श्रेणी (गणित)

For other uses, see श्रेणी (बहुविकल्पी) § गणित.

गणित में, श्रेणी (कभी-कभी इसे ठोस श्रेणी से अलग करने के लिए सार श्रेणी कहा जाता है) "वस्तुओं" का एक संग्रह होता है जो "तीर" से जुड़ा होता है। श्रेणी में दो बुनियादी गुण होते हैं: सहचारिता रूप से तीरों की रचना करने की क्षमता और प्रत्येक वस्तु के लिए एक तत्समक तीर का अस्तित्व होते हैं। सरल उदाहरण समुच्चयों की श्रेणी है, जिनके वस्तु समुच्चय हैं और जिनके तीर कार्य हैं।

श्रेणी सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो सभी गणित को श्रेणियों के संदर्भ में सामान्य बनाने का प्रयास करता है, जो उनकी वस्तुओं और तीरों का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा को श्रेणियों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और ऐसा करने से अक्सर गणित के विभिन्न क्षेत्रों के बीच गहरी अंतर्दृष्टि और समानताएं प्रकट होती हैं। जैसे, श्रेणी सिद्धांत गणित के लिए सिद्धांत और अन्य प्रस्तावित स्वयं सिद्ध नींव स्थापित करने के लिए वैकल्पिक आधार प्रदान करता है। सामान्यतः, वस्तुएं और तीर किसी भी प्रकार की अमूर्त संस्थाएं हो सकती हैं, और श्रेणी की धारणा गणितीय संस्थाओं और उनके संबंधों का वर्णन करने के लिए एक मौलिक और अमूर्त तरीका प्रदान करती है।

गणित को औपचारिक बनाने के अलावा, संगणक विज्ञान में कई अन्य प्रणालियों को औपचारिक रूप देने के लिए श्रेणी सिद्धांत का भी उपयोग किया जाता है, जैसे प्रोग्रामिंग भाषाओं के शब्दार्थ ।

दो श्रेणियां समान हैं यदि उनके पास वस्तुओं का एक ही संग्रह है, तीरों का एक ही संग्रह है, और तीरों के किसी भी जोड़े को बनाने की एक ही सहयोगी विधि है। श्रेणी सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए दो अलग-अलग श्रेणियों को "समतुल्य" माना जा सकता है, भले ही उनकी संरचना बिल्कुल समान न हो।

सुप्रसिद्ध श्रेणियों को छोटे बड़े शब्द या संक्षिप्त रूप में बोल्ड या इटैलिक में दर्शाया जाता है: उदाहरणों में समुच्चय, समुच्चय की श्रेणी और समुच्चय फलन सम्मिलित हैं, वलय, वलय की श्रेणी और वलय समरूपता, और शीर्ष, सांस्थितिक समष्टि और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी। पिछली सभी श्रेणियों में तत्समक तीर के रूप में तत्समक मानचित्र और तीरों पर सहयोगी संचालन के रूप में संरचना है।

श्रेणी सिद्धांत पर उत्कृष्ट और अभी भी बहुत अधिक उपयोग किया जाने वाला पाठ सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा कार्यशील गणितज्ञ के लिए श्रेणियाँ है। अन्य संदर्भ नीचे दिए गए संदर्भों में दिए गए हैं। इस लेख की मूल परिभाषाएं इनमें से किसी भी पुस्तक के पहले कुछ अध्यायों में निहित हैं।

Group-like structures

	Totality	Associativity	Identity	Inverse	Commutativity
Semigroupoid	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Small category	Unneeded	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Groupoid	Unneeded	Required	Required	Required	Unneeded
Magma	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Quasigroup	Required	Unneeded	Unneeded	Required	Unneeded
Unital magma	Required	Unneeded	Required	Unneeded	Unneeded
Semigroup	Required	Required	Unneeded	Unneeded	Unneeded
Loop	Required	Unneeded	Required	Required	Unneeded
Monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Unneeded
Group	Required	Required	Required	Required	Unneeded
Commutative monoid	Required	Required	Required	Unneeded	Required
Abelian group	Required	Required	Required	Required	Required
^α The closure axiom, used by many sources and defined differently, is equivalent.

किसी भी मोनॉयड को एक विशेष प्रकार की श्रेणी के रूप में समझा जा सकता है (एक एकल वस्तु के साथ जिसका स्व-रूपवाद मोनॉयड के तत्वों द्वारा दर्शाया जाता है), और इसलिए कोई भी अग्रिम आदेश कर सकता है।

परिभाषा

श्रेणी की कई समान परिभाषाएँ हैं। सामान्यतः इस्तेमाल की जाने वाली परिभाषा इस प्रकार है। श्रेणी 'C' के होते हैं

