अदिश वक्रता: Difference between revisions
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{{Short description|Measure of curvature in differential geometry}} | {{Short description|Measure of curvature in differential geometry}} | ||
[[रीमैनियन ज्यामिति]] | गणितीय क्षेत्र में [[रीमैनियन ज्यामिति]] अदिश वक्रता या रिक्की अदिश [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] की वक्रता का मापन है.प्रत्येक बिंदु पर [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के प्रत्येक उस बिंदु के पास मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के [[आंशिक व्युत्पन्न]] के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार [[सतहों की अवकल ज्यामिति]] के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को चिह्नित करती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता [[रीमैन वक्रता]] [[टेंसर]] के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है। | ||
आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य | आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होती है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेज समीकरणों का [[लैग्रेंजियन]] घनत्व है जिसका संबंध शून्य में आइन्सटीन क्षेत्र समीकरण से है। | ||
धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन | धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार नॉन कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह धनात्मक मास प्रमेय का कॉन्टेंट है जिसे 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किया था और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न प्रौद्योगिकी से संशोधित किया गया था। इस प्रकार शैड और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने संवृत मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता के संघटनात्मक मैट्रिक्स के टोपोलॉजी के बारे में कई मूलभूत परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन |ग्रिगोरी पेरेलमैन]] ने रिक्की फ्लो के निर्माण के साथ-साथ 2003 में रिक्की फ्लो के निर्माण से इन तीन आयामी स्थितियों में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}}, | एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}}, अदिश वक्रता ''S'' सामान्यता ''R'' या ''Sc'' को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2p=160|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 1.5.2}} | ||
: <math>S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.</math> | : <math>S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.</math> | ||
अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। | अदिश वक्रता की गणना सीधे रिक्की वक्रता से नहीं की जा सकती है क्योंकि रिक्की वक्रता एक (0,2) टेंसर क्षेत्र है इस प्रकार ट्रेस लेने के लिए मीट्रिक का उपयोग इंडेक्स को बढ़ाने के लिए (1,1) टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए किया जाना चाहिए। स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में कोई भी[[ आइंस्टीन संकेतन ]]कन्वेंशन का उपयोग करके लिख सकता है कि:{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 1.5.2}} | ||
:<math>S = g^{ij}R_{ij}</math> | :<math>S = g^{ij}R_{ij}</math> | ||
जहाँ {{math|''R''<sub>''ij''</sub> {{=}} Ric(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}} समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ {{math|''g''<sup>''ij''</sup>}} [[मीट्रिक टेंसर]] घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक {{math|''g''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''g''(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}}. रिक्की वक्रता [[अनुभागीय वक्रता]] के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 3.1.5}} | जहाँ {{math|''R''<sub>''ij''</sub> {{=}} Ric(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}} समन्वय आधार में रिक्की टेंसर के घटक होते है और जहाँ {{math|''g''<sup>''ij''</sup>}} [[मीट्रिक टेंसर]] घटक हैं, अर्थात मीट्रिक घटकों के व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के घटक {{math|''g''<sub>''ij''</sub> {{=}} ''g''(∂<sub>''i''</sub>, ∂<sub>''j''</sub>)}}. रिक्की वक्रता [[अनुभागीय वक्रता]] के योग के आधार पर अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Petersen|2y=2016|2loc=Section 3.1.5}} | ||
:<math>S(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{sec}(e_i,e_j)</math> | :<math>S(p)=\sum_{i\neq j}\operatorname{sec}(e_i,e_j)</math> | ||
जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}} | जहाँ सेक अनुभागीय वक्रता को दर्शाता है और {{math|''e''<sub>1</sub>, ..., ''e''<sub>''n''</sub>}} p पर कोई ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम होता है। इसी तरह के उपपत्ति के अनुसार अदिश वक्रता रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता के निशान से दोगुनी होती है।{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 3.1.5}} वैकल्पिक रूप से क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के संदर्भ में रिक्की वक्रता की समन्वय आधारित परिभाषा को देखते हुए अदिश वक्रता को इस प्रकार व्यक्त करना संभव होता है, | ||
:<math> | :<math> | ||
