर्ग का अदिश मान है (सकारात्मक)


:<math> \mathbf{v} \mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} </math>
:<math> \mathbf{v} \mathbf{v} = \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} </math>
लिखना
लिखित रूप में-
:<math> \mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w}, </math>
:<math> \mathbf{v} = \mathbf{u} + \mathbf{w}, </math>
और इसे मौलिक स्वयंसिद्ध की अभिव्यक्ति में शामिल करना
और इसे मूल सिद्धांत की अभिव्यक्ति में सम्मिलित किया जाता है-


:<math>  
:<math>  
Line 22: Line 19:
\mathbf{w} \mathbf{w},  
\mathbf{w} \mathbf{w},  
  </math>
  </math>
मूल सिद्धांत की फिर से अपील करने पर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है
मूल सिद्धांत की पुनः अपील करने पर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है-


:<math>  
:<math>  
Line 32: Line 29:
\mathbf{w} \cdot \mathbf{w},  
\mathbf{w} \cdot \mathbf{w},  
  </math>
  </math>
जो अनुमति देता है
जो दो सदिशों के अदिश गुणनफल को निम्नलिखित के रूप में प्रमाणित करने की अनुमति देता है-
दो सदिशों के अदिश गुणनफल को इस प्रकार पहचानें


:<math> \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} =  
:<math> \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} =  
\frac{1}{2}\left( \mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} \right).  
\frac{1}{2}\left( \mathbf{u} \mathbf{w} + \mathbf{w} \mathbf{u} \right).  
</math>
</math>
एक महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो ऑर्थोगोनल वैक्टर (शून्य अदिश उत्पाद के साथ) [[एंटीकम्यूट]] हैं
महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में हम यह निष्कर्ष प्राप्त करते हैं कि दो ऑर्थोगोनल वैक्टर (शून्य अदिश मूल सिद्धांत के साथ) [[एंटीकम्यूट]] हैं-


:<math>  
:<math>  
Line 44: Line 40:
</math>
</math>


 
== त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि ==
==त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष==
निम्नलिखित सारिणी <math>C\ell_3</math> समष्टि के लिए पूर्ण आधार का उदाहरण प्रस्तुत करती है-
निम्नलिखित सूची इसके पूर्ण आधार का एक उदाहरण प्रस्तुत करती है <math>C\ell_3</math>अंतरिक्ष,


:<math> \{  1 , \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} , \{ \mathbf{e}_{23},\mathbf{e}_{31},\mathbf{e}_{12} \} , \mathbf{e}_{123}  \}, </math>
:<math> \{  1 , \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} , \{ \mathbf{e}_{23},\mathbf{e}_{31},\mathbf{e}_{12} \} , \mathbf{e}_{123}  \}, </math>
जो एक आठ-आयामी स्थान बनाता है, जहां उदाहरण के लिए, एकाधिक सूचकांक संबंधित आधार वैक्टर के उत्पाद को दर्शाते हैं
जो आठ-आयामी समष्टि बनाते है, जहाँ उदाहरण के लिए, एकाधिक सूचकांक संबंधित आधार वैक्टर के गुणनफल को दर्शाते हैं-


:<math> \mathbf{e}_{23} =  \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3  .</math>
:<math> \mathbf{e}_{23} =  \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3  .</math>
आधार तत्व का ग्रेड वेक्टर बहुलता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे कि
आधार अवयव का ग्रेड वेक्टर बहुलता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे कि-
   
