ठोस प्रतिमन: Difference between revisions

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{{Short description|Set of principles for modeling solid geometry}}
[[File:Jack-in-cube solid model, light background.gif|thumb|right|ठोस मॉडलिंग में ज्यामिति पूरी तरह से 3डी में वर्णित है{{nbhyph}} स्थान; वस्तुओं को किसी भी कोण से देखा जा सकता है।]][[3 डी मॉडलिंग|ठोस मॉडलिंग]] (या सॉलिड मॉडलिंग)त्रि-आयामी आकृतियों [[solid (mathematics)|(ठोस) के गणितीय]] और कंप्यूटर मॉडलिंग के लिए सिद्धांतों का सुसंगत सेट है। ठोस प्रतिरूपण ज्यामितीय प्रतिरूपण और [[कंप्यूटर चित्रलेख]] के संबंधित क्षेत्रों से भौतिक निष्ठा पर जोर देने के कारण अलग है, जैसे कि 3डी प्रतिरूपण ।<ref name = "Solid Modeling">{{cite book |url=http://sal-cnc.me.wisc.edu/index.php?option=com_remository&Itemid=143&func=fileinfo&id=53 |title= Solid Modeling|author=  Shapiro, Vadim |year= 2001 |publisher= Elsevier |access-date=20 April 2010}}</ref> साथ में, ज्यामितीय और ठोस मॉडलिंग के सिद्धांत 3डी [[कंप्यूटर एडेड डिजाइन]] की नींव बनाते हैं और सामान्य रूप से भौतिक वस्तुओं के डिजिटल मॉडल के निर्माण, विनिमय, दृश्य, एनीमेशन, पूछताछ और व्याख्या का समर्थन करते हैं।


[[File:Jack-in-cube solid model, light background.gif|thumb|right|ठोस मॉडलिंग में ज्यामिति पूरी तरह से 3 में वर्णित है{{nbhyph}}डी स्थान; वस्तुओं को किसी भी कोण से देखा जा सकता है।]][[3 डी मॉडलिंग]] (या सॉलिड मॉडलिंग) त्रि-आयामी आकार ''[[solid (mathematics)]]|(solid)'' के गणितीय और कंप्यूटर मॉडलिंग के लिए सिद्धांतों का सुसंगत सेट है। ठोस प्रतिरूपण ज्यामितीय प्रतिरूपण और [[कंप्यूटर चित्रलेख]] के संबंधित क्षेत्रों से अलग है, जैसे कि ''3डी प्रतिरूपण'', भौतिक निष्ठा पर जोर देने के कारण।<ref name = "Solid Modeling">{{cite book |url=http://sal-cnc.me.wisc.edu/index.php?option=com_remository&Itemid=143&func=fileinfo&id=53 |title= Solid Modeling|author=  Shapiro, Vadim |year= 2001 |publisher= Elsevier |access-date=20 April 2010}}</ref> साथ में, ज्यामितीय और ठोस मॉडलिंग के सिद्धांत [[कंप्यूटर एडेड डिजाइन]] की नींव बनाते हैं और सामान्य रूप से भौतिक वस्तुओं के डिजिटल मॉडल के निर्माण, विनिमय, दृश्य, एनीमेशन, पूछताछ और एनोटेशन का समर्थन करते हैं।
== अवलोकन ==


== सिंहावलोकन ==
ठोस मॉडलिंग विधियों का उपयोग डिजाइन प्रक्रिया के भाग के रूप में की जाने वाली कई कठिन इंजीनियरिंग गणनाओं की स्वचालन प्रक्रिया की अनुमति देता है। [[मशीनिंग]] और [[समनुक्रम|असेंबली]] जैसी प्रक्रियाओं का अनुकरण, योजना और सत्यापन ठोस मॉडलिंग के विकास के लिए मुख्य उत्प्रेरकों में से एक थे। हाल ही में, [[धातु की चादर]] [[उत्पादन]], [[अंतः क्षेपण ढलाई|इंजेक्शन मोल्डिंग]], [[वेल्डिंग]], [[पाइपलाइन]] रूटिंग आदि को सम्मिलित करने के लिए समर्थित विनिर्माण अनुप्रयोगों की श्रेणी का विस्तार किया गया है। पारंपरिक निर्माण से परे, ठोस मॉडलिंग विधियाँ शीघ्रता से [[तीव्र प्रोटोटाइपिंग|'''तीव्र''' प्रोटोटाइपिंग]], डिजिटल डेटा अभिलेखीय और [[रिवर्स इंजीनियरिंग]] के लिए भौतिक वस्तुओं पर नमूना बिंदुओं से ठोस पदार्थों का पुनर्निर्माण करके, [[परिमित तत्व|परिमित तत्वों]] का उपयोग करके यांत्रिक विश्लेषण, [[गति योजना]] और एनसी पथ सत्यापन, तंत्र के [[गतिकी|गतिज]] और गतिशील विश्लेषण के लिए नींव के रूप में कार्य करती है। इन सभी अनुप्रयोगों में केंद्रीय समस्या वास्तविक कलाकृतियों के भौतिक व्यवहार के अनुरूप तीन आयामी ज्यामिति का प्रभावी ढंग से प्रतिनिधित्व और हेरफेर करने की क्षमता है। ठोस मॉडलिंग अनुसंधान और विकास ने इनमें से कई उद्देश्यों को प्रभावी ढंग से संबोधित किया है, और कंप्यूटर एडेड इंजीनियरिंग का केंद्रीय फोकस बना हुआ है।


