अदिश वक्रता: Difference between revisions
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आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)|लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत]] है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं। | आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)|लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत]] है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं। | ||
धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किए गए [[सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय|धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय]] का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न प्रौद्योगिकी के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले | धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किए गए [[सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय|धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय]] का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न प्रौद्योगिकी के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले संवृत मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन | ग्रिगोरी पेरेलमैन]] द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
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इसके अतिरिक्त, अदिश वक्रता सामान्यीकरण कारक की मनमानी पसंद के आधार पर मेट्रिक का एक [[मात्र निर्देशांक]] स्वतंत्र प्रकार्य है, जिसका सामान्य समन्वय चार्ट के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के व्युत्पन्न में एक बहुपद है और इसमें ऊपर की ओर स्केलिंग गुणधर्म है.यह वर्मेल प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1loc=Example 2.4.3}} | इसके अतिरिक्त, अदिश वक्रता सामान्यीकरण कारक की मनमानी पसंद के आधार पर मेट्रिक का एक [[मात्र निर्देशांक]] स्वतंत्र प्रकार्य है, जिसका सामान्य समन्वय चार्ट के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के व्युत्पन्न में एक बहुपद है और इसमें ऊपर की ओर स्केलिंग गुणधर्म है.यह वर्मेल प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1loc=Example 2.4.3}} | ||
===बियान्ची | ===बियान्ची तत्समक === | ||
बियांची | बियांची तत्समक के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में किसी भी स्यूडो रिमानियन मीट्रिक में वह गुण होता है जो{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} | ||
:<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | :<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | ||
इस | इस तत्समक को अनुबंधित बियांची तत्समक कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, स्कुर लेम्मा रिमानियन ज्यामिति बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणज है, तो मीट्रिक [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]] होना चाहिए जब तक कि आयाम दो न हो। इसके अतिरिक्त, यह कहता है कि दो आयामों को छोड़कर एक मीट्रिक आइंस्टीन तभी होता है जब रिक्की टेंसर और अदिश वक्रता का संबंध आइन्स्टीन से होता है, | ||
:<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | :<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | ||
जहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} इस प्रकार अनुबंधित बियांची | जहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} इस प्रकार अनुबंधित बियांची तत्समक सामान्य सापेक्षता के गणित में भी मौलिक रूप में है, क्योंकि यह [[आइंस्टीन टेंसर]] को मौलिक मात्रा के रूप में तत्समक ती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 3C|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=336}} | ||
===रिक्की अपघटन=== | ===रिक्की अपघटन=== | ||
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[[अनुरूप ज्यामिति]] की अदिश वक्रता की गणना की जाती है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1p=146|2a1=Besse|2y=1987|2loc=Section 1J}} | [[अनुरूप ज्यामिति]] की अदिश वक्रता की गणना की जाती है{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1p=146|2a1=Besse|2y=1987|2loc=Section 1J}} | ||
:<math>R(e^{2f}g)=e^{-2f}\Big(R(g)-2(n-1)\Delta^gf-(n-2)(n-1)g(df,df)\Big),</math> | :<math>R(e^{2f}g)=e^{-2f}\Big(R(g)-2(n-1)\Delta^gf-(n-2)(n-1)g(df,df)\Big),</math> | ||
कन्वेंशन का उपयोग करना {{math|Δ {{=}} ''g''<sup>''ij ''</sup>∇<sub>''i''</sub>∇<sub>''j''</sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी | कन्वेंशन का उपयोग करना {{math|Δ {{=}} ''g''<sup>''ij ''</sup>∇<sub>''i''</sub>∇<sub>''j''</sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी संकारको के लिए वैकल्पिक रूप से,{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1p=146|2a1=Besse|2y=1987|2loc=Section 1J}} | ||
:<math>R(\psi^{4/(n-2)}g)=-\frac{4\frac{n-1}{n-2}\Delta^g\psi-R(g)\psi}{\psi^{\frac{n+2}{n-2}}}.</math> के रूप में होता है | :<math>R(\psi^{4/(n-2)}g)=-\frac{4\frac{n-1}{n-2}\Delta^g\psi-R(g)\psi}{\psi^{\frac{n+2}{n-2}}}.</math> के रूप में होता है | ||
