ची-वर्ग वितरण

This article is about ची-वर्ग वितरण का गणित. For सांख्यिकी में इसका उपयोग, see ची-वर्ग परीक्षण. For संगीत समूह, see ची2 (बैंड).

chi-squared

Probability density function File:Chi-square pdf.svg
Cumulative distribution function
Notation	$\chi ^{2}(k)\;$ or $\chi _{k}^{2}\!$
Parameters	$k\in \mathbb {N} ^{*}~~$ (known as "degrees of freedom")
Support	$x\in (0,+\infty )\;$ if $k=1$, otherwise $x\in [0,+\infty )\;$
PDF	${\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}\;$
CDF	${\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)\;$
Mean	$k$
Median	$\approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;$
Mode	$\max(k-2,0)\;$
Variance	$2k\;$
Skewness	${\sqrt {8/k}}\,$
Ex. kurtosis	${\frac {12}{k}}$
Entropy	${\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\frac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\frac {k}{2}})\psi ({\frac {k}{2}})\end{aligned}}$
MGF	$(1-2t)^{-k/2}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}\;$
CF	$(1-2it)^{-k/2}$
PGF	$(1-2\ln t)^{-k/2}{\text{ for }}0<t<{\sqrt {e}}\;$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, ची-वर्ग वितरण (ची-वर्ग या $\chi ^{2}$-वितरण) के साथ $k$ स्वतंत्रता की डिग्री के वर्गों के योग का वितरण है $k$ स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर है। ची-वर्ग वितरण गामा वितरण की विशेष स्थिति है और अनुमानित आंकड़ों में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संभाव्यता वितरणों में से है, विशेष रूप से परिकल्पना परीक्षण और आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण में है। इस वितरण को कभी-कभी केंद्रीय ची-वर्ग वितरण कहा जाता है, जो अधिक सामान्य गैर-केंद्रीय ची-वर्ग वितरण की विशेष स्थिति है।

ची-वर्ग वितरण का उपयोग सामान्य ची-वर्ग परीक्षणों में किसी सैद्धांतिक वितरण के लिए देखे गए वितरण के फिट होने की उत्तम सीमा, डेटा विश्लेषण के वर्गीकरण के दो पैरामीटर की सांख्यिकीय स्वतंत्रता और जनसंख्या मानक विचलन के लिए विश्वास अंतराल अनुमान में प्रतिरूप मानक विचलन से सामान्य वितरण के लिए किया जाता है। कई अन्य सांख्यिकीय परीक्षण भी इस वितरण का उपयोग करते हैं, जैसे कि फ्रीडमैन रैंकों द्वारा भिन्नता का विश्लेषण है।

परिभाषाएँ

यदि Z₁, ..., Z_k स्वतंत्र, मानक सामान्य यादृच्छिक चर हैं, फिर उनके वर्गों का योग,

$Q=\underset{i=1}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$