क्रमचय: Difference between revisions
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
गणित के ग्रंथों में यह लोअरकेस ग्रीक अक्षरों का उपयोग करके क्रमचय को निरूपित करने के लिए प्रथागत है। आमतौर पर, या तो <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> , या <math>\sigma, \tau</math> और <math>\pi</math> उपयोग किया गया हैं।<ref name="Scheinerman">{{cite book |last1=Scheinerman |first1=Edward A. |date=March 5, 2012 |chapter=Chapter 5: Functions |title=गणित: एक असतत परिचय|chapter-url=https://books.google.com/books?id=DZBHGD2sEYwC&pg=PA188 |url-status=live |edition=3rd |publisher=Cengage Learning |page=188 |isbn=978-0840049421 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200205212843/https://books.google.com/books?id=DZBHGD2sEYwC&pg=PA188 |archive-date=February 5, 2020 |access-date=February 5, 2020 |quote=क्रमपरिवर्तन के लिए लोअरकेस ग्रीक अक्षरों (विशेषकर π, σ, और τ) का उपयोग करने की प्रथा है।}}</ref> | |||
क्रमचय को समुच्चय S से स्वयं पर आक्षेप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। n तत्वों के साथ एक सेट के सभी क्रमपरिवर्तन एक सममित समूह बनाते हैं, जिसे {{math|''S''}} के रूप में दर्शाया जाता है, जहां समूह [[संचालन कार्य रचना]] है। इस प्रकार दो क्रमपरिवर्तन के लिए, <math>\pi</math> और <math>\sigma</math> तथा समूह में <math>S_n</math> चार स्वयंसिद्ध समूह हैं: | |||
1-चक्र | # [[ क्लोजर (गणित) | क्लोजर (गणित)]] : यदि <math>\pi</math> तथा <math>\sigma</math> में हैं <math>S_n</math> तो ऐसा है <math>\pi\sigma.</math> सहबद्धता: किन्हीं तीन क्रमपरिवर्तनों के लिए <math>\pi, \sigma, \tau \in S_n</math>, <math>(\pi\sigma)\tau = \pi(\sigma\tau).</math> | ||
# [[ पहचान तत्व | पहचान तत्व]] : एक पहचान क्रमचय है, निरूपित <math>\operatorname{id}</math> और द्वारा परिभाषित <math>\operatorname{id}(x) = x</math> सभी के लिए <math>x \in S</math>. किसी के लिए <math>\sigma \in S_n</math>, <math>\operatorname{id} \sigma = \sigma \operatorname{id} = \sigma.</math> | |||
# [[ उलटा तत्व | उलटा तत्व]] : प्रत्येक क्रमचय के लिए <math>\pi \in S_n</math>, एक व्युत्क्रम क्रमचय मौजूद है <math>\pi^{-1} \in S_n</math>, जिससे <math>\pi\pi^{-1} = \pi^{-1}\pi = \operatorname{id}.</math> | |||
सामान्य तौर पर, दो क्रमपरिवर्तनों का संघटन क्रम [[ विनिमेय |विनिमेय]] नहीं होता है, अर्थात, <math>\pi\sigma \neq \sigma\pi.</math> | |||
एक सेट से अपने आप में एक आक्षेप के रूप में, एक क्रमचय एक ऐसा कार्य है जो एक सेट की पुनर्व्यवस्था करता है, और स्वयं कोई व्यवस्था नहीं है। एक पुराना और अधिक प्राथमिक दृष्टिकोण यह है कि क्रमचय स्वयं व्यवस्थाएँ हैं। इन दोनों के बीच अंतर करने के लिए, सक्रिय और निष्क्रिय पहचानकर्ताओं को कभी-कभी क्रमचय शब्द से पहले जोड़ा जाता है, जबकि पुरानी शब्दावली में प्रतिस्थापन और क्रमपरिवर्तन का उपयोग किया जाता है।{{sfn|Cameron|1994|loc=p. 29, footnote 3}} | |||
