खंडशः समाकलन: Difference between revisions

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{{Short description|Mathematical method in calculus}}
कलन में, और अधिक सामान्यतः [[ गणितीय विश्लेषण |गणितीय विश्लेषण]] में, '''खंडशः समाकलन''' या '''आंशिक समाकलन''' द्वारा समाकलन एक ऐसी प्रक्रिया है जो प्रकार्य (गणित) के एक [[ उत्पाद (गणित) |उत्पाद (गणित)]] के [[ अभिन्न (गणित) |अभिन्न (गणित)]] को उनके व्युत्पन्न और प्रतिअवकलज के उत्पाद के अभिन्न अंग के संदर्भ में खोजती है। यह प्रायः कार्यों के एक उत्पाद के प्रतिअवकलज को एक प्रतिअवकलज में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है जिसके लिए एक समाधान अधिक आसानी से पाया जा सकता है। नियम को व्युत्पन्न के उत्पाद नियम के अभिन्न संस्करण के रूप में माना जा सकता है।
{{Calculus |Integral}}
कलन में, और अधिक आम तौर पर [[ गणितीय विश्लेषण ]] में, भागों या आंशिक एकीकरण द्वारा एकीकरण एक ऐसी प्रक्रिया है जो फ़ंक्शन (गणित) के एक [[ उत्पाद (गणित) ]] के [[ अभिन्न (गणित) ]] को उनके व्युत्पन्न और प्रतिपक्षी के उत्पाद के अभिन्न अंग के संदर्भ में खोजती है। . यह अक्सर कार्यों के एक उत्पाद के प्रतिपक्षी को एक प्रतिपक्षी में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है जिसके लिए एक समाधान अधिक आसानी से पाया जा सकता है। नियम को व्युत्पन्न के उत्पाद नियम के अभिन्न संस्करण के रूप में माना जा सकता है।


भागों सूत्र द्वारा एकीकरण कहता है:
भाग सूत्र द्वारा समाकलन कहता है:
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
   \int_a^b u(x) v'(x) \, dx  
   \int_a^b u(x) v'(x) \, dx  
Line 9: Line 7:
   & = u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.
   & = u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.
  \end{align}</math>
  \end{align}</math>
या, दे रहा हूँ <math>u = u(x)</math> और <math>du = u'(x) \,dx</math> जबकि <math>v = v(x)</math> और <math>dv = v'(x) \, dx</math>, सूत्र को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:
या, मान लीजिये  <math>u = u(x)</math> और <math>du = u'(x) \,dx</math> जबकि <math>v = v(x)</math> और <math>dv = v'(x) \, dx</math>, सूत्र को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:
<math display="block">\int u \, dv \ =\ uv - \int v \, du.</math>
<math display="block">\int u \, dv \ =\ uv - \int v \, du.</math>
गणितज्ञ [[ ब्रुक टेलर ]] ने भागों द्वारा एकीकरण की खोज की, पहली बार 1715 में इस विचार को प्रकाशित किया।<ref name="ब्रुक टेलरbiography, St. Andrews">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html |title=ब्रुक टेलर|work=History.MCS.St-Andrews.ac.uk |access-date= May 25, 2018}}</ref><ref name="ब्रुक टेलरbiography, Stetson">{{cite web |url=https://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Tl.html |title=ब्रुक टेलर|work=Stetson.edu |access-date= May 25, 2018}}</ref> भागों द्वारा एकीकरण के अधिक सामान्य फॉर्मूलेशन रीमैन-स्टील्टजेस इंटीग्रल के लिए मौजूद हैं #प्रॉपर्टीज और रीमैन इंटीग्रल से संबंध। अनु[[ क्रम ]] के लिए असतत गणित एनालॉग को [[ भागों द्वारा योग ]] कहा जाता है।
गणितज्ञ [[ ब्रुक टेलर |ब्रुक टेलर]] ने भागों द्वारा समाकलन की खोज की और पहली बार 1715 में इस विचार को प्रकाशित किया।<ref name="ब्रुक टेलरbiography, St. Andrews">{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Taylor.html |title=ब्रुक टेलर|work=History.MCS.St-Andrews.ac.uk |access-date= May 25, 2018}}</ref><ref name="ब्रुक टेलरbiography, Stetson">{{cite web |url=https://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/Tl.html |title=ब्रुक टेलर|work=Stetson.edu |access-date= May 25, 2018}}</ref> भागों द्वारा समाकलन के अधिक सामान्य सूत्रीकरण रीमैन-स्टील्टजेस समाकल के लिए मौजूद हैं। अनु[[ क्रम ]]के लिए असतत गणित समधर्मी को [[ भागों द्वारा योग |भागों द्वारा संकलन]] कहा जाता है।


== प्रमेय ==
== प्रमेय ==
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<math display="block">\int \Big(u(x)v(x)\Big)'\,dx  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x) \,dx, </math>
<math display="block">\int \Big(u(x)v(x)\Big)'\,dx  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x) \,dx, </math>
और यह देखते हुए कि एक [[ अनिश्चितकालीन अभिन्न ]] एक प्रतिपक्षी देता है
और यह देखते हुए कि एक [[ अनिश्चितकालीन अभिन्न |अनिश्चितकालीन अभिन्न]] एक प्रतिअवकलज निम्न देता है


<math display="block">u(x)v(x)  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx,</math>
<math display="block">u(x)v(x)  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx,</math>
जहाँ हम [[ एकीकरण की निरंतरता ]] लिखने की उपेक्षा करते हैं। यह भागों द्वारा एकीकरण के लिए सूत्र उत्पन्न करता है:
जहाँ हम [[ एकीकरण की निरंतरता |समाकलन की निरंतरता]] लिखने की उपेक्षा करते हैं। यह भागों द्वारा समाकलन के लिए सूत्र उत्पन्न करता है:


<math display="block">\int u(x)v'(x)\,dx  = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \,dx, </math>
<math display="block">\int u(x)v'(x)\,dx  = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \,dx, </math>
या किसी फ़ंक्शन के अंतर के संदर्भ में <math> du=u'(x)\,dx</math>, <math>dv=v'(x)\,dx, \quad</math>
या किसी प्रकार्य के अंतर के संदर्भ में <math> du=u'(x)\,dx</math>, <math>dv=v'(x)\,dx, \quad</math>


<math display="block">\int u(x)\,dv  = u(x)v(x) - \int v(x)\,du.</math>
<math display="block">\int u(x)\,dv  = u(x)v(x) - \int v(x)\,du.</math>
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=== कम सुचारू कार्यों के लिए वैधता ===
=== कम सुचारू कार्यों के लिए वैधता ===
यू और वी के लिए लगातार अलग-अलग होना जरूरी नहीं है। भागों द्वारा एकीकरण काम करता है अगर यू पूरी तरह से निरंतर है और फ़ंक्शन नामित v' [[ Lebesgue integrable ]] है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर)।<ref>{{cite web |title=भागों द्वारा एकीकरण| url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> (यदि v' में विच्छिन्नता का एक बिंदु है तो इसके प्रतिपक्षी v का उस बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।)
u और v के लिए लगातार अलग-अलग होना जरूरी नहीं है। भागों द्वारा समाकलन काम करता है अगर u पूरी तरह से निरंतर है और प्रकार्य नामित v' [[ Lebesgue integrable |लेबेस्ग समाकलनीय]] है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर हो)।<ref>{{cite web |title=भागों द्वारा एकीकरण| url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref> (यदि v' में विच्छिन्नता का एक बिंदु है तो इसके प्रतिअवकलज v का उस बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।)


यदि एकीकरण का अंतराल [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] नहीं है, तो यह आवश्यक नहीं है कि यू पूरे अंतराल में पूरी तरह से निरंतर हो या v' के लिए अंतराल में लेबेसेग पूर्णांक हो, उदाहरण के एक जोड़े के रूप में (जिसमें यू और वी निरंतर हैं और लगातार अलग-अलग) दिखाएगा। उदाहरण के लिए, अगर
यदि समाकलन का अंतराल [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन]] नहीं है, तो यह आवश्यक नहीं है कि u पूरे अंतराल में पूरी तरह से निरंतर हो या v' के लिए अंतराल में लेबेसेग पूर्णांक हो, उदाहरण के एक जोड़े के रूप में (जिसमें u और v निरंतर हैं और लगातार अलग-अलग) दिखाएगा। उदाहरण के लिए, अगर


<math display="block">u(x)= e^x/x^2, \, v'(x) =e^{-x}</math>
<math display="block">u(x)= e^x/x^2, \, v'(x) =e^{-x}</math>
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<math display="block">\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
<math display="block">\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
जब तक <math>\left[u(x)v(x)\right]_1^\infty</math> की सीमा का अर्थ लिया जाता है <math>u(L)v(L)-u(1)v(1)</math> जैसा <math>L\to\infty</math> और जब तक दाहिनी ओर के दो पद परिमित हैं। यह तभी सच है जब हम चुनते हैं <math>v(x)=-e^{-x}.</math> इसी प्रकार यदि
जब तक <math>\left[u(x)v(x)\right]_1^\infty</math> की सीमा <math>u(L)v(L)-u(1)v(1)</math> का अर्थ <math>L\to\infty</math> लिया जाता है और जब तक दाहिनी ओर के दो पद परिमित हैं। यह तभी सच है जब हम <math>v(x)=-e^{-x}</math> चुनते हैं  इसी प्रकार यदि


<math display="block">u(x)= e^{-x},\, v'(x) =x^{-1}\sin(x)</math>
<math display="block">u(x)= e^{-x},\, v'(x) =x^{-1}\sin(x)</math>
v' अंतराल पर Lebesgue पूर्णांक नहीं है {{closed-open|1, ∞}}, लेकिन फिर भी
v' अंतराल पर {{closed-open|1, ∞}} लेबेस्ग पूर्णांक नहीं है, लेकिन फिर भी


<math display="block">\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
<math display="block">\int_1^\infty u(x)v'(x)\,dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_1^\infty - \int_1^\infty u'(x)v(x)\,dx</math>
उसी व्याख्या के साथ।
उसी व्याख्या के साथ।


कोई भी आसानी से इसी तरह के उदाहरण दे सकता है जिसमें यू और वी लगातार भिन्न नहीं होते हैं।
कोई भी आसानी से इसी तरह के उदाहरण दे सकता है जिसमें u और v लगातार भिन्न नहीं होते हैं।


आगे, अगर <math>f(x)</math> खंड पर परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य है <math>[a,b],</math> और <math>\varphi(x)</math> पर अवकलनीय है <math>[a,b],</math> तब
आगे, यदि <math>f(x)</math> खंड पर <math>[a,b],</math> और <math>\varphi(x)</math> परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य <math>[a,b],</math> है। तब


<math display="block">\int_{a}^{b}f(x)\varphi'(x)\,dx=-\int_{-\infty}^{\infty} \widetilde\varphi(x)\,d(\widetilde\chi_{[a,b]}(x)\widetilde f(x)),</math>
<math display="block">\int_{a}^{b}f(x)\varphi'(x)\,dx=-\int_{-\infty}^{\infty} \widetilde\varphi(x)\,d(\widetilde\chi_{[a,b]}(x)\widetilde f(x)),</math>
कहां <math>d(\chi_{[a,b]}(x)\widetilde f(x))</math> परिबद्ध भिन्नता के कार्य के अनुरूप हस्ताक्षरित माप को दर्शाता है <math>\chi_{[a,b]}(x)f(x)</math>, और कार्य करता है <math>\widetilde f, \widetilde \varphi</math> के विस्तार हैं <math>f, \varphi</math> को <math>\R,</math> जो क्रमशः परिबद्ध भिन्नता और अवकलनीय हैं।{{cn|date=August 2019}}
जहाँ <math>d(\chi_{[a,b]}(x)\widetilde f(x))</math> परिबद्ध भिन्नता के कार्य के अनुरूप हस्ताक्षरित माप <math>\chi_{[a,b]}(x)f(x)</math> को दर्शाता है, और प्रकार्य <math>\widetilde f, \widetilde \varphi</math> <math>f, \varphi</math> से <math>\R</math> के विस्तार हैं। जो क्रमशः परिबद्ध भिन्नता और अवकलनीय हैं।
 
