औसत: Difference between revisions

बोलचाल की भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, आमतौर पर संख्याओं का योग सूची में कितनी संख्याओं से विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य)। उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य [[ आंकड़े ]] हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या [[ मोड (सांख्यिकी) ]]। उदाहरण के लिए, औसत [[ आय ]] को अक्सर माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को शामिल करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, [[ केंद्रीय प्रवृत्ति ]] के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की सिफारिश की जाती है।

एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति [[ दिष्टता ]] है: यदि संख्या ए और बी की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची ए की प्रत्येक प्रविष्टि सूची बी पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची ए का औसत कम से कम सूची का है बी। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय समारोह को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।

कुछ प्रकार के औसत में, सूची में आइटमों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, [[ भारित ज्यामितीय माध्य ]] और भारित माध्य शामिल हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के [[ सामान्य गति ]] के लिए, किसी वस्तु का वजन सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।

{{main|Pythagorean means}}

{{see also|Mean#Pythagorean means}}

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और [[ अनुकूल माध्य ]] सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।

{{see also|Mean#Statistical location}}

वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग अक्सर माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो {{slink|Central tendency|Solutions to variational problems}}.

|+ Comparison of common averages of values { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }

! Type

! Description

! Example

! Result

| align="center" | [[Arithmetic mean]]

| Sum of values of a data set divided by number of values: <math>\scriptstyle\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i</math>

| align="center" | [[Median]]

| Middle value separating the greater and lesser halves of a data set

| align="center" | [[Mode (statistics)|Mode]]

| Most frequent value in a data set

| align="center" | [[Mid-range]]

| The arithmetic mean of the highest and lowest values of a set

[[Image:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|विभिन्न [[ तिरछापन ]] के साथ दो [[ लॉग-सामान्य वितरण ]]ों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना]]

{{Main|Mode (statistics)}}

=== मध्य ===

{{Main|Median}}

इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य है, (3 + 7)/2 = 5।

=== मिड-रेंज ===

{{Main|Mid-range}}

मध्य-श्रेणी एक सेट के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।

{{see also|Mean#Other means}}

! Name !! Equation or description !! As solution to optimization problem

| [[Arithmetic mean]] || <math>\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1 + \cdots + x_n)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x - x_i)^2</math>

| [[Median]] || The middle value that separates the higher half from the lower half of the data set || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n |x - x_i|</math>

| [[Geometric median]] || A [[rotation (mathematics)|rotation]] [[invariant (mathematics)|invariant]] extension of the [[median]] for points in <math>\mathbb{R}^d</math> || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n ||\vec{x} - \vec{x}_i||_2</math>

| [[Tukey median]] || Another rotation invariant extension of the median for points in <math>\mathbb{R}^d</math>—a point that maximizes the [[Tukey depth]] || <math>\underset{\vec{x} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{argmax}}\, \underset{\vec{u} \in \mathbb{R}^d}{\operatorname{min}} \, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }(\vec{x}_i-\vec{x})\cdot\vec{u} \geq 0 \\ 0, \text{ otherwise}\end{cases}\right)</math>

| [[Mode (statistics)|Mode]] || The most frequent value in the data set || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmax}}\, \sum_{i=1}^n \left(\begin{cases}1, \text{ if }x = x_i \\ 0, \text{ if }x \neq x_i\end{cases}\right)</math>

| [[Geometric mean]] || <math>\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{> 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (\ln(x) - \ln(x_i))^2,\qquad \text{if }x_i > 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>

| [[Harmonic mean]] || <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\neq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x_i}\right)^2</math>

| [[Lehmer mean]] || <math>\frac{\sum_{i=1}^n x_i^p}{\sum_{i=1}^n x_i^{p-1}}</math> ||  

| [[Quadratic mean]]<br />(or RMS) || <math>\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt{\frac{1}{n}\left(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^2 - x_i^2)^2</math>

| [[Cubic mean]] || <math>\sqrt[3]{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^3} = \sqrt[3]{\frac{1}{n}\left(x_1^3 + x_2^3 + \cdots + x_n^3\right)}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^3 - x_i^3)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>

| [[Generalized mean]] || <math>\sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}_{\geq 0}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (x^p - x_i^p)^2,\qquad \text{if }x_i \geq 0\,\forall\, i \in \{1,\dots,n\}</math>

| [[Quasi-arithmetic mean]] || <math> f^{-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}f(x_k) \right)</math> || <math>\underset{x \in \operatorname{dom}(f)}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n (f(x) - f(x_i))^2,\qquad \text{if } f</math> is [[Monotonic function|monotonic]]

| [[Weighted arithmetic mean|Weighted mean]] || <math>\frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \sum_{i=1}^n w_i(x - x_i)^2</math>

| [[Truncated mean]] || The arithmetic mean of data values after a certain number or proportion of the highest and lowest data values have been discarded

| [[Interquartile mean]] || A special case of the truncated mean, using the [[interquartile range]].  A special case of the inter-quantile truncated mean, which operates on quantiles (often deciles or percentiles) that are equidistant but on opposite sides of the median.