अंतर्निहित मीट्रिक में एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन के अनुसार है{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | अंतर्निहित मीट्रिक में एक अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन के अनुसार है{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
:<math>\frac{\partial R}{\partial t}=-\Delta^g\left(g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)+\left(\nabla_k\nabla_l\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}-R_{kl}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)g^{ik}g^{jl}.</math> | :<math>\frac{\partial R}{\partial t}=-\Delta^g\left(g^{ij}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)+\left(\nabla_k\nabla_l\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}-R_{kl}\frac{\partial g_{ij}}{\partial t}\right)g^{ik}g^{jl}.</math> | ||
यह विशेष रूप से दर्शाता है कि अंतर | यह विशेष रूप से दर्शाता है कि अंतर संकारको का मुख्य प्रतीक जो एक मीट्रिक को उसके अदिश वक्रता पर भेजता है, इस प्रकार दर्शाया गया है | ||
:<math>(\xi_i,h_{ij})\mapsto -g(\xi,\xi)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi^i\xi^j.</math> | :<math>(\xi_i,h_{ij})\mapsto -g(\xi,\xi)g^{ij}h_{ij}+h_{ij}\xi^i\xi^j.</math> | ||
इसके अतिरिक्त रैखिककृत अदिश वक्रता प्रचालक का जोड़ है | इसके अतिरिक्त रैखिककृत अदिश वक्रता प्रचालक का जोड़ है | ||
:<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | :<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | ||
और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार | और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार संकारको के रूप में होता है। यह पहले भिन्न सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक रिक्की फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जाता है जिससे कि या तो धनात्मक या ऋणात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अतिरिक्त पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के अनुसार विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सकता है ।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ||
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: <math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].</math> | : <math>2R_{1212} \,= S \det (g_{ij}) = S\left[g_{11}g_{22} - (g_{12})^2\right].</math> | ||
===[[अंतरिक्ष रूप| | ===[[अंतरिक्ष रूप|समष्टि फॉर्म]] === | ||
[[अंतरिक्ष रूप|समष्टि फॉर्म]] परिभाषा के अनुसार निरंतर अनुभागीय वक्रता के साथ रीमानियन मैनिफोल्ड होता है। यह समष्टि फॉर्म निम्नलिखित प्रकारों में से एक के लिए स्थानीय रूप से सममितीय रूप में होता है | |||
{{term|यूक्लिडियन दूरी}}{{defn|1= | {{term|यूक्लिडियन दूरी}}{{defn|1= | ||
n-आयाम यूक्लिडियन दूरी का रीमैन टेंसर समान रूप से गायब हो जाता है, इसलिए अदिश वक्रता भी गायब हो जाती है। | n-आयाम यूक्लिडियन दूरी का रीमैन टेंसर समान रूप से गायब हो जाता है, इसलिए अदिश वक्रता भी गायब हो जाती है। | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
वक्रता ''S'' = ''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup> है. | वक्रता ''S'' = ''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup> है. | ||
}} | }} | ||
{{term|[[ | {{term|[[अतिपरवलिक स्थान]]}}{{defn|1= | ||
अतिपरवलिक मॉडल द्वारा एक ''n''-आयामी अतिपरवलिक क्षेत्र को उपसमुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है (''n'' + 1)-आयामी मिन्कोव्स्की स्थान | |||
: <math>x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.</math> | : <math>x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.</math> | ||
पैरामीटर ''r'' | पैरामीटर ''r'' अतिपरवलिक क्षेत्र का एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, और अनुभागीय वक्रता ''K'' = −1/''r''<sup>2</sup> है . इस प्रकार अदिश वक्रता ''S'' = −''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup>है. | ||
}} | }} | ||
स्थिर [[होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता]] का काहलर मीट्रिक दिए जाने पर अदिश वक्रता भी स्थिर होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | स्थिर [[होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता]] का काहलर मीट्रिक दिए जाने पर अदिश वक्रता भी स्थिर होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | ||
=== | ===गुणनफल === | ||
रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान]] ''M'' × ''N'' की अदिश वक्रता M और N के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए किसी भी चिकने मैनिफोल्ड | रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान|गुणनफल]] ''M'' × ''N'' की अदिश वक्रता M और N के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए किसी भी चिकने मैनिफोल्ड संवृत मैनिफोल्ड M, M × S<sup>2</sup> के लिए धनात्मक अदिश वक्रता एक मीट्रिक है, इस प्रकार 2-गोले को M की तुलना में छोटा मानकर जिससे कि इसकी वक्रता बड़ी हो। यह उदाहरण सुझाव दे सकता है कि अदिश वक्रता का मैनिफोल्ड की वैश्विक ज्यामिति से बहुत कम संबंध होता है। वास्तव में, इसका कुछ वैश्विक महत्व होता है जैसा कि चर्चा की गई अदिश वक्रता धनात्मक अदिश वक्रता के रूप में है। | ||
गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत | गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत गुणनफल मेट्रिक्स उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत हैं। उदाहरण के लिए सामान्य फ्रीडमैन लेमेत्रे रॉबर्टसन वॉकर मीट्रिक स्पेसटाइम, [[ब्रह्मांड विज्ञान]] के लिए महत्वपूर्ण, लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है | ||
:<math>-dt^2+f(t)^2 g</math> | :<math>-dt^2+f(t)^2 g</math> | ||
पर {{math|{{open-open|''a'', ''b''}} × ''M''}}, पर, जहां {{mvar|g}} त्रि-आयामी मैनिफोल्ड {{mvar|M}}. पर एक स्थिर-वक्रता रीमैनियन मीट्रिक है। रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक की अदिश वक्रता दी गई है | पर {{math|{{open-open|''a'', ''b''}} × ''M''}}, पर, जहां {{mvar|g}} त्रि-आयामी मैनिफोल्ड {{mvar|M}}. पर एक स्थिर-वक्रता रीमैनियन मीट्रिक है। रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक की अदिश वक्रता दी गई है | ||
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यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध स्थान कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। स्यूडो -रिमानियन संदर्भ में, इसमें [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] और [[केर स्पेसटाइम]] भी सम्मिलित है। | यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध स्थान कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। स्यूडो -रिमानियन संदर्भ में, इसमें [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] और [[केर स्पेसटाइम]] भी सम्मिलित है। | ||
शून्य अदिश वक्रता लेकिन गैर-लुप्त होने वाली रिक्की वक्रता वाले मेट्रिक्स हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] पर [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत | शून्य अदिश वक्रता लेकिन गैर-लुप्त होने वाली रिक्की वक्रता वाले मेट्रिक्स हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] पर [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत गुणनफल मीट्रिक के रूप में निर्मित है, जिसमें शून्य अदिश वक्रता है लेकिन गैर-शून्य रिक्की वक्रता है। इसे सिलेंडर पर शून्य अदिश वक्रता के घूर्णी रूप से सममित रीमैनियन मीट्रिक के रूप में भी देखा जा सकता है {{math|'''R''' × S<sup>''n''</sup>}}.{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 4.2.3}} | ||
==यामाबे समस्या== | ==यामाबे समस्या== | ||
{{main|यामाबे समस्या}} | {{main|यामाबे समस्या}} | ||
यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक | यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक संवृत मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक प्राप्त करने के लिए कुछ चिकनी धनात्मक फलन से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक संवृत मैनिफ़ोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मीट्रिक निरंतर अदिश वक्रता वाले एक के अनुरूप ज्यामिति होती है। | ||
==धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स== | ==धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स== | ||
एक | एक संवृत रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड M के लिए, अदिश वक्रता का M की [[टोपोलॉजी]] से स्पष्ट संबंध है, जो गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है, इस प्रकार M की कुल अदिश वक्रता M की [[यूलर विशेषता]] 4π के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स के साथ एकमात्र संवृत सतहें धनात्मक यूलर विशेषता वाले क्षेत्र S2 और RP2 हैं और उन दो सतहों में अदिश वक्रता ≤ 0 के साथ कोई मीट्रिक नहीं है। | ||
===अस्तित्वहीनता परिणाम=== | ===अस्तित्वहीनता परिणाम=== | ||
1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[स्पिन मैनिफोल्ड]] पर, डिराक | 1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[स्पिन मैनिफोल्ड]] पर, डिराक संकारको और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप यदि एक संवृत मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] विद्यमान नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि चार से विभाज्य और धनात्मक अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी संवृत स्पिन के लिए जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}} | ||
