आइसोमेट्री: Difference between revisions

<p>"We shall find it convenient to use the word ''transformation'' in the special sense of a one-to-one correspondence <math>\ P \to P'\ </math> among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member {{mvar|P}} and a second member {{mvar|P'}} and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair...</p><p>In particular, an ''isometry'' (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length&nbsp;..." — Coxeter (1969) p.&nbsp;29<ref>{{harvnb|Coxeter|1969|page=29}}</ref></p>

== परिचय ==

<p>'''3.11''' ''Any two congruent triangles are related by a unique isometry.''— Coxeter (1969) p.&nbsp;39<ref>{{harvnb|Coxeter|1969|page=39}}</ref></p>

}}

== परिभाषा ==

:<math>d_X(a,b)=d_Y\!\left(f(a),f(b)\right).</math><ref name=Beckman-Quarles-1953>

<br>Let {{mvar|T}} be a transformation (possibly many-valued) of <math>E^n</math> (<math>2\leq n < \infty</math>) into itself.<br>Let <math>d(p,q)</math> be the distance between points {{mvar|p}} and {{mvar|q}} of <math>E^n</math>, and let {{mvar|Tp}}, {{mvar|Tq}} be any images of {{mvar|p}} and {{mvar|q}}, respectively.<br>If there is a length {{mvar|a}} > 0 such that <math>d(Tp,Tq)=a</math> whenever <math>d(p,q)=a</math>, then {{mvar|T}} is a Euclidean transformation of <math>E^n</math> onto itself.<ref name=Beckman-Quarles-1953/>

}}

पथ आइसोमेट्री या आर्कवाइज आइसोमेट्री की दुर्बल धारणा भी है:

यह शब्द अधिकांश केवल आइसोमेट्री के लिए संक्षिप्त होता है, इसलिए किसी को संदर्भ से निर्धारित करने के लिए सर्तकता रहना चाहिए कि किस प्रकार का उद्देश्य है।

;उदाहरण

निम्नलिखित प्रमेय मजूर और उलम के कारण है।

{{Math theorem|name=प्रमेय{{sfn | Narici|Beckenstein | 2011 | pp=275–339}}{{sfn | Wilansky | 2013 | pp=21–26}}|math_statement=

फिर {{mvar|A}} मध्यबिंदुओं को मध्यबिंदुओं के लिए मैप करता है और वास्तविक संख्याओं के मैप  <math>\mathbb{R}</math> के रूप में रैखिक है।

यदि {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} जटिल सदिश स्थान हैं तो {{mvar|A}} <math>\mathbb{C}</math> पर मैप के रूप में रैखिक होने में विफल हो सकता है।  

=== रेखीय समरूपता ===

:<math>\|Av\| = \|v\| </math>

सभी <math>\ v \in V\ </math>के लिए<ref name="Thomsen 2017 p125">{{cite book |last=Thomsen |first=Jesper Funch |year=2017 |title=लीनियर अलजेब्रा|trans-title=Linear Algebra |page=125 |lang=da |location=Århus |publisher=Aarhus University |series=Department of Mathematics}}</ref> रैखिक आइसोमेट्री उपरोक्त अर्थों में दूरी-संरक्षित माप हैं।

:<math>\langle v, v \rangle = \langle Av, Av \rangle </math>

रैखिक आइसोमेट्री हमेशा एकात्मक ऑपरेटर नहीं होते हैं, चूंकि, इसके लिए अतिरिक्त रूप से <math>V = W </math> और <math> A A^\dagger = \operatorname{I}_V\ </math>इसकी आवश्यकता होती है

;उदाहरण

{{cite journal

  | last1 = Roweis | first1 = S.T.

}}

</ref><ref name=Zhang-Zha-2004/><ref name=Zhang-Wang-2006/>

== मैनिफोल्ड ==

=== परिभाषा ===

:<math>\ g = f^{*} g', \ </math>

:<math>\ g(v, w) = g' \left( f_{*} v, f_{*} w \right)\ .</math>

=== गुण ===

== सामान्यीकरण ==

*# के लिए <math>x, x' \in X</math> किसी के पास <math>\ |d_Y(f(x),f(x')) - d_X(x,x')| < \varepsilon\ ,</math> और

== यह भी देखें ==

* बेकमैन-क्वार्ल्स प्रमेय

* {{annotated link|अनुरूप मैप}}

* [[ यूक्लिडियन प्लेन आइसोमेट्री ]]

* फ्लैट (ज्यामिति)

* [[ गति (ज्यामिति) ]]

* मायर्स-स्टीनरोड प्रमेय

* [[ आंशिक आइसोमेट्री ]]

* [[ स्केलिंग (ज्यामिति) ]]

* [[ अर्ध निश्चित एम्बेडिंग ]]

* [[ गणित में समरूपता ]]

== फुटनोट्स ==

{{notelist}}

== संदर्भ ==

</ref>