अनुक्रम सीमा: Difference between revisions

{{Short description|Value to which tends an infinite sequence}}

 

[[File:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|नियमित एन-पक्षीय [[बहुभुज|बहुभुजों]] के परिधि द्वारा दिए गए अनुक्रम जो [[यूनिट सर्कल]] को घेरते हैं, सर्कल के परिधि के बराबर सीमा होती है, अर्थात <math>2\pi r</math>. अन्तर्लिखित बहुभुजों के लिए संबंधित अनुक्रम की एक ही सीमा है।]]<div वर्ग="अंगूठा" दायाँ><div class= थम्बिनर स्टाइल= चौड़ाई:252px; >

<div शैली = चौड़ाई: 240 पीएक्स; फ़ॉन्ट-परिवार: एरियल; फ़ॉन्ट-आकार: 12 पीएक्स; फोंट की मोटाई: बोल्ड; पृष्ठभूमि: #fff; >

सकारात्मक [[पूर्णांक]] के रूप में <math>n</math> बड़ा और बड़ा हो जाता है, मूल्य <math>n\cdot \sin\left(\tfrac1{n}\right)</math> के करीब हो जाता है <math>1</math>. हम कहते हैं कि अनुक्रम की सीमा <math>n\cdot \sin\left(\tfrac1{n}\right)</math> बराबरी <math>1</math>.

गणित में, एक अनु[[क्रम]] की सीमा वह मान है जो किसी अनुक्रम के पदों की ओर प्रवृत्त होता है, और अक्सर इसका उपयोग करके निरूपित किया जाता है <math>\lim</math> प्रतीक (जैसे, <math>\lim_{n \to \infty}a_n</math>).<ref name="Courant (1961), p. 29">Courant (1961), p. 29.</ref> यदि ऐसी सीमा मौजूद है, तो अनुक्रम को अभिसरण कहा जाता है।<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=अभिसरण अनुक्रम|url=https://mathworld.wolfram.com/ConvergentSequence.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> एक क्रम जो अभिसरण नहीं करता है उसे अपसारी कहा जाता है।<ref>Courant (1961), p. 39.</ref> एक अनुक्रम की सीमा को मौलिक धारणा कहा जाता है जिस पर संपूर्ण [[गणितीय विश्लेषण]] अंततः टिका होता है।<ref name="Courant (1961), p. 29"/>

सीमाओं को किसी भी [[मीट्रिक स्थान]] या [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर [[वास्तविक संख्या]] में पहली बार सामना किया जाता है।

एलिया के यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ज़ेनो के विरोधाभासों को सूत्रबद्ध करने के लिए प्रसिद्ध हैं।

ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट ने अपने काम ओपस  [[जियोमीट्रिक श्रंखला]] (1647) में एक ज्यामितीय श्रृंखला की सीमा (टर्मिनस) की पहली परिभाषा दी: "एक प्रगति का टर्मिनस श्रृंखला का अंत है, जो कोई भी प्रगति तक नहीं पहुंच सकता है, भले ही वह अनंत में जारी है, लेकिन जिस तक वह एक दिए गए खंड की तुलना में अधिक निकट पहुंच सकती है।"<ref>Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.</ref> [[आइजैक न्यूटन]] ने अनंत श्रृंखला के साथ विश्लेषण (1669 में लिखा गया, पांडुलिपि में परिचालित, 1711 में प्रकाशित), प्रवाह और अनंत श्रृंखला की विधि (1671 में लिखा गया, 1736 में अंग्रेजी अनुवाद में प्रकाशित, लैटिन मूल बहुत बाद में प्रकाशित) पर अपने कार्यों में श्रृंखला से निपटा। और ट्रैक्टेटस डी क्वाडराटुरा कर्वारम (1693 में लिखा गया, 1704 में उनके ऑप्टिक्स के परिशिष्ट के रूप में प्रकाशित)। बाद के काम में, न्यूटन (x + o)n के द्विपद विस्तार पर विचार करता है, जिसे वह तब सीमा के रूप में लेते हुए रैखिक करता है, जब o 0 की ओर जाता है।       

18वीं शताब्दी में, [[लियोनहार्ड यूलर]] जैसे [[गणितज्ञ]] सही समय पर रुक कर कुछ भिन्न श्रृंखलाओं का योग करने में सफल रहे; जब तक इसकी गणना की जा सकती है, तब तक उन्हें इस बात की ज्यादा चिंता नहीं थी कि कोई सीमा मौजूद है या नहीं। सदी के अंत में, [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] ने अपने थ्योरी डेस फोंक्शन्स एनालिटिक्स (1797) में कहा कि कठोरता की कमी ने कलन में और विकास को रोक दिया। [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] ने हाइपरज्यामेट्रिक [[हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] (1813) के अपने एट्यूड में पहली बार उन स्थितियों की जांच की जिसके तहत एक श्रृंखला एक सीमा तक परिवर्तित हो गई।     

एक सीमा की आधुनिक परिभाषा (किसी भी ε के लिए एक इंडेक्स एन मौजूद है ताकि ...) [[बर्नार्ड बोलजानो]] (डेर बिनोमिशे लेहर्सत्ज़, प्राग 1816, जो उस समय बहुत कम ध्यान दिया गया था) और 1870 के दशक में [[कार्ल वीयरस्ट्रास]] द्वारा दिया गया था। .   

