क्रमित युग्म: Difference between revisions

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जैसे किन्हीं भी दो वस्तुओं के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के लिए, क्रमित युग्म {{math|(''a'', ''b'')}} उस क्रम में दो वस्तुओं  {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} को निर्दिष्ट करने वाला संकेत चिन्ह है।<ref name="Wolf">{{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|page=164}}</ref>  
जैसे किन्हीं भी दो वस्तुओं के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के लिए, क्रमित युग्म {{math|(''a'', ''b'')}} उस क्रम में दो वस्तुओं  {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} को निर्दिष्ट करने वाला संकेत चिन्ह है।<ref name="Wolf">{{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|page=164}}</ref>  


इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक सेट की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक सेट में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।
इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक समुच्चय की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक समुच्चय में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक समुच्चय के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।


यह "परिभाषा" असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से क्रमित युग्मों के बारे में सोचता है।<ref>{{citation|first1=Peter|last1=Fletcher|first2=C. Wayne|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent|year=1988|isbn=0-87150-164-3|page=80}}</ref>
यह "परिभाषा" असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से क्रमित युग्मों के बारे में सोचता है।<ref>{{citation|first1=Peter|last1=Fletcher|first2=C. Wayne|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent|year=1988|isbn=0-87150-164-3|page=80}}</ref>


अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने सेट का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />
अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने समुच्चय का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />


क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें सेट सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि सेट सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक ​​कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों  की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।
क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि समुच्चय सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक ​​कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों  की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।


== [[समुच्चय सिद्धान्त]] का उपयोग करते हुए क्रमित युग्म को परिभाषित करना ==
== [[समुच्चय सिद्धान्त]] का उपयोग करते हुए क्रमित युग्म को परिभाषित करना ==
यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के सेट (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair  is a paradigm for the clarification of philosophical  ideas (see  "[[Word and Object]]", section 53).
यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair  is a paradigm for the clarification of philosophical  ideas (see  "[[Word and Object]]", section 53).
The general notion of such definitions or implementations  are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".
The general notion of such definitions or implementations  are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".
</ref> क्रमित युग्मों की कई समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें <ref>{{Cite web|last=Dipert|first=Randall|title=क्रमबद्ध जोड़े के सेट-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व और संबंधों के तर्क के लिए उनकी पर्याप्तता।|url=https://www.academia.edu/|url-status=live}}</ref>).
</ref> क्रमित युग्मों की कई समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें <ref>{{Cite web|last=Dipert|first=Randall|title=क्रमबद्ध जोड़े के सेट-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व और संबंधों के तर्क के लिए उनकी पर्याप्तता।|url=https://www.academia.edu/|url-status=live}}</ref>).
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: <math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>   
: <math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>   
:यह σ के तहत सेट x की सेट इमेज है, जिसे कभी-कभी σ″ x द्वारा भी दर्शाया जाता है। आवेदन समारोह φ सेट x में  इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, φ(एक्स) में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी सेट x और y के लिए,
:यह σ के तहत समुच्चय x की समुच्चय इमेज है, जिसे कभी-कभी σ″ x द्वारा भी दर्शाया जाता है। आवेदन समारोह φ समुच्चय x में  इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, φ(एक्स) में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी समुच्चय x और y के लिए,
: <math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>
: <math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>


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उदाहरण के लिए <math>( \{\{a,0\},\{b,c,1\}\} , \{\{d,2\},\{e,f,3\}\} )</math>, युग्म को दिए गए <math>\{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}</math> के अनुसार एन्कोड <math>a,b,c,d,e,f\notin \N</math> किया गया है।
उदाहरण के लिए <math>( \{\{a,0\},\{b,c,1\}\} , \{\{d,2\},\{e,f,3\}\} )</math>, युग्म को दिए गए <math>\{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}</math> के अनुसार एन्कोड <math>a,b,c,d,e,f\notin \N</math> किया गया है।


