टेंट मैप: Difference between revisions

Latest revision as of 09:29, 29 November 2023

टेंट मैप फलन का ग्राफ़

μ = 1.9 के साथ टेंट मैप पर प्रारंभिक स्थिति x₀ = 0.4 को दोहराने का उदाहरण।

गणित में, मापदंड μ वाला टेंट मैप वास्तविक संख्या-मूल्य वाला एक फलन होता है जिसे f_μ द्वारा परिभाषित किया जाता है

f_{\mu }(x):=\mu \min\{x,\,1-x\},

इसे यह नाम f_μके एक फलन के ग्राफ़ के टेंट जैसे आकार के होने के कारण दिया गया था। 0 और 2 के भीतर मापदंड μ के मानों के लिए, f_μ इकाई अंतराल [0, 1] को अपने आप में मैपित करता है, इस प्रकार यह उस पर एक भिन्न-समय गतिशील प्रणाली को परिभाषित करता है (समकक्ष, एक पुनरावृत्ति संबंध)। विशेष रूप से, पुनरावृत्त फलन एक बिंदु x₀ [0, 1] में एक अनुक्रम $x_{n}$ उत्पन्न होता है:

x_{n+1}=f_{\mu }(x_{n})={\begin{cases}\mu x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}<{\frac {1}{2}}\\\mu (1-x_{n})&\mathrm {for} ~~{\frac {1}{2}}\leq x_{n}\end{cases}}

जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक होता है। उदाहरण के लिए मापदंड μ = 2 का चयन करते हुए, फलन f_μ के प्रभाव को इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है, फिर परिणामी अंतराल (गणित) [0, 1/2] को पुनः से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, अंतराल का कोई भी बिंदु x₀ ऊपर वर्णित अनुसार नई पश्चात की स्थिति ग्रहण करता है, जिससे [0, 1] में एक अनुक्रम x_n उत्पन्न होता है।

$\mu =2$ टेंट मैप कि स्थिति बिट शिफ्ट मैप और लॉजिस्टिक मैप के r = 4 स्थिति में दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन होता है।

व्यवहार

इकाई-ऊंचाई टेंट मैप की कक्षाएँ

टेंट मैप के लिए द्विभाजन आरेख। उच्च घनत्व μ मापदंड के दिए गए मान के लिए x चर के उस मान को प्राप्त करने की बढ़ी हुई संभावना को इंगित करता है।

मापदंड μ = 2 के साथ टेंट मैप और मापदंड r = 4 के साथ लॉजिस्टिक मैप स्थलीय रूप से संयुग्मित होता हैं,^[1] और इस प्रकार दो मैपों का व्यवहार इस अर्थ में पुनरावृत्ति के तहत समान होता है।

μ के मूल्य के आधार पर, टेंट मैप पूर्वानुमानित से लेकर विशृंखल तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।

यदि μ 1 से कम होता है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए प्रणाली का एक आकर्षक निश्चित बिंदु होता है अर्थात् प्रणाली x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके समान x के सभी मान प्रणाली के निश्चित बिंदु होते हैं।
यदि μ 1 से अधिक है तो प्रणाली में दो निश्चित बिंदु होते हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर होते हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के समीप x का मान उसकी ओर जाने के अतिरिक्त उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु होता है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) परन्तु x = 0.61 से प्रारंभ करने पर हमें निम्न प्रकार से प्राप्त होता है

0.61\to 0.585\to 0.6225\to 0.56625\to 0.650625\ldots

यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ² और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय मैपित करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मैप का जूलिया समुच्चय होता है - अर्थात, यह इस मैप के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ² से μ/2 तक संपूर्ण अंतराल होता है (द्विभाजन आरेख देखें)।
यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ²/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (अर्थात् आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:

{\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{2}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{2}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu =1

{\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{3}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{3}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}

{\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{2}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{3}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu ^{4}}{\mu ^{4}+1}}\to {\frac {\mu }{\mu ^{4}+1}}{\mbox{ appears at }}\mu \approx 1.8393