 
=== कई कार्यों का उत्पाद ===
=== कई कार्यों का उत्पाद ===


तीन गुणित कार्यों, यू(एक्स), वी(एक्स), डब्ल्यू(एक्स) के लिए उत्पाद नियम को एकीकृत करना एक समान परिणाम देता है:
तीन गुणित कार्यों, u(x), v(x), w(x) के लिए उत्पाद नियम को एकीकृत करना एक समान परिणाम देता है:


<math display="block">\int_a^b u v \, dw \ =\ \Big[u v w\Big]^b_a - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du.</math>
<math display="block">\int_a^b u v \, dw \ =\ \Big[u v w\Big]^b_a - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du.</math>
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<math display="block"> \left[ \prod_{i=1}^n u_i(x) \right]_a^b \ =\ \sum_{j=1}^n \int_a^b u_j'(x) \prod_{i\neq j}^n u_i(x). </math>
<math display="block"> \left[ \prod_{i=1}^n u_i(x) \right]_a^b \ =\ \sum_{j=1}^n \int_a^b u_j'(x) \prod_{i\neq j}^n u_i(x). </math>
 
== मानसिक चित्रण ==
 
[[Image:Integration by parts v2.svg|thumb|280px |प्रमेय की चित्रमय व्याख्या। चित्रित वक्र चर T द्वारा प्राचलीकरण है।]](x, y) = (f(t), g(t)) द्वारा पैरामीट्रिक वक्र पर विचार करें। यह मानते हुए कि वक्र स्थानीय रूप से एक-से-एक और समाकलनीय है, हम परिभाषित कर सकते हैं  
== विज़ुअलाइज़ेशन ==
[[Image:Integration by parts v2.svg|thumb|280px |प्रमेय की चित्रमय व्याख्या। चित्रित वक्र चर टी द्वारा parametrized है।]](x, y) = (f(t), g(t)) द्वारा पैरामीट्रिक वक्र पर विचार करें। यह मानते हुए कि वक्र स्थानीय रूप से अंतःक्रियात्मक फलन | एक-से-एक और स्थानीय रूप से पूर्णांकीय फलन है, हम परिभाषित कर सकते हैं
:<math>x(y) = f(g^{-1}(y))</math>
:<math>x(y) = f(g^{-1}(y))</math>
:<math>y(x) = g(f^{-1}(x))</math>
:<math>y(x) = g(f^{-1}(x))</math>
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इसी प्रकार लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल है
इसी प्रकार लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल है
:<math>A_2=\int_{x_1}^{x_2}y(x)\,dx</math>
:<math>A_2=\int_{x_1}^{x_2}y(x)\,dx</math>
कुल क्षेत्रफल <sub>1</sub> + <sub>2</sub> बड़े आयत, x के क्षेत्रफल के बराबर है<sub>2</sub>y<sub>2</sub>, माइनस छोटे वाले का क्षेत्रफल, x<sub>1</sub>y<sub>1</sub>:
कुल क्षेत्रफल A<sub>1</sub> + A<sub>2</sub> छोटे वाले के क्षेत्रफल, x<sub>1</sub>y<sub>1</sub> को घटाकर बड़े आयत x<sub>2</sub>y<sub>2</sub> के क्षेत्रफल के बराबर है :


:<math>\overbrace{\int_{y_1}^{y_2}x(y) \, dy}^{A_1}+\overbrace{\int_{x_1}^{x_2}y(x) \, dx}^{A_2}\ =\ \biggl.x \cdot y(x)\biggl|_{x_1}^{x_2} \ =\ \biggl.y \cdot x(y)\biggl|_{y_1}^{y_2}</math>
:<math>\overbrace{\int_{y_1}^{y_2}x(y) \, dy}^{A_1}+\overbrace{\int_{x_1}^{x_2}y(x) \, dx}^{A_2}\ =\ \biggl.x \cdot y(x)\biggl|_{x_1}^{x_2} \ =\ \biggl.y \cdot x(y)\biggl|_{y_1}^{y_2}</math>
या, टी के संदर्भ में,
या, T के संदर्भ में,
:<math>\int_{t_1}^{t_2}x(t) \, dy(t) + \int_{t_1}^{t_2}y(t) \, dx(t) \ =\ \biggl. x(t)y(t) \biggl|_{t_1}^{t_2}</math>
:<math>\int_{t_1}^{t_2}x(t) \, dy(t) + \int_{t_1}^{t_2}y(t) \, dx(t) \ =\ \biggl. x(t)y(t) \biggl|_{t_1}^{t_2}</math>
या, अनिश्चित समाकलों के संदर्भ में, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है
या, अनिश्चित समाकलों के संदर्भ में, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है
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पुनर्व्यवस्थित:
पुनर्व्यवस्थित:
:<math>\int x\,dy \ =\ xy - \int y \,dx</math>
:<math>\int x\,dy \ =\ xy - \int y \,dx</math>
इस प्रकार भागों द्वारा एकीकरण को आयतों के क्षेत्र और लाल क्षेत्र के क्षेत्र से नीले क्षेत्र के क्षेत्र को प्राप्त करने के बारे में सोचा जा सकता है।
इस प्रकार भागों द्वारा समाकलन को आयतों के क्षेत्र और लाल क्षेत्र के क्षेत्र से नीले क्षेत्र के क्षेत्र को प्राप्त करने के बारे में सोचा जा सकता है।


यह विज़ुअलाइज़ेशन यह भी बताता है कि क्यों भागों द्वारा एकीकरण एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन f का अभिन्न अंग खोजने में मदद कर सकता है<sup>−1</sup>(x) जब फलन f(x) का समाकल ज्ञात हो। दरअसल, फ़ंक्शन x(y) और y(x) व्युत्क्रम हैं, और इंटीग्रल ∫ x dy की गणना इंटीग्रल ∫ y dx को जानने के बाद की जा सकती है। विशेष रूप से, यह लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण के उपयोग की व्याख्या करता है। वास्तव में, अगर <math>f</math> एक अंतराल पर एक अलग-अलग एक-से-एक कार्य है, तो भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग अभिन्न के लिए एक सूत्र प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है <math>f^{-1}</math>के अभिन्न के संदर्भ में <math>f</math>. यह लेख, [[ उलटा कार्यों का अभिन्न अंग ]] में प्रदर्शित किया गया है।
यह मानसिक चित्रण यह भी बताता है कि क्यों भागों द्वारा समाकलन एक व्युत्क्रम प्रकार्य f<sup>−1</sup>(x) का अभिन्न अंग खोजने में मदद कर सकता है जब फलन f(x) का समाकल ज्ञात हो। वास्तव में, प्रकार्य x(y) और y(x) व्युत्क्रम हैं, और पूर्णांकी ∫ x dy की गणना पूर्णांकी ∫ y dx को जानने के बाद की जा सकती है। विशेष रूप से, यह लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करने के लिए भागों द्वारा समाकलन के उपयोग की व्याख्या करता है। वास्तव में, अगर <math>f</math> एक अंतराल पर एक अवकलनीय एक-से-एक कार्य है, तो भागों द्वारा समाकलन का उपयोग <math>f</math> के समाकल के संदर्भ में <math>f^{-1}</math> के समाकलन के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यह लेख, [[ उलटा कार्यों का अभिन्न अंग |प्रतिलोम कार्यों के समाकलन]] में प्रदर्शित किया गया है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==


===प्रति-अवकलज ढूँढना===
===प्रति-अवकलज ढूँढना===
इंटीग्रल को हल करने के लिए विशुद्ध रूप से यांत्रिक प्रक्रिया के बजाय भागों द्वारा एकीकरण एक [[ अनुमानी ]] है; एकीकृत करने के लिए एक एकल कार्य दिया गया है, विशिष्ट रणनीति इस एकल फ़ंक्शन को दो कार्यों u(x)v(x) के उत्पाद में सावधानीपूर्वक अलग करना है, जैसे कि भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण से अवशिष्ट अभिन्न एकल फ़ंक्शन की तुलना में मूल्यांकन करना आसान है . निम्नलिखित फॉर्म लेने के लिए सर्वोत्तम रणनीति को चित्रित करने में उपयोगी है:
पूर्णांकी को हल करने के लिए विशुद्ध रूप से यांत्रिक प्रक्रिया के स्थान पर भागों द्वारा समाकलन एक [[ अनुमानी |अनुमानी]] है; एकीकृत करने के लिए एक एकल कार्य दिया गया है, विशिष्ट रणनीति इस एकल प्रकार्य को दो कार्यों u(x)v(x) के उत्पाद में सावधानीपूर्वक अलग करना है, जैसे कि भागों के सूत्र द्वारा समाकलन से अवशिष्ट अभिन्न एकल प्रकार्य की तुलना में मूल्यांकन करना आसान है। निम्नलिखित विधि सर्वोत्तम रणनीति को चित्रित करने में उपयोगी है:


:<math>\int uv\ dx = u \int v\ dx - \int\left(u' \int v\ dx \right)\ dx.</math>
:<math>\int uv\ dx = u \int v\ dx - \int\left(u' \int v\ dx \right)\ dx.</math>
दाईं ओर, यू विभेदित है और वी एकीकृत है; परिणामस्वरूप यू को एक फ़ंक्शन के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो विभेदित होने पर सरल करता है, या वी को एक फ़ंक्शन के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो एकीकृत होने पर सरल करता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, इस पर विचार करें:
दाईं ओर, u विभेदित है और v एकीकृत है; परिणामस्वरूप u को एक प्रकार्य के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो विभेदित होने पर सरल हो, या v को एक प्रकार्य के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो एकीकृत होने पर सरल हो। एक साधारण उदाहरण के रूप में, इस पर विचार करें:


:<math>\int\frac{\ln(x)}{x^2}\ dx\ .</math>
:<math>\int\frac{\ln(x)}{x^2}\ dx\ .</math>
चूँकि ln(x) का व्युत्पन्न है {{sfrac|1|''x''}}, एक (ln(x)) को यू का हिस्सा बनाता है; के विरोधी होने के बाद से {{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}} है -{{sfrac|1|''x''}}, एक बनाता है {{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}}डीएक्स भाग डीवी। सूत्र अब देता है:
चूँकि ln(x) का व्युत्पन्न {{sfrac|1|''x''}} है, एक (ln(x)) को u का हिस्सा बनाता है; क्योंकि {{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}} का प्रतिअवकलज -{{sfrac|1|''x''}} है। निम्न सूत्र अब प्राप्त होता है:


:<math>\int\frac{\ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \int \biggl(\frac1{x}\biggr) \biggl(-\frac1{x}\biggr)\ dx\ .</math>
:<math>\int\frac{\ln(x)}{x^2}\ dx = -\frac{\ln(x)}{x} - \int \biggl(\frac1{x}\biggr) \biggl(-\frac1{x}\biggr)\ dx\ .</math>
- का प्रतिपक्षी{{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}} [[ शक्ति नियम ]] के साथ पाया जा सकता है और है {{sfrac|1|''x''}}.
- {{sfrac|1|''x''<sup>2</sup>}} का प्रतिअवकलज [[ शक्ति नियम |घात नियम]] के साथ पाया जा सकता है और वह {{sfrac|1|''x''}} है


वैकल्पिक रूप से, कोई यू और वी चुन सकता है जैसे कि रद्दीकरण के कारण उत्पाद यू' (∫v dx) सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई एकीकृत करना चाहता है:
वैकल्पिक रूप से, कोई u और v चुन सकता है जैसे कि निरस्तीकरण के कारण उत्पाद u' (∫v dx) सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई एकीकृत करना चाहता है:


:<math>\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\ dx.</math>
:<math>\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\ dx.</math>
यदि हम u(x) = ln(|sin(x)|) और v(x) = sec चुनते हैं<sup>2</sup>x, तो u [[ श्रृंखला नियम ]] का उपयोग करके 1/ tan x में अंतर करता है और v tan x में एकीकृत होता है; तो सूत्र देता है:
यदि हम u(x) = ln(|sin(x)|) और v(x) = sec<sup>2</sup>x चुनते हैं तो u [[ श्रृंखला नियम |श्रृंखला नियम]] का उपयोग करके 1/ tan x में अंतर करता है और v tan x में एकीकृत होता है; तो सूत्र देता है:


:<math>\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\ dx = \tan(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)-\int\tan(x)\cdot\frac1{\tan(x)} \, dx\ .</math>
:<math>\int\sec^2(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)\ dx = \tan(x)\cdot\ln\Big(\bigl|\sin(x)\bigr|\Big)-\int\tan(x)\cdot\frac1{\tan(x)} \, dx\ .</math>  
इंटीग्रैंड 1 तक सरल हो जाता है, इसलिए एंटीडेरिवेटिव x है। एक सरल संयोजन ढूँढना अक्सर प्रयोग शामिल होता है।


कुछ अनुप्रयोगों में, यह सुनिश्चित करना आवश्यक नहीं हो सकता है कि भागों द्वारा एकीकरण द्वारा निर्मित अभिन्न का एक सरल रूप है; उदाहरण के लिए, [[ संख्यात्मक विश्लेषण ]] में, यह पर्याप्त हो सकता है कि इसका परिमाण छोटा है और इसलिए यह केवल एक छोटी त्रुटि शब्द का योगदान देता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में कुछ अन्य विशेष तकनीकों का प्रदर्शन किया गया है।
कुछ अनुप्रयोगों में, यह सुनिश्चित करना आवश्यक नहीं हो सकता है कि भागों में समाकलन द्वारा निर्मित अभिन्न का एक सरल रूप है; उदाहरण के लिए, [[ संख्यात्मक विश्लेषण |संख्यात्मक विश्लेषण]] में, यह पर्याप्त हो सकता है कि इसका परिमाण छोटा है और इसलिए यह केवल एक छोटी त्रुटि अवधि का योगदान देता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में कुछ अन्य विशेष तकनीकों का प्रदर्शन किया गया है।


==== बहुपद और त्रिकोणमितीय कार्य ====
==== बहुपद और त्रिकोणमितीय कार्य ====
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जहाँ C समाकलन का एक स्थिरांक है।
जहाँ C समाकलन का एक स्थिरांक है।


रूप में x की उच्च शक्तियों के लिए
x की उच्च घात के लिए निम्न रूप में


:<math>\int x^n e^x\ dx,\ \int x^n\sin(x)\ dx,\ \int x^n\cos(x)\ dx\ ,</math>
:<math>\int x^n e^x\ dx,\ \int x^n\sin(x)\ dx,\ \int x^n\cos(x)\ dx\ ,</math>
बार-बार भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इन जैसे अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है; प्रमेय का प्रत्येक अनुप्रयोग x की शक्ति को एक से कम करता है।
बार-बार भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके इन जैसे अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है; प्रमेय का प्रत्येक अनुप्रयोग x की शक्ति को एक से कम करता है।


==== घातीय और त्रिकोणमितीय कार्य ====
==== घातीय और त्रिकोणमितीय कार्य ====
{{hatnote|See also: [[Integration using Euler's formula]]}}
{{hatnote|इन्हें भी देखें: [[यूलर के सूत्र का उपयोग करके एकीकरण]]}}
भागों द्वारा एकीकरण की कार्यप्रणाली की जांच करने के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला एक उदाहरण है
 
भागों द्वारा समाकलन की कार्यप्रणाली की जांच करने के लिए सामान्यतः इस्तेमाल किया जाने वाला एक उदाहरण है


:<math>I=\int e^x\cos(x)\ dx.</math>
:<math>I=\int e^x\cos(x)\ dx.</math>
यहाँ, भागों द्वारा एकीकरण दो बार किया जाता है। पहले चलो
यहाँ, भागों द्वारा समाकलन दो बार किया जाता है। पहले मान लीजिये


:<math>u = \cos(x)\ \Rightarrow\ du = -\sin(x)\ dx</math>
:<math>u = \cos(x)\ \Rightarrow\ du = -\sin(x)\ dx</math>
Line 155: Line 149:


:<math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\ dx.</math>
:<math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + \int e^x\sin(x)\ dx.</math>
अब, शेष अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए, हम भागों द्वारा एकीकरण का फिर से उपयोग करते हैं:
अब, शेष अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए, हम भागों द्वारा समाकलन का फिर से उपयोग करते हैं:


:<math>u = \sin(x)\ \Rightarrow\ du = \cos(x)\ dx</math>
:<math>u = \sin(x)\ \Rightarrow\ du = \cos(x)\ dx</math>
Line 165: Line 159:


:<math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\ dx.</math>
:<math>\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\cos(x) + e^x\sin(x) - \int e^x\cos(x)\ dx.</math>
इस समीकरण के दोनों पक्षों में समान समाकल दिखाई देता है। प्राप्त करने के लिए अभिन्न को दोनों पक्षों में जोड़ा जा सकता है
इस समीकरण के दोनों पक्षों में समान समाकल दिखाई देता है। निम्न प्राप्त करने के लिए अभिन्न को दोनों पक्षों में जोड़ा जा सकता है


:<math>2\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr] + C,</math>
:<math>2\int e^x\cos(x)\ dx = e^x\bigl[\sin(x)+\cos(x)\bigr] + C,</math>
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एक समान विधि का उपयोग छेदक घन का समाकल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
एक समान विधि का उपयोग छेदक घन का समाकल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।


==== कार्यों को एकता से गुणा किया जाता है ====
==== एकता से कार्य गुणा ====


दो अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हैं जब भागों द्वारा एकीकरण को 1 और स्वयं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किए गए फ़ंक्शन पर लागू किया जाता है। यह कार्य करता है यदि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात है, और इस व्युत्पन्न समय x का अभिन्न अंग भी ज्ञात है।
दो अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हैं जब भागों द्वारा समाकलन को 1 और स्वयं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किए गए प्रकार्य पर लागू किया जाता है। यदि प्रकार्य का व्युत्पन्न और इस व्युत्पन्न समय x का अभिन्न अंग भी ज्ञात है तभी यह कार्य करता है।


पहला उदाहरण ∫ ln(x) dx है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
पहला उदाहरण ∫ ln(x) dx है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:


:<math>I=\int\ln(x)\cdot 1\ dx\ .</math>
:<math>I=\int\ln(x)\cdot 1\ dx\ .</math>
होने देना:
मान लीजिये:


:<math>u = \ln(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{x}</math>
:<math>u = \ln(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{x}</math>
Line 203: Line 197:


:<math>\int\arctan(x)\cdot 1\ dx.</math>
:<math>\int\arctan(x)\cdot 1\ dx.</math>
अब छोडो:
अब मान लीजिये:


:<math>u = \arctan(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{1+x^2}</math>
:<math>u = \arctan(x)\ \Rightarrow\ du = \frac{dx}{1+x^2}</math>
Line 216: Line 210:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
व्युत्क्रम श्रृंखला नियम विधि और [[ प्राकृतिक लघुगणक अभिन्न स्थिति ]] के संयोजन का उपयोग करना।
व्युत्क्रम श्रृंखला नियम विधि और [[ प्राकृतिक लघुगणक अभिन्न स्थिति |प्राकृतिक लघुगणक अभिन्न स्थिति]] के संयोजन का उपयोग करना।


==== LIATE नियम ====
==== LIATE नियम ====
अंगूठे का एक नियम प्रस्तावित किया गया है, जिसमें निम्न सूची में सबसे पहले आने वाले फ़ंक्शन को चुनना शामिल है:<ref>{{Cite journal |jstor=2975556 |first=Herbert E. |last=Kasube |title=भागों द्वारा एकीकरण के लिए एक तकनीक|journal=[[The American Mathematical Monthly]] |volume=90 |issue=3 |year=1983 |pages=210–211 |doi=10.2307/2975556}}</ref>
एक अंगुष्ठ नियम प्रस्तावित किया गया है, जिसमें निम्न सूची में सबसे पहले आने वाले प्रकार्य को चुनना सम्मिलित है:<ref>{{Cite journal |jstor=2975556 |first=Herbert E. |last=Kasube |title=भागों द्वारा एकीकरण के लिए एक तकनीक|journal=[[The American Mathematical Monthly]] |volume=90 |issue=3 |year=1983 |pages=210–211 |doi=10.2307/2975556}}</ref>
: एल - लघुगणकीय कार्य: <math>\ln(x),\ \log_b(x),</math> आदि।
: '''L''' - लघुगणकीय कार्य: <math>\ln(x),\ \log_b(x),</math> आदि।
:I - प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन सहित):  <math>\arctan(x),\ \arcsec(x),\ \operatorname{arsinh}(x),</math> आदि।
:'''I'''  - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (अतिशयोक्तिपूर्ण सादृश्य सहित):  <math>\arctan(x),\ \arcsec(x),\ \operatorname{arsinh}(x),</math> आदि।
: - [[ बहुपद ]]: <math>x^2,\ 3x^{50},</math> आदि।
:'''A''' - [[ बहुपद |बहुपद]] : <math>x^2,\ 3x^{50},</math> आदि।
: टी - [[ त्रिकोणमितीय कार्य ]] ([[ अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य ]] सहित): <math>\sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname{sech}(x),</math> आदि।
: '''T''' - [[ त्रिकोणमितीय कार्य ]]([[ अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य |अतिशयोक्तिपूर्ण सादृश्य]] सहित): <math>\sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname{sech}(x),</math> आदि।
: - घातीय कार्य: <math>e^x,\ 19^x,</math> आदि।
:'''E''' - घातीय कार्य: <math>e^x,\ 19^x,</math> आदि।


जो कार्य DV होना है वह सूची में जो भी अंतिम हो। इसका कारण यह है कि सूची में नीचे के कार्यों में आम तौर पर उनके ऊपर के कार्यों की तुलना में आसान प्रतिपक्षी होते हैं। नियम को कभी-कभी विवरण के रूप में लिखा जाता है जहां डी डी के लिए खड़ा होता है और सूची के शीर्ष पर डीवी होने के लिए चुना गया फ़ंक्शन होता है।
जो सूची में सबसे अंत में आएगा वह dv कार्य होगा। इसका कारण यह है कि सूची में नीचे के कार्यों में सामान्यतः उनके ऊपर के कार्यों की तुलना में आसान प्रतिअवकलज होते हैं। नियम को कभी-कभी विवरण के रूप में लिखा जाता है जहां d d के लिए खड़ा होता है और सूची के शीर्ष पर dv होने के लिए चुना गया प्रकार्य होता है।


LIATE नियम को प्रदर्शित करने के लिए, समाकल पर विचार करें
LIATE नियम को प्रदर्शित करने के लिए, समाकल पर विचार करें
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जो बराबर है
जो बराबर है
:<math>x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C.</math>
:<math>x \cdot \sin(x) + \cos(x) + C.</math>
सामान्य तौर पर, कोई यू और डीवी चुनने की कोशिश करता है जैसे कि डु यू से सरल है और डीवी को एकीकृत करना आसान है। यदि इसके बजाय cos(x) को u के रूप में और xdx को dv के रूप में चुना गया था, तो हमारे पास समाकल होगा
सामान्यतः, कोई u और dv चुनने की कोशिश करता है जैसे कि du u से सरल है और dv को एकीकृत करना आसान है। यदि इसके स्थान पर cos(x) को u के रूप में और xdx को dv के रूप में चुना गया होता, तो हमारे पास समाकल होता


:<math>\frac{x^2}{2} \cos(x) + \int \frac{x^2}{2} \sin(x) \,dx,</math>
:<math>\frac{x^2}{2} \cos(x) + \int \frac{x^2}{2} \sin(x) \,dx,</math>
जो, भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण के पुनरावर्ती अनुप्रयोग के बाद, स्पष्ट रूप से एक अनंत पुनरावर्तन में परिणत होगा और कहीं नहीं ले जाएगा।
जो, भागों के सूत्र द्वारा समाकलन के पुनरावर्ती अनुप्रयोग के बाद, स्पष्ट रूप से एक अनंत पुनरावर्तन में परिणत होगा और कहीं नहीं ले जाएगा।


हालांकि अंगूठे का एक उपयोगी नियम, LIATE नियम के अपवाद हैं। इसके बजाय आईलेट क्रम में नियमों पर विचार करना एक सामान्य विकल्प है। साथ ही, कुछ मामलों में, बहुपद पदों को गैर-तुच्छ तरीकों से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एकीकृत करना
हालांकि अंगुष्ठ नियम का उपयोगी नियम, LIATE नियम के अपवाद है। इसके स्थान पर ILATE क्रम में नियमों पर विचार करना एक सामान्य विकल्प है। साथ ही, कुछ मामलों में, बहुपद पदों को गैर-तुच्छ तरीकों से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एकीकृत करना