{{see also|List of limits}}

*अगर <math>x_n = \frac{1}{n}</math>, तो <math>x_n \to 0</math>.<ref group="proof">''Proof'': choose <math>N = \left\lfloor\frac{1}{\varepsilon}\right\rfloor + 1</math> (the [[Floor and ceiling functions|floor function]]). For every <math>n \geq N</math>, <math>|x_n - 0| \le x_N = \frac{1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor + 1} < \varepsilon</math>.</ref><ref name=":0" />*यदि <math>x_n = \frac{1}{n}</math> जब <math>n</math> सम है, और <math>x_n = \frac{1}{n^2}</math> जब <math>n</math> विषम है, तो <math>x_n \to 0</math>. (यह तथ्य कि <math>x_{n+1} > x_n</math> जब भी <math>n</math> विषम है अप्रासंगिक है।)

दूसरे शब्दों में, निकटता के हर उपाय के लिए <math>\varepsilon</math>, अनुक्रम की शर्तें अंततः सीमा के करीब हैं। अनुक्रम  <math>(x_n)</math> को सीमा <math>x</math> की ओर अभिसरण या झुकाव कहा जाता है। .

File:Index.php?title=File:Folgenglieder im KOSY.svg|एक अनुक्रम का उदाहरण जो सीमा तक अभिसरण करता है <math>a</math>.

File:Index.php?title=File:Epsilonschlauch.svg|चाहे जो भी हो <math>\varepsilon > 0</math> हमारे पास एक इंडेक्स है <math>N_0</math>, ताकि अनुक्रम बाद में पूरी तरह से एप्सिलॉन ट्यूब में हो <math>(a-\varepsilon,a+\varepsilon)</math>.

File:Index.php?title=File:Epsilonschlauch klein.svg|एक छोटे के लिए भी है <math>\varepsilon_1 > 0</math> एक अनुक्रमणिका <math>N_1</math>, ताकि क्रम बाद में एप्सिलॉन ट्यूब के अंदर हो <math>(a-\varepsilon_1,a+\varepsilon_1)</math>.

File:Index.php?title=File:Epsilonschlauch2.svg|प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon > 0</math> एप्सिलॉन ट्यूब के बाहर केवल सूक्ष्म रूप से कई अनुक्रम सदस्य होते हैं।

* जब यह मौजूद होता है, तो अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है।<ref name=":0" />*क्रमों की सीमाएँ सामान्य अंकगणित#अंकगणितीय संक्रियाओं के संबंध में अच्छा व्यवहार करती हैं। यदि <math>\lim_{n\to\infty} a_n</math> तथा <math>\lim_{n\to\infty} b_n</math> मौजूद है, तो

*किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n\to\infty}x_n</math> मौजूद है, तो <math>\lim_{n\to\infty} f \left(x_n \right)</math> भी मौजूद है। वास्तव में, कोई भी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) f निरंतर है अगर और केवल अगर यह अनुक्रमों की सीमाओं को संरक्षित करता है (हालांकि निरंतरता के अधिक सामान्य विचारों का उपयोग करते समय यह जरूरी नहीं है)।

*([[मोनोटोन अभिसरण प्रमेय]]) यदि <math>a_n</math> अनुक्रम है#बाध्य और अनुक्रम#सभी के लिए बढ़ता और घटता है <math>n</math> कुछ से बड़ा <math>N</math>, तो यह अभिसरण है।

एक क्रम <math>(x_n)</math> कहा जाता है कि अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, लिखा हुआ है

: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>K</math>, एक प्राकृतिक संख्या है <math>N</math> जैसे कि हर प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n > K</math>; अर्थात्, अनुक्रम शब्द अंततः किसी निश्चित से बड़े होते हैं <math>K</math>.

इसी तरह, हम कहते हैं कि एक अनुक्रम माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है, लिखित

: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>K</math>, एक प्राकृतिक संख्या है <math>N</math> जैसे कि हर प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n < K</math>; अर्थात्, अनुक्रम शब्द अंततः किसी निश्चित से छोटे होते हैं <math>K</math>.

यदि कोई अनुक्रम अनंत या माइनस अनंत की ओर जाता है, तो यह अपसारी है। हालाँकि, एक अपसारी अनुक्रम को प्लस या माइनस इन्फिनिटी और अनुक्रम की आवश्यकता नहीं है <math>x_n=(-1)^n</math> ऐसा ही एक उदाहरण देता है।

== मीट्रिक रिक्त स्थान ==

एक बिंदु <math>x</math> मीट्रिक स्थान का <math>(X, d)</math> क्रम की सीमा है <math>(x_n)</math> यदि:

: प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0</math>, एक प्राकृतिक संख्या है <math>N</math> जैसे कि, हर प्राकृतिक संख्या के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>d(x_n, x) < \varepsilon </math>.

*जब यह अस्तित्व में होता है, तो एक अनुक्रम की सीमा अद्वितीय होती है, क्योंकि अलग-अलग बिंदुओं को कुछ सकारात्मक दूरी से अलग किया जाता है, इसलिए <math>\varepsilon </math> इस दूरी के आधे से कम, अनुक्रम शब्द दूरी के भीतर नहीं हो सकते <math>\varepsilon </math> दोनों बिंदुओं का।

*किसी भी सतत फलन f के लिए, यदि <math>\lim_{n \to \infty} x_n</math> मौजूद है, तो <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}x_n \right)</math>. वास्तव में, एक फलन (गणित) f निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमों की सीमाओं को संरक्षित करता है।

{{main|Cauchy sequence}}

[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb| कॉची सीक्वेंस का प्लॉट (x_n), नीले रंग में दिखाया गया है <math>x_n</math> बनाम एन। दृष्टिगत रूप से, हम देखते हैं कि अनुक्रम एक सीमा बिंदु पर अभिसरण करता हुआ प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में पद n बढ़ने पर एक साथ निकट हो जाते हैं। वास्तविक संख्या में प्रत्येक कौशी क्रम किसी सीमा तक अभिसरित होता है।]]एक कॉशी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें अंततः मनमाने ढंग से एक साथ बंद हो जाती हैं, पर्याप्त रूप से कई प्रारंभिक शब्दों को छोड़ दिए जाने के बाद। [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] में अनुक्रमों के अध्ययन में, और विशेष रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]] में कॉची अनुक्रम की धारणा महत्वपूर्ण है। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉची कसौटी है: वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण होता है यदि और केवल अगर यह एक कॉची अनुक्रम है। यह अन्य पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान में सही रहता है।

== टोपोलॉजिकल स्पेस ==

एक बिंदु <math>x \in X</math> टोपोलॉजिकल स्पेस की <math>(X, \tau)</math> एक है{{visible anchor|Limit of a sequence in a topological space|text=limit}}या{{visible anchor|Limit point of a sequence|text=limit point}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=209-210}}{{sfn|Császár|1978|p=61}} अनुक्रम का <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> यदि:

: हर [[टोपोलॉजिकल पड़ोस]] के लिए <math>U</math> का <math>x</math>, कुछ मौजूद है <math>N \in \N</math> ऐसा कि प्रत्येक के लिए <math>n \geq N</math>, अपने पास <math>x_n \in U</math>.<ref>{{cite book|last1=Zeidler|first1=Eberhard|title=एप्लाइड कार्यात्मक विश्लेषण: मुख्य सिद्धांत और उनके अनुप्रयोग|date=1995|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-0-387-94422-7|page=29|edition=1}}</ref>

यह मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए दी गई परिभाषा से मेल खाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक मीट्रिक स्थान है और <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी है <math>d</math>.

अंकों के अनुक्रम की एक सीमा <math>\left(x_n\right)_{n \in \N}</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>T</math> एक फ़ंक्शन की सीमा का एक विशेष मामला है # टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर कार्य: एक फ़ंक्शन का डोमेन है <math>\N</math> अंतरिक्ष में <math>\N \cup \lbrace + \infty \rbrace</math>, सजातीय रूप से विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली की [[प्रेरित टोपोलॉजी]] के साथ, एक फ़ंक्शन की रेंज है <math>T</math>, और फ़ंक्शन तर्क <math>n</math> आदत है <math>+\infty</math>, जो इस स्थान में एक सेट का एक सीमा बिंदु है <math>\N</math>.

हौसडॉर्फ अंतरिक्ष में, अनुक्रमों की सीमाएं अद्वितीय होती हैं जब भी वे मौजूद होती हैं। ध्यान दें कि गैर-हॉसडॉर्फ स्थानों में ऐसा होना जरूरी नहीं है; विशेष रूप से, यदि दो बिंदु <math>x</math> तथा <math>y</math> [[स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य]] हैं, फिर कोई भी क्रम जो अभिसरण करता है <math>x</math> में जुटना चाहिए <math>y</math> और इसके विपरीत।

== [[हाइपररियल नंबर]]