एक क्रमचय को एक या एक से अधिक असंयुक्त चक्रों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात्, [[ कक्षा (समूह सिद्धांत) |कक्षा (समूह सिद्धांत)]], जो कुछ तत्वों पर क्रमचय के अनुप्रयोग को बार-बार अनुरेखित करने पर मिलते हैं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन <math>\sigma</math> द्वारा परिभाषित <math>\sigma(7) = 7</math> 1 चक्र है, <math>(\,7\,)</math> जबकि क्रमपरिवर्तन <math>\pi</math> द्वारा परिभाषित <math>\pi(2) = 3</math> तथा <math>\pi(3) = 2</math> एक 2-चक्र है <math>(\,2\,3\,)</math> (वाक्यविन्यास के विवरण के लिए, देखें {{Section link||Cycle notation}} नीचे)। सामान्य तौर पर, k लंबाई का एक चक्र, जो k तत्वों से बना होता है, k-चक्र कहलाता है। | |||
1-चक्र <math>(\,x\,)</math> में एक तत्व को क्रमचय का [[ निश्चित बिंदु (गणित) | निश्चित बिंदु (गणित)]] कहा जाता है। एक क्रमचय जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं है, को विक्षिप्तता कहा जाता है। 2-चक्रों को स्थानान्तरण कहा जाता है; इस तरह के क्रमचय केवल दो तत्वों का आदान-प्रदान करते हैं, अन्य को स्थिर छोड़ देते हैं। | |||
== अंकन == | == अंकन == | ||
चूँकि क्रमचय को तत्ववार लिखना, अर्थात्, टुकड़े के कार्यों के रूप में, बोझिल है, उन्हें अधिक कॉम्पैक्ट रूप से प्रस्तुत करने के लिए कई संकेतन का आविष्कार किया गया है। साइकिल अंकन कई गणितज्ञों के लिए इसकी कॉम्पैक्टनेस और इस तथ्य के कारण एक लोकप्रिय विकल्प है कि यह एक क्रमचय की संरचना को पारदर्शी बनाता है। जब तक अन्यथा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, तब तक यह इस लेख में प्रयुक्त संकेतन है, लेकिन अन्य संकेतन अभी भी व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से अनुप्रयोग क्षेत्रों में। | |||
=== दो-पंक्ति संकेतन === | === दो-पंक्ति संकेतन === | ||
[[ ऑगस्टिन-लुई कॉची ]] के दो-पंक्ति संकेतन में,<ref>{{citation|title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|first=Hans|last=Wussing|publisher=Courier Dover Publications|year=2007|isbn=9780486458687|page=94|url=https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA94|quote=Cauchy used his permutation notation—in which the arrangements are written one below the other and both are enclosed in parentheses—for the first time in 1815.}}</ref> | [[ ऑगस्टिन-लुई कॉची |ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के दो-पंक्ति संकेतन में,<ref>{{citation|title=The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|first=Hans|last=Wussing|publisher=Courier Dover Publications|year=2007|isbn=9780486458687|page=94|url=https://books.google.com/books?id=Xp3JymnfAq4C&pg=PA94|quote=Cauchy used his permutation notation—in which the arrangements are written one below the other and both are enclosed in parentheses—for the first time in 1815.}}</ref> पहली पंक्ति में S के तत्वों को सूचीबद्ध करता है, और दूसरी पंक्ति में प्रत्येक के नीचे उसकी छवि को सूचीबद्ध करता है। | ||
उदाहरण के लिए, समुच्चय S = {1, 2, 3, 4, 5} का एक विशेष क्रमचय इस प्रकार लिखा जा सकता है | |||
: <math>\sigma = \begin{pmatrix} | : <math>\sigma = \begin{pmatrix} | ||
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ | 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ | ||
2 & 5 & 4 & 3 & 1 | 2 & 5 & 4 & 3 & 1 | ||
\end{pmatrix};</math> | \end{pmatrix};</math> | ||
इसका | इसका अर्थ है कि संतुष्ट {{math|''σ''(1) {{=}} 2}}, {{math|''σ''(2) {{=}} 5}}, {{math|''σ''(3) {{=}} 4}}, {{math|''σ''(4) {{=}} 3}}, तथा {{math|''σ''(5) {{=}} 1}} को संतुष्ट करता है। S के तत्व किसी भी क्रम में प्रकट हो सकते हैं पहली पंक्ति में। इस क्रमपरिवर्तन को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: | ||