   
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-


! style="background:#ffdead;" | Grade
! style="background:#ffdead;" | ग्रेड
! style="background:#ffdead;" | Type
! style="background:#ffdead;" | प्रकार
! style="background:#ffdead;" | Basis element/s
! style="background:#ffdead;" | आधार अवयव
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 0    ||  Unitary real scalar ||  <math> 1 </math>
! style="background:#efefef;"| 0    ||  एकिक वास्तविक अदिश ||  <math> 1 </math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 1    ||  Vector ||  <math> \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>
! style="background:#efefef;"| 1    ||  वेक्टर ||  <math> \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 2    ||  Bivector ||  <math> \{ \mathbf{e}_{23},\mathbf{e}_{31},\mathbf{e}_{12} \}</math>
! style="background:#efefef;"| 2    ||  '''बाइ'''वेक्टर ||  <math> \{ \mathbf{e}_{23},\mathbf{e}_{31},\mathbf{e}_{12} \}</math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 3    ||  Trivector volume element ||  <math>\mathbf{e}_{123} </math>
! style="background:#efefef;"| 3    ||  ट्राइवेक्टर आयतन अवयव ||  <math>\mathbf{e}_{123} </math>
|}
|}
मौलिक स्वयंसिद्ध के अनुसार, दो अलग-अलग आधार वेक्टर एंटीकम्यूट,
मूल सिद्धांत के अनुसार, दो भिन्न-भिन्न आधार वेक्टर एंटीकम्यूट हैं-
:<math>
:<math>
  \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i  = 2 \delta_{ij}  
  \mathbf{e}_i \mathbf{e}_j + \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i  = 2 \delta_{ij}  
</math>
</math>
या दूसरे शब्दों में,
या अन्य शब्दों में,
:<math>
:<math>
\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i \,\,; i \neq j  
\mathbf{e}_i \mathbf{e}_j = - \mathbf{e}_j \mathbf{e}_i \,\,; i \neq j  
</math>
</math>
इसका मतलब है कि आयतन तत्व <math> \mathbf{e}_{123} </math> वर्गों को <math>-1</math>
इसका अर्थ है कि आयतन अवयव <math> \mathbf{e}_{123} </math> वर्ग <math>-1</math> है-
:<math> \mathbf{e}_{123}^2 =  
:<math> \mathbf{e}_{123}^2 =  
\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 =
\mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_1 \mathbf{e}_2 \mathbf{e}_3 =
Line 83: Line 78:
  - \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 = -1.
  - \mathbf{e}_3 \mathbf{e}_3 = -1.
  </math>
  </math>
इसके अलावा, वॉल्यूम तत्व <math>\mathbf{e}_{123}</math> के किसी अन्य तत्व के साथ आवागमन करता है <math>C\ell(3)</math> बीजगणित, ताकि इसे सम्मिश्र संख्या से पहचाना जा सके <math> i </math>, जब भी भ्रम का कोई खतरा न हो। वास्तव में, आयतन तत्व  <math>\mathbf{e}_{123}</math> वास्तविक अदिश के साथ मानक जटिल बीजगणित के लिए एक बीजगणित समरूपी बनाता है। वॉल्यूम तत्व का उपयोग इसके समतुल्य रूप को फिर से लिखने के लिए किया जा सकता है
इसके अतिरिक्त, आयतन अवयव <math>\mathbf{e}_{123}</math>, <math>C\ell(3)</math> बीजगणित के किसी भी अन्य अवयव के साथ संचार करता है, जिससे भ्रम का कोई संकट न होने पर इसे सम्मिश्र संख्या <math> i </math> के साथ प्रमाणित किया जा सकता है। वास्तव में, आयतन अवयव <math>\mathbf{e}_{123}</math> वास्तविक अदिश के साथ मानक सम्मिश्र बीजगणित के लिए बीजगणित समरूपी बनाता है। आयतन अवयव का उपयोग आधार के समतुल्य रूप को पुनः अंकित करने के लिए किया जा सकता है-
आधार के रूप में


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-


! style="background:#ffdead;" | Grade
! style="background:#ffdead;" | ग्रेड
! style="background:#ffdead;" | Type
! style="background:#ffdead;" | प्रकार
! style="background:#ffdead;" | Basis element/s
! style="background:#ffdead;" | आधार अवयव
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 0    ||  Unitary real scalar ||  <math> 1 </math>
! style="background:#efefef;"| 0    ||  एकिक वास्तविक अदिश ||  <math> 1 </math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 1    ||  Vector ||  <math> \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>
! style="background:#efefef;"| 1    ||  वेक्टर ||  <math> \{ \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 2    ||  Bivector ||   
! style="background:#efefef;"| 2    ||  '''बाइ'''वेक्टर ||   
<math> \{ i \mathbf{e}_{1}, i \mathbf{e}_{2},
<math> \{ i \mathbf{e}_{1}, i \mathbf{e}_{2},
  i \mathbf{e}_{3} \}</math>
  i \mathbf{e}_{3} \}</math>
|-
|-
! style="background:#efefef;"| 3    ||  Trivector volume element ||   
! style="background:#efefef;"| 3    ||  ट्राइवेक्टर आयतन अवयव ||   
<math>i </math>
<math>i </math>
|}
|}


'''पैरावेक्टर'''


===पैरावेक्टर्स===
संबंधित पैरावेक्टर आधार जो वास्तविक अदिश और सदिशों को संयोजित करता है, वह है-
संबंधित पैरावेक्टर आधार जो वास्तविक अदिश और सदिशों को जोड़ता है, वह है


:<math>\{  1 , \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>,
:<math>\{  1 , \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3 \} </math>,