ठोस मॉडलिंग तकनीकों का उपयोग डिजाइन प्रक्रिया के भाग के रूप में की जाने वाली कई कठिन इंजीनियरिंग गणनाओं की स्वचालन प्रक्रिया की अनुमति देता है। [[मशीनिंग]] और [[समनुक्रम]] जैसी प्रक्रियाओं का अनुकरण, योजना और सत्यापन ठोस मॉडलिंग के विकास के लिए मुख्य उत्प्रेरकों में से एक थे। हाल ही में, [[धातु की चादर]] [[उत्पादन]], [[अंतः क्षेपण ढलाई]], [[वेल्डिंग]], [[पाइपलाइन]] रूटिंग आदि को शामिल करने के लिए समर्थित निर्माण अनुप्रयोगों की सीमा का विस्तार किया गया है। पारंपरिक निर्माण से परे, ठोस मॉडलिंग तकनीकें तेजी [[तीव्र प्रोटोटाइपिंग]], डिजिटल डेटा अभिलेखीय और [[रिवर्स इंजीनियरिंग]] के लिए नींव के रूप में काम करती हैं। भौतिक वस्तुओं पर नमूना बिंदुओं से ठोस पदार्थों का पुनर्निर्माण करके, [[परिमित तत्व]] का उपयोग करके यांत्रिक विश्लेषण, [[गति योजना]] और एनसी पथ सत्यापन, [[तंत्र (इंजीनियरिंग)]] के [[गतिकी]] और गतिशीलता (भौतिकी), और इसी तरह। इन सभी अनुप्रयोगों में केंद्रीय समस्या वास्तविक कलाकृतियों के भौतिक व्यवहार के अनुरूप तीन आयामी ज्यामिति का प्रभावी ढंग से प्रतिनिधित्व और हेरफेर करने की क्षमता है। ठोस मॉडलिंग अनुसंधान और विकास ने इनमें से कई मुद्दों को प्रभावी ढंग से संबोधित किया है, और कंप्यूटर एडेड इंजीनियरिंग का केंद्रीय फोकस बना हुआ है।
== गणितीय नींव ==
ठोस मॉडलिंग की धारणा आज के रूप में प्रचलित यांत्रिक ज्यामितीय मॉडलिंग सिस्टम में सूचनात्मक पूर्णता के लिए विशिष्ट आवश्यकता पर निर्भर करती है, इस अर्थ में कि किसी भी कंप्यूटर मॉडल को सभी ज्यामितीय प्रश्नों का समर्थन करना चाहिए जो इसके संबंधित भौतिक वस्तु से पूछे जा सकते हैं। आवश्यकता स्पष्ट रूप से एक ही भौतिक वस्तु के कई कंप्यूटर अभ्यावेदन की संभावना को पहचानती है जब तक कि कोई भी दो अभ्यावेदन सुसंगत हैं। प्रतिनिधित्व की सूचनात्मक पूर्णता को कम्प्यूटेशनल रूप से सत्यापित करना असंभव है जब तक कि किसी भौतिक वस्तु की धारणा को गणना योग्य गणितीय गुणों और किसी विशेष प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है। जैसा कि आज हम जानते हैं, इस तरह के तर्क ने मॉडलिंग प्रतिमान के विकास को प्रेरित किया जिसने ठोस मॉडलिंग के क्षेत्र को आकार दिया है।<ref name = "First Principles">{{cite journal |title= Solid Modeling: Current Status and Research Directions|journal = IEEE Computer Graphics and Applications|volume = 3|issue = 7|pages = 25–37|author1=Requicha, A.A.G  |author2=Voelcker, H.  |name-list-style=amp |year= 1983 |publisher= IEEE Computer Graphics |doi= 10.1109/MCG.1983.263271|s2cid = 14462567}}</ref>


== गणितीय नींव ==
सभी निर्मित घटकों में परिमित आकार और अच्छी तरह से व्यवहार वाली [[सीमा (टोपोलॉजी)]] होती हैं, इसलिए प्रारंभ में सजातीय [[समदैशिक|आइसोट्रोपिक]] सामग्री से बने कठोर भागों को गणितीय रूप से मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया था जिसे जोड़ा या हटाया जा सकता था। इन अभिगृहीत गुणों को क्षेत्रों के गुणों में अनुवादित किया जा सकता है, त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के सबसेट। "दृढ़ता" को परिभाषित करने के लिए दो सामान्य दृष्टिकोण क्रमशः [[बिंदु-सेट टोपोलॉजी]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] पर निर्भर करते हैं। दोनों मॉडल निर्दिष्ट करते हैं कि सरल टुकड़ों या कोशिकाओं से ठोस कैसे बनाया जा सकता है।
आज प्रचलित ठोस मॉडलिंग की धारणा यांत्रिक ज्यामितीय मॉडलिंग प्रणालियों में सूचनात्मक पूर्णता की विशिष्ट आवश्यकता पर निर्भर करती है, इस अर्थ में कि किसी भी कंप्यूटर मॉडल को सभी ज्यामितीय प्रश्नों का समर्थन करना चाहिए जो इसके संबंधित भौतिक वस्तु से पूछे जा सकते हैं। आवश्यकता स्पष्ट रूप से एक ही भौतिक वस्तु के कई कंप्यूटर अभ्यावेदन की संभावना को पहचानती है जब तक कि कोई भी दो अभ्यावेदन सुसंगत हैं। प्रतिनिधित्व की सूचनात्मक पूर्णता को कम्प्यूटेशनल रूप से सत्यापित करना असंभव है जब तक कि किसी भौतिक वस्तु की धारणा को गणना योग्य गणितीय गुणों और किसी विशेष प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है। इस तरह के तर्क ने मॉडलिंग प्रतिमान के विकास को जन्म दिया जिसने ठोस मॉडलिंग के क्षेत्र को आकार दिया है जैसा कि आज हम जानते हैं।<ref name = "First Principles">{{cite journal |title= Solid Modeling: Current Status and Research Directions|journal = IEEE Computer Graphics and Applications|volume = 3|issue = 7|pages = 25–37|author1=Requicha, A.A.G  |author2=Voelcker, H.  |name-list-style=amp |year= 1983 |publisher= IEEE Computer Graphics |doi= 10.1109/MCG.1983.263271|s2cid = 14462567}}</ref>
सभी निर्मित घटकों में परिमित आकार और अच्छी तरह से व्यवहार वाली [[सीमा (टोपोलॉजी)]] है, इसलिए शुरू में सजातीय [[समदैशिक]] सामग्री से बने कठोर भागों को गणितीय रूप से मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया था जिसे जोड़ा या हटाया जा सकता था। इन अभिगृहीत गुणों को क्षेत्रों के गुणों में अनुवादित किया जा सकता है, त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के सबसेट। दृढ़ता को परिभाषित करने के लिए दो सामान्य दृष्टिकोण क्रमशः [[बिंदु-सेट टोपोलॉजी]] और [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] पर निर्भर करते हैं। दोनों मॉडल निर्दिष्ट करते हैं कि सरल टुकड़ों या कोशिकाओं से ठोस कैसे बनाया जा सकता है।