यदि μ 2 के समान होता है तो प्रणाली अंतराल [0, 1] को स्वयं मैपित करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी उपस्थित होता है। [0, 1] में आवर्त बिंदु सघन होता हैं, इसलिए मैप विशृंखलता सिद्धांत बन जाता है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और मात्र यदि $x_{0}$ एक अपरिमेय संख्या हो। इसे बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि जब $x_{n}$ को बाइनरी संख्या अंकन में व्यक्त किया जाता है तो मैप क्या करता है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में परिवर्तित कर देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार की स्थिति में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से प्रारंभ होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए सदैव चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व होता है।^[2] पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फलन { $x_{n}$ } सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।^[3] इस प्रकार $x_{n}$ स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके इसे सफेद ध्वनि से भिन्न नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मैप का r = 4 स्थिति और $\mu =2$ टेंट मैप की स्थिति एक-दूसरे के समरूप होती हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को प्रदर्शित करते हुए $y_{n}$ , होमोमोर्फिज्म निम्न प्रकार होता है

x_{n}={\tfrac {2}{\pi }}\sin ^{-1}(y_{n}^{1/2}).

यदि μ 2 से अधिक है तो मैप का जूलिया समुच्चय वियोजित हो जाता है, और अंतराल [0, 1] के भीतर एक कैंटर समुच्चय में पृथक हो जाता है। जूलिया समुच्चय में अभी भी गैर-आवधिक और आवधिक दोनों बिंदुओं (किसी भी कक्षा की लंबाई के लिए कक्षाओं सहित) की अनंत संख्या सम्मिलित है, परन्तु [0, 1] के भीतर लगभग प्रत्येक बिंदु अब अंततः अनंत की ओर विचलन करेगा। कैनोनिकल कैंटर समुच्चय (इकाई पंक्ति के उपसमुच्चय से मध्य तिहाई को क्रमिक रूप से हटाकर प्राप्त किया गया) μ = 3 के लिए टेंट मैप का जूलिया समुच्चय होता है।

संख्यात्मक त्रुटियाँ

मापदंड m = 2.0 के लिए टेंट मैप की समय श्रृंखला जो संख्यात्मक त्रुटि दिखाती है: समय श्रृंखला का प्लॉट (पुनरावृत्तियों की संख्या के संबंध में x चर का प्लॉट) में उतार-चढ़ाव बंद हो जाता है और n = 50 के पश्चात कोई मान नहीं देखा जाता है। मापदंड m = 2.0, प्रारंभिक बिंदु यादृच्छिक होता है।

कक्षीय आरेख को आवर्धित करना

टिप के पास आवर्धन अधिक विवरण दिखाता है।

कक्षीय आरेख को समीप से देखने पर पता चलता है कि μ ≈ 1 पर 4 भिन्न-भिन्न क्षेत्र होता हैं। आगे आवर्धन के लिए, 2 संदर्भ रेखाएं (लाल) टिप से उपयुक्त x तक निश्चित μ पर खींची जाती हैं (उदाहरण के लिए, 1.10) जैसा कि दिखाया गया है।

आगे आवर्धन 8 भिन्न-भिन्न क्षेत्रों को प्रदर्शित करता है।

संबंधित संदर्भ रेखाओं से मापी गई दूरी के साथ, आगे का विवरण मैप के ऊपरी और निचले भाग में दिखाई देता है। (कुछ μ पर कुल 8 भिन्न-भिन्न क्षेत्र)

असममित टेंट मैप

असममित टेंट मैप मूल रूप से एक विकृत, परन्तु फिर भी टुकड़े-टुकड़े रैखिक, टेंट मैप के $\mu =2$ स्थिति का संस्करण होता है। इसे निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है

v_{n+1}={\begin{cases}v_{n}/a&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [0,a]\\(1-v_{n})/(1-a)&\mathrm {for} ~~v_{n}\in [a,1]\end{cases}}