• गणितीय वस्तुओं का वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) Ob(C),
• मोर्फिसंस (आकारिकी), या तीर, या वस्तुओं के बीच नक्शे का वर्ग hom(C),
• प्रांत, या स्रोत वस्तु वर्ग फलन $\mathrm {dom} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• कोडोमैन, या लक्ष्य वस्तु वर्ग फलन $\mathrm {cod} \colon \mathrm {hom} (C)\rightarrow \mathrm {ob} (C)$,
• हर तीन वस्तुओं a, b और c के लिए, द्विआधारी संक्रिया hom(a,b) × hom(b, c) → hom(a, c) को आकारिकी की रचना कहा जाता है, f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf के रूप में लिखा जाता है। (कुछ लेखक आरेखीय क्रम का उपयोग करते हैं f;g or fg लिखते हैं)।

नोट: यहाँ hom(a, b) hom(c) में मोर्फिसंस f के उपवर्ग को दर्शाता है जैसे कि $\mathrm {dom} (f)=a$ तथा $\mathrm {cod} (f)=b$. इस तरह के आकारिकी को अक्सर f : a → b के रूप में लिखा जाता है।

ऐसा है कि निम्नलिखित स्वयंसिद्ध धारण करते हैं:

• (सहचारिता) यदि f : a → b, g : b → c और h : c → d तो h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, और
• (तत्समक (गणित) ) प्रत्येक वस्तु x के लिए, आकृति मौजूद है 1_x : x → x (कुछ लेखक id_x लिखते हैं) x के लिए तत्समक आकृतिवाद कहलाता है, जैसे कि प्रत्येक आकारिकी f : a → x को संतुष्ट करता है1_x ∘ f = f, और प्रत्येक रूपवाद g : x → b, को संतुष्ट करता है g ∘ 1_x = g

हम f: a → b लिखते हैं, और हम कहते हैं कि f, a से b तक एक आकारिकी है। हम hom(a, b) (या hom_C(a, b) जब भ्रम हो सकता है कि किस श्रेणी के hom(a, b) को संदर्भित करता है) सभी रूपों के 'होम-वर्ग' को a से b तक दर्शाता है। इन स्वयंसिद्धों से, कोई यह साबित कर सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक तत्समक रूपवाद है। कुछ लेखक परिभाषा की थोड़ी भिन्नता का उपयोग करते हैं जिसमें प्रत्येक वस्तु को संबंधित तत्समक रूपवाद के साथ तत्समका जाता है।

छोटी और बड़ी श्रेणियां

श्रेणी C को छोटा कहा जाता है यदि दोनों ob(C) और hom(C) वास्तव में समुच्चय हैं और उचित वर्ग नहीं हैं, और अन्यथा बड़े हैं। स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है, जिसमें सभी वस्तुओं a और b के लिए, hom-वर्ग hom(a, b) समुच्चय है, जिसे होमसेट कहा जाता है। गणित में कई महत्वपूर्ण श्रेणियां (जैसे समुच्चय की श्रेणी), हालांकि छोटी नहीं हैं, कम से कम स्थानीय रूप से छोटी हैं। चूंकि, छोटी श्रेणियों में, वस्तुएं एक समुच्चय बनाती हैं, एक छोटी श्रेणी को एक मोनोइड के समान बीजगणितीय संरचना के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन क्लोजर (गणित) गुणों की आवश्यकता के बिना। दूसरी ओर बड़ी श्रेणियों का उपयोग बीजीय संरचनाओं की "संरचनाएं" बनाने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण

सभी समुच्चयों का वर्ग (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच के सभी कार्यों के साथ (आकृति के रूप में), जहां मोर्फिसंस की संरचना सामान्य कार्य संरचना है, बड़ी श्रेणी, समुच्चय बनाती है। यह गणित में सबसे बुनियादी और सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली श्रेणी है। रिले श्रेणी में सभी समुच्चय (वस्तुओं के रूप में) उनके बीच द्विआधारी संबंधों के साथ होते हैं (रूपों के रूप में)। कार्यों के बजाय संबंध (गणित) से सार निकालने से रूपक (श्रेणी सिद्धांत), श्रेणियों का एक विशेष वर्ग प्राप्त होता है।

किसी भी वर्ग को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसका केवल रूपवाद ही तत्समक रूप है। ऐसी श्रेणियों को असतत श्रेणी कहा जाता है। किसी दिए गए समुच्चय I के लिए, I पर असतत श्रेणी वह छोटी श्रेणी है जिसमें I के तत्व वस्तुओं के रूप में होते हैं और केवल तत्समक आकारिकी रूपवाद के रूप में होती है। असतत श्रेणियां सबसे सरल प्रकार की श्रेणी हैं।

कोई भी पूर्व-आदेशित समुच्चय (P, ≤) छोटी श्रेणी बनाता है, जहाँ वस्तुएँ P के सदस्य हैं, मोर्फिसंस x ≤ y होने पर x से y की ओर इशारा करते हुए तीर हैं। इसके अलावा, यदि ≤ प्रतिसममितीय है, तो किन्हीं दो वस्तुओं के बीच अधिकतम रूपवाद हो सकता है। तत्समक मॉर्फिज्म के अस्तित्व और मॉर्फिज्म की कंपोजिबिलिटी की गारंटी प्रतिक्रियात्मकता और अग्रिम आदेश की संक्रामिता द्वारा दी जाती है। उस तर्क से, किसी भी आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय और किसी भी समकक्ष संबंध को एक छोटी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है। आदेशित समुच्चय के रूप में देखे जाने पर किसी भी क्रम संख्या को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है।

