घातांक: Difference between revisions
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प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]] | प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है {{math|(0, 1)}} क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है {{math|1=''x'' = 1}}, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन(गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b(उठाया गया) से(की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक घनात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है | ||
'''घातांक''' एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,<ref name=":1">{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=घातांक के लिए बुनियादी नियम|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}</ref> जिसे {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n | |||
<math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | <math display="block">b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.</math> | ||
प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को | प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर [[ऊपर की ओर लिखा हुआ]] दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को n <sup>th</sup> की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b(उठाया गया) को n की घात", "b की n <sup>th</sup> घात", "b को n th की घात", [2] या संक्षेप में "b से n th" के रूप में कहा जाता है। | ||
ऊपर बताए गए मूल तथ्य से | ऊपर बताए गए मूल तथ्य से प्रारम्भ करते हुए, किसी भी घनात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , <math>b^n</math> <math>n</math> की घटनाएं <math>b</math> है और सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: | ||
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</math> | </math> | ||
दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार <math>b^0</math> 1 के बराबर होना चाहिए। किसी | दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार हम यह व्युत्त्पन्न कर सकते हैं की <math>b^0</math>को 1 के बराबर होना चाहिए। किसी <math>n</math> के लिए, <math>b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n</math> दोनों पक्षों को <math>b^n</math> द्वारा विभाजित करना <math>b^0 = b^n / b^n = 1</math> देता है। | ||
<math>b^1 = b</math> यह तथ्य समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math> (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 </math>. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर <math>b^1 = b</math> प्राप्त होता है। | |||
नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। | नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि <math>b^{-1}</math> का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन <math>b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 </math> होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा <math>b^{1}</math> को विभाजित करना <math>b^{-1} = 1 / b^1</math> देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम <math>b^1 = b</math> का उपयोग करके <math>b^{-1} = 1 / b</math> लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से <math>b^{-n} = 1 / b^n</math> लिखा जा सकता है। | ||
भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम | भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | ||
घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | ||
[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी | [[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स|रासायनिक प्रतिक्रिया गतिविज्ञान]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी कूटलेखन। | ||
== अंकन का इतिहास == | == अंकन का इतिहास == | ||
शब्द घात ({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां | शब्द घात({{lang-la| क्षमता, शक्ति, गौरव}}) एक गलत अनुवाद है<ref name="Rotman">{{cite book|last=Rotman|first=Joseph J.|author-link=Joseph J. Rotman|date=2015|title=उन्नत आधुनिक बीजगणित, भाग 1|url=https://www.ams.org/books/gsm/165/04|location=Providence, RI|publisher=[[American Mathematical Society]]|at=p. 130, fn. 4|isbn=978-1-4704-1554-9|edition=3rd|series=[[Graduate Studies in Mathematics]]|volume=165}}</ref><ref>{{cite book|last=Szabó|first=Árpád|date=1978|title=ग्रीक गणित की शुरुआत|url=https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics|location=Dordrecht|publisher=[[D. Reidel]]|page=[https://archive.org/details/TheBeginningsOfGreekMathematics/page/n37 37]|isbn=90-277-0819-3|series=Synthese Historical Library|volume=17|translator=A.M. Ungar}}</ref> प्राचीन ग्रीक डुनामिस(ड्यूनामिस, यहां प्रवर्धन<ref name="Rotman"/> एक रेखा के वर्ग के लिए [[ग्रीक गणित]] गणितज्ञ [[यूक्लिड]] द्वारा प्रयोग किया जाता है,<ref name="MacTutor"/>[[Chios के हिप्पोक्रेट्स|चिऔस के हिप्पोक्रेट्स]] के बाद <ref>{{cite book|last=Ball|first=W. W. Rouse|author-link=W. W. Rouse Ball|date=1915|title=गणित के इतिहास का संक्षिप्त विवरण|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich|location=London|publisher=[[Macmillan Publishers|Macmillan]]|page=[https://archive.org/details/shortaccountofhi00ballrich/page/38 38]|edition=6th}}</ref> [[रेत रेकनर]] में, [[आर्किमिडीज]] ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, {{math|1=10<sup>''a''</sup> · 10<sup>''b''</sup> = 10<sup>''a''+''b''</sup>}} की घात में क्रमभंग करने के लिए {{math|10}} आवश्यक हैl 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक [[वर्ग (बीजगणित)|वर्ग(बीजगणित)]] के लिए धन(माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का प्रयोग किया था - मुसलमानो ने , उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति<ref name="worldwidewords"/>-और काबा(कबाह, घन) एक [[घन (बीजगणित)|घन(बीजगणित)]] के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने [[गणितीय अंकन]] में अक्षरों mim(m) और kaf(k) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।<ref>{{MacTutor|id=Al-Qalasadi|title= Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi}}</ref> | ||
