दशमलव: Difference between revisions

[[File:Decimal_digit.png|thumb|upright=1.2|दशमलव प्रणाली में संख्या का मान रखें]]दशमलव [[अंक प्रणाली]] (जिसे आधार-दस स्थितीय अंक प्रणाली और {{IPAc-en|ˈ|d|iː|n|ər|i}}<ref>{{OED|denary}}</ref> या दशकीय भी कहा जाता है) [[पूर्णांक]] और गैर-पूर्णांक [[संख्या]]ओं को दर्शाने के लिए मानक प्रणाली है। यह हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के गैर-पूर्णांक संख्या का विस्तार है।<ref>{{Cite journal |last=Cajori |first=Florian |date=Feb 1926 |title=The History of Arithmetic. Louis Charles Karpinski |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/358384 |journal=Isis |publisher=[[University of Chicago Press]] |volume=8 |issue=1 |pages=231–232 |doi=10.1086/358384 |issn=0021-1753}}</ref> दशमलव प्रणाली में संख्याओं को दर्शाने के तरीके को अक्सर दशमलव संकेतन के रूप में संदर्भित किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Yong |first=Lam Lay |url=http://dx.doi.org/10.1142/5425 |title=Fleeting Footsteps |last2=Se |first2=Ang Tian |date=April 2004 |publisher=[[World Scientific]] |isbn=978-981-238-696-0 |at=268 |doi=10.1142/5425 |access-date=March 17, 2022}}</ref>

एक दशमलव अंक (अक्सर केवल दशमलव या, कम सही ढंग से, दशमलव संख्या), आम तौर पर दशमलव अंक प्रणाली में एक संख्या के अंकन को संदर्भित करता है। दशमलव को कभी -कभी एक [[दशमलव विभाजक]] (आमतौर पर। या, {{math|25.9703}} या {{math|3,1415}} के रूप में) द्वारा पहचाना जा सकता है।<ref name=":1">{{Cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |date=March 10, 2022 |title=Decimal Point |url=https://mathworld.wolfram.com/DecimalPoint.html |url-status=live |access-date=March 17, 2022 |website=Wolfram MathWorld |language=en}}</ref> दशमलव विशेष रूप से दशमलव विभाजक के बाद विशेष रूप से अंकों को संदर्भित कर सकता है, जैसे कि {{math|3.14}} में {{pi}} का अनुमान हैदशमलव विभाजक के बाद शून्य-अंक किसी मान की शुद्धता को दर्शाने के उद्देश्य से काम करते हैं।

दशमलव प्रणाली में जिन संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, वे दशमलव अंश हैं। अर्थात्, {{math|''a''/10^''n''}} के रूप का [[अंश (गणित)|भिन्न (गणित)]] , जहाँ {{math|''a''}} एक पूर्णांक है, और {{math|''n''}} एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] है।

दशमलव विभाजक ([[दशमलव प्रतिनिधित्व]] देखें) के बाद अंकों के [[अनुक्रम (गणित)]] का उपयोग करके, दशमलव प्रणाली को किसी भी [[वास्तविक संख्या]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनंत दशमलव तक बढ़ाया गया है। इस संदर्भ में, दशमलव विभाजक के बाद गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या के साथ दशमलव अंकों को कभी-कभी समाप्ति को समाप्त करने के लिए कहा जाता है। एक दोहराने वाला दशमलव एक अनंत दशमलव है, जो किसी स्थान के बाद, अंकों के समान क्रम को अनिश्चित काल तक दोहराता है (जैसे, {{math|1=5.123144144144144... = 5.123{{overline|144}}}})।<ref>The [[Vinculum (symbol)|vinculum (overline)]] in 5.123<span style="text-decoration: overline;">144</span> indicates that the '144' sequence repeats indefinitely, i.e. {{val|5.123144144144144|s=...}}.</ref> एक अनंत दशमलव एक [[तर्कसंगत संख्या]] का प्रतिनिधित्व करता है, दो पूर्णांक का भागफल, यदि और केवल अगर यह एक दोहराया दशमलव है या गैर-शून्य अंकों की एक परिमित संख्या है।