प्रकार के सिद्धांत में और उसके परिणाम में जैसे स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत एनएफ, कुइन-रॉसर युग्म के अनुमानों के समान प्रकार है और इसलिए इसे "प्रकार-स्तर" में क्रमित की गई युग्म कहा जाता है। इसलिए इस परिभाषा में क्रमित युग्म के  सेट के रूप में परिभाषित फ़ंक्शन को सक्षम करने का लाभ है, इसके तर्कों के प्रकार से केवल 1 प्रकार अधिक है। यह परिभाषा तभी काम करती है जब प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत हो। एनएफ में यह मामला है, लेकिन प्रकार सिद्धांत या एनएफयू में नहीं। जे बार्कले रोसेर ने दिखाया कि इस तरह के प्रकार-स्तरीय क्रमित युग्म (या यहां तक ​​कि "प्रकार-स्तर द्वारा 1" क्रमित युग्म) का अस्तित्व अनंत के स्वयंसिद्ध का अर्थ है। क्विनियन सेट सिद्धांतों के संदर्भ में क्रमित युग्म की व्यापक चर्चा के लिए, होम्स (1998) देखें।
प्रकार के सिद्धांत में और उसके परिणाम में जैसे स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत एनएफ, कुइन-रॉसर युग्म के अनुमानों के समान प्रकार है और इसलिए इसे "प्रकार-स्तर" में क्रमित की गई युग्म कहा जाता है। इसलिए इस परिभाषा में क्रमित युग्म के  समुच्चय के रूप में परिभाषित फ़ंक्शन को सक्षम करने का लाभ है, इसके तर्कों के प्रकार से केवल 1 प्रकार अधिक है। यह परिभाषा तभी काम करती है जब प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत हो। एनएफ में यह मामला है, लेकिन प्रकार सिद्धांत या एनएफयू में नहीं। जे बार्कले रोसेर ने दिखाया कि इस तरह के प्रकार-स्तरीय क्रमित युग्म (या यहां तक ​​कि "प्रकार-स्तर द्वारा 1" क्रमित युग्म) का अस्तित्व अनंत के स्वयंसिद्ध का अर्थ है। क्विनियन समुच्चय सिद्धांतों के संदर्भ में क्रमित युग्म की व्यापक चर्चा के लिए, होम्स (1998) देखें।


=== कैंटर-फ्रीज परिभाषा ===
=== कैंटर-फ्रीज परिभाषा ===
सेट सिद्धांत के विकास की शुरुआत में, विरोधाभासों की खोज से पहले, कैंटर ने दो सेटों की क्रमबद्ध जोड़ी को इन सेटों के बीच धारण करने वाले सभी संबंधों के वर्ग के रूप में परिभाषित करके फ्रीज का अनुसरण किया, यह मानते हुए कि संबंध की धारणा आदिम है
समुच्चय सिद्धांत के विकास की प्रारम्भ में, विरोधाभासों की खोज से पहले, कैंटर ने दो सेटों की क्रमबद्ध जोड़ी को इन सेटों के बीच धारण करने वाले सभी संबंधों के वर्ग के रूप में परिभाषित करके फ्रीज का अनुसरण किया, यह मानते हुए कि संबंध की धारणा आदिम है


<math>(x, y) = \{R : x R y \}.</math>
<math>(x, y) = \{R : x R y \}.</math>


यह परिभाषा अधिकांश आधुनिक औपचारिक सेट सिद्धांतों में अस्वीकार्य है और सेट के आधारभूत को परिभाषित करने के समान है, जो दिए गए सेट के साथ सभी सेटों के वर्ग के रूप में है।<ref>{{cite book|last=Kanamori|first=Akihiro|url=http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf|title=Set Theory From Cantor to Cohen|publisher=Elsevier BV|year=2007}} p. 22, footnote 59</ref>
यह परिभाषा अधिकांश आधुनिक औपचारिक समुच्चय सिद्धांतों में अस्वीकार्य है और समुच्चय के आधारभूत को परिभाषित करने के समान है, जो दिए गए समुच्चय के साथ सभी सेटों के वर्ग के रूप में है।<ref>{{cite book|last=Kanamori|first=Akihiro|url=http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf|title=Set Theory From Cantor to Cohen|publisher=Elsevier BV|year=2007}} p. 22, footnote 59</ref>


=== मोर्स परिभाषा ===
=== मोर्स परिभाषा ===
मोर्स-केली सेट सिद्धांत उचित वर्गों का मुफ्त उपयोग करता है।<ref>{{cite book|last=Morse|first=Anthony P.|url=https://archive.org/details/theoryofsets0000mors|title=A Theory of Sets|publisher=Academic Press|year=1965|url-access=registration}}</ref> मोर्स ने क्रमित युग्मो को परिभाषित किया ताकि इसके प्रक्षेपण उचित वर्ग और साथ ही सेट हो सकें। (कुरातोव्स्की की परिभाषा इसकी अनुमति नहीं देती है।) उन्होंने सबसे पहले आदेशित युग्मों को परिभाषित किया जिनके प्रक्षेपण कुराटोस्की के तरीके से निर्धारित किए गए हैं। उन्होंने युग्मो को फिर से परिभाषित किया
मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत उचित वर्गों का मुफ्त उपयोग करता है।<ref>{{cite book|last=Morse|first=Anthony P.|url=https://archive.org/details/theoryofsets0000mors|title=A Theory of Sets|publisher=Academic Press|year=1965|url-access=registration}}</ref> मोर्स ने क्रमित युग्मो को परिभाषित किया ताकि इसके प्रक्षेपण उचित वर्ग और साथ ही समुच्चय हो सकें। (कुरातोव्स्की की परिभाषा इसकी अनुमति नहीं देती है।) उन्होंने सबसे पहले आदेशित युग्मों को परिभाषित किया जिनके प्रक्षेपण कुराटोस्की के तरीके से निर्धारित किए गए हैं। उन्होंने युग्मो को फिर से परिभाषित किया