कोई भी मोनोइड (एकल सहयोगी द्विआधारी संक्रिया और तत्समक तत्व के साथ कोई बीजगणितीय संरचना) एक वस्तु x के साथ एक छोटी श्रेणी बनाती है। (यहाँ, x कोई निश्चित समुच्चय है।) x से x तक के मोर्फिसंस ठीक मोनोइड के तत्व हैं, x की तत्समक मॉर्फिज्म मोनोइड की तत्समक है, और मोर्फिसंस की श्रेणीबद्ध संरचना मोनोइड संचालन द्वारा दी गई है। मोनोइड्स के बारे में कई परिभाषाएँ और प्रमेय श्रेणियों के लिए सामान्यीकृत किए जा सकते हैं।

इस तरह किसी भी समूह (गणित) को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है जिसमें एक ही वस्तु होती है जिसमें प्रत्येक रूपवाद उलटा होता है, यानी, प्रत्येक रूपवाद के लिए एक आकृतिवाद होता है जो संरचना के तहत एफ के विपरीत बाएं और दाएं दोनों होता है। रूपवाद का उल्टा अर्थ समरूपता कहलाता है।

ग्रुपॉइड एक श्रेणी है जिसमें प्रत्येक रूपवाद एक समरूपता है। ग्रुपॉइड समूहों, समूह क्रिया (गणित) और तुल्यता संबंधों के सामान्यीकरण हैं। दरअसल, श्रेणी की दृष्टि से ग्रुपॉइड और ग्रुप के बीच एकमात्र अंतर यह है कि ग्रुपॉइड में एक से अधिक वस्तु हो सकते हैं लेकिन ग्रुप में केवल एक ही होना चाहिए। सांस्थितिक समष्टि X पर विचार करें और X के आधार बिंदु $x_{0}$ को ठीक करें, फिर $\pi _{1}(X,x_{0})$ सांस्थितिक समष्टि X और आधार बिंदु $x_{0}$, का मूलभूत समूह है, और एक समुच्चय के रूप में इसमें समूह की संरचना होती है, यदि फिर आधार बिंदु $x_{0}$ को X के सभी बिंदुओं पर चलने दें, और सभी का मिलन करें $\pi _{1}(X,x_{0})$,तो हमें जो समुच्चय मिलता है उसमें केवल ग्रुपॉइड की संरचना होती है (जिसे X का मौलिक समूह कहा जाता है): दो प्रस्पंद (समरूपता के तुल्यता संबंध के तहत) हो सकता है कि उनका आधार बिंदु समान न हो इसलिए वे एक दूसरे से गुणा नहीं कर सकते। श्रेणी की भाषा में, इसका मतलब है कि यहां दो आकारिकी में एक ही स्रोत वस्तु (या लक्ष्य वस्तु नहीं हो सकती है, क्योंकि इस मामले में किसी भी रूपवाद के लिए स्रोत वस्तु और लक्ष्य वस्तु समान हैं: आधार बिंदु) इसलिए वे एक दूसरे के साथ रचना नहीं कर सकते।

निर्देशित ग्राफ।

कोई भी निर्देशित ग्राफ जनरेटिंग समुच्चय छोटी श्रेणी समुच्चय करता है: वस्तु ग्राफ़ (लेखाचित्र) के शिराबिन्दु (ग्राफ़ सिद्धांत) हैं, और मोर्फिसंस ग्राफ़ में पथ हैं ( प्रस्पंद (ग्राफ़ सिद्धांत) के साथ संवर्धित) जहाँ मोर्फिसंस संरचना पथों का संयोजन है। ऐसी श्रेणी को ग्राफ द्वारा उत्पन्न मुक्त श्रेणी कहा जाता है।

मॉर्फिज्म के रूप में एकदिष्ट फलन वाले सभी अग्रिम आदेश किए गए समुच्चयों का वर्ग एक श्रेणी, ऑर्ड बनाता है। यह एक ठोस श्रेणी है, यानी समुच्चय पर किसी प्रकार की संरचना जोड़कर प्राप्त की गई श्रेणी, और यह आवश्यक है कि मोर्फिसंस ऐसे कार्य हैं जो इस अतिरिक्त संरचना का सम्मान करते हैं।

समूह समरूपता के साथ सभी समूहों का वर्ग आकारिकी के रूप में और संरचना संचालन के रूप में कार्य संरचना एक बड़ी श्रेणी 'बनाती है, जीआरपी। ऑर्ड की तरह, जीआरपी एक ठोस श्रेणी है। श्रेणीएबी, जिसमें सभी एबेलियन समूह और उनके समूह समरूपता सम्मिलित हैं, जीआरपी की एक पूर्ण उपश्रेणी है, और एक एबेलियन श्रेणी का प्रतिमान है। ठोस श्रेणियों के अन्य उदाहरण निम्न तालिका द्वारा दिए गए हैं।

Category	Objects	मोर्फिसंस
Grp	groups	group homoमोर्फिसंस
Mag	magmas	magma homoमोर्फिसंस