:<math>\int x^3 e^{x^2} \,dx,</math>
:<math>\int x^3 e^{x^2} \,dx,</math>
एक सेट होगा
एक सम्मुच्चय होगा


:<math>u = x^2, \quad dv = x \cdot e^{x^2} \,dx,</math>
:<math>u = x^2, \quad dv = x \cdot e^{x^2} \,dx,</math>
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अंत में, इसका परिणाम होता है
अंत में, इसका परिणाम होता है
:<math>\int x^3 e^{x^2} \,dx = \frac{e^{x^2}\left(x^2 - 1\right)}{2} + C.</math>
:<math>\int x^3 e^{x^2} \,dx = \frac{e^{x^2}\left(x^2 - 1\right)}{2} + C.</math>
गणितीय विश्लेषण में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग अक्सर एक उपकरण के रूप में किया जाता है।
गणितीय विश्लेषण में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए भागों द्वारा समाकलन का उपयोग प्रायः एक उपकरण के रूप में किया जाता है।


=== वालिस उत्पाद ===
=== वालिस उत्पाद ===
Line 263: Line 257:
& = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdot \; \cdots
& = \Big(\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3}\Big) \cdot \Big(\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5}\Big) \cdot \Big(\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7}\Big) \cdot \Big(\frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9}\Big) \cdot \; \cdots
\end{align}</math>
\end{align}</math>
वालिस उत्पाद हो सकता है # एकीकरण का उपयोग कर सबूत।
भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।


=== [[ गामा समारोह ]] पहचान ===
=== [[ गामा समारोह | गामा प्रकार्य]] पहचान ===


गामा फ़ंक्शन एक विशेष फ़ंक्शन का एक उदाहरण है, जिसे अनुचित इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है <math>z > 0 </math>. भागों द्वारा एकीकरण इसे तथ्यात्मक कार्य के विस्तार के रूप में दिखाता है:
गामा प्रकार्य विशेष प्रकार्य का एक उदाहरण है, जिसे अनुचित पूर्णांकी <math>z > 0 </math> के रूप में परिभाषित किया गया है। भागों द्वारा समाकलन इसे तथ्यात्मक कार्य के विस्तार के रूप में दिखाता है:


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 279: Line 273:


:<math>\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1,</math>
:<math>\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} \, dx = 1,</math>
कब <math>z</math> एक प्राकृतिक संख्या है, अर्थात <math> z  = n \in \mathbb{N} </math>, इस फॉर्मूले को बार-बार लागू करने से [[ कारख़ाने का ]] मिलता है: <math>\Gamma(n+1) = n!</math>
जब <math>z</math> एक प्राकृतिक संख्या है, अर्थात <math> z  = n \in \mathbb{N} </math>, इस सूत्र को बार-बार लागू करने से [[ कारख़ाने का |क्रमगुणित]] <math>\Gamma(n+1) = n!</math> मिलता है:




=== [[ हार्मोनिक विश्लेषण ]] में प्रयोग ===


रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा दिखाने के लिए भागों द्वारा एकीकरण अक्सर हार्मोनिक विश्लेषण, विशेष रूप से [[ फूरियर विश्लेषण ]] में उपयोग किया जाता है। इसका सबसे आम उदाहरण इसका उपयोग यह दिखाने में है कि फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण का क्षय उस फ़ंक्शन की चिकनाई पर निर्भर करता है, जैसा कि नीचे वर्णित है।
=== [[ हार्मोनिक विश्लेषण |अनुकंपी विश्लेषण]] में प्रयोग ===


====व्युत्पन्न का [[ फूरियर रूपांतरण ]] ====
रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा दिखाने के लिए भागों द्वारा समाकलन प्रायः अनुकंपी विश्लेषण, विशेष रूप से [[ फूरियर विश्लेषण ]] में उपयोग किया जाता है। इसका सबसे सामान्य उदाहरण इसका उपयोग यह दिखाने में है कि प्रकार्य के फूरियर रूपांतरण का क्षय उस प्रकार्य की सहजता पर निर्भर करता है, जैसा कि नीचे वर्णित है।


यदि f एक k-बार निरंतर भिन्न होने वाला कार्य है और k वें तक के सभी डेरिवेटिव अनंत पर शून्य तक क्षय हो जाते हैं, तो इसका फूरियर रूपांतरण संतुष्ट करता है
====व्युत्पन्न का [[ फूरियर रूपांतरण |फूरियर रूपांतरण]] ====
 
यदि f एक k-बार निरंतर भिन्न होने वाला कार्य है और k वें तक के सभी अवकलज अनंत पर शून्य तक क्षय हो जाते हैं, तो इसका फूरियर रूपांतरण संतुष्ट करता है


:<math>(\mathcal{F}f^{(k)})(\xi) = (2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi),</math>
:<math>(\mathcal{F}f^{(k)})(\xi) = (2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi),</math>
कहां {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>}} f का kth डेरिवेटिव है। (दाईं ओर सटीक स्थिरांक फूरियर रूपांतरण # अन्य सम्मेलनों पर निर्भर करता है।) यह ध्यान देने से सिद्ध होता है
जहाँ {{nowrap|''f''<sup>(''k'')</sup>}} f का k (वां) अवकलज है। (दाईं ओर सटीक स्थिरांक फूरियर रूपांतरण अन्य सम्मेलनों पर निर्भर करता है।) यह ध्यान देने से सिद्ध होता है


:<math>\frac{d}{dy} e^{-2\pi iy\xi} = -2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi},</math>
:<math>\frac{d}{dy} e^{-2\pi iy\xi} = -2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi},</math>
इसलिए हम प्राप्त व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण पर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करते हैं
इसलिए हम प्राप्त व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण पर भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करते हैं


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 302: Line 297:
&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).
&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
इस गणितीय आगमन को लागू करने से सामान्य k का परिणाम मिलता है। किसी फलन के अवकलज का [[ लाप्लास रूपांतरण ]] ज्ञात करने के लिए इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया जा सकता है।
इस गणितीय आगमन को लागू करने से सामान्य k का परिणाम मिलता है। किसी फलन के अवकलज का [[ लाप्लास रूपांतरण |लाप्लास रूपांतरण]] ज्ञात करने के लिए इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया जा सकता है।


==== फूरियर रूपांतरण का क्षय ====
==== फूरियर रूपांतरण का क्षय ====
Line 309: Line 304:


:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \frac{I(f)}{1+\vert 2\pi\xi\vert^k}, \text{ where } I(f) = \int_{-\infty}^\infty \Bigl(\vert f(y)\vert + \vert f^{(k)}(y)\vert\Bigr) \, dy.</math>
:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \frac{I(f)}{1+\vert 2\pi\xi\vert^k}, \text{ where } I(f) = \int_{-\infty}^\infty \Bigl(\vert f(y)\vert + \vert f^{(k)}(y)\vert\Bigr) \, dy.</math>
दूसरे शब्दों में, यदि f इन शर्तों को पूरा करता है तो इसका फूरियर रूपांतरण कम से कम उतनी ही तेजी से अनंत पर क्षय करता है {{nowrap|1/{{!}}''ξ''{{!}}<sup>''k''</sup>}}. विशेष रूप से, अगर {{nowrap|''k'' ≥ 2}} तो फूरियर रूपांतरण पूर्णांक है।
दूसरे शब्दों में, यदि f इन शर्तों को पूरा करता है तो इसका फूरियर रूपांतरण कम से कम उतनी ही तेजी से अनंत पर क्षय करता है जिस प्रकार {{nowrap|1/{{!}}''ξ''{{!}}<sup>''k''</sup>}} करता है। विशेष रूप से, अगर {{nowrap|''k'' ≥ 2}} तो फूरियर रूपांतरण पूर्णांक है।


सबूत तथ्य का उपयोग करता है, जो फूरियर रूपांतरण # परिभाषा से तत्काल है
प्रमाण तथ्य का उपयोग करता है, जो फूरियर रूपांतरण परिभाषा से सन्निहित है


:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f(y) \vert \,dy.</math>
:<math>\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f(y) \vert \,dy.</math>
Line 317: Line 312:


:<math>\vert(2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f^{(k)}(y) \vert \,dy.</math>
:<math>\vert(2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \int_{-\infty}^\infty \vert f^{(k)}(y) \vert \,dy.</math>
इन दो असमानताओं का योग करना और फिर से विभाजित करना {{nowrap|1 + {{!}}2{{pi}}''ξ''<sup>''k''</sup>{{!}}}} बताई गई असमानता देता है।
इन दो असमानताओं का योग करना और फिर {{nowrap|1 + {{!}}2{{pi}}''ξ''<sup>''k''</sup>{{!}}}} से विभाजित करना बताई गई असमानता देता है।


=== [[ ऑपरेटर सिद्धांत ]] में प्रयोग करें ===
=== संचालिका सिद्धांत में उपयोग करें ===


ऑपरेटर सिद्धांत में भागों द्वारा एकीकरण का एक उपयोग यह है कि यह दर्शाता है कि {{nowrap|−∆}} (जहाँ ∆ लाप्लास संकारक है) एक धनात्मक संकारक है {{nowrap|''L''<sup>2</sup>}} (एलपी स्पेस देखें। एल<sup>पी </सुप> स्थान)। यदि f सुचारू और ठोस रूप से समर्थित है, तो भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके, हमारे पास है
ऑपरेटर सिद्धांत में भागों द्वारा समाकलन का एक उपयोग यह है कि यह दर्शाता है कि {{nowrap|−∆}} (जहाँ ∆ लाप्लास संकारक है) एक धनात्मक संकारक {{nowrap|''L''<sup>2</sup>}} है  (lp स्पेस देखें)। यदि ''f''  सुचारु और संक्षिप्त रूप से समर्थित है, तो भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके, हमारे पास है


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 328: Line 323:
&=\int_{-\infty}^\infty \vert f'(x)\vert^2\,dx \geq 0.
&=\int_{-\infty}^\infty \vert f'(x)\vert^2\,dx \geq 0.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
:
=== अन्य अनुप्रयोग ===


=== अन्य अनुप्रयोग ===
<!---INCLUDING DERIVATIONS HERE WOULD BE TOO LENGTHLY, IDEALLY KEEP THIS AS A LIST--->
* स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में सीमा की स्थिति का निर्धारण
* स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में सीमा की स्थिति का निर्धारण
* विभिन्नताओं की कलन में यूलर-लैग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति
* विभिन्नताओं की कलन में यूलर-लैग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति


== भागों द्वारा बार-बार एकीकरण ==
== भागों द्वारा बार-बार समाकलन ==
के दूसरे व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए <math>v</math> आंशिक एकीकरण के सूत्र के एलएचएस पर इंटीग्रल में आरएचएस पर इंटीग्रल के लिए बार-बार आवेदन करने का सुझाव दिया गया है:
<math>v</math> के दूसरे व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए आंशिक समाकलन के सूत्र के LHS पर पूर्णांकी में RHS पर पूर्णांकी के लिए बार-बार आवेदन करने का सुझाव दिया गया है:
:<math>\int u v''\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int u''v\,dx \right).</math>
:<math>\int u v''\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int u''v\,dx \right).</math>
डिग्री के डेरिवेटिव्स के लिए बार-बार आंशिक एकीकरण की इस अवधारणा का विस्तार करना {{mvar|n}} फलस्वरूप होता है
{{mvar|n}} घात के अवकलज के लिए बार-बार आंशिक समाकलन की इस अवधारणा का विस्तार करना फलस्वरूप होता है
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]
\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]
&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.
&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यह अवधारणा उपयोगी हो सकती है जब के लगातार अभिन्न अंग <math>v^{(n)}</math> आसानी से उपलब्ध हैं (उदाहरण के लिए, सादे घातीय या साइन और कोसाइन, जैसा कि लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म या फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म में), और जब {{mvar|n}}वें का व्युत्पन्न <math>u</math> गायब हो जाता है (उदाहरण के लिए, डिग्री के साथ एक बहुपद समारोह के रूप में <math>(n-1)</math>). बाद की स्थिति आंशिक एकीकरण को दोहराना बंद कर देती है, क्योंकि आरएचएस-इंटीग्रल गायब हो जाता है।
यह अवधारणा उपयोगी हो सकती है जब <math>v^{(n)}</math> के लगातार अभिन्न अंग आसानी से उपलब्ध हैं (उदाहरण के लिए, सादे घातीय या द्विज्या और कोटिज्या, जैसा कि लाप्लास रूपांतर या फूरियर रूपांतर में), और जब {{mvar|n}}वें का व्युत्पन्न <math>u</math> गायब हो जाता है (उदाहरण के लिए, घात <math>(n-1)</math> के साथ एक बहुपद प्रकार्य के रूप में)बाद की स्थिति आंशिक समाकलन को दोहराना बंद कर देती है, क्योंकि RHS-पूर्णांकी गायब हो जाता है।