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जहाँ <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}</math> का आंशिक व्युत्पन्न <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> है और σ-समन्वय दिशा में है। | जहाँ <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं और <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}</math> का आंशिक व्युत्पन्न <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> है और σ-समन्वय दिशा में है। | ||
उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन | उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन आव्यूह की विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण होती है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण]] में मौलिक शब्द के रूप में होती है। | ||
चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि, अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं जो [[फिन्सलर ज्यामिति]] के रूप में सम्मिलित होते हैं।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}} | चूंकि, रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत अदिश वक्रता को एक यादृच्छिक [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस कारण से (0,2) टेंसर क्षेत्र का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि, अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी होते हैं जो [[फिन्सलर ज्यामिति]] के रूप में सम्मिलित होते हैं।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}} | ||
===पारंपरिक संकेतन=== | ===पारंपरिक संकेतन=== | ||
[[टेंसर इंडेक्स नोटेशन|टेंसर इंडेक्स संकेतन]] | [[टेंसर इंडेक्स नोटेशन|टेंसर इंडेक्स संकेतन]] के संदर्भ में अक्षर का उपयोग करना सामान्य है {{mvar|R}} तीन भिन्न -भिन्न चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस रूप में होते है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Definition 1.22|2a1=Jost|2y=2017|2p=200|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Remark 3.1.7}} | ||
# रीमैन वक्रता टेंसर: {{math|''R''<sub>''ijk''</sub><sup>''l''</sup>}} या {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub>}} | # रीमैन वक्रता टेंसर: {{math|''R''<sub>''ijk''</sub><sup>''l''</sup>}} या {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub>}} | ||
# रिक्की टेंसर: {{math|''R''<sub>''ij''</sub>}} | # रिक्की टेंसर: {{math|''R''<sub>''ij''</sub>}} | ||
# अदिश वक्रता: {{mvar|R}} | # अदिश वक्रता: {{mvar|R}} | ||
फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से भिन्न | फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से भिन्न किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में सम्मिलित हैं {{math|scal}},{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1p=135|2a1=Petersen|2y=2016|2p=30}} {{math|κ}},{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1p=160}} {{math|K}},{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} {{math|r}},{{sfnm|1a1=Berline|1a2=Getzler|1a3=Vergne|1y=2004|1p=34}} {{math|s}} या {{math|S}},{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1p=10|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2p=135|3a1=O'Neill|3y=1983|3p=88}} और {{math|τ}}.{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1p=144}} | ||
जो लोग इंडेक्स संकेतन | जो लोग इंडेक्स संकेतन का उपयोग नहीं करते हैं वे सामान्यता पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए R आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम का उपयोग कर सकता है, रिक्की टेंसर के लिए रिक और अदिश वक्रता के लिए R का उपयोग कर सकता है। | ||
इसके अतिरिक्त कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं जिससे कि {{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} | इसके अतिरिक्त कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं जिससे कि {{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} | ||
:<math>R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.</math> | :<math>R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.</math> | ||
इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और | इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान योग के अतिरिक्त बन जाती है।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}} | ||
==मौलिक गुण== | ===मौलिक गुण=== | ||
यह एक मौलिक यथार्थ,है कि [[आइसोमेट्री]] के अनुसार अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय होती है। इस प्रकार सटीक होने के लिए यदि {{mvar|f}} | यह एक मौलिक यथार्थ,है कि [[आइसोमेट्री]] के अनुसार अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय होती है। इस प्रकार सटीक होने के लिए यदि {{mvar|f}} स्थान से भिन्नता {{mvar|M}} के लिए {{mvar|N}} तक का विभेदक रूपांतरण है और स्यूडो रीमैनियन मीट्रिक {{mvar|g}} से सुसज्जित है तो M पर पुलबैक अंतर ज्यामिति का अदिश वक्रता मानचित्र {{mvar|f}}. के साथ {{mvar|g}} कि अदिश वक्रता यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता के बराबर होती है। इसका अर्थ यह है कि अदिश वक्रता पूरी तरह से परिभाषित है, इस प्रकार समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1pp=90–91}} अधिक सामान्यतः, जैसा कि [[समरूपता]] की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव {{mvar|c}} व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना {{math|''c''<sup>−1</sup>}} के रूप में होता है{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=92}} | ||