: <math>\sigma = \begin{pmatrix} | : <math>\sigma = \begin{pmatrix} | ||
3 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ | 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ | ||
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1 & 2 & 3 & 4 & 5 | 1 & 2 & 3 & 4 & 5 | ||
\end{pmatrix}.</math> | \end{pmatrix}.</math> | ||
=== एक-पंक्ति संकेतन === | === एक-पंक्ति संकेतन === | ||
यदि S के तत्वों के लिए | यदि S के तत्वों के लिए "प्राकृतिक" क्रम है,{{efn|The order is often implicitly understood. A set of integers is naturally written from smallest to largest; a set of letters is written in lexicographic order. For other sets, a natural order needs to be specified explicitly.}} कहें <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math>, तो कोई इसे दो-पंक्ति नोटेशन की पहली पंक्ति के लिए उपयोग करता है: | ||
: <math>\sigma = \begin{pmatrix} | : <math>\sigma = \begin{pmatrix} | ||
x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ | x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ | ||
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इस धारणा के तहत, कोई पहली पंक्ति को छोड़ सकता है और क्रमचय को एक-पंक्ति संकेतन में लिख सकता है | इस धारणा के तहत, कोई पहली पंक्ति को छोड़ सकता है और क्रमचय को एक-पंक्ति संकेतन में लिख सकता है | ||
: <math>(\sigma(x_1) \; \sigma(x_2) \; \sigma(x_3) \; \cdots \; \sigma(x_n)) </math>, | : <math>(\sigma(x_1) \; \sigma(x_2) \; \sigma(x_3) \; \cdots \; \sigma(x_n)) </math>, | ||
अर्थात्, एस के तत्वों की एक व्यवस्थित व्यवस्था के रूप में।<ref>{{harvnb|Bogart|1990|p=17}}</ref><ref>{{harvnb|Gerstein|1987|p=217}}</ref> नीचे वर्णित चक्र संकेतन से एक-पंक्ति संकेतन को अलग करने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए। गणित साहित्य में, चक्र संकेतन के लिए उनका उपयोग करते समय, एक-पंक्ति संकेतन के लिए कोष्ठकों को छोड़ना एक सामान्य उपयोग है। एक-पंक्ति संकेतन को क्रमपरिवर्तन का [[ शब्द (गणित) |शब्द (गणित)]] निरूपण भी कहा जाता है।<ref name="Aigner2007">{{cite book|first=Martin|last= Aigner|title=गणना में एक कोर्स|url=https://archive.org/details/courseenumeratio00aign_007|url-access=limited|year=2007|publisher=Springer GTM 238|isbn=978-3-540-39035-0|pages=[https://archive.org/details/courseenumeratio00aign_007/page/n32 24]–25}}</ref> उपरोक्त उदाहरण तब {{nowrap|2 5 4 3 1}} होगा क्योंकि पहली पंक्ति के लिए प्राकृतिक क्रम {{nowrap|1 2 3 4 5}} माना जाएगा। (इन प्रविष्टियों को केवल तभी अलग करने के लिए अल्पविराम का उपयोग करना विशिष्ट है, जब कुछ में दो या दो से अधिक अंक हों।) यह फॉर्म अधिक कॉम्पैक्ट है, और प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स और कंप्यूटर साइंस में आम है। यह उन अनुप्रयोगों में विशेष रूप से उपयोगी है जहां S के तत्वों या क्रमचय की तुलना बड़े या छोटे के रूप में की जानी है। | |||
=== साइकिल अंकन === | === साइकिल अंकन === | ||