[[File:Two hand, ten fingers.jpg|thumb|right|दो हाथों पर दस अंक, दशमलव गिनती की संभावित उत्पत्ति | ईमानदार = 1.2]]प्राचीन सभ्यताओं की कई अंक प्रणालियां संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दस और उसकी शक्तियों का उपयोग करती हैं, संभवतः इसलिए कि दोनों हाथों में दस उंगलियां होती हैं और लोगों ने अपनी उंगलियों का उपयोग करके गिनना शुरू किया। जिसका उदाहरण सबसे पहले [[मिस्र के अंक]] हैं, फिर [[ब्राह्मी अंक]], [[ग्रीक अंक]], [[हिब्रू अंक]], रोमन अंक और [[चीनी अंक]] इसके उदाहरण है। इन पुराने अंक प्रणालियों में बहुत बड़ी संख्या का प्रतिनिधित्व करना मुश्किल था, और केवल सबसे अच्छा गणितज्ञ बड़ी संख्या में गुणा या विभाजित करने में सक्षम थे।इन कठिनाइयों को पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली की शुरूआत के साथ पूरी तरह से हल किया गया था।इस प्रणाली को दशमलव अंक प्रणाली बनाने के लिए कुछ गैर-पूर्णांक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए बढ़ाया गया है, जिसे दशमलव अंश या दशमलव संख्या कहा जाता है।

== [[दशमलव अंक]]न ==

संख्या लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंकों का उपयोग करती है, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह |घटाव का चिन्ह]] -।दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट है{{math|.}}कई देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और एक अल्पविराम{{math|,}}अन्य देशों में।<ref name=":1" />

 

संख्याएँ लिखने के लिए, दशमलव प्रणाली दस दशमलव अंक, एक [[दशमलव चिह्न]], और, नकारात्मक संख्याओं के लिए, एक [[ घटाव का चिन्ह |घटाव का चिन्ह]] "−" का उपयोग करती है। दशमलव अंक [[0]], [[1]], 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 हैं;<ref>In some countries, such as [[Arab language|Arab speaking]] ones, other [[glyph]]s are used for the digits</ref> दशमलव विभाजक डॉट "{{math|.}}" है कई अन्य देशों में (ज्यादातर अंग्रेजी बोलने वाले),<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=दशमलव|url=https://mathworld.wolfram.com/दशमलव.html|access-date=2020-08-22|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> और एक अल्पविराम "{{math|,}}" का प्रयोग किया जाता है।<ref name=":1" />

यदि {{math|''m'' > 0}}, अर्थात्, यदि पहले अनुक्रम में कम से कम दो अंक होते हैं, तो यह आमतौर पर माना जाता है कि पहला अंक {{math|''a''_''m''}} शून्य नहीं है।कुछ परिस्थितियों में बाईं ओर एक या एक से अधिक 0 होना उपयोगी हो सकता है; यह दशमलव द्वारा दर्शाए गए मूल्य को नहीं बदलता है: उदाहरण के लिए, {{math|1=3.14 = 03.14 = 003.14}}।इसी प्रकार, यदि दशमलव चिह्न के दाईं ओर अंतिम अंक शून्य है - यानी, तो, अगर {{math|1=''b''_''n'' = 0}}- इसे हटाया जा सकता है; इसके विपरीत, ट्रेनिंग शून्य को दशमलव चिह्न के बाद प्रतिनिधित्व संख्या को बदलने के बिना जोड़ा जा सकता है; {{NoteTag|text=Sometimes, the extra zeros are used for indicating the [[accuracy and precision|accuracy]] of a measurement. For example, "15.00&nbsp;m" may indicate that the measurement error is less than one centimetre (0.01&nbsp;m), while "15&nbsp;m" may mean that the length is roughly fifteen metres and that the error may exceed 10&nbsp;centimetres.}} उदाहरण के लिए, {{math|1=15 = 15.0 = 15.00}} और {{math|1=5.2 = 5.20 = 5.200}}।