इसके अतिरिक्त, | इसके अतिरिक्त, अदिश वक्रता सामान्यीकरण कारक की यादृच्छिक पसंद के आधार पर मेट्रिक का एक [[मात्र निर्देशांक]] स्वतंत्र प्रकार्य है, जिसका सामान्य समन्वय चार्ट के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के व्युत्पन्न में एक बहुपद है और इसमें ऊपर की ओर स्केलिंग गुणधर्म है.यह वर्मेल प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1loc=Example 2.4.3}} | ||
===बियान्ची | ===बियान्ची तत्समक === | ||
बियांची | बियांची तत्समक के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में किसी भी स्यूडो रिमानियन मीट्रिक में वह गुण होता है जो{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} | ||
:<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | :<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | ||
इस | इस तत्समक को अनुबंधित बियांची तत्समक कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, स्कुर लेम्मा रिमानियन ज्यामिति बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणज है, तो मीट्रिक [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]] होना चाहिए जब तक कि आयाम दो न हो। इसके अतिरिक्त, यह कहता है कि दो आयामों को छोड़कर एक मीट्रिक आइंस्टीन तभी होता है जब रिक्की टेंसर और अदिश वक्रता का संबंध आइन्स्टीन से होता है, | ||
:<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | :<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | ||
जहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} अनुबंधित बियांची | जहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} इस प्रकार अनुबंधित बियांची तत्समक सामान्य सापेक्षता के गणित में भी मौलिक रूप में है, क्योंकि यह [[आइंस्टीन टेंसर]] को मौलिक मात्रा के रूप में तत्समक ती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 3C|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=336}} | ||
===रिक्की अपघटन=== | ===रिक्की अपघटन=== | ||
एक | एक स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक दिया गया {{mvar|g}} आयाम के एक स्थान पर {{mvar|n}}, रीमैन वक्रता टेंसर का अदिश वक्रता भाग (0,4)-टेंसर क्षेत्र के रूप में होता है, | ||
:<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math> | :<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math> | ||
यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है कि {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>Γ<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण होता है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का भाग है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। इस प्रकार भिन्न विधि से कहें तो, उपरोक्त टेंसर क्षेत्र रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र भाग है जो अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य भाग इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | |||
===मूल सूत्र=== | ===मूल सूत्र=== | ||
[[अनुरूप ज्यामिति]] की अदिश वक्रता की गणना की | [[अनुरूप ज्यामिति]] की अदिश वक्रता की गणना की जाती है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1p=146|2a1=Besse|2y=1987|2loc=Section 1J}} | ||
:<math>R(e^{2f}g)=e^{-2f}\Big(R(g)-2(n-1)\Delta^gf-(n-2)(n-1)g(df,df)\Big),</math> | :<math>R(e^{2f}g)=e^{-2f}\Big(R(g)-2(n-1)\Delta^gf-(n-2)(n-1)g(df,df)\Big),</math> | ||
कन्वेंशन का उपयोग करना {{math|Δ {{=}} ''g''<sup>''ij ''</sup>∇<sub>''i''</sub>∇<sub>''j''</sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी | कन्वेंशन का उपयोग करना {{math|Δ {{=}} ''g''<sup>''ij ''</sup>∇<sub>''i''</sub>∇<sub>''j''</sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी संकारको के लिए वैकल्पिक रूप से,{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1p=146|2a1=Besse|2y=1987|2loc=Section 1J}} | ||
:<math>R(\psi^{4/(n-2)}g)=-\frac{4\frac{n-1}{n-2}\Delta^g\psi-R(g)\psi}{\psi^{\frac{n+2}{n-2}}}.</math> | :<math>R(\psi^{4/(n-2)}g)=-\frac{4\frac{n-1}{n-2}\Delta^g\psi-R(g)\psi}{\psi^{\frac{n+2}{n-2}}}.</math> के रूप में होता है | ||
अंतर्निहित मीट्रिक में एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन के | अंतर्निहित मीट्रिक में एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन के अनुसार है{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
:<math>\frac{\partial R}{\partial t}=-\Delta^g\left(g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)+\left(\nabla_k\nabla_l\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}-R_{kl}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)g^{ik}g^{jl}.</math> | :<math>\frac{\partial R}{\partial t}=-\Delta^g\left(g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)+\left(\nabla_k\nabla_l\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}-R_{kl}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)g^{ik}g^{jl}.</math> | ||
यह विशेष रूप से दर्शाता है कि अंतर | यह विशेष रूप से दर्शाता है कि अंतर संकारको का मुख्य प्रतीक जो एक मीट्रिक को उसके अदिश वक्रता पर भेजता है, इस प्रकार दर्शाया गया है | ||
:<math>(\xi_i,h_{ij})\mapsto -g(\xi,\xi)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi^i\xi^j.</math> | :<math>(\xi_i,h_{ij})\mapsto -g(\xi,\xi)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi^i\xi^j.</math> | ||
इसके अतिरिक्त | इसके अतिरिक्त रैखिककृत अदिश वक्रता प्रचालक का जोड़ है | ||