डिराक | डिराक संकारको का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के उपपत्ति को एक सहायक [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के श्रेणी संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अतिरिक्त ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] होते है, जिनमें कोई रीमैनियन नहीं होते है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया जाता है। इस प्रकार उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक संवृत मैनिफोल्ड होता है, जैसे [[ टोरस्र्स | टोरस्र्स]], में धनात्मक अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी संवृत स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह सटीक सूत्रीकरण में बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] की एक विशेष स्थिति होती है, जो C*बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत|संकारको के-सिद्धांत]] से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान की एक विशेष स्थिति है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}} | ||
चार-आयामी मैनिफोल्ड्स की विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। इस प्रकार लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान सामान्य होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-सामान्य समाधानों के अस्तित्व की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। [[क्लाउड लेब्रून]] ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया है।{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=Section 11.2}} | चार-आयामी मैनिफोल्ड्स की विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। इस प्रकार लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान सामान्य होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-सामान्य समाधानों के अस्तित्व की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। [[क्लाउड लेब्रून]] ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया है।{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=Section 11.2}} | ||
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उपरोक्त गैर-अस्तित्व परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से धनात्मक अदिश वक्रता के '''रीमैनियन मेट्रिक्स''' का निर्माण किया है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} | उपरोक्त गैर-अस्तित्व परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से धनात्मक अदिश वक्रता के '''रीमैनियन मेट्रिक्स''' का निर्माण किया है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} | ||
बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन ने विभिन्न प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मौलिक परिणाम साबित किया है कि धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का अस्तित्व [[सर्जरी सिद्धांत]] द्वारा कम से कम तीन कोडिमेंशन में संरक्षित है और विशेष रूप से जुड़े योग द्वारा संरक्षित है। यह कई प्रकार के विविध स्तरों पर ऐसे मेट्रिक्स के अस्तित्व को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए यह तुरंत दिखाता है कि गोलाकार स्थान रूपों और सामान्यीकृत सिलेंडरों की प्रतियों की मनमानी संख्या का [[जुड़ा हुआ योग]] {{math|S<sup>''m''</sup> × S<sup>''n''</sup>}} में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक है। ग्रिगोरी पेरेलमैन की सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह का निर्माण एक तत्काल परिणाम के रूप में त्रि-आयामी स्थिति में उलटा है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक | बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन ने विभिन्न प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मौलिक परिणाम साबित किया है कि धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का अस्तित्व [[सर्जरी सिद्धांत]] द्वारा कम से कम तीन कोडिमेंशन में संरक्षित है और विशेष रूप से जुड़े योग द्वारा संरक्षित है। यह कई प्रकार के विविध स्तरों पर ऐसे मेट्रिक्स के अस्तित्व को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए यह तुरंत दिखाता है कि गोलाकार स्थान रूपों और सामान्यीकृत सिलेंडरों की प्रतियों की मनमानी संख्या का [[जुड़ा हुआ योग]] {{math|S<sup>''m''</sup> × S<sup>''n''</sup>}} में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक है। ग्रिगोरी पेरेलमैन की सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह का निर्माण एक तत्काल परिणाम के रूप में त्रि-आयामी स्थिति में उलटा है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक संवृत [[ उन्मुख | ओरिएंटेबल]] 3-मैनिफोल्ड एक ऐसा जुड़ा हुआ योग होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Perelman|1y=2003|1loc=Section 6.1|2a1=Cao|2a2=Zhu|2y=2006|2loc=Corollary 7.4.4|3a1=Kleiner|3a2=Lott|3y=2008|3loc=Lemmas 81.1 and 81.2}} | ||
ग्रोमोव-लॉसन और स्कोएन-याउ निर्माण द्वारा अनुमत सर्जरी के आधार पर ग्रोमोव और लॉसन ने देखा कि [[एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय]] और [[कोबर्डिज्म रिंग]] का विश्लेषण सीधे लागू किया जा सकता है। उन्होंने सिद्ध किया कि चार से अधिक आयामों में किसी भी गैर-स्पिन बस जुड़े हुए | ग्रोमोव-लॉसन और स्कोएन-याउ निर्माण द्वारा अनुमत सर्जरी के आधार पर ग्रोमोव और लॉसन ने देखा कि H[[एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय|-कोबॉर्डिज्म प्रमेय]] और [[कोबर्डिज्म रिंग]] का विश्लेषण सीधे लागू किया जा सकता है। उन्होंने सिद्ध किया कि चार से अधिक आयामों में किसी भी गैर-स्पिन बस जुड़े हुए संवृत मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक होता है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Section IV.4}} स्टीफ़न स्टोलज़ ने चार से अधिक आयामों में सरल रूप से जुड़े संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए अस्तित्व सिद्धांत को पूरा किया है, जिसमें दिखाया गया कि जब तक α-जीनस शून्य है, तब तक धनात्मक अदिश वक्रता का एक रीमैनियन मीट्रिक के रूप में होता है।{{sfnm|1a1=Berger|1y=2003|1loc=Section 12.3.3}} | ||