[[File:Regularize1.png|thumb|right|450px|2-डी समुच्चय के आंतरिक भाग को बंद करके उसका नियमितीकरण]]दृढ़ता के सातत्य बिंदु-सेट मॉडल के अनुसार, किसी भी X ⊂ ℝ के सभी बिंदु<sup>3</sup> को उनके [[पड़ोस (टोपोलॉजी)]] के अनुसार एक्स के संबंध में आंतरिक (टोपोलॉजी), [[बाहरी (टोपोलॉजी)]], या सीमा (टोपोलॉजी) बिंदुओं के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए<sup>3</sup> विशिष्ट [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] से संपन्न है, बिंदु p ∈X का पड़ोस [[गेंद (गणित)]] का रूप ले लेता है। X को ठोस माने जाने के लिए, किसी भी p ∈X का प्रत्येक पड़ोस लगातार त्रिविमीय होना चाहिए; निम्न-आयामी पड़ोस वाले बिंदु दृढ़ता की कमी का संकेत देते हैं। पड़ोस की आयामी एकरूपता की गारंटी 'बंद नियमित सेट' के वर्ग के लिए है, जिसे उनके इंटीरियर के [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] के बराबर सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। कोई एक्स ⊂ ℝ<sup>3</sup> को बंद नियमित सेट में बदला जा सकता है या इसके इंटीरियर को बंद करके नियमित किया जा सकता है, और इस प्रकार ठोस पदार्थों के मॉडलिंग स्थान को गणितीय रूप से ℝ के बंद नियमित उपसमुच्चय के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है।<sup>3</sup> (हेइन-बोरेल प्रमेय द्वारा | हेइन-बोरेल प्रमेय यह निहित है कि सभी ठोस [[कॉम्पैक्ट जगह]] सेट हैं)। इसके अलावा, सेट यूनियन, चौराहे और अंतर के बूलियन संचालन के तहत ठोस पदार्थों को बंद करना आवश्यक है (सामग्री को जोड़ने और हटाने के बाद ठोसता की गारंटी देने के लिए)। मानक बूलियन संचालन को बंद नियमित सेट पर लागू करने से बंद नियमित सेट का उत्पादन नहीं हो सकता है, लेकिन मानक बूलियन संचालन को लागू करने के परिणाम को नियमित करके इस समस्या को हल किया जा सकता है।<ref name = "Regularized operations">{{citation|doi=10.1016/0010-4485(80)90025-1|title=Closure of Boolean operations on geometric entities|journal=Computer-Aided Design|volume=12|issue=5|pages=219–220|year=1980|last1=Tilove|first1=R.B.|last2=Requicha|first2=A.A.G.}}</ref> नियमित सेट संचालन को ∪ दर्शाया जाता है<sup>∗</sup>, ∩<sup>∗</sup>, और −<sup>∗</sup>.
[[File:Regularize1.png|thumb|right|450px|2-डी समुच्चय के आंतरिक भाग को बंद करके उसका नियमितीकरण]]सघनता के सातत्य बिंदु-सेट मॉडल के अनुसार, किसी भी X ⊂ ℝ<sup>3</sup> के सभी बिंदुओं को उनके [[पड़ोस (टोपोलॉजी)|पड़ोस]] के अनुसार X के संबंध में आंतरिक, [[बाहरी (टोपोलॉजी)|बाहरी]], या सीमा बिंदुओं के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। यह मानते हुए कि ℝ<sup>3</sup> विशिष्ट [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] से संपन्न है, बिंदु p ∈X का पड़ोस में खुली [[गेंद (गणित)|गेंद]] का रूप लेता है। X को ठोस माने जाने के लिए, किसी भी p ∈X का प्रत्येक पड़ोस लगातार त्रिविमीय होना चाहिए; निम्न-आयामी पड़ोस वाले बिंदु दृढ़ता की कमी का संकेत देते हैं। पड़ोस की आयामी एकरूपता की गारंटी 'बंद नियमित सेट' के वर्ग के लिए है, जिसे उनके इंटीरियर के [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] के बराबर सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। किसी भी X ⊂ ℝ<sup>3</sup> को बंद नियमित सेट में बदला जा सकता है या इसके इंटीरियर को बंद करके नियमित किया जा सकता है, और इस प्रकार ठोस पदार्थों के मॉडलिंग स्थान को गणितीय रूप से ℝ<sup>3</sup> के बंद नियमित उपसमुच्चय के स्थान के रूप में (हेइन-बोरेल प्रमेय द्वारा, हेइन-बोरेल प्रमेय यह निहित है कि सभी ठोस [[कॉम्पैक्ट जगह]] सेट हैं) परिभाषित किया जाता है। इसके अतिरिक्त, सेट यूनियन, चौराहे और अंतर (सामग्री को जोड़ने और हटाने के बाद ठोसता की गारंटी देने के लिए) के बूलियन संचालन के अनुसार ठोस पदार्थों को बंद करना आवश्यक है। मानक बूलियन संचालन को बंद नियमित सेट पर प्रयुक्त करने से बंद नियमित सेट का उत्पादन नहीं हो सकता है, किन्तु मानक बूलियन संचालन को प्रयुक्त करने के परिणाम को नियमित करके इस समस्या को हल किया जा सकता है।<ref name = "Regularized operations">{{citation|doi=10.1016/0010-4485(80)90025-1|title=Closure of Boolean operations on geometric entities|journal=Computer-Aided Design|volume=12|issue=5|pages=219–220|year=1980|last1=Tilove|first1=R.B.|last2=Requicha|first2=A.A.G.}}</ref> नियमित सेट संचालन को ∪∗, ∩∗, और −∗ के रूप में दर्शाया गया है।