जब एक अंक का अभिन्न अंग शून्य होता है, तो यह हो सकता है, आमतौर पर [[ कम्प्यूटिंग |कम्प्यूटिंग]] में, कि पूर्णांक भाग नहीं लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {{math|.1234}}, के बजाय {{math|0.1234}})। सामान्य लेखन में, यह आम तौर पर बचा जाता है, क्योंकि दशमलव निशान और अन्य विराम चिह्न के बीच भ्रम के जोखिम के कारण।

दशमलव अंश (कभी -कभी दशमलव संख्या कहा जाता है, विशेष रूप से स्पष्ट अंशों को शामिल करने वाले संदर्भों में) तर्कसंगत संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसका [[भाजक]] दस का [[घातांक]] है।<ref>{{cite encyclopedia|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Decimal_fraction|title=Decimal Fraction|encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]]|access-date=2013-06-18}}</ref> उदाहरण के लिए, दशमलव <math>0.8, 14.89, 0.00079, 1.618, 3.14159</math> अंशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और {{math|{{sfrac|4|5}}}}, {{math|{{sfrac|1489|100}}}}, {{math|{{sfrac|79|100000}}}}, {{Math|{{sfrac||809|500}}}} और {{Math|{{sfrac||314159|100000}}}}, इसलिए दशमलव संख्या हैं।

अधिक आम तौर पर, एक दशमलव के साथ {{math|''n''}} दशमलव विभाजक (एक बिंदु या अल्पविराम) के बाद अंकों में हर {{math|10^''n''}}, जिसका अंश विभाजक को हटाकर प्राप्त पूर्णांक है।

यह इस प्रकार है कि एक संख्या एक दशमलव अंश है यदि और केवल अगर इसमें एक परिमित दशमलव प्रतिनिधित्व है।

दशमलव अंक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए एक सटीक प्रतिनिधित्व की अनुमति नहीं देते हैं, उदा. वास्तविक संख्या {{pi}} के लिए। फिर भी, वे किसी भी वांछित सटीकता के साथ हर वास्तविक संख्या को अनुमानित करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव 3.14159 वास्तविक {{pi}} का अनुमान लगाता है, जो 10⁻⁵ से कम है; इसलिए दशमलव का व्यापक रूप से [[विज्ञान]], [[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]] और दैनिक जीवन में उपयोग किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, हर वास्तविक संख्या {{Mvar|x}} के लिए और हर धनात्मक पूर्णांक {{Mvar|n}}, के लिए दो दशमलव {{Mvar|''L''}} और {{Mvar|''u''}} होते हैं जिनमें दशमलव चिह्न के बाद अधिक से {{Mvar|n}} अंक होते हैं जैसे कि {{Math|''L'' ≤ ''x'' ≤ ''u''}} और {{Math|1=(''u'' − ''L'') = 10^−''n''}}।

[[माप]] के परिणाम के रूप में संख्या बहुत बार प्राप्त की जाती है। जैसा कि माप एक ज्ञात [[ऊपरी सीमा]] के साथ [[माप अनिश्चितता]] के अधीन हैं, जैसे ही पूर्ण माप त्रुटि ऊपर से बंधी हुई है {{Math|10^−''n''}} से ऊपर से घिरी होती है, माप का परिणाम दशमलव चिह्न के बाद {{math|''n''}} अंकों के साथ दशमलव द्वारा अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। व्यवहार में, माप के परिणाम अक्सर दशमलव बिंदु के बाद एक निश्चित संख्या में अंकों के साथ दिए जाते हैं, जो त्रुटि सीमा का संकेत देते हैं। उदाहरण के लिए, हालांकि 0.080 और 0.08 एक ही संख्या को दर्शाते हैं, दशमलव अंक 0.080 0.001 से कम त्रुटि के साथ एक माप का सुझाव देता है, जबकि अंक 0.08 0.01 से बंधी एक पूर्ण त्रुटि को इंगित करता है। दोनों मामलों में, मापा मात्रा का सही मान, उदाहरण के लिए, 0.0803 या 0.0796 ([[महत्वपूर्ण आंकड़े]] भी देखें) हो सकता है।

जो या तो 0 है, अगर {{Math|1=''d''_''n'' = 0}}, या मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है क्योंकि {{Mvar|n}} अनंत की ओर जाता है। एक [[सीमा (गणित)]] की परिभाषा के अनुसार, {{Mvar|x}} {{Math|[''x'']_''n''}} की सीमा है जब {{Mvar|n}} अनंत की ओर जाता है। यह के रूप में लिखा है

इस तरह के किसी भी दशमलव अंश, यानी: {{Math|1=''d''_''n'' = 0}} के लिए {{Math|''n'' > ''N''}}, प्रतिस्थापित करके इसके समकक्ष अनंत दशमलव विस्तार में परिवर्तित किया जा सकता है {{Math|''d''_''N''}} द्वारा {{Math|''d''_''N'' − 1}} और सभी बाद के 0s को 9s द्वारा प्रतिस्थापित करना (0.999 देखें ...)।

[[ लम्बा विभाजन | लम्बा विभाजन]] एक तर्कसंगत संख्या के अनंत दशमलव विस्तार की गणना करने की अनुमति देता है।यदि तर्कसंगत संख्या एक दशमलव अंश है, तो विभाजन अंततः रुक जाता है, एक दशमलव अंक का उत्पादन करता है, जो कि अनंत रूप से कई शून्य जोड़कर अनंत विस्तार में लंबे समय तक हो सकता है। यदि तर्कसंगत संख्या दशमलव अंश नहीं है, तो विभाजन अनिश्चित काल तक जारी रह सकता है। हालांकि, चूंकि सभी क्रमिक अवशेष विभाजक से कम होते हैं, इसलिए केवल संभावित अवशेषों की एक परिमित संख्या होती है, और कुछ जगह के बाद, अंक के समान अनुक्रम को भागफल में अनिश्चित काल तक दोहराया जाना चाहिए। यानी, एक को दोहराया दशमलव है। उदाहरण के लिए,

|इसलिए 10,000x − 10x, यानी 9,990x, है||{{figure space|3}}4152.000000000...

[[File:Decimal multiplication table.JPG|thumb|right|300px|दुनिया के सबसे पहले ज्ञात मल्टीप्लिका और शर्मीली का आरेख; tion टेबल ({{circa|305 BCE}}) [[युद्धरत राज्यों की अवधि]] से]]अधिकांश आधुनिक [[ संगणक |संगणक]] हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर प्रणाली आमतौर पर आंतरिक रूप से एक बाइनरी अंक प्रणाली का उपयोग करते हैं (हालांकि कई शुरुआती कंप्यूटर, जैसे कि [[ENIAC|ईएनआईएसी]] या [[IBM 650|आईबीएम 650]], आंतरिक रूप से दशमलव प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं)।<ref>"Fingers or Fists? (The Choice of Decimal or Binary Representation)", [[Werner Buchholz]], ''Communications of the ACM'', Vol. 2 #12, pp. 3–11, ACM Press, December 1959.</ref>

अधिकांश उद्देश्यों के लिए, हालांकि, द्विआधारी मूल्यों को मनुष्यों से प्रस्तुति या इनपुट के लिए समतुल्य दशमलव मूल्यों में या परिवर्तित किया जाता है;कंप्यूटर प्रोग्राम डिफ़ॉल्ट रूप से दशमलव में शाब्दिक व्यक्त करते हैं।(123.1, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर प्रोग्राम में इस तरह लिखा जाता है, भले ही कई कंप्यूटर भाषाएं उस संख्या को ठीक से एनकोड करने में असमर्थ हों।)