चक्र संकेतन सेट के तत्वों पर बार-बार क्रमचय लागू करने के प्रभाव का वर्णन करता है। यह क्रमचय को [[ चक्रीय क्रमपरिवर्तन ]] के उत्पाद के रूप में व्यक्त करता है; चूँकि अलग-अलग चक्र अलग- | चक्र संकेतन सेट के तत्वों पर बार-बार क्रमचय लागू करने के प्रभाव का वर्णन करता है। यह क्रमचय को [[ चक्रीय क्रमपरिवर्तन |चक्रीय क्रमपरिवर्तन]] के उत्पाद के रूप में व्यक्त करता है; चूँकि अलग-अलग चक्र अलग-अलग होते हैं, इसे "विघटित चक्रों में अपघटन" कहा जाता है। | ||
चक्र संकेतन में क्रमचय <math>\sigma</math> को लिखने के लिए, एक निम्नानुसार आगे बढ़ता है: | |||
# एक ओपनिंग ब्रैकेट लिखें | # एक ओपनिंग ब्रैकेट लिखें, फिर <math>S</math> का एक मनमाना तत्व x चुनें और इसे लिखें: <math>(\,x</math> | ||
# फिर | # फिर x की कक्षा का पता लगाएं; यानी, <math>\sigma</math> : <math>(\,x\,\sigma(x)\,\sigma(\sigma(x))\,\ldots</math> के क्रमिक अनुप्रयोगों के तहत इसके मूल्यों को लिखें। | ||
# तब तक दोहराएं जब तक कि मान x पर वापस न आ जाए और x के बजाय समापन कोष्ठक लिखें: <math>(\,x\,\sigma(x)\,\sigma(\sigma(x))\,\ldots\,)</math> | #तब तक दोहराएं जब तक कि मान x पर वापस न आ जाए और x के बजाय समापन कोष्ठक लिखें: <math>(\,x\,\sigma(x)\,\sigma(\sigma(x))\,\ldots\,)</math> | ||
# अब S के एक तत्व y के साथ जारी रखें, जिसे अभी तक लिखा नहीं गया है, और उसी तरह आगे बढ़ें: <math>(\,x\,\sigma(x)\,\sigma(\sigma(x))\,\ldots\,)(\,y\,\ldots\,)</math> | # अब S के एक तत्व y के साथ जारी रखें, जिसे अभी तक लिखा नहीं गया है, और उसी तरह आगे बढ़ें: <math>(\,x\,\sigma(x)\,\sigma(\sigma(x))\,\ldots\,)(\,y\,\ldots\,)</math> | ||
# | # S के सभी तत्वों को चक्रों में लिखे जाने तक दोहराएं। | ||
तो क्रमचय {{nowrap|2 5 4 3 1}} (एक-पंक्ति संकेतन में) चक्र अंकन में {{nowrap|(125)(34)}} के रूप में लिखा जा सकता है। | |||
जबकि सामान्य रूप से क्रमपरिवर्तन नहीं करते हैं, अलग-अलग चक्र करते हैं; उदाहरण के लिए,<math display="block">(\,1 \, 2 \, 5\,) (\,3\,4\,) = (\,3 \, 4\,) (\,1 \, 2 \, 5\,).</math>इसके अलावा, अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं को चुनकर, प्रत्येक चक्र को अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है; उदाहरण के लिए,<math display="block">(\,1 \, 2 \, 5\,) (\,3\,4\,) = (\,5 \, 1 \, 2\,)(\,3 \, 4\,) = (\,2 \, 5 \, 1\,)(\,4 \, 3\,).</math>एक दिए गए क्रमपरिवर्तन के अलग-अलग चक्रों को कई अलग-अलग तरीकों से लिखने के लिए कोई भी इन समानताओं को जोड़ सकता है। | |||
1- | 1-चक्रों को अक्सर चक्र संकेतन से हटा दिया जाता है, बशर्ते संदर्भ स्पष्ट हो; एस में किसी भी तत्व एक्स के लिए किसी भी चक्र में दिखाई नहीं दे रहा है, कोई भी <math>\sigma(x) = x</math><ref>{{harvnb|Hall|1959|p=54}}</ref> मानता है। पहचान क्रमचय, जिसमें केवल 1-चक्र होते हैं, को एकल 1-चक्र (x), संख्या 1,{{efn|1 is frequently used to represent the [[identity element]] in a non-commutative group}} या आईडी द्वारा दर्शाया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Rotman|2002|p=41}}</ref><ref>{{harvnb|Bogart|1990|p=487}}</ref> | ||
चक्र संकेतन की एक सुविधाजनक विशेषता यह है कि व्युत्क्रम क्रमचय का चक्र अंकन क्रमचय के चक्रों में तत्वों के क्रम को उलट कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए,<math display="block">[(\,1\,2\,5\,)(\,3\,4\,)]^{-1} = (\,5\,2\,1\,)(\,4\,3\,).</math> | |||
=== विहित चक्र संकेतन === | === विहित चक्र संकेतन === | ||