जो एक चार आयामी रैखिक स्थान बनाता है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में पैरावेक्टर स्थान <math>C\ell_3</math> भौतिक स्थान के बीजगणित (एपीएस) में व्यक्त [[विशेष सापेक्षता]] के अंतरिक्ष-समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।
जो चार आयामी रैखिक समष्टि बनाता है। त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि <math>C\ell_3</math> में पैरावेक्टर समष्टि भौतिक समष्टि के बीजगणित (एपीएस) में व्यक्त [[विशेष सापेक्षता]] के समष्टि-समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।


इकाई को अदिश के रूप में लिखना सुविधाजनक है <math>1=\mathbf{e}_0</math>, ताकि
इकाई अदिश को <math>1=\mathbf{e}_0</math> के रूप में अंकित करना सुविधाजनक है, जिससे संपूर्ण आधार को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है-
संपूर्ण आधार को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है


:<math>\{ \mathbf{e}_\mu  \}, </math>
:<math>\{ \mathbf{e}_\mu  \}, </math>
जहां ग्रीक सूचकांक जैसे <math>\mu</math> से भागो <math>0</math> को <math>3</math>.
जहाँ <math>\mu</math> जैसे ग्रीक सूचकांक <math>0</math> से <math>3</math> तक चलते हैं।


===एंटीऑटोमोर्फिज्म===
===एंटीऑटोमोर्फिज्म===


====प्रत्यावर्तन संयुग्मन====
====प्रत्यावर्तन संयुग्मन====
प्रत्यावर्तन [[एंटीऑटोमोर्फिज्म]] को निरूपित किया जाता है <math>\dagger</math>. इस संयुग्मन की क्रिया ज्यामितीय उत्पाद (सामान्य रूप से क्लिफोर्ड संख्याओं के बीच उत्पाद) के क्रम को उलटना है।
प्रत्यावर्तन [[एंटीऑटोमोर्फिज्म]] को <math>\dagger</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस संयुग्मन की क्रिया यह है कि यह ज्यामितीय मूल सिद्धांत (सामान्य रूप से क्लिफोर्ड संख्याओं के मध्य मूल सिद्धांत) के क्रम को विपरीत कर देती है।


:<math>(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger</math>,
:<math>(AB)^\dagger = B^\dagger A^\dagger</math>,


जहां सदिश और वास्तविक अदिश संख्याएं अपरिवर्तनीय हैं
जहाँ सदिश और वास्तविक अदिश संख्याएँ प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती हैं और वास्तविक कहलाती हैं, उदाहरण के लिए:
प्रत्यावर्तन संयुग्मन और वास्तविक कहा जाता है, उदाहरण के लिए:


:<math> \mathbf{a}^\dagger = \mathbf{a} </math>
:<math> \mathbf{a}^\dagger = \mathbf{a} </math>
:<math> 1^\dagger = 1 </math>
:<math> 1^\dagger = 1 </math>
दूसरी ओर, ट्राइवेक्टर और बायवेक्टर प्रत्यावर्तन के तहत संकेत बदलते हैं
दूसरी ओर, ट्राइवेक्टर और बायवेक्टर प्रत्यावर्तन के अंतर्गत संकेत परिवर्तित होते हैं और कहा जाता है कि ये पूर्ण रूप से काल्पनिक हैं। प्रत्येक आधार अवयव पर प्रयुक्त प्रत्यावर्तन संयुग्मन नीचे दिया गया है-
संयुग्मन और विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है। प्रत्येक आधार तत्व पर लागू प्रत्यावर्तन संयुग्मन दिया गया है
नीचे
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-
  ! style="background:#ffdead;" | Element
  ! style="background:#ffdead;" | अवयव
  ! style="background:#ffdead;" | Reversion conjugation
  ! style="background:#ffdead;" | प्रत्यावर्तन संयुग्मन
|-
|-
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
Line 156: Line 146:
|}
|}


'''क्लिफोर्ड संयुग्मन'''


====क्लिफोर्ड संयुग्मन====
क्लिफोर्ड संयुग्मन को वस्तु <math>\bar{ }</math> के ऊपर बार द्वारा दर्शाया जाता है। इस संयुग्मन को '''बार संयुग्मन''' भी कहा जाता है।
क्लिफोर्ड संयुग्मन को वस्तु के ऊपर एक बार द्वारा दर्शाया जाता है
<math>\bar{ }</math>. इस संयुग्मन को बार संयुग्मन भी कहा जाता है।