कंप्यूटर हार्डवेयर और सॉफ्टवेयर दोनों भी आंतरिक अभ्यावेदन का उपयोग करते हैं जो दशमलव मानों को संग्रहीत करने और अंकगणित करने के लिए प्रभावी रूप से दशमलव हैं। अक्सर यह अंकगणित डेटा पर किया जाता है जो [[बाइनरी-कोडित दशमलव]] के कुछ प्रकार का उपयोग करके एन्कोड किया जाता है,<ref name="Schmid_1983">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, US --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |orig-year=1974 |date=1983 |edition=1 (reprint) |publisher=Robert E. Krieger Publishing Company |location=Malabar, Florida |isbn=0-89874-318-4}}</ref><ref name="Schmid_1974">{{cite book |title=दशमलव गणना|first=Hermann |author=Schmid<!-- General Electric Company, Binghamton, New York, USA --> |author-link=Hermann Schmid (computer scientist) |date=1974 |edition=1st |publisher=[[John Wiley & Sons]] |location=Binghamton, New York|isbn=0-471-76180-X |url-access=registration |url=https://archive.org/details/decimalcomputati0000schm }}</ref> विशेष रूप से डेटाबेस कार्यान्वयन में, लेकिन उपयोग में अन्य दशमलव प्रतिनिधित्व हैं ([[दशमलव अस्थायी बिंदु]] जैसे कि [[IEEE 754]] के नए संशोधन में)।

दशमलव अंकगणित का उपयोग कंप्यूटर में किया जाता है ताकि उनके आंशिक भाग की एक निश्चित लंबाई के साथ मूल्यों को जोड़ने (या घटाने) के दशमलव आंशिक परिणाम हमेशा सटीकता की समान लंबाई के लिए गणना की जाती हैं। यह विशेष रूप से वित्तीय गणना के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, उनके परिणामों की आवश्यकता होती है, जो कि पुस्तक रखने के उद्देश्यों के लिए सबसे छोटी मुद्रा इकाई के पूर्णांक गुणकों की आवश्यकता होती है।यह बाइनरी में संभव नहीं है, क्योंकि नकारात्मक शक्तियां <math>10</math> कोई परिमित द्विआधारी आंशिक प्रतिनिधित्व नहीं है;और आमतौर पर गुणा (या विभाजन) के लिए असंभव है।<ref>[http://speleotrove.com/decimal/decifaq.html Decimal Arithmetic – FAQ<!-- Bot generated title -->]</ref><ref>[http://www.dec.usc.es/arith16/papers/paper-107.pdf Decimal Floating-Point: Algorism for Computers], [[Cowlishaw]], M. F., ''Proceedings [[16th IEEE Symposium on Computer Arithmetic]]'' ([http://www.dec.usc.es/arith16/ ARITH&nbsp;16]), {{isbn|0-7695-1894-X}}, pp.&nbsp;104–11, IEEE Comp. Soc., June 2003</ref> सटीक गणना के लिए मनमानी-सटीक अंकगणित देखें।