आंशिक एकीकरण की उपरोक्त पुनरावृत्ति के दौरान इंटीग्रल
आंशिक समाकलन की उपरोक्त पुनरावृत्ति के दौरान पूर्णांकी
:<math>\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx \quad</math> और <math>\quad \int u^{(\ell)} v^{(n-\ell)}\,dx \quad</math> और <math>\quad \int u^{(m)} v^{(n-m)}\,dx \quad\text{ for } 1 \le m,\ell \le n</math>
:<math>\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx \quad</math> और <math>\quad \int u^{(\ell)} v^{(n-\ell)}\,dx \quad</math> और <math>\quad \int u^{(m)} v^{(n-m)}\,dx \quad\text{ for } 1 \le m,\ell \le n</math>
संबंधित हो जाओ। इसे मनमाने ढंग से डेरिवेटिव के बीच स्थानांतरित करने के रूप में व्याख्या की जा सकती है <math>v</math> और <math>u</math> एकीकृत के भीतर, और उपयोगी साबित होता है, (रॉड्रिक्स का सूत्र देखें)।
सम्बंधित हो जाते हैं। इसे इंटीग्रैंड के भीतर <math>v</math> और <math>u</math> के बीच मनमाने ढंग से "विस्थापन" व्युत्पन्न के रूप में समझा जा सकता है, और उपयोगी भी साबित होता है, (रॉड्रिक्स का सूत्र देखें)।
 
=== भागों द्वारा सारणीबद्ध समाकलन ===
उपरोक्त सूत्र की आवश्यक प्रक्रिया को तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है; परिणामी विधि को सारणीबद्ध समाकलन कहा जाता है<ref>{{Cite book |first1=G. B. |last1=Thomas |author-link=George B. Thomas |first2=R. L. |last2=Finney |title=पथरी और विश्लेषणात्मक ज्यामिति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading, MA |edition=7th |year=1988 |isbn=0-201-17069-8 }}</ref> और फिल्म [[ सामना करो और कार्य कर के दिखाओ |स्टैंड एंड डिलीवर]] (1988) में चित्रित किया गया था।<ref>{{Cite journal |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf |first=David |last=Horowitz |title=भागों द्वारा सारणीबद्ध एकीकरण|journal=[[The College Mathematics Journal]] |volume=21 |issue=4 |year=1990 |pages=307–311 |doi=10.2307/2686368 |jstor=2686368}}</ref>


=== भागों द्वारा सारणीबद्ध एकीकरण ===
उपरोक्त सूत्र की आवश्यक प्रक्रिया को तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है; परिणामी विधि को सारणीबद्ध एकीकरण कहा जाता है<ref>{{Cite book |first1=G. B. |last1=Thomas |author-link=George B. Thomas |first2=R. L. |last2=Finney |title=पथरी और विश्लेषणात्मक ज्यामिति|publisher=Addison-Wesley |location=Reading, MA |edition=7th |year=1988 |isbn=0-201-17069-8 }}</ref> और फिल्म [[ सामना करो और कार्य कर के दिखाओ ]] (1988) में चित्रित किया गया था।<ref>{{Cite journal |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf |first=David |last=Horowitz |title=भागों द्वारा सारणीबद्ध एकीकरण|journal=[[The College Mathematics Journal]] |volume=21 |issue=4 |year=1990 |pages=307–311 |doi=10.2307/2686368 |jstor=2686368}}</ref>
उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें
उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें


:<math>\int x^3 \cos x \,dx \quad</math> और ले लो <math>\quad u^{(0)} = x^3, \quad v^{(n)} = \cos x.</math>
:<math>\int x^3 \cos x \,dx \quad</math> और <math>\quad u^{(0)} = x^3, \quad v^{(n)} = \cos x.</math>
कॉलम ए में फ़ंक्शन को सूचीबद्ध करना शुरू करें <math>u^{(0)} = x^3</math> और इसके बाद के डेरिवेटिव <math>u^{(i)}</math> जब तक शून्य न हो जाए। फिर कॉलम बी में फ़ंक्शन को सूचीबद्ध करें <math>v^{(n)} = \cos x</math> और इसके बाद के अभिन्न अंग <math>v^{(n-i)}</math> जब तक कॉलम बी का आकार कॉलम ए के समान न हो जाए। परिणाम इस प्रकार है:
पंक्ति A में प्रकार्य <math>u^{(0)} = x^3</math> को सूचीबद्ध करना शुरू करें और इसके पश्चातवर्ती अवकलज <math>u^{(i)}</math> जब तक शून्य न हो जाए। फिर पंक्ति B में प्रकार्य <math>v^{(n)} = \cos x</math> को सूचीबद्ध करें और इसके पश्चातवर्ती अभिन्न अंग <math>v^{(n-i)}</math> को सूचीबद्ध करें जब तक पंक्ति B का आकार पंक्ति A के समान न हो जाए। परिणाम इस प्रकार है:


:{| class="wikitable" style="text-align:center"
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
!# ''i'' !! Sign !! A: derivatives ''u''<sup>(''i'')</sup>  !! B: integrals ''v''<sup>(''n''−''i'')</sup>
!# ''i'' !! प्रतीक !! A: व्युत्पन्न ''u''<sup>(''i'')</sup>  !! B: अभिन्न ''v''<sup>(''n''−''i'')</sup>
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| 0 || + || <math>x^3</math> || <math>\cos x</math>
| 0 || + || <math>x^3</math> || <math>\cos x</math>
Line 369: Line 364:
| 4 || + || <math>0</math> || <math>\cos x</math>
| 4 || + || <math>0</math> || <math>\cos x</math>
|}
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में प्रविष्टियों का उत्पाद {{nowrap|row {{mvar|i}}}} कॉलम ए और बी संबंधित चिह्न के साथ संबंधित इंटीग्रल देते हैं {{nowrap|step {{mvar|i}}}} भागों द्वारा बार-बार एकीकरण के दौरान। {{nowrap|Step {{math|''i'' {{=}} 0}}}} मूल समाकल प्राप्त करता है। में पूर्ण परिणाम के लिए {{nowrap|step {{math|''i'' > 0}}}} द {{nowrap|{{mvar|i}}th integral}} पिछले सभी उत्पादों में जोड़ा जाना चाहिए ({{math|0 ≤ ''j'' < ''i''}}) की {{nowrap|{{mvar|j}}th entry}} कॉलम ए और के {{nowrap|{{math|(''j'' + 1)}}st entry}} कॉलम बी के (यानी, कॉलम ए की पहली प्रविष्टि को कॉलम बी की दूसरी प्रविष्टि के साथ गुणा करें, कॉलम ए की दूसरी प्रविष्टि को कॉलम बी की तीसरी प्रविष्टि के साथ गुणा करें, आदि ...) दिए गए के साथ {{nowrap|{{mvar|j}}th sign.}} यह प्रक्रिया एक प्राकृतिक पड़ाव पर आती है, जब उत्पाद, जो अभिन्न उत्पन्न करता है, शून्य होता है ({{math|''i'' {{=}} 4}} उदाहरण में)। पूरा परिणाम निम्नलिखित है (प्रत्येक पद में वैकल्पिक संकेतों के साथ):
पंक्ति A और B की पंक्ति i में प्रविष्टियों का उत्पाद संबंधित चिह्न के साथ मिलकर भागों द्वारा बार-बार समाकलन के दौरान चरण i में प्रासंगिक पूर्णांकी देता है। चरण i = 0 से मूल समाकल प्राप्त होता है। चरण i > 0 में पूर्ण परिणाम के लिए i वां समाकल स्तंभ A की jवीं प्रविष्टि के सभी पिछले उत्पादों (0 ≤ j <i) और स्तंभ B की (j + 1)वीं प्रविष्टि में जोड़ा जाना चाहिए (अर्थात, गुणा करें पंक्ति A की पहली प्रविष्टि पंक्ति B की दूसरी प्रविष्टि के साथ, पंक्ति A की दूसरी प्रविष्टि पंक्ति B की तीसरी प्रविष्टि के साथ ...) दिए गए jवें चिह्न के साथ। यह प्रक्रिया एक प्राकृतिक पड़ाव पर आती है, जब उत्पाद, जो अभिन्न उत्पन्न करता है, शून्य होता है (उदाहरण में i = 4)। पूरा परिणाम निम्नलिखित है (प्रत्येक पद में वैकल्पिक संकेतों के साथ):


:<math>\underbrace{(+1)(x^3)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(3x^2)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{(+1)(6x)(-\sin x)}_{j=2} +\underbrace{(-1)(6)(\cos x)}_{j=3}+ \underbrace{\int(+1)(0)(\cos x) \,dx}_{i=4: \;\to \;C}.</math>
:<math>\underbrace{(+1)(x^3)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(3x^2)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{(+1)(6x)(-\sin x)}_{j=2} +\underbrace{(-1)(6)(\cos x)}_{j=3}+ \underbrace{\int(+1)(0)(\cos x) \,dx}_{i=4: \;\to \;C}.</math>
Line 375: Line 370:


:<math>\underbrace{\int x^3 \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C. </math>
:<math>\underbrace{\int x^3 \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C. </math>
बार-बार आंशिक एकीकरण भी उपयोगी हो जाता है, जब क्रमशः कार्यों को अलग करने और एकीकृत करने के दौरान <math>u^{(i)}</math> और  <math>v^{(n-i)}</math> उनके उत्पाद का परिणाम मूल इंटीग्रैंड के गुणक में होता है। इस मामले में इस सूचकांक के साथ पुनरावृत्ति को भी समाप्त किया जा सकता है {{mvar|i.}}यह घातीय और त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ, अपेक्षित रूप से हो सकता है। उदाहरण के तौर पर विचार करें
बार-बार आंशिक समाकलन भी उपयोगी हो जाता है, जब क्रमशः कार्यों को अलग करने और एकीकृत करने के दौरान <math>u^{(i)}</math> और  <math>v^{(n-i)}</math> उनके उत्पाद का परिणाम मूल इंटीग्रैंड के गुणक में होता है। इस मामले में इस सूचकांक i के साथ पुनरावृत्ति को भी समाप्त किया जा सकता है। यह, अपेक्षित रूप से, घातीय और त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ हो सकता है। उदाहरण के तौर पर विचार करें


:<math>\int e^x \cos x \,dx. </math>
:<math>\int e^x \cos x \,dx. </math>
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
!# ''i'' !! Sign !! A: derivatives ''u''<sup>(''i'')</sup> !! B: integrals ''v''<sup>(''n''−''i'')</sup>
!# ''i'' !! प्रतीक !! A: व्युत्पन्न ''u''<sup>(''i'')</sup> !! B: अभिन्न ''v''<sup>(''n''−''i'')</sup>
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| 0 || + || <math>e^x</math> || <math>\cos x</math>
| 0 || + || <math>e^x</math> || <math>\cos x</math>
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| 2 || + || <math>e^x</math> || <math>-\cos x</math>
| 2 || + || <math>e^x</math> || <math>-\cos x</math>
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इस मामले में इंडेक्स के लिए उचित चिह्न के साथ कॉलम ए और बी में शर्तों का उत्पाद {{math|''i'' {{=}} 2}} मूल इंटीग्रैंड के नकारात्मक गुण पैदा करता है (तुलना करें {{nowrap|rows {{math|''i'' {{=}} 0}}}} {{nowrap|and {{math|''i'' {{=}} 2}}).}}
इस मामले में तालिका के लिए उचित चिह्न के साथ पंक्ति A और B में शर्तों का उत्पाद {{math|''i'' {{=}} 2}} मूल इंटीग्रैंड के नकारात्मक गुण पैदा करता है (तुलना करें {{nowrap|पंक्तियाँ {{math|''i'' {{=}} 0}}}} {{nowrap|and {{math|''i'' {{=}} 2}}).}}
:<math> \underbrace{\int e^x \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = \underbrace{(+1)(e^x)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(e^x)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{\int(+1)(e^x)(-\cos x) \,dx}_{i= 2}. </math>
:<math> \underbrace{\int e^x \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = \underbrace{(+1)(e^x)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(e^x)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{\int(+1)(e^x)(-\cos x) \,dx}_{i= 2}. </math>
यह देखते हुए कि RHS पर समाकलन का अपना समाकलन स्थिरांक हो सकता है <math>C'</math>, और अमूर्त अभिन्न को दूसरी तरफ लाकर देता है
यह देखते हुए कि RHS पर समाकलन का अपना समाकलन स्थिरांक <math>C'</math> हो सकता है, और अमूर्त अभिन्न को दूसरी तरफ लाकर निम्न देता है