क्लिफोर्ड संयुग्मन ग्रेड इनवोल्यूशन और रिवर्सन की संयुक्त क्रिया है।
क्लिफोर्ड संयुग्मन ग्रेड घातक्रिया और प्रत्यावर्तन की संयुक्त क्रिया है।


पैरावेक्टर पर क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन की क्रिया के चिह्न को उल्टा करना है
पैरावेक्टर पर क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन की क्रिया, उदाहरण के लिए, वास्तविक अदिश संख्याओं के चिह्न को बनाए रखते हुए, वैक्टर के चिह्न को विपरीत करना है-
उदाहरण के लिए, सदिश, वास्तविक अदिश संख्याओं के चिह्न को बनाए रखते हुए


:<math> \bar{\mathbf{a}} = -\mathbf{a} </math>
:<math> \bar{\mathbf{a}} = -\mathbf{a} </math>
:<math> \bar{1} = 1 </math>
:<math> \bar{1} = 1 </math>
ऐसा अदिश और सदिश दोनों के प्रत्यावर्तन के अपरिवर्तनीय होने के कारण है (यह असंभव है)।
ऐसा इसलिए है क्योंकि अदिश और सदिश दोनों ही प्रत्यावर्तन के लिए अपरिवर्तनीय होते हैं (किसी वस्तु के क्रम को परिवर्तित करना असंभव है) और अदिश शून्य क्रम के होते हैं, इसलिए ये सम ग्रेड के भी होते हैं, जबकि सदिश विषम श्रेणी के होते हैं, इसलिए ग्रेड इन्वोल्यूशन के अंतर्गत इन्हें संकेत परिवर्तन करना होता है।
एक या किसी चीज़ के क्रम को उलटने के लिए) और अदिश शून्य क्रम के होते हैं और इसी तरह के भी होते हैं
सम ग्रेड जबकि वेक्टर विषम ग्रेड के होते हैं और इसलिए ग्रेड इन्वॉल्वमेंट के तहत एक संकेत परिवर्तन से गुजरना पड़ता है।


एंटीऑटोमोर्फिज्म के रूप में, क्लिफोर्ड संयुग्मन को इस प्रकार वितरित किया जाता है
एंटीऑटोमोर्फिज्म के रूप में, क्लिफोर्ड संयुग्मन को इस प्रकार वितरित किया जाता है-


:<math>\overline{AB} = \overline{B} \,\, \overline{A}</math>
:<math>\overline{AB} = \overline{B} \,\, \overline{A}</math>
प्रत्येक आधार तत्व पर लागू बार संयुग्मन दिया गया है
प्रत्येक आधार अवयव पर प्रयुक्त बार संयुग्मन नीचे दिया गया है-
नीचे
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-
  ! style="background:#ffdead;" | Element
  ! style="background:#ffdead;" | अवयव
  ! style="background:#ffdead;" | Bar conjugation
  ! style="background:#ffdead;" | बार संयुग्मन
|-
|-
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
Line 198: Line 183:
   | <math>\mathbf{e}_{123}</math>    || <math>\mathbf{e}_{123}</math>  
   | <math>\mathbf{e}_{123}</math>    || <math>\mathbf{e}_{123}</math>  
|}
|}
*ध्यान दें- बार संयुग्मन के अंतर्गत आयतन तत्व अपरिवर्तनीय है।
*ध्यान दें- बार संयुग्मन के अंतर्गत आयतन अवयव अपरिवर्तनीय है।


===ग्रेड ऑटोमोर्फिज्म===
===ग्रेड ऑटोमोर्फिज्म===
Line 205: Line 190:
  \overline{A B}^\dagger = \overline{A}^\dagger \overline{B}^\dagger  
  \overline{A B}^\dagger = \overline{A}^\dagger \overline{B}^\dagger  
</math>
</math>
इसे प्रत्यावर्तन संयुग्मन और क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन दोनों की समग्र क्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है और इसका प्रभाव सम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों को अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए, विषम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों के चिह्न को उलटने का है:
इसे प्रत्यावर्तन संयुग्मन और क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन दोनों की समग्र क्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है और इसका प्रभाव सम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों को अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए, विषम-ग्रेड मल्टीवेक्टरों के चिह्न को परिवर्तित करने का है-


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-
  ! style="background:#ffdead;" | Element
  ! style="background:#ffdead;" | अवयव
  ! style="background:#ffdead;" | Grade involution
  ! style="background:#ffdead;" | ग्रेड इन्वोल्यूशन
|-
|-
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
   | <math>1</math>  ||  <math>1</math>
Line 229: Line 214:
|}
|}