मापदंड $a\in [0,1]$ के लिए . $\mu =2$ h> टेंट मैप की स्थिति $a={\tfrac {1}{2}}$ की वर्तमान स्थिति है। एक क्रम { $v_{n}$ } में समान स्वत:सहसंबंध फलन होगा^[3]जैसा कि प्रथम-क्रम स्वत:प्रतिगामी प्रक्रिया से डेटा $w_{n+1}=(2a-1)w_{n}+u_{n+1}$ { $u_{n}$ } के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित किया जाएगा। इस प्रकार एक असममित टेंट मैप के डेटा को, स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम स्वत:प्रतिगामी प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से पृथक नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Conjugating the Tent and Logistic Maps, Jeffrey Rauch, University of Michigan
↑ Collett, Pierre, and Eckmann, Jean-Pierre, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Boston: Birkhauser, 1980.
↑ ^3.0 ^3.1 Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," Journal of Economic Theory 40, October 1986, 168-195.

बाहरी संबंध

ChaosBook.org

[1] Conjugating the Tent and Logistic Maps, Jeffrey Rauch, University of Michigan

[2] Collett, Pierre, and Eckmann, Jean-Pierre, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Boston: Birkhauser, 1980.

[Brock-3] 3.0 ^3.1 Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," Journal of Economic Theory 40, October 1986, 168-195.

[1]

[2]