:<math> 2 \int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x + C', </math>
:<math> 2 \int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x + C', </math>
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:<math>\int e^x \cos x \,dx = \frac 12 \left(e^x ( \sin x + \cos x ) \right) + C,</math>
:<math>\int e^x \cos x \,dx = \frac 12 \left(e^x ( \sin x + \cos x ) \right) + C,</math>
जहां सी = सी'/2।
जहां C = C'/2।


== उच्च आयाम ==
== उच्च आयाम ==
कलन के मौलिक प्रमेय के एक संस्करण को एक उपयुक्त उत्पाद नियम में लागू करके भागों द्वारा एकीकरण को कई चर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी कलन में ऐसी कई जोड़ियाँ संभव हैं, जिनमें एक अदिश-मूल्यवान फलन u और सदिश-मूल्यवान फलन (वेक्टर क्षेत्र) 'V' शामिल है।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/s2016/Ref2.pdf|title=कई चरों की गणना| last=Rogers| first=Robert C. |date=September 29, 2011}}</ref> वेक्टर कैलकुस पहचान # पहली व्युत्पन्न पहचान बताती है:
कलन के मौलिक प्रमेय के संस्करण को एक उपयुक्त उत्पाद नियम में लागू करके भागों द्वारा समाकलन को कई चर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी कलन में ऐसी कई जोड़ियाँ संभव हैं, जिनमें एक अदिश-मूल्यवान फलन u और सदिश-मूल्यवान फलन (सदिश क्षेत्र) 'V' सम्मिलित है।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/s2016/Ref2.pdf|title=कई चरों की गणना| last=Rogers| first=Robert C. |date=September 29, 2011}}</ref> सदिश कलन पहली व्युत्पन्न पहचान बताती है:


<math display="block">\nabla \cdot ( u \mathbf{V} ) \ =\ u\, \nabla \cdot \mathbf V \ +\  \nabla u\cdot \mathbf V.</math>
<math display="block">\nabla \cdot ( u \mathbf{V} ) \ =\ u\, \nabla \cdot \mathbf V \ +\  \nabla u\cdot \mathbf V.</math>
मान लीजिए <math>\Omega</math> का एक [[ खुला सेट ]] परिबद्ध सेट है <math>\R^n</math> टुकड़े की चिकनी [[ सीमा (टोपोलॉजी) ]] के साथ <math>\Gamma=\partial\Omega</math>. अधिक एकीकृत करना <math>\Omega</math> मानक मात्रा प्रपत्र के संबंध में <math>d\Omega</math>, और [[ विचलन प्रमेय ]] को लागू करने से, देता है:
मान लीजिए <math>\Omega</math> का एक [[ खुला सेट |खुला सम्मुच्चय]] परिबद्ध सम्मुच्चय <math>\R^n</math> खंडशः सुचारू [[ सीमा (टोपोलॉजी) |सीमा (सांस्थिति)]] <math>\Gamma=\partial\Omega</math> के साथ है। <math>\Omega</math> को मानक वॉल्यूम फॉर्म <math>d\Omega</math> के संबंध में एकीकृत करने, और [[ विचलन प्रमेय ]]को लागू करने से, निम्न देता है:


<math display="block">\int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf n} \,d\Gamma \ =\ \int_\Omega\nabla\cdot ( u \mathbf{V} )\,d\Omega \ =\ \int_\Omega u\, \nabla \cdot \mathbf V\,d\Omega \ +\  \int_\Omega\nabla u\cdot \mathbf V\,d\Omega,</math>
<math display="block">\int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf n} \,d\Gamma \ =\ \int_\Omega\nabla\cdot ( u \mathbf{V} )\,d\Omega \ =\ \int_\Omega u\, \nabla \cdot \mathbf V\,d\Omega \ +\  \int_\Omega\nabla u\cdot \mathbf V\,d\Omega,</math>
कहां <math>\hat{\mathbf n}</math> सीमा के लिए बाहरी इकाई सामान्य वेक्टर है, जो इसके मानक रीमैनियन वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में एकीकृत है <math>d\Gamma</math>. पुनर्व्यवस्थित करता है:
जहाँ <math>\hat{\mathbf n}</math> सीमा के लिए बाहरी इकाई सामान्य सदिश है, जो इसके मानक रीमैनियन आयतन प्रकार <math>d\Gamma</math> के संबंध में एकीकृत है। पुनर्व्यवस्था निम्न देती है :


<math display="block">
<math display="block">
Line 413: Line 408:
\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,d\Omega  \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega  \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,d\Omega  .
\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,d\Omega  \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega  \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,d\Omega  .
</math>
</math>
प्रमेय की अवकलनीयता वर्ग आवश्यकताओं को शिथिल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सीमा <math> \Gamma=\partial\Omega</math> [[ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ]] होने की आवश्यकता है, और कार्यों यू, वी को केवल सोबोलेव अंतरिक्ष एच में झूठ बोलने की जरूरत है<sup>1</sup>(Ω).
प्रमेय की अवकलनीयता वर्ग आवश्यकताओं को शिथिल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सीमा <math> \Gamma=\partial\Omega</math> [[ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ]]होने की आवश्यकता है, और फलन u, v को केवल सोबोलिव स्थान H1(Ω) में स्थित होना चाहिए)।


=== हरे रंग की पहली पहचान ===
=== ग्रीन की पहली पहचान ===
निरंतर भिन्न होने वाले वेक्टर क्षेत्रों पर विचार करें <math>\mathbf U = u_1\mathbf e_1+\cdots+u_n\mathbf e_n</math> और <math>v \mathbf e_1,\ldots, v\mathbf e_n</math>, कहां <math>\mathbf e_i</math>के लिए i-वें मानक आधार सदिश है <math>i=1,\ldots,n</math>. अब उपरोक्त एकीकरण को भागों में प्रत्येक पर लागू करें <math>u_i</math> वेक्टर क्षेत्र का गुना <math>v\mathbf e_i</math>:
निरंतर भिन्न होने वाले सदिश क्षेत्रों <math>\mathbf U = u_1\mathbf e_1+\cdots+u_n\mathbf e_n</math>और <math>v \mathbf e_1,\ldots, v\mathbf e_n</math> पर विचार करें, जहाँ <math>\mathbf e_i</math> के लिए i-वें मानक आधार सदिश <math>i=1,\ldots,n</math> है:


<math display="block">\int_\Omega u_i\frac{\partial v}{\partial x_i}\,d\Omega  \ =\ \int_\Gamma u_i v \,\mathbf e_i\cdot\hat\mathbf{n}\,d\Gamma - \int_\Omega \frac{\partial u_i}{\partial x_i} v\,d\Omega.</math>
<math display="block">\int_\Omega u_i\frac{\partial v}{\partial x_i}\,d\Omega  \ =\ \int_\Gamma u_i v \,\mathbf e_i\cdot\hat\mathbf{n}\,d\Gamma - \int_\Omega \frac{\partial u_i}{\partial x_i} v\,d\Omega.</math>
संक्षेप में मैं भागों सूत्र द्वारा एक नया एकीकरण देता हूं:
संक्षेप में i भाग सूत्र द्वारा एक नया समाकलन देता है:


<math display="block"> \int_\Omega \mathbf U \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma v \mathbf{U}\cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla \cdot \mathbf{U}\,d\Omega.</math>
<math display="block"> \int_\Omega \mathbf U \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma v \mathbf{U}\cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla \cdot \mathbf{U}\,d\Omega.</math>
मुकदमा <math>\mathbf{U}=\nabla u</math>, कहां <math>u\in C^2(\bar{\Omega})</math>, को ग्रीन की पहली पहचान के रूप में जाना जाता है:
<math>\mathbf{U}=\nabla u</math>, जहाँ <math>u\in C^2(\bar{\Omega})</math>, को ग्रीन की पहली पहचान के रूप में जाना जाता है:


<math display="block"> \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\,d\Omega\ =\ \int_\Gamma v\, \nabla u\cdot\hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla^2 u \, d\Omega.</math>
<math display="block"> \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\,d\Omega\ =\ \int_\Gamma v\, \nabla u\cdot\hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla^2 u \, d\Omega.</math>
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* Lebe[[ s ]]gue-Stiltjes इंटीग्रल#हिस्सो द्वारा इंटीग्रेशन|लेबेस्ग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल के लिए पार्ट्स द्वारा इंटीग्रेशन
* लेबेसेग-स्टील्टजेस अभिन्र के लिए भागों द्वारा समाकलन
* द्विघात भिन्नता # सेमीमार्टिंगेल्स सेमीमार्टिंगेल्स के लिए, उनके द्विघात सहसंयोजन को शामिल करते हुए।
* सेमीमार्टिंगेल्स के लिए भागों द्वारा समाकलन, उनके द्विघात सहसंयोजन को सम्मिलित करना।।
* [[ प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण ]]
* [[ प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण | प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन]]
* [[ लेजेंड्रे परिवर्तन ]]
* [[ लेजेंड्रे परिवर्तन ]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==
<references />
<references />
==आगे की पढाई==
==आगे की पढाई==
*{{cite book|author=Louis Brand|title=Advanced Calculus: An Introduction to Classical Analysis|url=https://books.google.com/books?id=hdSIAAAAQBAJ&q=%22integration+by+parts%22&pg=PA267|date=10 October 2013|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-15799-3|pages=267–}}
*{{cite book|author=Louis Brand|title=Advanced Calculus: An Introduction to Classical Analysis|url=https://books.google.com/books?id=hdSIAAAAQBAJ&q=%22integration+by+parts%22&pg=PA267|date=10 October 2013|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-15799-3|pages=267–}}
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*{{cite book |first=Stephen |last=Willard |title=Calculus and its Applications |location=Boston |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |year=1976 |isbn=0-87150-203-8 |pages=193–214 }}
*{{cite book |first=Stephen |last=Willard |title=Calculus and its Applications |location=Boston |publisher=Prindle, Weber & Schmidt |year=1976 |isbn=0-87150-203-8 |pages=193–214 }}
*{{cite book |first=Allyn J. |last=Washington |title=Technical Calculus with Analytic Geometry |location=Reading |publisher=Addison-Wesley |year=1966 |isbn=0-8465-8603-7 |pages=218–245 }}
*{{cite book |first=Allyn J. |last=Washington |title=Technical Calculus with Analytic Geometry |location=Reading |publisher=Addison-Wesley |year=1966 |isbn=0-8465-8603-7 |pages=218–245 }}
*
==बाहरी कड़ियाँ==
==बाहरी कड़ियाँ==
{{wikibooks|Calculus|Integration techniques/Integration by Parts|Integration by parts}}
* {{springer|title=Integration by parts|id=p/i051730}}
* {{springer|title=Integration by parts|id=p/i051730}}
* [http://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html Integration by parts—from MathWorld]
* [http://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html Integration by parts—from MathWorld]
{{Calculus topics}}
{{Integrals}}
[[श्रेणी:इंटीग्रल कैलकुलस]]
[[श्रेणी: गणितीय पहचान]]
[[श्रेणी: विश्लेषण में प्रमेय]]
[[श्रेणी: कलन में प्रमेय]]