16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का प्रयोग किया।<ref name="cajori">{{cite book|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|date=1928|title=गणितीय संकेतन का इतिहास|url=https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp|location=London|publisher=[[Open Court Publishing Company]]|page=[https://archive.org/details/historyofmathema031756mbp/page/n363 344]|volume=1}}</ref> [[निकोलस चुक्वेट]] ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का प्रयोग किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में [[हेनरी ग्रैमेटियस]] और [[माइकल स्टिफेल]] ने प्रयोग किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था।<ref>[http://jeff560.tripod.com/e.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]</ref><ref>{{cite book|last=Stifel|first=Michael|author-link=Michael Stifel|date=1544|title=पूरा अंकगणित|url=https://archive.org/details/bub_gb_fndPsRv08R0C/page/n491|location=Nuremberg|publisher=[[Johannes Petreius]]|page=235v}}</ref> सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की प्रारम्भ की।<ref name="MacTutor">{{MacTutor|class=Miscellaneous|id=Mathematical_notation|title=Etymology of some common mathematical terms}}</ref> 16वीं शताब्दी में, [[रॉबर्ट रिकॉर्डे]] ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक ([[चौथी शक्ति|चौथी घात]]), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का प्रयोग किया।<ref name="worldwidewords">{{Cite web|url=http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-zen1.htm|title=वे पाखंडी हैं|publisher=World Wide Words|first=Michael|last=Quinion|author-link=Michael Quinion|access-date=2020-04-16}}</ref> बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी घात को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है। | |||
17वीं शताब्दी की प्रारम्भ में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला ज्यामिति नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति प्रस्तावित किया गया है।<ref>{{cite book|last=Descartes|first=René|author-link=René Descartes|date=1637|title=विधि पर प्रवचन [...]|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f383.image|location=Leiden|publisher=Jan Maire|page=299|chapter=''[[La Géométrie]]''|quote=''एट ''आ'', या ''ए''<sup>2</sup>, सोया मेस्मे के लिए मल्टीप्लायर ''ए'' डालें; Et ''a''<sup>3</sup>, डालना le गुणक दोहराना une fois par ''a'', & ainsi a l'infini''}} (और ''aa'', या ''a ''<sup>2</sup>, ''a'' को उसी से गुणा करने के लिए; और ''a''<sup>3</sup>, इसे फिर से ''a' से गुणा करने के लिए ', और इस प्रकार अनंत तक)।</ref> | |||
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कुछ गणितज्ञों(जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}. | |||
कुछ गणितज्ञों (जैसे [[आइजैक न्यूटन]]) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे [[बहुपद]] लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे {{math|''ax'' + ''bxx'' + ''cx''<sup>3</sup> + ''d''}}. | |||
एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और | एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है<ref>The most recent usage in this sense cited by the OED is from 1806 ({{Cite OED|involution}}).</ref> और प्रत्यावर्तन(गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। | ||
1748 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ [[बीजगणितीय फलन]] नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."<ref name="Euler_1748" /> }} | 1748 में, [[लियोनहार्ड यूलर]] ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:{{blockquote|"घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ [[बीजगणितीय फलन]] नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए."<ref name="Euler_1748" /> }} | ||
== शब्दावली == | == शब्दावली == | ||
भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} | भावाभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>2</sup> = ''b'' · ''b''}} b वर्ग या b का वर्ग(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग {{math|''b''}} का क्षेत्रफल {{math|''b''<sup>2</sup>}} है . | ||
इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} | इसी प्रकार, अभिव्यक्ति {{math|1=''b''<sup>3</sup> = ''b'' · ''b'' · ''b''}} b घन या b का घन(बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई {{math|''b''}} वाले घन का आयतन {{math|''b''<sup>3</sup>}} है . | ||
जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है। | जब यह एक [[सकारात्मक पूर्णांक|घनात्मक पूर्णांक]] होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, {{math|1=3<sup>5</sup> = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}}. आधार {{math|3}} {{math|5}} बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक {{math|5}} है . यहां, {{math|243}} 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है। | ||
उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी घात भी {{math|3<sup>5</sup>}} केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी घात भी {{math|3<sup>5</sup>}} केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। | ||
नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}} (जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} न की {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), | नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे {{math|3<sup>5<sup>7</sup></sup>}}(जिसका मतलब है {{math|3<sup>(5<sup>7</sup>)</sup>}} न की {{math|(3<sup>5</sup>)<sup>7</sup>}}), घात का स्तंभ या केवल एक स्तंभ कहा जाता है।<ref>{{cite book|editor1-last=Kauffman|editor1-first=Louis|editor2-last=J. Lomonaco|editor2-first=Samuel|editor3-last=Chen|editor3-first=Goong|title=क्वांटम संगणना और क्वांटम प्रौद्योगिकी का गणित|date=September 19, 2007|publisher=[[CRC Press]] |isbn=9781584889007|page=105|chapter-url=https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105|access-date=26 February 2022|language=English|chapter=4.6 Efficient decomposition of Hamiltonian|archive-url=https://web.archive.org/web/20220226160938/https://books.google.com/books?id=kd8R_Y10U3oC&pg=PA105#v=onepage|archive-date=February 26, 2022|url-status=live}}</ref> | ||
== पूर्णांक घातांक == | == पूर्णांक घातांक == | ||
पूर्णांक घातांक वाले घातांक संक्रिया को प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं से सीधे परिभाषित किया जा सकता है। | पूर्णांक घातांक वाले घातांक संक्रिया को प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं से सीधे परिभाषित किया जा सकता है। | ||
=== | === घनात्मक घातांक === | ||
एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके [[औपचारिक प्रमाण]] हो सकती है,<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=सार बीजगणित: एक पूछताछ आधारित दृष्टिकोण|first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> और जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो तो इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है : | एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके [[औपचारिक प्रमाण]] हो सकती है,<ref>{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&pg=PA94 |title=सार बीजगणित: एक पूछताछ आधारित दृष्टिकोण|first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}</ref> और जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो तो इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है : | ||
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और [[पुनरावृत्ति संबंध]] है। | और [[पुनरावृत्ति संबंध]] है। | ||
:<math>b^{n+1} = b^n \cdot b.</math> | :<math>b^{n+1} = b^n \cdot b.</math> | ||
गुणन की साहचर्यता का अर्थ है कि किसी भी | गुणन की साहचर्यता का अर्थ है कि किसी भी घनात्मक पूर्णांक {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}}, के लिए | ||
:<math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n,</math> | :<math>b^{m+n} = b^m \cdot b^n,</math> | ||
तथा | तथा | ||
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=== शून्य प्रतिपादक === | === शून्य प्रतिपादक === | ||
परिभाषा के अनुसार, किसी भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 है :<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=तकनीकी दुकान गणित|first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />: | परिभाषा के अनुसार, किसी भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 है:<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=तकनीकी दुकान गणित|first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />: | ||
<math>b^0=1.</math> | <math>b^0=1.</math> | ||
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यह परिभाषा ही एकमात्र यथासम्भव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है | यह परिभाषा ही एकमात्र यथासम्भव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है | ||
:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> | :<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> | ||
शून्य घातांक | शून्य घातांक तक इसका उपयोग प्रत्येक [[बीजगणितीय संरचना]] में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है। | ||
सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है। | सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है। | ||
{{math|0<sup>0</sup>}} | {{math|0<sup>0</sup>}} प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक घात पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें [[शून्य की घात शून्य]].}} | ||
=== | === ऋणात्मक घातांक === | ||
ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}} धारण करता है: | ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}} धारण करता है: | ||
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" /> | :<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" /> | ||
:0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत (<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}} | :0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत(<math>\infty</math>) के रूप में की जा सकती है .{{citation needed|date=November 2022}} | ||
ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें). | ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें). | ||
समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग | समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड|एकाभ]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}}(उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है | ||
=== पहचान और गुण === | === पहचान और गुण === | ||
{{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम (घोड़ा)}} | {{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम(घोड़ा)}} | ||
निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका (गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align} | निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|सर्वसमिका(गणित)]], प्रायः{{vanchor| प्रतिनिधि नियम}} कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align} | ||
b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ | b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ | ||
\left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\ | \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\ | ||
(b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n | (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या | जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रम[[विनिमेय]] नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=2<sup>3</sup> = 8 ≠ 3<sup>2</sup> = 9}}. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, {{math|1=(2<sup>3</sup>)<sup>2</sup> = 8<sup>2</sup> {{=}} 64}}, चूँकि {{math|2<sup>(3<sup>2</sup>)</sup> {{=}} 2<sup>9</sup> {{=}} 512}}. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में [[क्रमिक घातांक]] के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं<ref name="Robinson_1958"/><ref name="Bronstein_1987"/><ref name="NIST_2010"/><ref name="Zeidler_2013"/>(या बाया-सहयोगी)। अर्थात् , | ||
:<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math> | :<math>b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},</math> | ||
जो, सामान्य रूप से, से अलग है | जो, सामान्य रूप से, से अलग है | ||
| Line 119: | Line 111: | ||
=== राशि की घात === | === राशि की घात === | ||
एक राशि की | एक राशि की घात की गणना सामान्य रूप से [[द्विपद सूत्र]] द्वारा योग की घात से की जा सकती है | ||
:<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | :<math>(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.</math> | ||
हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए | हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह {{math|1=''ab'' = ''ba''}}), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए यदि {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}}, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि [[कंप्यूटर बीजगणित|परिकलक बीजगणित]] में, पूर्णांक घातांक वाले कई [[कलन विधि]] को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं(कभी-कभी {{math|^^}} के बदले {{math|^}}) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है। | ||
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