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-[[File:Tent map 2.png|thumb|right|तम्बू मानचित्र फ़ंक्शन का ग्राफ़]]
+[[File:Tent map 2.png|thumb|right|टेंट मैप फलन का ग्राफ़]]
-[[File:Tent map.gif|300px|thumb|right|प्रारंभिक स्थिति x को पुनरावृत्त करने का उदाहरण<sub>0</sub>= μ = 1.9 के साथ तम्बू मानचित्र पर 0.4।]]गणित में, पैरामीटर μ वाला टेंट मैप [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला फ़ंक्शन है (गणित) ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित
+[[File:Tent map.gif|300px|thumb|right|μ = 1.9 के साथ टेंट मैप पर प्रारंभिक स्थिति ''x''<sub>0</sub> = 0.4 को दोहराने का उदाहरण।]]गणित में, मापदंड μ वाला '''टेंट मैप''' [[वास्तविक संख्या]]-मूल्य वाला एक फलन होता है जिसे ''f''<sub>μ</sub> द्वारा परिभाषित किया जाता है
 :<math>f_\mu(x) := \mu\min\{x,\,1-x\},</math>
-यह नाम f के एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तम्बू जैसे आकार के कारण है<sub>μ</sub>. 0 और 2 के भीतर पैरामीटर μ के मानों के लिए, f<sub>μ</sub> [[छवि (गणित)]] [[इकाई अंतराल]] [0, 1] को अपने आप में, इस प्रकार उस पर एक अलग-समय [[गतिशील प्रणाली]] को परिभाषित करना (समकक्ष, एक [[पुनरावृत्ति संबंध]])। विशेष रूप से, [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन]] एक बिंदु x<sub>0</sub> [0, 1] में एक अनुक्रम उत्पन्न होता है <math>x_n</math>:
+इसे यह नाम ''f''<sub>μ</sub>के एक फलन के ग्राफ़ के टेंट जैसे आकार के होने के कारण दिया गया था। 0 और 2 के भीतर मापदंड μ के मानों के लिए, f<sub>μ</sub> [[इकाई अंतराल]] [0, 1] को अपने आप में मैपित करता है, इस प्रकार यह उस पर एक भिन्न-समय [[गतिशील प्रणाली]] को परिभाषित करता है (समकक्ष, एक [[पुनरावृत्ति संबंध]])। विशेष रूप से, [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन|पुनरावृत्त फलन]] एक बिंदु x<sub>0</sub> [0, 1] में एक अनुक्रम <math>x_n</math> उत्पन्न होता है:
 :<math>x_{n+1} = f_\mu(x_n) = \begin{cases}
@@ Line 8: / Line 8: @@
      \mu (1-x_n) & \mathrm{for}~~ \frac{1}{2} \le x_n
      \end{cases}</math>
-जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक है। उदाहरण के लिए पैरामीटर μ = 2 चुनना, फ़ंक्शन f का प्रभाव<sub>μ</sub> इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को फिर से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए खींचने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, किसी भी बिंदु x<sub>0</sub> जैसा कि ऊपर वर्णित है, अंतराल नई अनुवर्ती स्थितियाँ ग्रहण करता है, जिससे एक अनुक्रम x उत्पन्न होता है<sub>''n''</sub> [0, 1] में। <math>\mu=2</math> h> टेंट मैप का मामला [[ बिट शिफ्ट मानचित्र |बिट शिफ्ट मानचित्र]] और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र |लॉजिस्टिक मानचित्र]] के r = 4 केस दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन है।
+जहां μ एक सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक होता है। उदाहरण के लिए मापदंड μ = 2 का चयन करते हुए, फलन ''f''<sub>μ</sub> के प्रभाव को इकाई अंतराल को दो भागों में मोड़ने के संचालन के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है, फिर परिणामी [[अंतराल (गणित)]] [0, 1/2] को पुनः से अंतराल [0, 1] प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। प्रक्रिया को दोहराते हुए, अंतराल का कोई भी बिंदु ''x''<sub>0</sub> ऊपर वर्णित अनुसार नई पश्चात की स्थिति ग्रहण करता है, जिससे [0, 1] में एक अनुक्रम ''x<sub>n</sub>'' उत्पन्न होता है।
+<math>\mu=2</math> टेंट मैप कि स्थिति बिट शिफ्ट मैप और [[ लॉजिस्टिक मानचित्र |लॉजिस्टिक मैप]] के r = 4 स्थिति में दोनों का एक गैर-रेखीय परिवर्तन होता है।
