परासांख्यिकी: Difference between revisions

Revision as of 09:26, 24 November 2023

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, परासांख्यिकी बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी शामिल हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम शामिल हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन^[1] को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।^[2]^[3]

औपचारिकता

N समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक S_N समूह (क्रम N का सममित समूह) है जो N कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को N कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, N = 2 के मामले में, R₂ − R₁ अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |R₂ − R₁| वैध अवलोकन योग्य है।

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को S_N की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को S_N के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।

विशेष रूप से:

क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप पैराबोसॉन के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें p या कम पंक्तियाँ हैं।
क्रम p के N समान पैराफर्मियन के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी p या कम कॉलम वाले हैं।
यदि p 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
यदि p अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

ऐसे सृजन और विनाश संचालक हैं जो त्रिरेखीय परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं ^[2]

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

[1]

[2]

[3]

@@ Line 31: / Line 31: @@
 पैराफर्मियोनिक और पैराबोसोनिक बीजगणित उन तत्वों द्वारा उत्पन्न होते हैं जो कम्यूटेशन और एंटीकम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं। वे क्वांटम यांत्रिकी के सामान्य फर्मिओनिक बीजगणित और बोसोनिक बीजगणित का सामान्यीकरण करते हैं।<ref>K. Kanakoglou, C. Daskaloyannis: [https://books.google.com/books?id=KAZL5UBlS4cC&pg=PA207 ''Chapter 18 Bosonisation and Parastatistics'', p. 207 ff.], in: Sergei D. Silvestrov, Eugen Paal, Viktor Abramov, Alexander Stolin (eds.): ''Generalized Lie Theory in Mathematics, Physics and Beyond'', 2008, {{ISBN|978-3-540-85331-2}}</ref> [[डिराक बीजगणित]] और डफिन-केमर-पेटियाउ बीजगणित क्रमशः क्रम p = 1 और p = 2 के लिए पैराफर्मियोनिक बीजगणित के विशेष मामलों के रूप में दिखाई देते हैं।<ref>See citations in {{Cite journal|arxiv=hep-th/0001067|last1=Plyushchay|first1=Mikhail S|title=Cubic root of Klein-Gordon equation|journal=Physics Letters B|volume=477|issue=2000|pages=276–284|author2=Michel Rausch de Traubenberg|year=2000|doi=10.1016/S0370-2693(00)00190-8|bibcode=2000PhLB..477..276P|s2cid=16600516}}</ref>
 === स्पष्टीकरण ===
-ध्यान दें कि यदि x और y स्पेस-समान-पृथक बिंदु हैं, तो φ(x) और φ(y) न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि p=1 न हो। यही टिप्पणी ψ(x) और ψ(y) पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु x हैं<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''n''</sub>,
+ध्यान दें कि यदि ''x'' और ''y'' अंतरिक्ष-समान-पृथक बिंदु हैं, तो ''φ(x)'' और ''φ(y)'' न तो यात्रा करते हैं और न ही एंटीकम्यूट करते हैं जब तक कि ''p''=1 न हो। यही टिप्पणी ''ψ(x)'' और ''ψ(y)'' पर भी लागू होती है। इसलिए, यदि हमारे पास n स्थानिक रूप से अलग किए गए बिंदु ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'', हैं
 :<math>\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle</math>
-x पर n समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है<sub>1</sub>,..., एक्स<sub>''n''</sub>. इसी प्रकार,
+''x''<sub>1</sub>,..., ''x<sub>n</sub>'' पर ''n'' समान पैराबोसन बनाने के अनुरूप है। इसी प्रकार,
 :<math>\psi(x_1)\cdots \psi(x_n)|\Omega\rangle</math>
-n समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं
+''n'' समरूप पैराफर्मियन बनाने के अनुरूप है। क्योंकि ये क्षेत्र न तो आवागमन करते हैं और न ही प्रतिगमन करते हैं।
 :<math>\phi(x_{\pi(1)})\cdots \phi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle</math>
@@ Line 43: / Line 43: @@
 :<math>\psi(x_{\pi(1)})\cdots \psi(x_{\pi(n)})|\Omega\rangle</math>
-सममित समूह|एस में प्रत्येक क्रमपरिवर्तन π के लिए अलग-अलग स्थिति देता है<sub>n</sub>.
+''S<sub>n</sub>'' में प्रत्येक क्रमचय π के लिए अलग-अलग अवस्थाएँ देता है।
-हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं <math>\mathcal{E}(\pi)</math> द्वारा
+हम एक क्रमपरिवर्तन ऑपरेटर को <math>\mathcal{E}(\pi)</math> द्वारा परिभाषित कर सकते हैं।
 :<math>\mathcal{E}(\pi)\left[\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)|\Omega\rangle\right]=\phi(x_{\pi^{-1}(1)})\cdots \phi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle</math>

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