कुछ | कुछ संयोजी संदर्भों में चक्रों में तत्वों के लिए और (असंबद्ध) चक्रों के लिए एक निश्चित क्रम को ठीक करना उपयोगी होता है। मिक्लोस बोना निम्नलिखित ऑर्डरिंग विकल्पों को कैननिकल चक्र संकेतन कहते हैं: | ||
* प्रत्येक चक्र में सबसे बड़ा तत्व पहले सूचीबद्ध होता है | * प्रत्येक चक्र में सबसे बड़ा तत्व पहले सूचीबद्ध होता है | ||
* चक्रों को उनके पहले तत्व के बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है | *चक्रों को उनके पहले तत्व के बढ़ते क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है | ||
उदाहरण के लिए, (312)(54)(8)(976) विहित चक्र संकेतन में एक | उदाहरण के लिए, (312)(54)(8)(976) विहित चक्र संकेतन में एक क्रमचय है।<ref>{{harvnb|Bona|2012|loc=p.87}} [Note that the book has a typo/error here, as it gives (45) instead of (54).]</ref> विहित चक्र संकेतन एक-चक्र को नहीं छोड़ता है। | ||
रिचर्ड | रिचर्ड पी. स्टेनली प्रतिनिधित्व के समान विकल्प को क्रमचय का "मानक प्रतिनिधित्व" कहते हैं,<ref name="Stanley2012">{{cite book|first=Richard P.|last= Stanley|title=संख्यात्मक संयोजन: खंड I, दूसरा संस्करण|year=2012|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-01542-5|page=23}}</ref>और मार्टिन एग्नर इसी धारणा के लिए "मानक रूप" शब्द का प्रयोग करते हैं।<ref name="Aigner2007" /> सर्गेई किताएव भी "मानक रूप" शब्दावली का उपयोग करते हैं, लेकिन दोनों विकल्पों को उलट देते हैं; अर्थात्, प्रत्येक चक्र अपने सबसे छोटे तत्व को पहले सूचीबद्ध करता है और चक्रों को उनके सबसे कम यानी पहले तत्वों के घटते क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है।<ref name="Kitaev2011">{{cite book|first=Sergey |last=Kitaev|title=क्रमपरिवर्तन और शब्दों में पैटर्न|year=2011|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-17333-2|page=119}}</ref> | ||
=== क्रमपरिवर्तन की संरचना === | |||
दो क्रमपरिवर्तनों की संरचना को निरूपित करने के दो तरीके हैं। <math>\sigma\cdot \pi</math> वह फ़ंक्शन है जो सेट के किसी भी तत्व x को <math>\sigma(\pi(x))</math> पर मैप करता है (\pi (x))}। | |||
सबसे सही क्रमपरिवर्तन पहले तर्क पर लागू होता है,<ref> | |||
{{cite book | last1=Biggs | first1=Norman L. | last2=White | first2=A. T. | {{cite book | last1=Biggs | first1=Norman L. | last2=White | first2=A. T. | ||
|year=1979 | |year=1979 | ||
| Line 120: | Line 120: | ||
}} | }} | ||
</ref> | </ref> | ||
कुछ लेखक सबसे | क्योंकि फ़ंक्शन एप्लिकेशन जिस तरह से लिखा गया है। चूँकि फ़ंक्शन रचना साहचर्य है, इसलिए क्रमपरिवर्तन पर रचना संचालन है: <math>(\sigma\pi)\tau = \sigma(\pi\tau)</math> इसलिए, दो से अधिक क्रमचयों के गुणनफल आमतौर पर व्यक्त समूहन में कोष्ठक जोड़े बिना लिखे जाते हैं; वे आमतौर पर रचना को इंगित करने के लिए बिना किसी बिंदु या अन्य चिह्न के भी लिखे जाते हैं। कुछ लेखक सबसे बाएं कारक को पहले अभिनय करना पसंद करते हैं, ,<ref> | ||
{{cite book | last1=Dixon | first1=John D. | last2=Mortimer | first2=Brian | {{cite book | last1=Dixon | first1=John D. | last2=Mortimer | first2=Brian | ||
|title =Permutation Groups | |title =Permutation Groups | ||
| Line 149: | Line 146: | ||
| s2cid=18896625 | | s2cid=18896625 | ||
}} | }} | ||
</ref> | </ref> | ||
लेकिन | |||