:<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | :<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | ||
और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार | और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार संकारको के रूप में होता है। यह पहले भिन्न सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक रिक्की फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जाता है जिससे कि या तो धनात्मक या ऋणात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अतिरिक्त पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के अनुसार विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सकता है ।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ===आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध=== | ||
जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन | जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र की तुलना में बड़ा होता है। | ||
रीमैनियन | रीमैनियन n-मैनिफोल्ड के एक बिंदु p पर अदिश वक्रता S के सटीक मूल्य को चिह्नित करने के लिए इसे और अधिक मात्रात्मक रूप में बनाया जा सकता है। <math>(M,g)</math>. अर्थात्, त्रिज्या ε की एक गेंद के n-आयामी आयतन का यूक्लिडियन क्षेत्र में संबंधित गेंद के n-आयामी आयतन का अनुपात छोटे ε के द्वारा दिया गया है{{sfnm|1a1=Chavel|1y=1984|1loc=Section XII.8|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.H.4}} | ||
: <math> | : <math> | ||
\frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} = | \frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} = | ||
| Line 79: | Line 79: | ||
इस प्रकार, इस अनुपात का दूसरा व्युत्पन्न, त्रिज्या ε = 0 पर मूल्यांकन किया गया है, जो 3 (n + 2) से विभाजित अदिश वक्रता को बिल्कुल घटा देता है। | इस प्रकार, इस अनुपात का दूसरा व्युत्पन्न, त्रिज्या ε = 0 पर मूल्यांकन किया गया है, जो 3 (n + 2) से विभाजित अदिश वक्रता को बिल्कुल घटा देता है। | ||
इन गेंदों की सीमाएँ (n − 1)-आयामी N-त्रिज्या का गोला हैं <math>\varepsilon</math>; उनके हाइपरसरफेस माप | इन गेंदों की सीमाएँ (n − 1)-आयामी N-त्रिज्या का गोला हैं <math>\varepsilon</math>; उनके हाइपरसरफेस माप क्षेत्र के रूप में होते है जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं:{{sfnm|1a1=Chavel|1y=1984|1loc=Section XII.8}} | ||
: <math>\frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}(\partial B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)} = 1 - \frac{S}{6n} \varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right).</math> | : <math>\frac{\operatorname{Area} (\partial B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Area}(\partial B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n)} = 1 - \frac{S}{6n} \varepsilon^2 + O\left(\varepsilon^3\right).</math> | ||
ये विस्तार कुछ बर्ट्रेंड-डिगुएट-पुइसेक्स प्रमेय को आयाम दो से उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं। | ये विस्तार कुछ बर्ट्रेंड-डिगुएट-पुइसेक्स प्रमेय को आयाम दो से उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं। | ||
==विशेष | ===विशेष स्थितिया === | ||
===सतहें=== | ===सतहें=== | ||
दो आयामों में, अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से ठीक दोगुनी है। यूक्लिडियन | दो आयामों में, अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से ठीक दोगुनी होती है। यूक्लिडियन क्षेत्र में एक एम्बेडेड सतह के लिए R<sup>3</sup>, इसका अर्थ ये है | ||
:<math> S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}\,</math> | :<math> S = \frac{2}{\rho_1\rho_2}\,</math> | ||
जहाँ <math>\rho_1,\,\rho_2</math> सतह की प्रमुख वक्रता हैं। उदाहरण के लिए | जहाँ <math>\rho_1,\,\rho_2</math> सतह की प्रमुख वक्रता हैं। उदाहरण के लिए त्रिज्या r के 2 गोले की अदिश वक्रता 2/r<sup>2</sup> के बराबर है | ||
2-आयामी रीमैन वक्रता टेंसर | 2-आयामी रीमैन वक्रता टेंसर के पास एक स्वतंत्र अवयव होता है और इसे अदिश वक्रता और मीट्रिक क्षेत्र के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात्, किसी भी समन्वय प्रणाली में, एक है। | ||
अदिश वक्रता और मीट्रिक क्षेत्र | |||
: <math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].</math> | : <math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].</math> | ||
===[[अंतरिक्ष रूप|समष्टि फॉर्म]] === | |||
[[अंतरिक्ष रूप|समष्टि फॉर्म]] परिभाषा के अनुसार निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ रीमानियन मैनिफोल्ड होता है। यह समष्टि फॉर्म निम्नलिखित प्रकारों में से एक के लिए स्थानीय रूप से सममितीय रूप में होता है | |||
===[[अंतरिक्ष रूप]]=== | {{term|यूक्लिडियन दूरी}}{{defn|1= | ||
n-आयाम यूक्लिडियन दूरी का रीमैन टेंसर समान रूप से गायब हो जाता है, इसलिए अदिश वक्रता भी गायब हो जाती है। | |||
{{term| | |||
}} | }} | ||
{{term|''n''- | {{term|''n''- गोलाकार }}{{defn|1= | ||
त्रिज्या ''r'' के ''n''-गोले की अनुभागीय वक्रता ''K'' = 1/''r''<sup>2</sup> है इसलिए अदिश राशि | |||
वक्रता ''S'' = ''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup> है. | |||
}} | }} | ||
{{term|[[ | {{term|[[हाइपरबोलिक क्षेत्र]]}}{{defn|1= | ||
हाइपरर्बोलियड मॉडल द्वारा एक ''n''-आयामी हाइपरबोलिक क्षेत्र को उपसमुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है (''n'' + 1)-आयामी मिन्कोव्स्की स्थान | |||
: <math>x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.</math> | |||