: <math> (x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))</math>
: <math> (x, y) = (\{0\} \times s(x)) \cup (\{1\} \times s(y))</math>
:जहां घटक कार्टेशियन उत्पाद सेट के कुराटोस्की युग्म हैं और जहां
:जहां घटक कार्टेशियन उत्पाद समुच्चय के कुराटोस्की युग्म हैं और जहां
: <math> s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} \mid t \in x\} </math>
: <math> s(x) = \{\emptyset \} \cup \{\{t\} \mid t \in x\} </math>


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सिंगलटन सेट s (x) का उपयोग जिसमें एक खाली सेट डाला गया है, टुपल्स को विशिष्टता संपत्ति रखने की अनुमति देता है कि यदि ए एक एन-टुपल है और बी एक एम-ट्यूपल है और A = B फिर N = M। क्रमित त्रिक जो क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित हैं, उनके पास क्रमित युग्मों के संबंध में यह संपत्ति नहीं है।
सिंगलटन समुच्चय s (x) का उपयोग जिसमें एक रिक्त समुच्चय डाला गया है, टुपल्स को विशिष्टता संपत्ति रखने की अनुमति देता है कि यदि A एक N-टुपल है और B एक एम-ट्यूपल है और A = B फिर N = M। क्रमित त्रिक जो क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित हैं, उनके पास क्रमित युग्मों के संबंध में यह संपत्ति नहीं है।


=== स्वयंसिद्ध परिभाषा ===
=== स्वयंसिद्ध परिभाषा ===
क्रमित युग्म को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (ZF) में ऑर्डर किए गए युग्म को केवल ZF में एरिटी 2 के नए फ़ंक्शन चिह्न f (यह प्रायः छोड़ा गया है) और <math>f</math> के लिए परिभाषित स्वयंसिद्ध जोड़कर स्वयंसिद्ध रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है
क्रमित युग्म को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (ZF) में ऑर्डर किए गए युग्म को केवल ZF में एरिटी 2 के नए फ़ंक्शन चिह्न f (यह प्रायः छोड़ा गया है) और <math>f</math> के लिए परिभाषित स्वयंसिद्ध जोड़कर स्वयंसिद्ध रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है


<math>{\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}
<math>{\displaystyle f(a_{1},b_{1})=f(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.}
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== श्रेणी सिद्धांत ==
== श्रेणी सिद्धांत ==
[[File:CategoricalProduct-03.svg|thumb|सेट उत्पाद X1×X2 के लिए क्रमविनिमेय आरेख।]]
[[File:CategoricalProduct-03.svg|thumb|समुच्चय उत्पाद X1×X2 के लिए क्रमविनिमेय आरेख।]]
श्रेणी-सैद्धांतिक उत्पाद A × B सेट की श्रेणी में आदेशित युग्म के सेट का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें पहला तत्व A से आता है और दूसरा B से आता है। इस संदर्भ में ऊपर की विशेषता संपत्ति उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति का परिणाम है। उत्पाद और तथ्य यह है कि सेट X के तत्वों को 1 (एक तत्व सेट) से X तक नियमवाद के साथ पहचाना जा सकता है। जबकि विभिन्न वस्तुओं में सार्वभौमिक संपत्ति हो सकती है, वे सभी स्वाभाविक रूप से समरूपी हैं।
श्रेणी-सैद्धांतिक उत्पाद A × B समुच्चय की श्रेणी में आदेशित युग्म के समुच्चय का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें पहला तत्व A से आता है और दूसरा B से आता है। इस संदर्भ में ऊपर की विशेषता संपत्ति उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति का परिणाम है। उत्पाद और तथ्य यह है कि समुच्चय X के तत्वों को 1 (एक तत्व समुच्चय) से X तक नियमवाद के साथ पहचाना जा सकता है। जबकि विभिन्न वस्तुओं में सार्वभौमिक संपत्ति हो सकती है, वे सभी स्वाभाविक रूप से समरूपी हैं।
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==संदर्भ==
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Latest revision as of 15:04, 19 October 2023

विश्लेषणात्मक ज्यामिति यूक्लिडियन विमान में प्रत्येक बिंदु को एक क्रमित युग्मों से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि x2/4+y2=1.