[[en:इंटीग्रेशन मेथड्स#इंटीग्रेशन मेथड बाय पार्ट्स]]
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Latest revision as of 11:19, 3 November 2023

कलन में, और अधिक सामान्यतः गणितीय विश्लेषण में, खंडशः समाकलन या आंशिक समाकलन द्वारा समाकलन एक ऐसी प्रक्रिया है जो प्रकार्य (गणित) के एक उत्पाद (गणित) के अभिन्न (गणित) को उनके व्युत्पन्न और प्रतिअवकलज के उत्पाद के अभिन्न अंग के संदर्भ में खोजती है। यह प्रायः कार्यों के एक उत्पाद के प्रतिअवकलज को एक प्रतिअवकलज में बदलने के लिए उपयोग किया जाता है जिसके लिए एक समाधान अधिक आसानी से पाया जा सकता है। नियम को व्युत्पन्न के उत्पाद नियम के अभिन्न संस्करण के रूप में माना जा सकता है।

भाग सूत्र द्वारा समाकलन कहता है:

या, मान लीजिये और जबकि और , सूत्र को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:
गणितज्ञ ब्रुक टेलर ने भागों द्वारा समाकलन की खोज की और पहली बार 1715 में इस विचार को प्रकाशित किया।[1][2] भागों द्वारा समाकलन के अधिक सामान्य सूत्रीकरण रीमैन-स्टील्टजेस समाकल के लिए मौजूद हैं। अनुक्रम के लिए असतत गणित समधर्मी को भागों द्वारा संकलन कहा जाता है।

प्रमेय

दो कार्यों का उत्पाद

प्रमेय को निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। दो निरंतर अवकलनीय फलन (गणित) u(x) और v(x) के लिए गुणन नियम कहता है:

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

और यह देखते हुए कि एक अनिश्चितकालीन अभिन्न एक प्रतिअवकलज निम्न देता है

जहाँ हम समाकलन की निरंतरता लिखने की उपेक्षा करते हैं। यह भागों द्वारा समाकलन के लिए सूत्र उत्पन्न करता है:

या किसी प्रकार्य के अंतर के संदर्भ में ,

इसे प्रत्येक पक्ष में जोड़े गए अनिर्दिष्ट स्थिरांक वाले कार्यों की समानता के रूप में समझा जाना है। दो मानों x = a और x = b के बीच प्रत्येक पक्ष का अंतर लेना और कलन के मौलिक प्रमेय को लागू करना निश्चित अभिन्न संस्करण देता है:
मूल समाकल ∫ uv′ dx में अवकलज v′ होता है; प्रमेय को लागू करने के लिए, किसी को v' का प्रतिअवकलज v खोजना होगा, फिर परिणामी समाकल ∫ vu′ dx का मूल्यांकन करना होगा।

कम सुचारू कार्यों के लिए वैधता

u और v के लिए लगातार अलग-अलग होना जरूरी नहीं है। भागों द्वारा समाकलन काम करता है अगर u पूरी तरह से निरंतर है और प्रकार्य नामित v' लेबेस्ग समाकलनीय है (लेकिन जरूरी नहीं कि निरंतर हो)।[3] (यदि v' में विच्छिन्नता का एक बिंदु है तो इसके प्रतिअवकलज v का उस बिंदु पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।)

यदि समाकलन का अंतराल सघन नहीं है, तो यह आवश्यक नहीं है कि u पूरे अंतराल में पूरी तरह से निरंतर हो या v' के लिए अंतराल में लेबेसेग पूर्णांक हो, उदाहरण के एक जोड़े के रूप में (जिसमें u और v निरंतर हैं और लगातार अलग-अलग) दिखाएगा। उदाहरण के लिए, अगर

अंतराल पर u पूर्णतः संतत नहीं है [1, ∞), लेकिन फिर भी

जब तक की सीमा का अर्थ लिया जाता है और जब तक दाहिनी ओर के दो पद परिमित हैं। यह तभी सच है जब हम चुनते हैं इसी प्रकार यदि

v' अंतराल पर [1, ∞) लेबेस्ग पूर्णांक नहीं है, लेकिन फिर भी

उसी व्याख्या के साथ।

कोई भी आसानी से इसी तरह के उदाहरण दे सकता है जिसमें u और v लगातार भिन्न नहीं होते हैं।

आगे, यदि खंड पर और परिबद्ध भिन्नता का एक कार्य है। तब

जहाँ परिबद्ध भिन्नता के कार्य के अनुरूप हस्ताक्षरित माप को दर्शाता है, और प्रकार्य से के विस्तार हैं। जो क्रमशः परिबद्ध भिन्नता और अवकलनीय हैं।

कई कार्यों का उत्पाद

तीन गुणित कार्यों, u(x), v(x), w(x) के लिए उत्पाद नियम को एकीकृत करना एक समान परिणाम देता है:

सामान्य तौर पर, n कारकों के लिए

जिससे होता है

मानसिक चित्रण

प्रमेय की चित्रमय व्याख्या। चित्रित वक्र चर T द्वारा प्राचलीकरण है।

(x, y) = (f(t), g(t)) द्वारा पैरामीट्रिक वक्र पर विचार करें। यह मानते हुए कि वक्र स्थानीय रूप से एक-से-एक और समाकलनीय है, हम परिभाषित कर सकते हैं

नीले क्षेत्र का क्षेत्रफल है

इसी प्रकार लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल है

कुल क्षेत्रफल A1 + A2 छोटे वाले के क्षेत्रफल, x1y1 को घटाकर बड़े आयत x2y2 के क्षेत्रफल के बराबर है :

या, T के संदर्भ में,

या, अनिश्चित समाकलों के संदर्भ में, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

पुनर्व्यवस्थित:

इस प्रकार भागों द्वारा समाकलन को आयतों के क्षेत्र और लाल क्षेत्र के क्षेत्र से नीले क्षेत्र के क्षेत्र को प्राप्त करने के बारे में सोचा जा सकता है।

यह मानसिक चित्रण यह भी बताता है कि क्यों भागों द्वारा समाकलन एक व्युत्क्रम प्रकार्य f−1(x) का अभिन्न अंग खोजने में मदद कर सकता है जब फलन f(x) का समाकल ज्ञात हो। वास्तव में, प्रकार्य x(y) और y(x) व्युत्क्रम हैं, और पूर्णांकी ∫ x dy की गणना पूर्णांकी ∫ y dx को जानने के बाद की जा सकती है। विशेष रूप से, यह लघुगणक और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करने के लिए भागों द्वारा समाकलन के उपयोग की व्याख्या करता है। वास्तव में, अगर एक अंतराल पर एक अवकलनीय एक-से-एक कार्य है, तो भागों द्वारा समाकलन का उपयोग के समाकल के संदर्भ में के समाकलन के सूत्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यह लेख, प्रतिलोम कार्यों के समाकलन में प्रदर्शित किया गया है।

अनुप्रयोग

प्रति-अवकलज ढूँढना

पूर्णांकी को हल करने के लिए विशुद्ध रूप से यांत्रिक प्रक्रिया के स्थान पर भागों द्वारा समाकलन एक अनुमानी है; एकीकृत करने के लिए एक एकल कार्य दिया गया है, विशिष्ट रणनीति इस एकल प्रकार्य को दो कार्यों u(x)v(x) के उत्पाद में सावधानीपूर्वक अलग करना है, जैसे कि भागों के सूत्र द्वारा समाकलन से अवशिष्ट अभिन्न एकल प्रकार्य की तुलना में मूल्यांकन करना आसान है। निम्नलिखित विधि सर्वोत्तम रणनीति को चित्रित करने में उपयोगी है:

दाईं ओर, u विभेदित है और v एकीकृत है; परिणामस्वरूप u को एक प्रकार्य के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो विभेदित होने पर सरल हो, या v को एक प्रकार्य के रूप में चुनना उपयोगी होता है जो एकीकृत होने पर सरल हो। एक साधारण उदाहरण के रूप में, इस पर विचार करें:

चूँकि ln(x) का व्युत्पन्न 1/x है, एक (ln(x)) को u का हिस्सा बनाता है; क्योंकि 1/x2 का प्रतिअवकलज -1/x है। निम्न सूत्र अब प्राप्त होता है:

- 1/x2 का प्रतिअवकलज घात नियम के साथ पाया जा सकता है और वह 1/x है

वैकल्पिक रूप से, कोई u और v चुन सकता है जैसे कि निरस्तीकरण के कारण उत्पाद u' (∫v dx) सरल हो जाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कोई एकीकृत करना चाहता है:

यदि हम u(x) = ln(|sin(x)|) और v(x) = sec2x चुनते हैं तो u श्रृंखला नियम का उपयोग करके 1/ tan x में अंतर करता है और v tan x में एकीकृत होता है; तो सूत्र देता है:

कुछ अनुप्रयोगों में, यह सुनिश्चित करना आवश्यक नहीं हो सकता है कि भागों में समाकलन द्वारा निर्मित अभिन्न का एक सरल रूप है; उदाहरण के लिए, संख्यात्मक विश्लेषण में, यह पर्याप्त हो सकता है कि इसका परिमाण छोटा है और इसलिए यह केवल एक छोटी त्रुटि अवधि का योगदान देता है। नीचे दिए गए उदाहरणों में कुछ अन्य विशेष तकनीकों का प्रदर्शन किया गया है।

बहुपद और त्रिकोणमितीय कार्य

गणना करने के लिए

होने देना:

तब:

जहाँ C समाकलन का एक स्थिरांक है।

x की उच्च घात के लिए निम्न रूप में

बार-बार भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके इन जैसे अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है; प्रमेय का प्रत्येक अनुप्रयोग x की शक्ति को एक से कम करता है।

घातीय और त्रिकोणमितीय कार्य

भागों द्वारा समाकलन की कार्यप्रणाली की जांच करने के लिए सामान्यतः इस्तेमाल किया जाने वाला एक उदाहरण है

यहाँ, भागों द्वारा समाकलन दो बार किया जाता है। पहले मान लीजिये

तब:

अब, शेष अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए, हम भागों द्वारा समाकलन का फिर से उपयोग करते हैं:

फिर:

इन्हें एक साथ रखकर,

इस समीकरण के दोनों पक्षों में समान समाकल दिखाई देता है। निम्न प्राप्त करने के लिए अभिन्न को दोनों पक्षों में जोड़ा जा सकता है

जो पुनर्व्यवस्थित करता है

जहाँ फिर से C (और C′ = C/2) समाकलन का एक स्थिरांक है।

एक समान विधि का उपयोग छेदक घन का समाकल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।

एकता से कार्य गुणा

दो अन्य प्रसिद्ध उदाहरण हैं जब भागों द्वारा समाकलन को 1 और स्वयं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किए गए प्रकार्य पर लागू किया जाता है। यदि प्रकार्य का व्युत्पन्न और इस व्युत्पन्न समय x का अभिन्न अंग भी ज्ञात है तभी यह कार्य करता है।

पहला उदाहरण ∫ ln(x) dx है। हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:

मान लीजिये:

तब:

जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।

दूसरा उदाहरण व्युत्क्रम स्पर्शरेखा फलन आर्कटान (x) है:

इसे इस रूप में पुनः लिखिए

अब मान लीजिये:

तब

व्युत्क्रम श्रृंखला नियम विधि और प्राकृतिक लघुगणक अभिन्न स्थिति के संयोजन का उपयोग करना।

LIATE नियम

एक अंगुष्ठ नियम प्रस्तावित किया गया है, जिसमें निम्न सूची में सबसे पहले आने वाले प्रकार्य को चुनना सम्मिलित है:[4]

L - लघुगणकीय कार्य: आदि।
I - व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन (अतिशयोक्तिपूर्ण सादृश्य सहित): आदि।
A - बहुपद : आदि।
T - त्रिकोणमितीय कार्य (अतिशयोक्तिपूर्ण सादृश्य सहित): आदि।
E - घातीय कार्य: आदि।

जो सूची में सबसे अंत में आएगा वह dv कार्य होगा। इसका कारण यह है कि सूची में नीचे के कार्यों में सामान्यतः उनके ऊपर के कार्यों की तुलना में आसान प्रतिअवकलज होते हैं। नियम को कभी-कभी विवरण के रूप में लिखा जाता है जहां d d के लिए खड़ा होता है और सूची के शीर्ष पर dv होने के लिए चुना गया प्रकार्य होता है।