[[File:Qinghuajian, Suan Biao.jpg|thumb|upright|चीन में [[युद्धरत राज्य]]ों की अवधि के दौरान दुनिया की सबसे पुरानी दशमलव गुणन तालिका को 305 ईसा पूर्व से डेटिंग, बांस की पर्चियों से बनाया गया था।]]कई प्राचीन संस्कृतियों की गणना दस के आधार पर अंकों के साथ की जाती है, कभी -कभी मानव हाथों के कारण तर्क दिया जाता है कि आमतौर पर दस अंगुलियों/अंक होते हैं।<ref>{{citation|first=Tobias|last=Dantzig|title=Number / The Language of Science |edition=4th |year=1954|publisher=The Free Press (Macmillan Publishing Co.) |isbn=0-02-906990-4|page=12}}</ref> [[सिंधु घाटी सभ्यता]] में उपयोग किए जाने वाले मानकीकृत भार ({{circa|3300–1300 BCE}}) अनुपात पर आधारित थे: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 100, 200, और 500, जबकि उनके मानकीकृत शासक- मोहनजो-दारो शासक - को दस समान भागों में विभाजित किया गया था।<ref>Sergent, Bernard (1997), ''Genèse de l'Inde'' (in French), Paris: Payot, p. 113, {{ISBN|2-228-89116-9}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Coppa | first1 = A. | display-authors = etal | year = 2006 | title = Early Neolithic tradition of dentistry: Flint tips were surprisingly effective for drilling tooth enamel in a prehistoric population | bibcode = 2006Natur.440..755C | journal = Nature | volume = 440 | issue = 7085| pages = 755–56 | doi = 10.1038/440755a | pmid = 16598247 | s2cid = 6787162 }}</ref><ref>Bisht, R. S. (1982), "Excavations at Banawali: 1974–77", in Possehl, Gregory L. (ed.), Harappan ''Civilisation: A Contemporary Perspective'', New Delhi: Oxford and IBH Publishing Co., pp. 113–24</ref> लगभग 3000 ईसा पूर्व के बाद से सबूतों में मिस्र के चित्रलिपि, एक विशुद्ध रूप से दशमलव प्रणाली का उपयोग करते हैं,<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp.&nbsp;200–13 (Egyptian Numerals)</ref> जैसा कि [[क्रेटन हाइरोग्लिफ़्स]] ({{circa|1625−1500 BCE}}) उन [[ मीनियों का |मीनियों का]] जिनके अंक मिस्र के मॉडल पर बारीकी से आधारित हैं।<ref>Graham Flegg: Numbers: their history and meaning, Courier Dover Publications, 2002, {{isbn|978-0-486-42165-0}}, p.&nbsp;50</ref><ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 213–18 (Cretan numerals)</ref> दशमलव प्रणाली [[कांस्य युग ग्रीस]] की लगातार कांस्य युग की संस्कृतियों को सौंपी गई थी, जिसमें [[रैखिक ए]] (सी. 18 वीं शताब्दी ईसा पूर्व bc1450 ईसा पूर्व) और [[रैखिक बी]] (सी। 1375−1200 ईसा पूर्व) शामिल थे - [[शास्त्रीय ग्रीस]] की संख्या प्रणाली ने दस की शक्तियों का भी इस्तेमाल किया था,रोमन अंक 5 का एक मध्यवर्ती आधार है।<ref name="Greek numerals">{{Cite web |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Greek_numbers.html |title=Greek numbers |access-date=2019-07-21}}</ref> विशेष रूप से, पॉलीमैथ [[आर्किमिडीज]] (सी। 287–212 ईसा पूर्व) ने अपने [[रेत रेकनर]] में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था⁸<ref name="Greek numerals"/> और बाद में जर्मन गणितज्ञ [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] का नेतृत्व किया, जो कि हाइट्स साइंस ने अपने दिनों में पहले ही पहुंच लिया होगा यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता।<ref>[[Karl Menninger (mathematics)|Menninger, Karl]]: ''Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichte der Zahl'', Vandenhoeck und Ruprecht, 3rd. ed., 1979, {{isbn|3-525-40725-4}}, pp.&nbsp;150–53</ref> [[हित्तियों]] (15 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से) भी सख्ती से दशमलव थे।<ref>Georges Ifrah: ''From One to Zero. A Universal History of Numbers'', Penguin Books, 1988, {{isbn|0-14-009919-0}}, pp. 218f. (The Hittite hieroglyphic system)</ref>