| [[Midrange]] || <math>\frac{1}{2}\left(\max x + \min x\right)</math> || <math>\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{argmin}}\, \underset{i \in \{1,\dots,n\}}{\operatorname{max}}\, |x - x_i|</math>

| [[Winsorized mean]] ||  Similar to the truncated mean, but, rather than deleting the extreme values, they are set equal to the largest and smallest values that remain

अन्य अधिक परिष्कृत औसत हैं: [[ काट-छांट करना ]], ट्रिमियन और [[ सामान्यीकृत माध्य ]], उनके सामान्यीकरण के साथ।<ref>{{cite journal |last1=Merigo |first1=Jose M. |last2=Cananovas |first2=Montserrat |title=The Generalized Hybrid Averaging Operator and its Application in Decision Making |year=2009 |journal=Journal of Quantitative Methods for Economics and Business Administration |volume=9 |pages=69–84 |issn=1886-516X |url=http://www.upo.es/RevMetCuant/art.php?id=38 }}{{Dead link|date=October 2018 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>

सामान्यीकृत f-mean|सामान्यीकृत f-mean का उपयोग करके कोई अपना औसत मीट्रिक बना सकता है:

जहाँ f कोई व्युत्क्रमणीय फलन है। f(x) = 1/x का उपयोग करके हार्मोनिक माध्य इसका एक उदाहरण है, और f(x) = log x का उपयोग करके ज्यामितीय माध्य दूसरा है।

हालाँकि, साधनों को उत्पन्न करने की यह विधि सभी औसतों पर कब्जा करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है। एक और सामान्य तरीका<ref name=Bibby/>{{fv|date=May 2022}} औसत को परिभाषित करने के लिए कोई फ़ंक्शन g(x₁, एक्स₂, ..., एक्स_''n'') तर्कों की एक सूची जो [[ निरंतर कार्य ]] है, प्रत्येक तर्क में मोनोटोनिकिटी, और सममित (तर्कों के क्रमपरिवर्तन के तहत परिवर्तनीय)। औसत y तब वह मान है, जो सूची के प्रत्येक सदस्य को प्रतिस्थापित करते समय समान फ़ंक्शन मान में परिणत होता है: {{nowrap|1=''g''(''y'', ''y'', ..., ''y'') =}} {{nowrap|''g''(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'')}}. यह सबसे सामान्य परिभाषा अभी भी सभी औसतों की महत्वपूर्ण संपत्ति को पकड़ती है कि समान तत्वों की सूची का औसत वह तत्व ही है। कार्यक्रम {{nowrap|1=''g''(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'') =}} {{nowrap|''x''₁+''x''₂+ ··· + ''x''_''n''}} अंकगणितीय माध्य प्रदान करता है। कार्यक्रम {{nowrap|1 = ''g''(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'') =}} {{nowrap|''x''₁''x''₂···''x''_''n''}} (जहाँ सूची तत्व सकारात्मक संख्याएँ हैं) ज्यामितीय माध्य प्रदान करता है। कार्यक्रम {{nowrap|1 = ''g''(''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'') =}} {{nowrap|(''x''₁⁻¹+''x''₂⁻¹+ ··· + ''x''_''n''⁻¹)⁻¹)}} (जहां सूची तत्व सकारात्मक संख्याएं हैं) हार्मोनिक माध्य प्रदान करता है।<ref name=Bibby>{{cite journal | last1 = Bibby | first1 = John | year = 1974 | title = Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences | journal = [[Glasgow Mathematical Journal]] | volume = 15 | pages = 63–65 | doi=10.1017/s0017089500002135| doi-access = free }}</ref>