लेकिन इसके लिए क्रमचय को उनके तर्क के दाईं ओर लिखा जाना चाहिए, अक्सर एक प्रतिपादक के रूप में, जहाँ σ<sup>x</sup> पर अभिनय करते हुए x<sup>σ</sup> लिखा जाता है; तो उत्पाद को {{nowrap|''x''<sup>''σ·π''</sup> {{=}} (''x''<sup>''σ''</sup>)<sup>''π''</sup>}} द्वारा परिभाषित किया जाता है। हालाँकि यह क्रमपरिवर्तन को गुणा करने के लिए एक अलग नियम देता है; यह लेख उस परिभाषा का उपयोग करता है जहां सबसे सही क्रमचय पहले लागू किया जाता है। | |||
== क्रमपरिवर्तन शब्द के अन्य उपयोग == | == क्रमपरिवर्तन शब्द के अन्य उपयोग == | ||
एक | एक आदेशित व्यवस्था के रूप में क्रमचय की अवधारणा कई सामान्यीकरणों को स्वीकार करती है जो क्रमचय नहीं हैं, लेकिन साहित्य में क्रमपरिवर्तन कहा गया है। | ||
=== k-क्रमपरिवर्तन n === | === k-क्रमपरिवर्तन n === | ||
शब्द क्रमचय का एक कमजोर अर्थ, कभी-कभी प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स ग्रंथों में उपयोग किया जाता है, उन क्रमबद्ध व्यवस्थाओं को निर्दिष्ट करता है जिसमें कोई तत्व एक से अधिक बार नहीं होता है, लेकिन किसी दिए गए सेट से सभी तत्वों का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना। विशेष मामलों को छोड़कर ये क्रमपरिवर्तन नहीं हैं, बल्कि आदेशित व्यवस्था अवधारणा के प्राकृतिक सामान्यीकरण हैं। वास्तव में, इस प्रयोग में अक्सर आकार n के दिए गए सेट से लिए गए तत्वों की एक निश्चित लंबाई k की व्यवस्था पर विचार करना शामिल होता है, दूसरे शब्दों में, n के ये k-क्रमपरिवर्तन एक n-सेट के k-तत्व उपसमुच्चय की अलग-अलग क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ हैं (कभी-कभी इसे पुराने साहित्य में विविधता या व्यवस्था कहा जाता है{{efn|More precisely, ''variations without repetition''. The term is still common in other languages and appears in modern English most often in translation.}})। इन वस्तुओं को आंशिक क्रमपरिवर्तन या पुनरावृत्ति के बिना अनुक्रम के रूप में भी जाना जाता है, ऐसे शब्द जो "क्रमपरिवर्तन" के दूसरे, अधिक सामान्य अर्थ के साथ भ्रम से बचते हैं। <math>n</math> के ऐसे <math>k</math>-क्रमपरिवर्तनों की संख्या को <math>P^n_k</math>, <math>_nP_k</math>, <math>^nP_k</math>, <math>P_{n,k}</math>, या <math>P(n,k)</math> और इसका मूल्य उत्पाद द्वारा दिया जाता है<ref>{{cite book|author=Charalambides, Ch A.|title=गणनात्मक कॉम्बिनेटरिक्स|publisher=CRC Press|year=2002|isbn=978-1-58488-290-9|page=42|url=https://books.google.com/books?id=PDMGA-v5G54C&pg=PA42}}</ref> | |||
: <math>P(n,k) = \underbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\ \mathrm{factors}}</math>, | : <math>P(n,k) = \underbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\ \mathrm{factors}}</math>, | ||
जो 0 है जब {{nowrap|''k'' > ''n''}}, और अन्यथा के बराबर है | जो 0 है जब {{nowrap|''k'' > ''n''}}, और अन्यथा के बराबर है | ||
: <math>\frac{n!}{(n-k)!}.</math> | : <math>\frac{n!}{(n-k)!}.</math> | ||
गुणनफल अच्छी तरह परिभाषित है, बिना इस धारणा के कि <math>n</math> एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और कॉम्बिनेटरिक्स के बाहर भी इसका महत्व है; इसे पॉचहैमर प्रतीक<math>(n)_k</math> या <math>k</math>-वीं गिरती फैक्टोरियल पावर <math>n^{\underline k}</math> के <math>n</math>रूप में जाना जाता है। | |||
क्रमपरिवर्तन शब्द का यह प्रयोग शब्द संयोजन से निकटता से संबंधित है। n-सेट S का k-तत्व संयोजन, S का k तत्व उपसमुच्चय है, | |||