LIATE नियम को प्रदर्शित करने के लिए, समाकल पर विचार करें

LIATE नियम का पालन करते हुए, u = x, और dv = cos(x)dx, इसलिए du = dx, और v = sin(x), जो अभिन्न बनाता है

जो बराबर है

सामान्यतः, कोई u और dv चुनने की कोशिश करता है जैसे कि du u से सरल है और dv को एकीकृत करना आसान है। यदि इसके स्थान पर cos(x) को u के रूप में और xdx को dv के रूप में चुना गया होता, तो हमारे पास समाकल होता

जो, भागों के सूत्र द्वारा समाकलन के पुनरावर्ती अनुप्रयोग के बाद, स्पष्ट रूप से एक अनंत पुनरावर्तन में परिणत होगा और कहीं नहीं ले जाएगा।

हालांकि अंगुष्ठ नियम का उपयोगी नियम, LIATE नियम के अपवाद है। इसके स्थान पर ILATE क्रम में नियमों पर विचार करना एक सामान्य विकल्प है। साथ ही, कुछ मामलों में, बहुपद पदों को गैर-तुच्छ तरीकों से विभाजित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एकीकृत करना

एक सम्मुच्चय होगा

ताकि

फिर

अंत में, इसका परिणाम होता है

गणितीय विश्लेषण में प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए भागों द्वारा समाकलन का उपयोग प्रायः एक उपकरण के रूप में किया जाता है।

वालिस उत्पाद

वालिस अनंत उत्पाद के लिए

भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

गामा प्रकार्य पहचान

गामा प्रकार्य विशेष प्रकार्य का एक उदाहरण है, जिसे अनुचित पूर्णांकी के रूप में परिभाषित किया गया है। भागों द्वारा समाकलन इसे तथ्यात्मक कार्य के विस्तार के रूप में दिखाता है:

तब से

जब एक प्राकृतिक संख्या है, अर्थात , इस सूत्र को बार-बार लागू करने से क्रमगुणित मिलता है:


अनुकंपी विश्लेषण में प्रयोग

रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा दिखाने के लिए भागों द्वारा समाकलन प्रायः अनुकंपी विश्लेषण, विशेष रूप से फूरियर विश्लेषण में उपयोग किया जाता है। इसका सबसे सामान्य उदाहरण इसका उपयोग यह दिखाने में है कि प्रकार्य के फूरियर रूपांतरण का क्षय उस प्रकार्य की सहजता पर निर्भर करता है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

व्युत्पन्न का फूरियर रूपांतरण

यदि f एक k-बार निरंतर भिन्न होने वाला कार्य है और k वें तक के सभी अवकलज अनंत पर शून्य तक क्षय हो जाते हैं, तो इसका फूरियर रूपांतरण संतुष्ट करता है

जहाँ f(k) f का k (वां) अवकलज है। (दाईं ओर सटीक स्थिरांक फूरियर रूपांतरण अन्य सम्मेलनों पर निर्भर करता है।) यह ध्यान देने से सिद्ध होता है

इसलिए हम प्राप्त व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण पर भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करते हैं

इस गणितीय आगमन को लागू करने से सामान्य k का परिणाम मिलता है। किसी फलन के अवकलज का लाप्लास रूपांतरण ज्ञात करने के लिए इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण का क्षय

उपरोक्त परिणाम हमें फूरियर रूपांतरण के क्षय के बारे में बताता है, क्योंकि यह इस प्रकार है कि यदि f और f(k) तब पूर्णांक हैं

दूसरे शब्दों में, यदि f इन शर्तों को पूरा करता है तो इसका फूरियर रूपांतरण कम से कम उतनी ही तेजी से अनंत पर क्षय करता है जिस प्रकार 1/|ξ|k करता है। विशेष रूप से, अगर k ≥ 2 तो फूरियर रूपांतरण पूर्णांक है।

प्रमाण तथ्य का उपयोग करता है, जो फूरियर रूपांतरण परिभाषा से सन्निहित है

इसी विचार का प्रयोग इस उपखण्ड के प्रारंभ में बताई गई समानता पर देता है

इन दो असमानताओं का योग करना और फिर 1 + |2πξk| से विभाजित करना बताई गई असमानता देता है।

संचालिका सिद्धांत में उपयोग करें

ऑपरेटर सिद्धांत में भागों द्वारा समाकलन का एक उपयोग यह है कि यह दर्शाता है कि −∆ (जहाँ ∆ लाप्लास संकारक है) एक धनात्मक संकारक L2 है (lp स्पेस देखें)। यदि f सुचारु और संक्षिप्त रूप से समर्थित है, तो भागों द्वारा समाकलन का उपयोग करके, हमारे पास है

अन्य अनुप्रयोग

  • स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में सीमा की स्थिति का निर्धारण
  • विभिन्नताओं की कलन में यूलर-लैग्रेंज समीकरण की व्युत्पत्ति

भागों द्वारा बार-बार समाकलन

के दूसरे व्युत्पन्न को ध्यान में रखते हुए आंशिक समाकलन के सूत्र के LHS पर पूर्णांकी में RHS पर पूर्णांकी के लिए बार-बार आवेदन करने का सुझाव दिया गया है:

n घात के अवकलज के लिए बार-बार आंशिक समाकलन की इस अवधारणा का विस्तार करना फलस्वरूप होता है

यह अवधारणा उपयोगी हो सकती है जब के लगातार अभिन्न अंग आसानी से उपलब्ध हैं (उदाहरण के लिए, सादे घातीय या द्विज्या और कोटिज्या, जैसा कि लाप्लास रूपांतर या फूरियर रूपांतर में), और जब nवें का व्युत्पन्न गायब हो जाता है (उदाहरण के लिए, घात के साथ एक बहुपद प्रकार्य के रूप में)। बाद की स्थिति आंशिक समाकलन को दोहराना बंद कर देती है, क्योंकि RHS-पूर्णांकी गायब हो जाता है।

आंशिक समाकलन की उपरोक्त पुनरावृत्ति के दौरान पूर्णांकी

और और

सम्बंधित हो जाते हैं। इसे इंटीग्रैंड के भीतर और के बीच मनमाने ढंग से "विस्थापन" व्युत्पन्न के रूप में समझा जा सकता है, और उपयोगी भी साबित होता है, (रॉड्रिक्स का सूत्र देखें)।

भागों द्वारा सारणीबद्ध समाकलन

उपरोक्त सूत्र की आवश्यक प्रक्रिया को तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है; परिणामी विधि को सारणीबद्ध समाकलन कहा जाता है[5] और फिल्म स्टैंड एंड डिलीवर (1988) में चित्रित किया गया था।[6]

उदाहरण के लिए, अभिन्न पर विचार करें

और

पंक्ति A में प्रकार्य को सूचीबद्ध करना शुरू करें और इसके पश्चातवर्ती अवकलज जब तक शून्य न हो जाए। फिर पंक्ति B में प्रकार्य को सूचीबद्ध करें और इसके पश्चातवर्ती अभिन्न अंग को सूचीबद्ध करें जब तक पंक्ति B का आकार पंक्ति A के समान न हो जाए। परिणाम इस प्रकार है:

# i प्रतीक A: व्युत्पन्न u(i) B: अभिन्न v(ni)
0 +
1
2 +
3
4 +

पंक्ति A और B की पंक्ति i में प्रविष्टियों का उत्पाद संबंधित चिह्न के साथ मिलकर भागों द्वारा बार-बार समाकलन के दौरान चरण i में प्रासंगिक पूर्णांकी देता है। चरण i = 0 से मूल समाकल प्राप्त होता है। चरण i > 0 में पूर्ण परिणाम के लिए i वां समाकल स्तंभ A की jवीं प्रविष्टि के सभी पिछले उत्पादों (0 ≤ j <i) और स्तंभ B की (j + 1)वीं प्रविष्टि में जोड़ा जाना चाहिए (अर्थात, गुणा करें पंक्ति A की पहली प्रविष्टि पंक्ति B की दूसरी प्रविष्टि के साथ, पंक्ति A की दूसरी प्रविष्टि पंक्ति B की तीसरी प्रविष्टि के साथ ...) दिए गए jवें चिह्न के साथ। यह प्रक्रिया एक प्राकृतिक पड़ाव पर आती है, जब उत्पाद, जो अभिन्न उत्पन्न करता है, शून्य होता है (उदाहरण में i = 4)। पूरा परिणाम निम्नलिखित है (प्रत्येक पद में वैकल्पिक संकेतों के साथ):

यह प्रदान करता है

बार-बार आंशिक समाकलन भी उपयोगी हो जाता है, जब क्रमशः कार्यों को अलग करने और एकीकृत करने के दौरान और उनके उत्पाद का परिणाम मूल इंटीग्रैंड के गुणक में होता है। इस मामले में इस सूचकांक i के साथ पुनरावृत्ति को भी समाप्त किया जा सकता है। यह, अपेक्षित रूप से, घातीय और त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ हो सकता है। उदाहरण के तौर पर विचार करें

# i प्रतीक A: व्युत्पन्न u(i) B: अभिन्न v(ni)
0 +
1
2 +

इस मामले में तालिका के लिए उचित चिह्न के साथ पंक्ति A और B में शर्तों का उत्पाद i = 2 मूल इंटीग्रैंड के नकारात्मक गुण पैदा करता है (तुलना करें पंक्तियाँ i = 0 and i = 2).

यह देखते हुए कि RHS पर समाकलन का अपना समाकलन स्थिरांक हो सकता है, और अमूर्त अभिन्न को दूसरी तरफ लाकर निम्न देता है

और अंत में:

जहां C = C'/2।

उच्च आयाम

कलन के मौलिक प्रमेय के संस्करण को एक उपयुक्त उत्पाद नियम में लागू करके भागों द्वारा समाकलन को कई चर के कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी कलन में ऐसी कई जोड़ियाँ संभव हैं, जिनमें एक अदिश-मूल्यवान फलन u और सदिश-मूल्यवान फलन (सदिश क्षेत्र) 'V' सम्मिलित है।[7] सदिश कलन पहली व्युत्पन्न पहचान बताती है:

मान लीजिए का एक खुला सम्मुच्चय परिबद्ध सम्मुच्चय खंडशः सुचारू सीमा (सांस्थिति) के साथ है। को मानक वॉल्यूम फॉर्म के संबंध में एकीकृत करने, और विचलन प्रमेय को लागू करने से, निम्न देता है:

जहाँ सीमा के लिए बाहरी इकाई सामान्य सदिश है, जो इसके मानक रीमैनियन आयतन प्रकार के संबंध में एकीकृत है। पुनर्व्यवस्था निम्न देती है :

या दूसरे शब्दों में
प्रमेय की अवकलनीयता वर्ग आवश्यकताओं को शिथिल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सीमा लिप्सचिट्ज़ निरंतर होने की आवश्यकता है, और फलन u, v को केवल सोबोलिव स्थान H1(Ω) में स्थित होना चाहिए)।

ग्रीन की पहली पहचान

निरंतर भिन्न होने वाले सदिश क्षेत्रों और पर विचार करें, जहाँ के लिए i-वें मानक आधार सदिश है:

संक्षेप में i भाग सूत्र द्वारा एक नया समाकलन देता है:

, जहाँ , को ग्रीन की पहली पहचान के रूप में जाना जाता है:

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. "ब्रुक टेलर". History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Retrieved May 25, 2018.
  2. "ब्रुक टेलर". Stetson.edu. Retrieved May 25, 2018.
  3. "भागों द्वारा एकीकरण". Encyclopedia of Mathematics.
  4. Kasube, Herbert E. (1983). "भागों द्वारा एकीकरण के लिए एक तकनीक". The American Mathematical Monthly. 90 (3): 210–211. doi:10.2307/2975556. JSTOR 2975556.
  5. Thomas, G. B.; Finney, R. L. (1988). पथरी और विश्लेषणात्मक ज्यामिति (7th ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8.
  6. Horowitz, David (1990). "भागों द्वारा सारणीबद्ध एकीकरण" (PDF). The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368. JSTOR 2686368.
  7. Rogers, Robert C. (September 29, 2011). "कई चरों की गणना" (PDF).

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बाहरी कड़ियाँ