 ==व्यवहार==
-[[Image:Tent-map.png|thumb|right|इकाई-ऊंचाई तम्बू मानचित्र की कक्षाएँ]]
+[[Image:Tent-map.png|thumb|right|इकाई-ऊंचाई टेंट मैप की कक्षाएँ]]
-[[Image:TentMap BifurcationDiagram.png|thumb|right|तम्बू मानचित्र के लिए द्विभाजन आरेख। उच्च घनत्व μ पैरामीटर के दिए गए मान के लिए x चर के उस मान को प्राप्त करने की बढ़ी हुई संभावना को इंगित करता है।]]पैरामीटर μ = 2 के साथ तम्बू मानचित्र और पैरामीटर r = 4 के साथ लॉजिस्टिक मानचित्र स्थलीय रूप से संयुग्मित हैं,<ref>[http://www.math.lsa.umich.edu/~rauch/558/logisticconjugation.pdf Conjugating the Tent and Logistic Maps], [[Jeffrey Rauch]], University of Michigan</ref> और इस प्रकार दो मानचित्रों का व्यवहार इस अर्थ में पुनरावृत्ति के तहत समान है।
+[[Image:TentMap BifurcationDiagram.png|thumb|right|टेंट मैप के लिए द्विभाजन आरेख। उच्च घनत्व μ मापदंड के दिए गए मान के लिए x चर के उस मान को प्राप्त करने की बढ़ी हुई संभावना को इंगित करता है।]]मापदंड μ = 2 के साथ टेंट मैप और मापदंड r = 4 के साथ लॉजिस्टिक मैप स्थलीय रूप से संयुग्मित होता हैं,<ref>[http://www.math.lsa.umich.edu/~rauch/558/logisticconjugation.pdf Conjugating the Tent and Logistic Maps], [[Jeffrey Rauch]], University of Michigan</ref> और इस प्रकार दो मैपों का व्यवहार इस अर्थ में पुनरावृत्ति के तहत समान होता है।
-μ के मूल्य के आधार पर, तम्बू मानचित्र पूर्वानुमानित से लेकर अराजक तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।
+μ के मूल्य के आधार पर, टेंट मैप पूर्वानुमानित से लेकर विशृंखल तक गतिशील व्यवहार की एक श्रृंखला प्रदर्शित करता है।
-* यदि μ 1 से कम है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए सिस्टम का एक आकर्षक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] है यानी सिस्टम x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
+* यदि μ 1 से कम होता है तो बिंदु x = 0, x के सभी प्रारंभिक मानों के लिए प्रणाली का एक आकर्षक [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदु]] होता है अर्थात् प्रणाली x के किसी भी प्रारंभिक मान से x = 0 की ओर परिवर्तित हो जाएगा।
-* यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके बराबर x के सभी मान सिस्टम के निश्चित बिंदु हैं।
+* यदि μ 1 है तो 1/2 से कम या उसके समान x के सभी मान प्रणाली के निश्चित बिंदु होते हैं।
-* यदि μ 1 से अधिक है तो सिस्टम में दो निश्चित बिंदु हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के करीब x का मान उसकी ओर जाने के बजाय उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) लेकिन x = 0.61 से शुरू करने पर हमें मिलता है
+* यदि μ 1 से अधिक है तो प्रणाली में दो निश्चित बिंदु होते हैं, एक 0 पर, और दूसरा μ/(μ + 1) पर। दोनों निश्चित बिंदु अस्थिर होते हैं, अर्थात किसी भी निश्चित बिंदु के समीप x का मान उसकी ओर जाने के अतिरिक्त उससे दूर चला जाएगा। उदाहरण के लिए, जब μ 1.5 है तो x = 0.6 पर एक निश्चित बिंदु होता है (चूंकि 1.5(1 − 0.6) = 0.6) परन्तु x = 0.61 से प्रारंभ करने पर हमें निम्न प्रकार से प्राप्त होता है
 ::<math>0.61 \to 0.585 \to 0.6225 \to 0.56625 \to 0.650625 \ldots</math>
-* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के बीच है तो सिस्टम μ - μ के बीच अंतराल का एक सेट मैप करता है<sup>2</sup>/2 और μ/2 स्वयं को। अंतरालों का यह सेट मानचित्र का [[जूलिया सेट]] है - अर्थात, यह इस मानचित्र के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया सेट μ - μ से संपूर्ण अंतराल है<sup>2</sup>/2 से μ/2 (द्विभाजन आरेख देखें)।