'''संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय उपसमष्टि'''


===संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय उपस्थान===
प्रत्यावर्तन और क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत उनकी समरूपता के आधार पर <math>C\ell_3</math> समष्टि में चार विशेष उपसमष्टियों को परिभाषित किया जा सकता है-
चार विशेष उपस्थानों को परिभाषित किया जा सकता है <math>C\ell_3</math> अंतरिक्ष
प्रत्यावर्तन और क्लिफोर्ड संयुग्मन के तहत उनकी समरूपता के आधार पर


* अदिश उपस्थान: क्लिफोर्ड संयुग्मन के तहत अपरिवर्तनीय।
* '''अदिश उपसमष्टि-''' यह क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है।
* वेक्टर उपस्थान: क्लिफोर्ड संयुग्मन के तहत उलट चिन्ह।
* '''सदिश उपसमष्टि-''' यह क्लिफोर्ड संयुग्मन के अंतर्गत व्युत्क्रम चिन्ह होता है।
* वास्तविक उपस्थान: प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय।
* '''वास्तविक उपसमष्टि-''' यह प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होती है।
* काल्पनिक उपस्थान: प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत व्युत्क्रम चिह्न।
* '''काल्पनिक उपसमष्टि-''' यह प्रत्यावर्तन संयुग्मन के अंतर्गत व्युत्क्रम चिह्न होता है।


दिया गया <math>p </math> एक सामान्य क्लिफ़ोर्ड संख्या के रूप में, पूरक अदिश और सदिश भाग <math>p </math> द्वारा दिए गए हैं
सामान्य क्लिफ़ोर्ड संख्या के रूप में <math>p</math> को देखते हुए, <math>p</math> के पूरक अदिश और सदिश भाग क्लिफ़ोर्ड संयुग्मन के साथ सममित और प्रतिसममित संयोजनों द्वारा दिए गए हैं-
क्लिफोर्ड संयुग्मन के साथ सममित और एंटीसिमेट्रिक संयोजन


:<math>
:<math>
Line 249: Line 232:
</math>.
</math>.


इसी प्रकार, के पूरक वास्तविक और काल्पनिक भाग <math>p</math> दिया जाता है
इसी प्रकार, <math>p</math> के पूरक वास्तविक और काल्पनिक भाग प्रत्यावर्तन संयुग्मन के साथ सममित और प्रतिसममित संयोजनों द्वारा दिए गए हैं-
प्रत्यावर्तन संयुग्मन के साथ सममित और एंटीसिमेट्रिक संयोजनों द्वारा


:<math>
:<math>
Line 259: Line 241:
</math>.
</math>.


नीचे सूचीबद्ध चार चौराहों को परिभाषित करना संभव है
नीचे सारिणीबद्ध चार प्रतिच्छेदनों को परिभाषित करना संभव है-
:<math>
:<math>
\langle p \rangle_{RS} = \langle p \rangle_{SR}  \equiv \langle \langle p \rangle_R \rangle_S
\langle p \rangle_{RS} = \langle p \rangle_{SR}  \equiv \langle \langle p \rangle_R \rangle_S
Line 272: Line 254:
\langle p \rangle_{IS} = \langle p \rangle_{SI}  \equiv \langle \langle p \rangle_I \rangle_S
\langle p \rangle_{IS} = \langle p \rangle_{SI}  \equiv \langle \langle p \rangle_I \rangle_S
</math>
</math>
निम्नलिखित तालिका संबंधित उप-स्थानों के ग्रेड का सारांश प्रस्तुत करती है, उदाहरण के लिए,
निम्नलिखित सारिणी संबंधित उपसमष्टियों के ग्रेड का सारांश प्रस्तुत करती है, उदाहरण के लिए, ग्रेड 0 को वास्तविक और अदिश उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन के रूप में देखा जा सकता है-
ग्रेड 0 को रियल और स्केलर उप-स्थानों के प्रतिच्छेदन के रूप में देखा जा सकता है


{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-
|-
|  
|  
! style="background:#ffdead;" | Real
! style="background:#ffdead;" | वास्तविक
! style="background:#ffdead;" | Imaginary
! style="background:#ffdead;" | काल्पनिक
|-
|-
! style="background:#efefef;"| Scalar     ||  0    ||  3
! style="background:#efefef;"| अदिश     ||  0    ||  3
|-
|-
! style="background:#efefef;"| Vector     ||  1    ||  2
! style="background:#efefef;"| सदिश     ||  1    ||  2
|}
|}