वित्त में उपयोग किए जाने वाले औसत का एक प्रकार औसत प्रतिशत रिटर्न है। यह एक ज्यामितीय माध्य का एक उदाहरण है। जब रिटर्न वार्षिक होता है, तो इसे कंपाउंड एनुअल ग्रोथ रेट (CAGR) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो वर्षों की अवधि पर विचार कर रहे हैं, और पहले वर्ष में निवेश रिटर्न -10% है और दूसरे वर्ष में रिटर्न +60% है, तो औसत प्रतिशत रिटर्न या सीएजीआर, आर, प्राप्त किया जा सकता है समीकरण को हल करके: {{nowrap|1= (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + ''R'') × (1 + ''R'')}}. R का मान जो इस समीकरण को सत्य बनाता है वह 0.2 या 20% है। इसका मतलब यह है कि 2 साल की अवधि में कुल रिटर्न उतना ही है जितना कि हर साल 20% की वृद्धि हुई थी। वर्षों के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता - +60% और -10% का औसत प्रतिशत रिटर्न -10% और +60% के समान परिणाम है।

इस पद्धति को उन उदाहरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनमें अवधि समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आधे साल की अवधि पर विचार करें जिसके लिए रिटर्न -23% है और ढाई साल की अवधि जिसके लिए रिटर्न +13% है। संयुक्त अवधि के लिए औसत प्रतिशत प्रतिफल एक वर्ष का प्रतिफल है, R, जो निम्नलिखित समीकरण का हल है: {{nowrap|1= (1 − 0.23)^0.5 × (1 + 0.13)^2.5 = (1 + ''R'')^0.5+2.5}}, 0.0600 या 6.00% का औसत रिटर्न R दे रहा है।

== मूविंग एवरेज ==

{{main|Moving average}}

एक [[ समय श्रृंखला ]] दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग अक्सर एक चिकनी श्रृंखला बनाना चाहते हैं।<ref>{{cite book | first1=George E.P. | last1= Box |first2=Gwilym M.| last2= Jenkins| title= Time Series Analysis: Forecasting and Control | edition= revised| publisher=Holden-Day | year=1976 | isbn=0816211043}}</ref> यह अंतर्निहित रुझान या शायद आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। इसे करने का एक आसान तरीका मूविंग एवरेज है: कोई नंबर n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। सूची का अंत, और इसी तरह। यह मूविंग एवरेज का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में [[ भारित औसत ]] का उपयोग करना शामिल है। वेटिंग का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और [[ डिजिटल फिल्टर ]] पर साहित्य में किस वेटिंग का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। [[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में मूविंग एवरेज शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब वजन का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)।<ref>{{cite book | first1=Simon | last1= Haykin | title= Adaptive Filter Theory | publisher=Prentice-Hall | year=1986 | isbn=0130040525}}</ref> इसका कारण यह है कि विश्लेषक आमतौर पर केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।

पहला रिकॉर्ड किया गया समय जब [[ अनुमान ]] के उपयोग के लिए अंकगणितीय माध्य को 2 से n मामलों तक बढ़ाया गया था, सोलहवीं शताब्दी में था। सोलहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, यह धीरे-धीरे विभिन्न क्षेत्रों में मापन की त्रुटियों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य विधि बन गई।<ref name="ReferenceA">{{cite journal|doi=10.2307/2333051 | volume=45 | issue=1/2 | title=Studies in the History of Probability and Statistics: VII. The Principle of the Arithmetic Mean | journal=Biometrika | pages=130–135| jstor=2333051 | year=1958 | last1=Plackett | first1=R. L. }}</ref><ref name="york.ac.uk">[http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/eisenhart.pdf Eisenhart, Churchill. "The development of the concept of the best mean of a set of measurements from antiquity to the present day." Unpublished presidential address, American Statistical Association, 131st Annual Meeting, Fort Collins, Colorado. 1971.]</ref> उस समय, खगोलविद शोर माप से वास्तविक मूल्य जानना चाहते थे, जैसे किसी ग्रह की स्थिति या चंद्रमा का व्यास। कई मापा मूल्यों के माध्यम का उपयोग करते हुए, वैज्ञानिकों ने माना कि सभी मापित मूल्यों की तुलना में त्रुटियां अपेक्षाकृत छोटी संख्या में जुड़ती हैं। अवलोकन त्रुटियों को कम करने के लिए माध्य लेने की विधि वास्तव में मुख्य रूप से खगोल विज्ञान में विकसित हुई थी।<ref name="ReferenceA"/><ref name="amstatbakker">[http://www.amstat.org/publications/jse/v11n1/bakker.html Bakker, Arthur. "The early history of average values and implications for education." Journal of Statistics Education 11.1 (2003): 17-26.]</ref> अंकगणित माध्य का एक संभावित अग्रदूत मध्य-श्रेणी (दो