+* यदि μ 1 और 2 के वर्गमूल के मध्य होता है तो प्रणाली μ − μ<sup>2</sup> और μ/2 के मध्य अंतराल का एक समुच्चय मैपित करता है। अंतरालों का यह समुच्चय मैप का [[जूलिया सेट|जूलिया समुच्चय]] होता है - अर्थात, यह इस मैप के अंतर्गत वास्तविक रेखा का सबसे छोटा अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय होता है। यदि μ 2 के वर्गमूल से अधिक होता है, तो ये अंतराल विलीन हो जाते हैं, और जूलिया समुच्चय μ − μ<sup>2</sup> से μ/2 तक संपूर्ण अंतराल होता है (द्विभाजन आरेख देखें)।
-* यदि μ 1 और 2 के बीच है तो अंतराल [μ − μ है<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु शामिल हैं, हालांकि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर हैं (यानी आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के बजाय उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:
+* यदि μ 1 और 2 के मध्य है तो अंतराल [μ − μ<sup>2</sup>/2, μ/2] में आवधिक और गैर-आवधिक दोनों बिंदु सम्मिलित होते हैं, यधपि सभी कक्षा (गतिशीलता) अस्थिर होती हैं (अर्थात् आस-पास के बिंदु कक्षाओं की ओर जाने के अतिरिक्त उनसे दूर जाते हैं)। μ बढ़ने पर लंबी लंबाई वाली कक्षाएँ दिखाई देती हैं। उदाहरण के लिए:
 ::<math>\frac{\mu}{\mu^2+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^2+1} \to \frac{\mu}{\mu^2+1} \mbox{ appears at } \mu=1</math>
 ::<math>\frac{\mu}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^3+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^3+1} \to \frac{\mu}{\mu^3+1} \mbox{ appears at } \mu=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>
 ::<math>\frac{\mu}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^2}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^3}{\mu^4+1} \to \frac{\mu^4}{\mu^4+1} \to \frac{\mu}{\mu^4+1} \mbox{ appears at } \mu \approx 1.8393</math>
-* यदि μ 2 के बराबर है तो सिस्टम अंतराल [0, 1] को स्वयं मैप करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी हैं। आवधिक बिंदु [0, 1] में घने सेट हैं, इसलिए नक्शा [[अराजकता सिद्धांत]] बन गया है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और केवल यदि <math>x_0</math> [[अपरिमेय संख्या]] है. इसे नोट करके देखा जा सकता है कि मानचित्र कब क्या करता है <math>x_n</math> [[ बाइनरी संख्या |बाइनरी संख्या]] नोटेशन में व्यक्त किया गया है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में बदल देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार के मामले में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से शुरू होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए हमेशा चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके इसे सफेद शोर से अलग नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मानचित्र का r = 4 मामला और <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र के मामले एक-दूसरे के समरूप हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को दर्शाते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म है
+* यदि μ 2 के समान होता है तो प्रणाली अंतराल [0, 1] को स्वयं मैपित करता है। अब इस अंतराल के भीतर प्रत्येक कक्षा की लंबाई के साथ-साथ गैर-आवधिक बिंदु भी उपस्थित होता है। [0, 1] में आवर्त बिंदु सघन होता हैं, इसलिए मैप [[अराजकता सिद्धांत|विशृंखलता सिद्धांत]] बन जाता है। वास्तव में, गतिशीलता गैर-आवधिक होगी यदि और मात्र यदि <math>x_0</math> एक [[अपरिमेय संख्या]] हो। इसे बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि जब <math>x_n</math> को [[ बाइनरी संख्या |बाइनरी संख्या]] अंकन में व्यक्त किया जाता है तो मैप क्या करता है: यह बाइनरी बिंदु को एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करता है; फिर, यदि बाइनरी बिंदु के बाईं ओर जो दिखाई देता है वह एक है तो यह सभी को शून्य में परिवर्तित कर देता है और इसके विपरीत (परिमित बाइनरी विस्तार की स्थिति में अंतिम बिट एक को छोड़कर); एक अपरिमेय संख्या से प्रारंभ होकर यह प्रक्रिया बिना दोहराए सदैव चलती रहती है। x के लिए अपरिवर्तनीय माप इकाई अंतराल पर एकसमान घनत्व होता है।<ref>Collett, Pierre, and [[Jean-Pierre Eckmann|Eckmann, Jean-Pierre]], ''Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems'', Boston: Birkhauser, 1980.</ref> पर्याप्त रूप से लंबे अनुक्रम के लिए स्वत:सहसंबंध फलन {<math>x_n</math>} सभी गैर-शून्य अंतरालों पर शून्य स्वत:सहसंबंध दिखाएगा।<ref name="Brock">Brock, W. A., "Distinguishing random and deterministic systems: Abridged version," ''Journal of Economic Theory'' 40, October 1986, 168-195.</ref> इस प्रकार <math>x_n</math> स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके इसे सफेद ध्वनि से भिन्न नहीं किया जा सकता है। ध्यान दें कि लॉजिस्टिक मैप का r = 4 स्थिति और <math>\mu = 2</math> टेंट मैप की स्थिति एक-दूसरे के समरूप होती हैं: तार्किक रूप से विकसित होने वाले चर को प्रदर्शित करते हुए <math>y_n</math>, होमोमोर्फिज्म निम्न प्रकार होता है
 ::<math>x_n = \tfrac{2}{\pi}\sin^{-1}(y_{n}^{1/2}).</math>
-* यदि μ 2 से अधिक है तो मानचित्र का जूलिया सेट डिस्कनेक्ट हो जाता है, और अंतराल [0, 1] के भीतर एक [[कैंटर सेट]] में टूट जाता है। जूलिया सेट में अभी भी गैर-आवधिक और आवधिक दोनों बिंदुओं (किसी भी कक्षा की लंबाई के लिए कक्षाओं सहित) की अनंत संख्या शामिल है, लेकिन [[लगभग हर जगह]] [0, 1] के भीतर बिंदु अब अंततः अनंत की ओर विचलन करेगा। कैनोनिकल कैंटर सेट (यूनिट लाइन के सबसेट से मध्य तिहाई को क्रमिक रूप से हटाकर प्राप्त किया गया) μ = 3 के लिए टेंट मैप का जूलिया सेट है।
+* यदि μ 2 से अधिक है तो मैप का जूलिया समुच्चय वियोजित हो जाता है, और अंतराल [0, 1] के भीतर एक [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] में पृथक हो जाता है। जूलिया समुच्चय में अभी भी गैर-आवधिक और आवधिक दोनों बिंदुओं (किसी भी कक्षा की लंबाई के लिए कक्षाओं सहित) की अनंत संख्या सम्मिलित है, परन्तु [0, 1] के भीतर [[लगभग हर जगह|लगभग प्रत्येक]] बिंदु अब अंततः अनंत की ओर विचलन करेगा। कैनोनिकल कैंटर समुच्चय (इकाई पंक्ति के उपसमुच्चय से मध्य तिहाई को क्रमिक रूप से हटाकर प्राप्त किया गया) μ = 3 के लिए टेंट मैप का जूलिया समुच्चय होता है।
 ===संख्यात्मक त्रुटियाँ ===
-फ़ाइल: पैरामीटर m= के लिए टेंट मानचित्र की समय श्रृंखला2.0 which shows numerical error.svg|thumb|right|पैरामीटर m = 2.0 के लिए टेंट मैप की [[समय श्रृंखला]] जो संख्यात्मक त्रुटि दिखाती है: समय श्रृंखला का प्लॉट (पुनरावृत्तियों की संख्या के संबंध में x चर का प्लॉट) में उतार-चढ़ाव बंद हो जाता है और n = 50 के बाद कोई मान नहीं देखा जाता है। पैरामीटर एम = 2.0, प्रारंभिक बिंदु यादृच्छिक है।
+मापदंड ''m'' = 2.0 के लिए टेंट मैप की [[समय श्रृंखला]] जो संख्यात्मक त्रुटि दिखाती है: समय श्रृंखला का प्लॉट (पुनरावृत्तियों की संख्या के संबंध में x चर का प्लॉट) में उतार-चढ़ाव बंद हो जाता है और n = 50 के पश्चात कोई मान नहीं देखा जाता है। मापदंड ''m'' = 2.0, प्रारंभिक बिंदु यादृच्छिक होता है।
+==कक्षीय आरेख को आवर्धित करना==
+[[Image:TentMagnification.JPG|thumb|right|टिप के पास आवर्धन अधिक विवरण दिखाता है।]]
+* कक्षीय आरेख को समीप से देखने पर पता चलता है कि μ ≈ 1 पर 4 भिन्न-भिन्न क्षेत्र होता हैं। आगे आवर्धन के लिए, 2 संदर्भ रेखाएं (लाल) टिप से उपयुक्त x तक निश्चित μ पर खींची जाती हैं (उदाहरण के लिए, 1.10) जैसा कि दिखाया गया है।
-==कक्षा आरेख को आवर्धित करना==
+[[Image:TentTipDetail.JPG|thumb|right|आगे आवर्धन 8 भिन्न-भिन्न क्षेत्रों को प्रदर्शित करता है।]]
-[[Image:TentMagnification.JPG|thumb|right|टिप के पास आवर्धन अधिक विवरण दिखाता है।]]* कक्षा आरेख को करीब से देखने पर पता चलता है कि μ ≈ 1 पर 4 अलग-अलग क्षेत्र हैं। आगे आवर्धन के लिए, 2 संदर्भ रेखाएं (लाल) टिप से उपयुक्त x तक निश्चित μ पर खींची जाती हैं (उदाहरण के लिए, 1.10) जैसा कि दिखाया गया है।
-[[Image:TentTipDetail.JPG|thumb|right|आगे आवर्धन 8 अलग-अलग क्षेत्रों को दर्शाता है।]]* संबंधित संदर्भ रेखाओं से मापी गई दूरी के साथ, आगे का विवरण मानचित्र के ऊपरी और निचले हिस्से में दिखाई देता है। (कुछ μ पर कुल 8 अलग-अलग क्षेत्र)
+* संबंधित संदर्भ रेखाओं से मापी गई दूरी के साथ, आगे का विवरण मैप के ऊपरी और निचले भाग में दिखाई देता है। (कुछ μ पर कुल 8 भिन्न-भिन्न क्षेत्र)
-==असममित तम्बू मानचित्र==
+==असममित टेंट मैप==
-असममित तम्बू मानचित्र मूल रूप से एक विकृत, लेकिन फिर भी टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन का संस्करण है <math>\mu = 2</math> तम्बू मानचित्र का मामला. इसे परिभाषित किया गया है
+असममित टेंट मैप मूल रूप से एक विकृत, परन्तु फिर भी टुकड़े-टुकड़े रैखिक, टेंट मैप के <math>\mu = 2</math> स्थिति का संस्करण होता है। इसे निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>v_{n+1}=\begin{cases}
@@ Line 46: / Line 52: @@
      (1-v_n)/(1-a) &\mathrm{for}~~ v_n \in [a,1]
      \end{cases}</math>
-पैरामीटर के लिए <math>a \in [0,1]</math>. <math>\mu = 2</math> h> तम्बू मानचित्र का मामला वर्तमान मामला है <math>a= \tfrac{1}{2}</math>. एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फ़ंक्शन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया से डेटा होगा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> साथ {<math>u_n</math>} [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]]। इस प्रकार एक असममित तम्बू मानचित्र के डेटा को, ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से अलग नहीं किया जा सकता है।
+मापदंड <math>a \in [0,1]</math> के लिए . <math>\mu = 2</math> h> टेंट मैप की स्थिति <math>a= \tfrac{1}{2}</math> की वर्तमान स्थिति है। एक क्रम {<math>v_n</math>} में समान स्वत:सहसंबंध फलन होगा<ref name="Brock" />जैसा कि प्रथम-क्रम स्वत:प्रतिगामी प्रक्रिया से डेटा <math>w_{n+1} = (2a-1)w_n + u_{n+1}</math> {<math>u_n</math>} के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर|स्वतंत्र और समान रूप]] से वितरित किया जाएगा। इस प्रकार एक असममित टेंट मैप के डेटा को, स्वत:सहसंबंध फलन का उपयोग करके, प्रथम-क्रम स्वत:प्रतिगामी प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न डेटा से पृथक नहीं किया जा सकता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[जगह बदलें]]
+* [[जगह बदलें|शिफ्ट स्पेस]]
 * [[ग्रे कोड]]
@@ Line 59: / Line 65: @@
 * [http://chaosbook.org/ ChaosBook.org]
-{{Chaos theory}}
+[[Category:Collapse templates|Tent Map]]
+[[Category:Created On 15/08/2023|Tent Map]]
-{{DEFAULTSORT:Tent Map}}[[Category: अराजक मानचित्र]]
+[[Category:Machine Translated Page|Tent Map]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists|Tent Map]]
+[[Category:Pages with script errors|Tent Map]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion|Tent Map]]
-[[Category:Created On 15/08/2023]]
+[[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Templates generating microformats|Tent Map]]
+[[Category:Templates that are not mobile friendly|Tent Map]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

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असममित टेंट मैप

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