सेट X ⊂ ℝ का संयोजी लक्षण वर्णन<sup>3</sup> ठोस के रूप में एक्स को ओरिएंटेबल [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] के रूप में प्रस्तुत करना शामिल है ताकि कोशिकाएं अन्यथा असंख्य सातत्य में बिंदुओं के लिए परिमित स्थानिक पते प्रदान कर सकें।<ref name="Solid Modeling"/>यूक्लिडियन अंतरिक्ष के [[अर्ध-विश्लेषणात्मक]] [[घिरा हुआ सेट]] उपसमुच्चय का वर्ग बूलियन संचालन (मानक और नियमित) के तहत बंद है और अतिरिक्त संपत्ति प्रदर्शित करता है कि प्रत्येक अर्ध-विश्लेषणात्मक सेट [[स्तरीकरण (गणित)]] हो सकता है जो आयामों के असंबद्ध कोशिकाओं के संग्रह में हो सकता है 0,1 ,2,3. बिंदुओं, [[रेखा खंड]], त्रिकोणीय चेहरे (ज्यामिति), और [[चतुष्फलकीय]] तत्वों के संग्रह में अर्ध-विश्लेषणात्मक सेट का त्रिभुज (टोपोलॉजी) स्तरीकरण का उदाहरण है जो आमतौर पर उपयोग किया जाता है। ठोसता के संयोजी मॉडल को यह कहते हुए संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि अर्ध-विश्लेषणात्मक बाध्य उपसमुच्चय होने के अलावा, ठोस त्रि-आयामी [[टोपोलॉजिकल पॉलीहेड्रा]] हैं, विशेष रूप से सीमा के साथ तीन-आयामी ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड।<ref name = "Representations">{{cite journal |title= Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems|journal= ACM Computing Surveys|volume= 12|issue= 4|pages= 437–464|author=  Requicha, A.A.G. |year= 1980 |doi= 10.1145/356827.356833|s2cid= 207568300}}</ref> विशेष रूप से इसका तात्पर्य संयोजी सीमा की [[यूलर विशेषता]] से है<ref name = "Hatcher">{{cite book |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |title= Algebraic Topology|author=  Hatcher, A. |year= 2002 |publisher= Cambridge University Press |access-date=20 April 2010}}</ref> पॉलीहेड्रॉन का 2 है। सॉलिडिटी का कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड मॉडल भी [[जॉर्डन वक्र प्रमेय]] के परिणाम के रूप में ठोस अलग स्थान की सीमा को ठीक दो घटकों में गारंटी देता है। निर्माण करना असंभव है।
ठोस के रूप में सेट X ⊂ ℝ<sup>3</sup> के संयोजी लक्षण वर्णन में ओरिएंटेबल [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सेल कॉम्प्लेक्स]] के रूप में X का प्रतिनिधित्व करना सम्मिलित है जिससे कोशिकाएं अन्यथा असंख्य सातत्य में बिंदुओं के लिए परिमित स्थानिक पते प्रदान कर सकें।<ref name="Solid Modeling"/> यूक्लिडियन अंतरिक्ष के [[अर्ध-विश्लेषणात्मक]] [[घिरा हुआ सेट|बाध्य]] उपसमुच्चय का वर्ग बूलियन संचालन (मानक और नियमित) के अनुसार बंद है और अतिरिक्त संपत्ति प्रदर्शित करता है कि प्रत्येक अर्ध-विश्लेषणात्मक सेट को 0,1,2,3 आयामों के असंबद्ध कोशिकाओं के संग्रह में [[स्तरीकरण (गणित)|स्तरीकरण]] किया जा सकता है। बिंदुओं, [[रेखा खंड|रेखा खंडों]], त्रिकोणीय चेहरे (ज्यामिति), और [[चतुष्फलकीय]] तत्वों के संग्रह में अर्ध-विश्लेषणात्मक सेट का त्रिभुज स्तरीकरण का उदाहरण है जो सामान्यतः उपयोग किया जाता है। ठोसता के संयोजी मॉडल को यह कहते हुए संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि अर्ध-विश्लेषणात्मक बाध्य उपसमुच्चय होने के अतिरिक्त, ठोस त्रि-आयामी [[टोपोलॉजिकल पॉलीहेड्रा]] हैं, विशेष रूप से सीमा के साथ त्रि-आयामी ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड हैं।<ref name = "Representations">{{cite journal |title= Representations for Rigid Solids: Theory, Methods, and Systems|journal= ACM Computing Surveys|volume= 12|issue= 4|pages= 437–464|author=  Requicha, A.A.G. |year= 1980 |doi= 10.1145/356827.356833|s2cid= 207568300}}</ref> विशेष रूप से इसका तात्पर्य पॉलीहेड्रॉन की दहनशील सीमा की [[यूलर विशेषता]] 2 है।<ref name="Hatcher">{{cite book |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |title= Algebraic Topology|author=  Hatcher, A. |year= 2002 |publisher= Cambridge University Press |access-date=20 April 2010}}</ref> ठोसता का कॉम्बिनेटरियल मैनिफोल्ड मॉडल, [[जॉर्डन वक्र प्रमेय|जॉर्डन ब्रूवर प्रमेय]] के परिणामस्वरूप ठोस पृथक स्थान की सीमा को ठीक दो घटकों में गारंटी देता है, इस प्रकार गैर-कई गुना पड़ोस वाले सेट को समाप्त करना जिन्हें निर्माण करना असंभव माना जाता है।


ठोस पदार्थों के बिंदु-सेट और संयोजी मॉडल पूरी तरह से एक-दूसरे के साथ संगत होते हैं, एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जा सकते हैं, निरंतर या संयोजी गुणों पर निर्भर करते हुए आवश्यकतानुसार, और n आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। इस स्थिरता को सुविधाजनक बनाने वाली प्रमुख संपत्ति यह है कि ℝ के बंद नियमित उपसमुच्चय का वर्ग<sup>n</sup> सजातीय रूप से n-आयामी टोपोलॉजिकल पॉलीहेड्रा के साथ सटीक रूप से मेल खाता है। इसलिए, प्रत्येक एन-आयामी ठोस को इसकी सीमा द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है और सीमा में एन-1-आयामी पॉलीहेड्रॉन की मिश्रित संरचना होती है जिसमें सजातीय रूप से एन-1-आयामी पड़ोस होते हैं।
ठोस पदार्थों के बिंदु-सेट और संयोजी मॉडल पूरी तरह से एक-दूसरे के साथ संगत होते हैं, एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जा सकते हैं, निरंतर या संयोजी गुणों पर निर्भर करते हुए आवश्यकतानुसार, और n आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। इस स्थिरता को सुविधाजनक बनाने वाली प्रमुख संपत्ति यह है कि ℝ<sup>''n''</sup> के बंद नियमित उपसमुच्चय का वर्ग सजातीय रूप से n-आयामी टोपोलॉजिकल पॉलीहेड्रा के साथ स्पष्ट रूप से मेल खाता है। इसलिए, प्रत्येक n-आयामी ठोस को इसकी सीमा द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है और सीमा में n-1-आयामी पॉलीहेड्रॉन की मिश्रित संरचना होती है जिसमें सजातीय रूप से n-1-आयामी पड़ोस होते हैं।


== ठोस प्रतिनिधित्व योजनाएँ ==
== ठोस प्रतिनिधित्व योजनाएँ ==
अनुमानित गणितीय गुणों के आधार पर, ठोस पदार्थों का प्रतिनिधित्व करने की कोई भी योजना यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अर्ध-विश्लेषणात्मक उपसमुच्चय के वर्ग के बारे में जानकारी प्राप्त करने की विधि है। इसका मतलब है कि सभी प्रतिनिधित्व एक ही ज्यामितीय और सामयिक डेटा को [[डेटा संरचना]] के रूप में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। सभी प्रतिनिधित्व योजनाओं को प्रिमिटिव के सेट पर परिमित संख्या में संचालन के संदर्भ में व्यवस्थित किया जाता है। इसलिए, किसी विशेष प्रतिनिधित्व का मॉडलिंग स्थान परिमित है, और कोई एकल प्रतिनिधित्व योजना सभी प्रकार के ठोस पदार्थों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पूरी तरह से पर्याप्त नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[रचनात्मक ठोस ज्यामिति]] के माध्यम से परिभाषित ठोस को बहुत ही सरल मामलों को छोड़कर, अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र के अनुसार आदिम गति के [[ठोस झाडू]] के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यह आधुनिक ज्यामितीय मॉडलिंग प्रणालियों को ठोस पदार्थों की कई प्रतिनिधित्व योजनाओं को बनाए रखने और प्रतिनिधित्व योजनाओं के बीच कुशल रूपांतरण की सुविधा प्रदान करने के लिए मजबूर करता है।
अनुमानित गणितीय गुणों के आधार पर, ठोस पदार्थों का प्रतिनिधित्व करने की कोई भी योजना यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अर्ध-विश्लेषणात्मक उपसमुच्चय के वर्ग के बारे में जानकारी प्राप्त करने की विधि है। इसका अर्थ है कि सभी प्रतिनिधित्व एक ही ज्यामितीय और सामयिक डेटा को [[डेटा संरचना]] के रूप में व्यवस्थित करने के विभिन्न विधियाँ हैं। सभी प्रतिनिधित्व योजनाओं को प्रिमिटिव के सेट पर परिमित संख्या में संचालन के संदर्भ में व्यवस्थित किया जाता है। इसलिए, किसी विशेष प्रतिनिधित्व का मॉडलिंग स्थान परिमित है, और कोई एकल प्रतिनिधित्व योजना सभी प्रकार के ठोस पदार्थों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पूरी तरह से पर्याप्त नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, [[रचनात्मक ठोस ज्यामिति]] के माध्यम से परिभाषित ठोस को बहुत ही सरल स्थितियों को छोड़कर, अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र के अनुसार आदिम गति के [[ठोस झाडू]] के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यह आधुनिक ज्यामितीय मॉडलिंग प्रणालियों को ठोस पदार्थों की कई प्रतिनिधित्व योजनाओं को बनाए रखने और प्रतिनिधित्व योजनाओं के बीच कुशल रूपांतरण की सुविधा प्रदान करने के लिए विवश करता है।


नीचे ठोस मॉडल बनाने या प्रस्तुत करने के लिए उपयोग की जाने वाली सामान्य तकनीकों की सूची दी गई है।<ref name="Representations"/>आधुनिक मॉडलिंग सॉफ़्टवेयर ठोस का प्रतिनिधित्व करने के लिए इन योजनाओं के संयोजन का उपयोग कर सकता है।
नीचे ठोस मॉडल बनाने या प्रस्तुत करने के लिए उपयोग की जाने वाली सामान्य विधियों की सूची दी गई है।<ref name="Representations"/> आधुनिक मॉडलिंग सॉफ़्टवेयर ठोस का प्रतिनिधित्व करने के लिए इन योजनाओं के संयोजन का उपयोग कर सकता है।


=== आदिम उदाहरण ===
=== आदिम उदाहरण ===
यह योजना वस्तु के परिवारों की धारणा पर आधारित है, परिवार के प्रत्येक सदस्य को कुछ मापदंडों द्वारा दूसरे से अलग किया जाता है। प्रत्येक वस्तु परिवार को सामान्य आदिम कहा जाता है, और परिवार के भीतर अलग-अलग वस्तुओं को आदिम उदाहरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, बोल्ट का परिवार सामान्य आदिम है, और मापदंडों के विशेष सेट द्वारा निर्दिष्ट एकल बोल्ट आदिम उदाहरण है। शुद्ध पैरामीटरयुक्त इंस्टेंसिंग योजनाओं की विशिष्ट विशेषता नई संरचनाओं को बनाने के लिए उदाहरणों के संयोजन के साधनों की कमी है जो नई और अधिक जटिल वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं। इस योजना का अन्य मुख्य दोष प्रस्तुत ठोस पदार्थों के कंप्यूटिंग गुणों के लिए [[कलन विधि]] लिखने में कठिनाई है। एल्गोरिदम में काफी मात्रा में परिवार-विशिष्ट जानकारी का निर्माण किया जाना चाहिए और इसलिए प्रत्येक सामान्य आदिम को विशेष मामले के रूप में माना जाना चाहिए, जिससे कोई समान समग्र उपचार नहीं हो सके।
यह योजना वस्तु के परिवारों की धारणा पर आधारित है, परिवार के प्रत्येक सदस्य को कुछ मापदंडों द्वारा दूसरे से अलग किया जाता है। प्रत्येक वस्तु परिवार को सामान्य आदिम कहा जाता है, और परिवार के अंदर अलग-अलग वस्तुओं को आदिम उदाहरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, बोल्ट का परिवार सामान्य आदिम है, और मापदंडों के विशेष सेट द्वारा निर्दिष्ट एकल बोल्ट आदिम उदाहरण है। शुद्ध पैरामीटरयुक्त इंस्टेंसिंग योजनाओं की विशिष्ट विशेषता नई संरचनाओं को बनाने के लिए उदाहरणों के संयोजन के साधनों की कमी है जो नई और अधिक जटिल वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं। इस योजना का अन्य मुख्य दोष प्रस्तुत ठोस पदार्थों के कंप्यूटिंग गुणों के लिए [[कलन विधि]] लिखने में कठिनाई है। कलनविधि में अधिक मात्रा में परिवार-विशिष्ट जानकारी का निर्माण किया जाना चाहिए और इसलिए प्रत्येक सामान्य आदिम को विशेष स्थिति के रूप में माना जाना चाहिए, जिससे कोई समान समग्र उपचार नहीं हो सके।


=== स्थानिक अधिभोग गणना ===
=== स्थानिक अधिभोग गणना ===
यह योजना अनिवार्य रूप से ठोस द्वारा व्याप्त स्थानिक कोशिकाओं की सूची है। कोशिकाएँ, जिन्हें स्वर भी कहा जाता है, निश्चित आकार के घन होते हैं और निश्चित स्थानिक ग्रिड में व्यवस्थित होते हैं (अन्य बहुफलकीय व्यवस्थाएँ भी संभव हैं लेकिन घन सबसे सरल हैं)। प्रत्येक सेल को बिंदु के निर्देशांक द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि सेल का केन्द्रक। आम तौर पर विशिष्ट स्कैनिंग ऑर्डर लगाया जाता है और निर्देशांक के संबंधित ऑर्डर किए गए सेट को स्थानिक सरणी कहा जाता है। स्थानिक सरणियाँ असंदिग्ध और अद्वितीय ठोस निरूपण हैं लेकिन 'मास्टर' या निश्चित अभ्यावेदन के रूप में उपयोग के लिए बहुत अधिक वर्बोज़ हैं। हालांकि, वे भागों के मोटे अनुमानों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं और ज्यामितीय एल्गोरिदम के प्रदर्शन को बेहतर बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, खासकर जब [[रचनात्मक ठोस ज्यामिति]] जैसे अन्य अभ्यावेदन के साथ प्रयोग किया जाता है।
यह योजना अनिवार्य रूप से ठोस द्वारा व्याप्त स्थानिक कोशिकाओं की सूची है। कोशिकाएँ, जिन्हें स्वर भी कहा जाता है, निश्चित आकार के घन होते हैं और निश्चित स्थानिक ग्रिड (अन्य बहुफलकीय व्यवस्थाएँ भी संभव हैं किन्तु घन सबसे सरल हैं) में व्यवस्थित होते हैं। प्रत्येक सेल को बिंदु के निर्देशांक द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे कि सेल का केन्द्रक। सामान्यतः विशिष्ट स्कैनिंग ऑर्डर लगाया जाता है और निर्देशांक के संबंधित ऑर्डर किए गए सेट को स्थानिक सरणी कहा जाता है। स्थानिक सरणियाँ असंदिग्ध और अद्वितीय ठोस निरूपण हैं किन्तु 'मास्टर' या निश्चित अभ्यावेदन के रूप में उपयोग के लिए बहुत अधिक वर्बोज़ हैं। चूंकि, वे भागों के मोटे अनुमानों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं और ज्यामितीय कलनविधि के प्रदर्शन को उत्तम बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है, विशेषकर जब [[रचनात्मक ठोस ज्यामिति]] जैसे अन्य अभ्यावेदन के साथ प्रयोग किया जाता है।


=== सेल अपघटन ===
=== सेल अपघटन ===
यह योजना ऊपर वर्णित ठोस पदार्थों के संयोजी (बीजीय सांस्थितिकीय) विवरणों से अनुसरण करती है। ठोस को उसके अपघटन द्वारा कई कोशिकाओं में दर्शाया जा सकता है। स्थानिक अधिभोग गणना योजनाएँ कोशिका अपघटन का विशेष मामला है जहाँ सभी कोशिकाएँ घनाकार होती हैं और नियमित ग्रिड में स्थित होती हैं। सेल अपघटन ठोस के कुछ [[टोपोलॉजिकल गुण]] की गणना के लिए सुविधाजनक तरीके प्रदान करते हैं जैसे कि इसके [[जुड़ा हुआ स्थान]] (टुकड़ों की संख्या) और [[जीनस (गणित)]] (छिद्रों की संख्या)। त्रिकोणीय के रूप में सेल अपघटन आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए 3डी परिमित तत्वों में उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व हैं। रोबोट मोशन प्लानिंग में अनुप्रयोगों के लिए अन्य सेल अपघटन जैसे व्हिटनी नियमित रूप से स्तरीकृत स्थान या मोर्स अपघटन का उपयोग किया जा सकता है।<ref name = "Complexity_planning">{{cite book |url=http://mitpress.mit.edu/catalog/item/default.asp?tid=4749&ttype=2 |title= रोबोट मोशन प्लानिंग की जटिलता|author=  Canny, John F. |year= 1987 |publisher= MIT press, ACM doctoral dissertation award |access-date=20 April 2010}}</रेफरी>
यह योजना ऊपर वर्णित ठोस पदार्थों के संयोजी विवरणों से अनुसरण करती है। ठोस को उसके अपघटन द्वारा कई कोशिकाओं में दर्शाया जा सकता है। स्थानिक अधिभोग गणना योजनाएँ कोशिका अपघटन का विशेष स्थिति है जहाँ सभी कोशिकाएँ घनाकार होती हैं और नियमित ग्रिड में स्थित होती हैं। सेल अपघटन ठोस के कुछ [[टोपोलॉजिकल गुण]] की गणना के लिए सुविधाजनक विधियाँ प्रदान करते हैं जैसे कि इसके [[जुड़ा हुआ स्थान|संयुक्तता]] (टुकड़ों की संख्या) और [[जीनस (गणित)|जीनस]] (छिद्रों की संख्या)। त्रिकोणीय के रूप में सेल अपघटन आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए 3डी परिमित तत्वों में उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व हैं। रोबोट मोशन प्लानिंग में अनुप्रयोगों के लिए अन्य सेल अपघटन जैसे व्हिटनी नियमित रूप से स्तरीकृत स्थान या मोर्स अपघटन का उपयोग किया जा सकता है।<ref name = "Complexity_planning">{{cite book |url=http://mitpress.mit.edu/catalog/item/default.asp?tid=4749&ttype=2 |title= रोबोट मोशन प्लानिंग की जटिलता|author=  Canny, John F. |year= 1987 |publisher= MIT press, ACM doctoral dissertation award |access-date=20 April 2010}}</रेफरी>


=== सरफेस मेश मॉडलिंग ===
=== सरफेस मेश मॉडलिंग ===
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=== स्वीपिंग ===
=== स्वीपिंग ===
व्यापक योजनाओं में सन्निहित मूल धारणा सरल है। अंतरिक्ष के माध्यम से चलने वाला सेट वॉल्यूम (ठोस) का पता लगा सकता है या स्वीप कर सकता है जिसे मूविंग सेट और उसके प्रक्षेपवक्र द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस तरह का प्रतिनिधित्व अनुप्रयोगों के संदर्भ में महत्वपूर्ण है जैसे कटर से निकाली गई सामग्री का पता लगाने के रूप में यह निर्दिष्ट प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, सापेक्ष गति से गुजरने वाले दो ठोस पदार्थों के गतिशील हस्तक्षेप की गणना, गति योजना, और यहां तक ​​​​कि कंप्यूटर ग्राफिक्स अनुप्रयोगों जैसे अनुरेखण में भी ब्रश की गति कैनवास पर चलती है। अधिकांश वाणिज्यिक सीएडी प्रणालियां स्वेप्ट सॉलिड्स के निर्माण के लिए (सीमित) कार्यक्षमता प्रदान करती हैं, जो ज्यादातर दो आयामी क्रॉस सेक्शन के रूप में होती हैं, जो स्पेस ट्रैजेक्टरी ट्रांसवर्सल पर सेक्शन में चलती हैं। हालाँकि, वर्तमान शोध ने तीन आयामी आकृतियों के पैरामीटर और यहां तक ​​​​कि बहु-पैरामीटर गतियों के कई अनुमानों को दिखाया है।
व्यापक योजनाओं में सन्निहित मूल धारणा सरल है। अंतरिक्ष के माध्यम से चलने वाला सेट वॉल्यूम (ठोस) का पता लगा सकता है या स्वीप कर सकता है जिसे मूविंग सेट और उसके प्रक्षेपवक्र द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस तरह का प्रतिनिधित्व अनुप्रयोगों के संदर्भ में महत्वपूर्ण है जैसे कटर से निकाली गई सामग्री का पता लगाने के रूप में यह निर्दिष्ट प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है, सापेक्ष गति से गुजरने वाले दो ठोस पदार्थों के गतिशील हस्तक्षेप की गणना, गति योजना, और यहां तक ​​​​कि कंप्यूटर ग्राफिक्स अनुप्रयोगों जैसे अनुरेखण में भी ब्रश की गति कैनवास पर चलती है। अधिकांश वाणिज्यिक सीएडी प्रणालियां स्वेप्ट सॉलिड्स के निर्माण के लिए (सीमित) कार्यक्षमता प्रदान करती हैं, जो अधिकतर दो आयामी क्रॉस सेक्शन के रूप में होती हैं, जो अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र अनुप्रस्थ पर सेक्शन में चलती हैं। चूँकि, वर्तमान शोध ने तीन आयामी आकृतियों के पैरामीटर और यहां तक ​​कि बहु-पैरामीटर गतियों के कई अनुमानों को दिखाया है।


=== अंतर्निहित प्रतिनिधित्व ===
=== अंतर्निहित प्रतिनिधित्व ===
{{Main|Function representation}}
{{Main|फलन प्रतिनिधित्व}}
अंक X के सेट को परिभाषित करने का बहुत ही सामान्य तरीका [[विधेय (गणितीय तर्क)]] निर्दिष्ट करना है जिसका मूल्यांकन अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक्स को निहित रूप से परिभाषित किया गया है जिसमें वे सभी बिंदु शामिल हैं जो विधेय द्वारा निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करते हैं। विधेय का सबसे सरल रूप वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के संकेत पर स्थिति है जिसके परिणामस्वरूप समानता और असमानताओं द्वारा सेट का परिचित प्रतिनिधित्व होता है। उदाहरण के लिए, अगर <math>f= ax + by + cz + d</math> शर्तें <math>f(p) =0</math>, <math> f(p) > 0</math>, और <math>f(p) < 0</math> प्रतिनिधित्व करते हैं, क्रमशः, एक विमान और दो खुले रैखिक अर्ध-स्थान (ज्यामिति)। सरल विधेय के बूलियन संयोजनों द्वारा अधिक जटिल कार्यात्मक आदिम परिभाषित किए जा सकते हैं। इसके अलावा, [[रवाचेव समारोह]] का सिद्धांत | आर-फ़ंक्शंस ऐसे प्रतिनिधित्वों के रूपांतरण को किसी भी बंद अर्ध विश्लेषणात्मक सेट के लिए एकल फ़ंक्शन असमानता में बदलने की अनुमति देते हैं। इस तरह के प्रतिनिधित्व को बहुभुजीकरण एल्गोरिदम का उपयोग करके सीमा प्रतिनिधित्व में परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[मार्चिंग क्यूब्स]] एल्गोरिदम।
 
अंक X के सेट को परिभाषित करने का एक बहुत ही सामान्य विधि [[विधेय (गणितीय तर्क)|विधेय]] निर्दिष्ट करना है जिसका मूल्यांकन अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, X को निहित रूप से परिभाषित किया गया है जिसमें वे सभी बिंदु सम्मिलित हैं जो विधेय द्वारा निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करते हैं। विधेय का सबसे सरल रूप वास्तविक मूल्यवान फलन के संकेत पर स्थिति है जिसके परिणामस्वरूप समानता और असमानताओं द्वारा सेट का परिचित प्रतिनिधित्व होता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>f= ax + by + cz + d</math> शर्तें <math>f(p) =0</math>, <math> f(p) > 0</math>, और <math>f(p) < 0</math> क्रमशः समतल और दो खुले रेखीय अर्धस्थानों का प्रतिनिधित्व करता है। सरल विधेय के बूलियन संयोजनों द्वारा अधिक जटिल कार्यात्मक आदिम परिभाषित किए जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, [[रवाचेव समारोह|आर-फलन]] का सिद्धांत किसी भी बंद अर्ध विश्लेषणात्मक सेट के लिए इस तरह के प्रतिनिधित्वों के रूपांतरण को एकल फलन असमानता में बदलने की अनुमति देते हैं। इस तरह के प्रतिनिधित्व को बहुभुजीकरण कलनविधि का उपयोग करके सीमा प्रतिनिधित्व में परिवर्तित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, [[मार्चिंग क्यूब्स]] कलनविधि।


=== पैरामीट्रिक और फीचर-आधारित मॉडलिंग ===
=== पैरामीट्रिक और फीचर-आधारित मॉडलिंग ===
सुविधाओं को आंतरिक ज्यामितीय मापदंडों (लंबाई, चौड़ाई, गहराई आदि), स्थिति और अभिविन्यास, [[ज्यामितीय सहिष्णुता]], भौतिक गुणों और अन्य विशेषताओं के संदर्भ जैसी विशेषताओं से जुड़े पैरामीट्रिक आकार के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name = "Features">{{cite journal |title= Challenges in feature based manufacturing research |journal= Communications of the ACM |volume= 39 |issue= 2 |pages= 77–85 |author=  Mantyla, M., Nau, D. , and Shah, J.|year= 1996|doi= 10.1145/230798.230808 |s2cid= 3340804 |doi-access= free }}</ref> सुविधाएँ संबंधित उत्पादन प्रक्रियाओं और संसाधन मॉडल तक पहुँच भी प्रदान करती हैं। इस प्रकार, आदिम बंद नियमित सेटों की तुलना में सुविधाओं का शब्दार्थ उच्च स्तर है। सुविधाओं से आम तौर पर सीएडी को डाउनस्ट्रीम मैन्युफैक्चरिंग एप्लिकेशन के साथ जोड़ने और डिजाइन डेटा के पुन: उपयोग के लिए [[डेटाबेस]] को व्यवस्थित करने के लिए आधार बनाने की उम्मीद की जाती है। इंजीनियरिंग में जटिल वस्तुओं की प्रणालियों का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए पैरामीट्रिक फीचर आधारित मॉडलिंग को अक्सर रचनात्मक बाइनरी सॉलिड ज्योमेट्री (CSG) के साथ जोड़ा जाता है।
सुविधाओं को आंतरिक ज्यामितीय मापदंडों (लंबाई, चौड़ाई, गहराई आदि), स्थिति और अभिविन्यास, [[ज्यामितीय सहिष्णुता]], भौतिक गुणों और अन्य विशेषताओं के संदर्भ जैसी विशेषताओं से जुड़े पैरामीट्रिक आकार के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name = "Features">{{cite journal |title= Challenges in feature based manufacturing research |journal= Communications of the ACM |volume= 39 |issue= 2 |pages= 77–85 |author=  Mantyla, M., Nau, D. , and Shah, J.|year= 1996|doi= 10.1145/230798.230808 |s2cid= 3340804 |doi-access= free }}</ref> सुविधाएँ संबंधित उत्पादन प्रक्रियाओं और संसाधन मॉडल तक पहुँच भी प्रदान करती हैं। इस प्रकार, आदिम बंद नियमित सेटों की तुलना में सुविधाओं का शब्दार्थ उच्च स्तर है। सुविधाओं से सामान्यतः सीएडी को डाउनस्ट्रीम मैन्युफैक्चरिंग अनुप्रयोग के साथ जोड़ने और डिजाइन डेटा के पुन: उपयोग के लिए [[डेटाबेस]] को व्यवस्थित करने के लिए आधार बनाने की आशा की जाती है। इंजीनियरिंग में जटिल वस्तुओं की प्रणालियों का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए पैरामीट्रिक फीचर आधारित मॉडलिंग को अधिकांशतः रचनात्मक बाइनरी ठोस ज्योमेट्री (सीएसजी) के साथ जोड़ा जाता है।


== ठोस मॉडलर्स का इतिहास ==
== ठोस मॉडलर्स का इतिहास ==
सॉलिड मॉडलर्स के ऐतिहासिक विकास को पूरे कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन के संदर्भ में देखा जाना चाहिए, प्रमुख मील के पत्थर अनुसंधान प्रणाली BUILD के विकास के बाद इसके वाणिज्यिक स्पिन-ऑफ रोमुलस (बी-रेप सॉलिड मॉडलर) के रूप में आगे बढ़े। [[पैरासॉलिड]], एसीआईएस और [[ठोस मॉडलिंग समाधान]] के विकास को प्रभावित करते हैं। [[स्वतंत्र राष्ट्रों का राष्ट्रमंडल]] (CIS) में पहले सीएडी डेवलपर्स में से एक, ASCON ने 1990 के दशक में अपने स्वयं के ठोस म