गणित में, क्रमित युग्म (a, b) वस्तुओं का युग्म है। जिस क्रम में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है क्रमित युग्म (a, b) क्रमित युग्म (b, a) से भिन्न है जब तक' 'a' = 'b' न हो। (इसके विपरीत, अव्यवस्थित युग्म {a, b} अव्यवस्थित युग्म {b, a} के बराबर होती है।)

क्रमित युग्मों को 2-टुपल्स, या अनुक्रम (कभी-कभी, कंप्यूटर विज्ञान के संदर्भ में सूचियाँ) भी कहा जाता है जिनकी लंबाई 2 होती है। अदिशों के क्रमित युग्मों को कभी-कभी 2-आयामी सदिश कहा जाता है।

(तकनीकी रूप से, यह शब्दावली का अनुचित उपयोग है क्योंकि क्रमित युग्मों को सदिश स्थल का तत्व नहीं होना चाहिए।) क्रमित युग्मों की प्रविष्टियां अन्य क्रमित युग्म हो सकते हैं, जो क्रमित एन -ट्यूपल्स (n वस्तुओं की क्रमबद्ध सूचियां) की पुनरावर्ती परिभाषा को सक्षम करते हैं। उदाहरण के लिए, क्रमित ट्रिपल (a, b, c) को (a, (b,c)) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, एक युग्म दूसरे में स्थिर है।

क्रमित युग्म (a, b) में, वस्तु a को पहली प्रवेश कहा जाता है, और वस्तु b को युग्म की दूसरी प्रवेश कहलाती है। वैकल्पिक रूप से, वस्तुओं को पहले और दूसरे घटक, पहले और दूसरे निर्देशांक, या क्रमित युग्म के बाएं और दाएं अनुमान कहा जाता है।

कार्तीय गुणनफल और द्विआधारी संबंध (और इसलिए फलन) क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित किए गए हैं, चित्र में।

सामान्यता

माना तथा युग्मों का आदेश दिया जाए। फिर क्रमित युग्मों की विशेषता (या परिभाषित) है

सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय (गणित) जिसकी पहली प्रविष्टि किसी समुच्चय A में है और जिसकी दूसरी प्रविष्टि किसी समुच्चय B में है, A और B का कार्तीय गुणन कहलाता है, और A × B लिखा जाता है। समुच्चय A और B के बीच एक द्विआधारी संबंध A × B का उपसमुच्चय है।

(a, b) संकेत चिन्ह का उपयोग अन्य उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से वास्तविक संख्या रेखा पर खुले अंतराल को दर्शाने के रूप में ऐसी स्थितियों में, संदर्भ प्रायः यह स्पष्ट कर देगा कि कौन सा अर्थ अभीष्ट है।[1][2] अतिरिक्त स्पष्टीकरण के लिए, क्रमित युग्मों को भिन्न संकेत चिन्ह द्वारा दर्शाया जा सकता है , परंतु इस संकेत चिन्ह के अन्य उपयोग भी हैं।

युग्म p के बाएँ और दाएँ प्रक्षेपण को प्रायः क्रमशः π1(p) और π2(p), या πℓ(p) और πr(p), द्वारा निरूपित किया जाता है क्रमशः ऐसे संदर्भों में जहां मनमाने ढंग से एन-टुपल्स पर विचार किया जाता है, πn
i(टी) एन-ट्यूपल टी के आई-वें घटक के लिए एक सामान्य संकेत है।

अनौपचारिक और औपचारिक परिभाषाएँ

कुछ परिचयात्मक गणित की पाठ्यपुस्तकों में क्रमबद्ध युग्म की एक अनौपचारिक (या सहज) परिभाषा दी गई है,

जैसे किन्हीं भी दो वस्तुओं के लिए a तथा b के लिए, क्रमित युग्म (a, b) उस क्रम में दो वस्तुओं a तथा b को निर्दिष्ट करने वाला संकेत चिन्ह है।[3]

इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक समुच्चय की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक समुच्चय में a तथा b अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक समुच्चय के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।

यह "परिभाषा" असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से क्रमित युग्मों के बारे में सोचता है।[4]

अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक आदिम धारणा के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने समुच्चय का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।[3]

क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि समुच्चय सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक ​​कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।

समुच्चय सिद्धान्त का उपयोग करते हुए क्रमित युग्म को परिभाषित करना

यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।[5] क्रमित युग्मों की कई समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें [6]).

वीनर की परिभाषा

नॉर्बर्ट वीनर ने 1914 में क्रमित युग्मों की पहली समुच्चय सैद्धांतिक परिभाषा प्रस्तावित की[7]