इन परिणामों के अनुसार, | इन परिणामों के अनुसार, संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का अस्तित्व त्रि-आयामी स्थिति में और चार से अधिक आयाम के बस-जुड़े मैनिफोल्ड्स के स्थिति में पूरी तरह से तय हो जाता है। | ||
==कज़दान और वार्नर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय== | ==कज़दान और वार्नर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय== | ||
अदिश वक्रता के चिन्ह का उच्च आयामों में टोपोलॉजी से कमजोर संबंध होता है। इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के एक चिकने | अदिश वक्रता के चिन्ह का उच्च आयामों में टोपोलॉजी से कमजोर संबंध होता है। इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के एक चिकने संवृत मैनिफोल्ड M को देखते हुए, [[जेरी काज़ से]] और वार्नर ने निर्धारित अदिश वक्रता समस्या को हल किया है, जिसमें बताया गया कि M पर कौन से सुचारू कार्य M पर कुछ रीमैनियन मीट्रिक के अदिश वक्रता के रूप में उत्पन्न होते हैं। अर्थात्, M बिल्कुल इनमें से एक होना चाहिए निम्नलिखित तीन प्रकार से दर्शाया गया है {{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Theorem 4.35}} | ||
# M पर प्रत्येक फलन M पर कुछ मीट्रिक की अदिश वक्रता है। | # M पर प्रत्येक फलन M पर कुछ मीट्रिक की अदिश वक्रता है। | ||
# M पर यदि फलन M की कुछ मीट्रिक अदिश वक्रता है यदि यह या तो समान रूप से शून्य है या कहीं ऋणात्मक है। | # M पर यदि फलन M की कुछ मीट्रिक अदिश वक्रता है यदि यह या तो समान रूप से शून्य है या कहीं ऋणात्मक है। | ||
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इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के प्रत्येक मैनिफोल्ड में ऋणात्मक अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक होता है, इस प्रकार वास्तव में निरंतर ऋणात्मक अदिश वक्रता कज़दान-वार्नर का परिणाम इस सवाल पर ध्यान केंद्रित करता है कि किन मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता वाला एक मीट्रिक है, जो गुणधर्म (1) के बराबर है। इस प्रकार बॉर्डरलाइन केस (2) को 'दृढ़ता से अदिश फ्लैट मीट्रिक' के साथ मैनिफोल्ड्स के वर्ग के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है अदिश वक्रता शून्य के साथ एक मीट्रिक जैसे कि M में धनात्मक अदिश वक्रता के साथ कोई मीट्रिक नहीं है | इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के प्रत्येक मैनिफोल्ड में ऋणात्मक अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक होता है, इस प्रकार वास्तव में निरंतर ऋणात्मक अदिश वक्रता कज़दान-वार्नर का परिणाम इस सवाल पर ध्यान केंद्रित करता है कि किन मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता वाला एक मीट्रिक है, जो गुणधर्म (1) के बराबर है। इस प्रकार बॉर्डरलाइन केस (2) को 'दृढ़ता से अदिश फ्लैट मीट्रिक' के साथ मैनिफोल्ड्स के वर्ग के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है अदिश वक्रता शून्य के साथ एक मीट्रिक जैसे कि M में धनात्मक अदिश वक्रता के साथ कोई मीट्रिक नहीं है | ||
अकिटो फूटाकी ने दिखाया कि दृढ़ता से अदिश -फ्लैट मेट्रिक्स बेहद खास हैं। जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यह कम से कम 5 आयाम के सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड M के लिए है, जो दृढ़ता से अदिश-सपाट रूप में होते है, M को [[ होलोनोमी ]] समूह SU (n) (कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स), Sp (n) हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का | अकिटो फूटाकी ने दिखाया कि दृढ़ता से अदिश -फ्लैट मेट्रिक्स बेहद खास हैं। जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यह कम से कम 5 आयाम के सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड M के लिए है, जो दृढ़ता से अदिश-सपाट रूप में होते है, M को [[ होलोनोमी ]] समूह SU (n) (कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स), Sp (n) हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का गुणनफल होना चाहिए। या स्पिन(7).{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Corollary C.4.4}} विशेष रूप से यह मेट्रिक्स रिक्की-फ्लैट हैं न कि केवल अदिश -फ्लैट इसके विपरीत है,{{sfnm|1a1=Lebanon|1y=2002}} इन होलोनॉमी समूहों के साथ कई गुना के उदाहरण हैं, जैसे कि [[K3 सतह]], जो स्पिन हैं और गैर-शून्य α-अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए दृढ़ता से अदिश -फ्लैट हैं। | ||
==सांख्यिकीय अनुमान के लिए अनुप्रयोग== | ==सांख्यिकीय अनुमान के लिए अनुप्रयोग== | ||
Revision as of 08:29, 28 November 2023
रीमैनियन ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का एक माप है। रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार