हॉसडॉर्फ आयाम: Difference between revisions

[[File:KochFlake.svg|thumb|upright=1.25|गैर-पूर्णांक आयामों का उदाहरण। [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake कोच हिमपात] के पहले चार [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Iteration पुनरावृत्तियों], जहां प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, सभी मूल रेखा खंडों को चार के साथ बदल दिया जाता है, प्रत्येक एक स्व-समान प्रतिलिपि जो मूल की लंबाई 1/3 है। हॉसडॉर्फ आयाम की एक औपचारिकता D = (log N)/(log) होने के पहले पुनरावृत्ति के बाद आयाम, D की गणना करने के लिए स्केल फैक्टर (S = 3) और स्वयं-समान वस्तुओं की संख्या (N = 4) का उपयोग करती है। एस) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26।<ref name=CampbellAnnenberg15>MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension," at ''Annenberg Learner:MATHematics illuminated'', see [http://www.learner.org/courses/mathilluminated/units/5/textbook/06.php], accessed 5 March 2015.</ref>]]गणित में, हॉसडॉर्फ आयाम 'खुरदरापन', या अधिक विशेष रूप से, फ्रैक्टल आयाम का एक माप है, जिसे पहली बार 1918 में [[ गणितज्ञ ]] [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Felix_Hausdorff फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़] द्वारा पेश किया गया था।<ref>{{Cite journal |arxiv = 1101.1444|doi = 10.1214/11-STS370|title = भग्न आयाम के अनुमानक: समय श्रृंखला और स्थानिक डेटा की खुरदरापन का आकलन|journal = Statistical Science|volume = 27|issue = 2|pages = 247–277|year = 2012|last1 = Gneiting|first1 = Tilmann|last2 = Ševčíková|first2 = Hana|last3 = Percival|first3 = Donald B.|s2cid = 88512325}}</ref> उदाहरण के लिए, एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Point_(geometry) बिंदु (ज्यामिति)] का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Line_segment रेखा खंड] का 1 है, एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Square वर्ग] का 2 है, और एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cube घन] का 3 है। यानी, उन बिंदुओं के सेट के लिए जो एक समतल आकृति या एक आकार को परिभाषित करते हैं जिसमें कोनों की संख्या छोटी होती है - पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार- हॉसडॉर्फ आयाम आयाम की सामान्य भावना से सहमत एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Integer पूर्णांक] है, जिसे [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inductive_dimension आगमनात्मक आयाम] भी कहा जाता है। हालांकि, सूत्र भी विकसित किए गए हैं जो अन्य कम सरल वस्तुओं के आयाम की गणना की अनुमति देते हैं, जहां पूरी तरह से [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Scaling_(geometry) प्रवर्धन] और [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Self-similarity आत्म-समानता] के उनके गुणों के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि विशेष वस्तुएं- [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractal भग्न] सहित - गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हैं। [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Abram_Besicovitch अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच] द्वारा महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति के कारण अत्यधिक अनियमित या मोटे सेट के लिए आयामों की गणना की अनुमति देना, इस आयाम को सामान्यतः पर हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के रूप में भी जाना जाता है।

अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ आयाम एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_space मात्रिक स्थान] से एक आयामी संख्या है, अर्थात् एक सेट जहां सभी सदस्यों के बीच की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा] से खींचा गया है, <math>\overline{\mathbb{R}}</math>, आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मात्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-ऋणात्मक मूल्यों में मान लेता है।

गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्य करता है। अर्थात्, n-आयामी [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space आंतरिक उत्पाद स्थान] का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर होता है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractal फ्रैक्टल] में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake कॉख हिमकण] एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को एकांक लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता '''है,''' नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और 4 की इकाई लंबाई का पुनरावृति इस आधार खंड को फिर से एक अंतिम वस्तु छोड़ने के लिए हटा दिया जाता '''है'''।<ref>Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (online), see [http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ksnow/ksnow.htm], accessed 5 March 2015.</ref> अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल के रूप में 1/S = 1/3 है।<ref name="CampbellAnnenberg15" />दूसरे तरीके से वर्णन किया गया है, हमने यूक्लिडियन आयाम, D के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई बढ़कर N=SD हो जाए।<sup><ref name="ClaytonSCTPLS96">Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension," ''Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos'' (workshop), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences annual meeting, June 28, 1996, Berkeley, California, see [http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html], accessed 5 March 2015.</ref>

<sup><big>इस समीकरण को D के लिए आसानी से हल किया जाता है, आंकड़ों में दिखाई देने वाले लघुगणक (या [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm प्राकृतिक लघुगणक] ) के अनुपात की उपज, और कॉख और अन्य आंशिक मामलों में-इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम देना।</big>

=== अन्तर्ज्ञान ===

एक ज्यामितीय वस्तु X के आयाम की सहजज्ञ अवधारणा स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जिसे किसी को अंदर एक अद्वितीय बिंदु चुनने की आवश्यकता होती है। तथापि, दो मापदंडों द्वारा विनिर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा विनिर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry) वास्तविक समतल] के [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cardinality गणनांक] [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Number_line वास्तविक रेखा] के गणनांक के बराबर है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो नंबरों के अंकों को अंतर्गुफन करना शामिल है। जो की एक ही जानकारी को कूटबद्ध करता है)। एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve स्थल-भरण वक्र] के उदाहरण से पता चलता है कि कोई भी वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर प्रक्षेपित फलन के लिए प्रतिचित्र कर सकता है (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि सभी संख्याओं के जोड़ों को कवर किया जाए) और लगातार, इसलिए कि एक आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूर्ण तरह से भर दे।

प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं पर कई बार प्रहार करता है और इसमें निरंतर प्रतीलोम नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से प्रतिचित्र करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उल्टा हो। सांस्थितिक परिमाप जिसे [[ लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम | लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम]] भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहाँ n + 1 गेंदें अधिव्यापन होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को समाविष्ट करता है, तो कुछ बिंदुओं को आयाम n = 1 देते हुए दो बार समाविष्ट किया जाना चाहिए।

लेकिन सांस्थितिक आयाम एक स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास आकार) का एक बहुत ही अशोधित माप है। एक वक्र जो लगभग स्थान-भरने वाला है, अभी भी सांस्थितिक आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक आंशिक में एक पूर्णांक सांस्थितिक आयाम होता है, लेकिन समष्टि की मात्रा के संदर्भ में, यह एक उच्च-आयामी स्थान की तरह व्यवहार करता है।

हॉसडॉर्फ आयाम, अंकों के बीच की दूरी, [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_space मापीय] स्थान को ध्यान में रखते हुए स्थान के समष्टि आकार को मापता है। त्रिज्या की [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics) गेंद (गणित)] की संख्या N(r) पर विचार करें, जो X को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक है। जब r बहुत छोटा होता है, N(r) 1/r के साथ बहुपदीय रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए गए X लिए, हॉसडॉर्फ आयाम अद्वितीय संख्या d है जैसे कि N(r) 1/r^d के रूप में बढ़ता है जैसे ही r शून्य के करीब पहुंचता है। यथावत्, यह [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski%E2%80%93Bouligand_dimension पेटी-गणन आयाम] को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर होता है, जब मूल्य d विकास दर के बीच एक महत्वपूर्ण सीमा होती है जो समष्टि समाविष्ट करने के लिए अपर्याप्त होती है, और विकास दर जो अत्यधिक होती है।

उन आकृतियों के लिए जो निर्बाध हैं, या कम संख्या में कोनों वाली आकृतियों के लिए, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार, हॉसडॉर्फ आयाम सांस्थितिक आयाम से सहमत एक पूर्णांक है। लेकिन [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot बेनोइट मंडेलब्रोट] ने देखा कि आंशिक, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयामों के साथ श्रेणी, प्रकृति में हर जगह पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके द्वारा अपने आस-पास दिखाई देने वाली अधिकांश खुरदरी आकृतियों का उचित आदर्शीकरण निर्बाध आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि भग्न आदर्शित आकृतियों के संदर्भ में है:

बादल गोल नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल निर्बाध नहीं है, और न ही बिजली एक सीधी रेखा में यात्रा करती है।<ref name="mandelbrot">{{cite book  | last = Mandelbrot  | first = Benoît  | author-link = Benoit Mandelbrot  | title = नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री| publisher = W. H. Freeman  | series = Lecture notes in mathematics 1358  | year = 1982  | isbn = 0-7167-1186-9  | url-access = registration  | url = https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno  }}</ref>

 

{{main| हौसडॉर्फ  मापक}}

हॉसडॉर्फ आयाम की औपचारिक परिभाषा पहले [[:en:Hausdorff_measure|हॉसडॉर्फ माप]] को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो [[:en:Lebesgue_measure|लेबेस्ग माप]] का एक भिन्न-आयाम समधर्मी  है। सबसे पहले, एक [[:en:Outer_measure|बाहरी माप]] का निर्माण किया जाता है:

 

मान लीजिए कि X एक [[:en:Metric_space|मीट्रिक स्थल]] है। अगर S ⊂ X and d ∈ [0, ∞),

जहां सभी न्यूनतम कवरों पर सबसे अधिक लिया जाता है U_i S। हॉसडॉर्फ बाहरी माप को तब इस तरह परिभाषित किया जाता है <math>\mathcal{H}^d(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math>, और [[:en:Non-measurable_set|गैर मानपीय सेटों]] के लिए मानचित्रण का प्रतिबंध इसे एक माप के रूप में सही ठहराता है, जिसे D-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है।<ref>{{cite web| last1=Briggs| first1=Jimmy| last2=Tyree|first2=Tim| title=हॉसडॉर्फ उपाय| url=https://sites.math.washington.edu/~farbod/teaching/cornell/math6210pdf/math6210Hausdorff.pdf| date=3 December 2016| access-date=3 February 2022| publisher=University of Washington}}</ref>

 

==== हॉसडॉर्फ आयाम ====

हॉसडॉर्फ आयाम <math>\dim_{\operatorname{H}}{(X)}</math> एक्स के द्वारा परिभाषित किया गया है।

S की d-आयामी 'असीमित हॉसडॉर्फ सामग्री' द्वारा परिभाषित की गई है

दूसरे शब्दों में, <math>C_H^d(S)</math> हौसडॉर्फ माप का निर्माण किया है जहां कवरिंग सेटों को स्वेच्छा  से बड़े आकार की अनुमति है (यहां, हम मानक सम्मेलन का उपयोग करते हैं कि i[[:en:Infimum_and_supremum|nf Ø = ∞]])।<ref>{{Cite arXiv| last1=Farkas| first1=Abel| last2=Fraser| first2=Jonathan| title=हॉसडॉर्फ माप और हॉसडॉर्फ सामग्री की समानता पर| date=30 July 2015| class=math.MG| eprint=1411.0867}}</ref> हौसडॉर्फ माप और हौसडॉर्फ सामग्री दोनों का उपयोग एक सेट के आयाम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन यदि सेट का माप गैर-शून्य है, तो उनके वास्तविक मान असहमत हो सकते हैं।

एक्स को एक स्वेच्छाचारी वियोज्य स्पेस मात्रिक समष्टि होने दें। एक्स के लिए आगमनात्मक आयाम की एक [[:en:Topology|सांस्थितिक]] धारणा है जिसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। यह हमेशा एक पूर्णांक (या +∞) होता है और इसे dim . के रूप में दर्शाया जाता है_ind(एक्स)।

जहां Y मीट्रिक रिक्त स्थान पर [[:en:Homeomorphism|समरूपता]] से X तक होता है। दूसरे शब्दों में, X और Y में बिंदुओं का एक ही अंतर्निहित सेट होता है और मीट्रिक d_''Y'' Y का टोपोलॉजिकल रूप से d_''X'' के बराबर है ।

 

मिंकोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम के समान है, और कम से कम उसके जितना ब