क्रमित युग्म: Difference between revisions

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[[File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|thumb|300px|[[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] [[यूक्लिडियन विमान]] में प्रत्येक बिंदु को एक ~~आदेशित जोड़ी~~ से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि {{sfrac|''x''2|4}}+य2=1.]]गणित में, [[क्रम|क्रमित]] युग्म (''a'', ''b'') वस्तुओं का युग्म है। जिस क्रम में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है क्रमित युग्म (''a'', ''b'') क्रमित युग्म (''b'', ''a'') से भिन्न है जब तक' '<nowiki/>''a''<nowiki/>' = '''b''<nowiki/>' न हो। (इसके विपरीत, अव्यवस्थित युग्म {''a'', ''b''} अव्यवस्थित युग्म {''b'', ''a''} के बराबर होती है।)

[[File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|thumb|300px|[[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] [[यूक्लिडियन विमान]] में प्रत्येक बिंदु को एक क्रमित युग्मों से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि {{sfrac|''x''2|4}}+y2=1.]]गणित में, [[क्रम|क्रमित]] युग्म (''a'', ''b'') वस्तुओं का युग्म है। जिस क्रम में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है क्रमित युग्म (''a'', ''b'') क्रमित युग्म (''b'', ''a'') से भिन्न है जब तक' '<nowiki/>''a''<nowiki/>' = '''b''<nowiki/>' न हो। (इसके विपरीत, अव्यवस्थित युग्म {''a'', ''b''} अव्यवस्थित युग्म {''b'', ''a''} के बराबर होती है।)

क्रमित युग्मों को 2-टुपल्स, या अनुक्रम (कभी-कभी, कंप्यूटर विज्ञान के संदर्भ में सूचियाँ) भी कहा जाता है जिनकी लंबाई 2 होती है। [[अदिश (गणित)|अदिशों]] के क्रमित युग्मों को कभी-कभी 2-आयामी [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]] कहा जाता है।

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जैसे किन्हीं भी दो वस्तुओं के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के लिए, क्रमित युग्म {{math|(''a'', ''b'')}} उस क्रम में दो वस्तुओं {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} को निर्दिष्ट करने वाला संकेत चिन्ह है।<ref name="Wolf">{{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|page=164}}</ref>

इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक ~~सेट~~ की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक ~~सेट~~ में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक ~~सेट~~ के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।

इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक समुच्चय की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक समुच्चय में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक समुच्चय के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।

यह "परिभाषा" असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से क्रमित युग्मों के बारे में सोचता है।<ref>{{citation|first1=Peter|last1=Fletcher|first2=C. Wayne|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent|year=1988|isbn=0-87150-164-3|page=80}}</ref>

अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने ~~सेट~~ का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />

अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने समुच्चय का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />

क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें ~~सेट~~ सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि ~~सेट~~ सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।

क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि समुच्चय सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।

== [[समुच्चय सिद्धान्त]] का उपयोग करते हुए क्रमित युग्म को परिभाषित करना ==

यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के ~~सेट~~ (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "[[Word and Object]]", section 53).

यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair is a paradigm for the clarification of philosophical ideas (see "[[Word and Object]]", section 53).

The general notion of such definitions or implementations are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".

</ref> क्रमित युग्मों की कई समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें <ref>{{Cite web|last=Dipert|first=Randall|title=क्रमबद्ध जोड़े के सेट-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व और संबंधों के तर्क के लिए उनकी पर्याप्तता।|url=https://www.academia.edu/|url-status=live}}</ref>).

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* <math>( a, b )_{\text{short}} := \{ a, \{a, b\}\};</math>

* <math>( a, b )_{\text{01}} := \{\{0, a \}, \{1, b \}\}.</math><ref>This differs from Hausdorff's definition in not requiring the two elements 0 and 1 to be distinct from ''a'' and ''b''.</ref>

विपरीत परिभाषा केवल कुराटोस्की परिभाषा का निरर्थक संस्करण है, और इस तरह कोई स्वतंत्र हित नहीं है। परिभाषा को छोटा कहा जाता है क्योंकि इसमें [[ब्रेसिज़ (विराम चिह्न)]] के तीन युग्म के बजाय दो की आवश्यकता होती है। यह साबित करने के लिए कि विशिष्ट संपत्ति को संतुष्ट करता है, नियमितता के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref>Tourlakis, George (2003) ''Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory''. Cambridge Univ. Press. Proposition III.10.1.</ref><nowiki> इसके अलावा, यदि कोई प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन के प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय-सैद्धांतिक निर्माण का उपयोग करता है, तो 2 को समुच्चय {0, 1} = {0, {0}} के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो युग्म (0, 0)</nowiki>लघु से अप्रभेद्य है। फिर भी छोटी युग्म का एक और नुकसान यह तथ्य है कि भले ही ''ए'' और ''बी'' एक ही प्रकार के हों, छोटी युग्म के तत्व नहीं हैं। (हालांकि, यदि ''a'' = ''b'' तो लघु संस्करण में कार्डिनलिटी 2 बनी रहती है, जो कि किसी भी "युग्म" से उम्मीद की जा सकती है, जिसमें "क्रमित युग्म" भी शामिल है।

विपरीत परिभाषा केवल कुराटोस्की परिभाषा का निरर्थक संस्करण है, और इस तरह कोई स्वतंत्र हित नहीं है। परिभाषा को छोटा कहा जाता है क्योंकि इसमें [[ब्रेसिज़ (विराम चिह्न)]] के तीन युग्म के बजाय दो की आवश्यकता होती है। यह साबित करने के लिए कि विशिष्ट संपत्ति को संतुष्ट करता है, नियमितता के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref>Tourlakis, George (2003) ''Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory''. Cambridge Univ. Press. Proposition III.10.1.</ref><nowiki> इसके अलावा, यदि कोई प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन के प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय-सैद्धांतिक निर्माण का उपयोग करता है, तो 2 को समुच्चय {0, 1} = {0, {0}} के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो युग्म (0, 0)</nowiki>लघु से अप्रभेद्य है। फिर भी छोटी युग्म का एक और नुकसान यह तथ्य है कि भले ही ''a'' और ''b'' एक ही प्रकार के हों, छोटी युग्म के तत्व नहीं हैं। (हालांकि, यदि ''a'' = ''b'' तो लघु संस्करण में कार्डिनलिटी 2 बनी रहती है, जो कि किसी भी "युग्म" से उम्मीद की जा सकती है, जिसमें "क्रमित युग्म" भी शामिल है।

==== सिद्ध करना कि परिभाषाएँ विशेषता गुण को संतुष्ट करती हैं ====

~~साबित करें~~: (ए, बी) = (सी, डी) [[अगर और केवल अगर]] ए = सी और बी = ~~डी।~~

सिद्ध होना: (a, b) = (c, d) [[अगर और केवल अगर]] a = c और b = d।

'~~कुरातोवस्की~~':

==== '''कुराटोव्स्की''' ====

~~यदि।~~ यदि ए = सी और बी = डी, तो {{''a''}, {''a, b''}} = {{''c''}, {''c, d''}}. इस प्रकार (ए, बी)K = (सी, डी)K.

<nowiki>यदि a = c और b = d, तो {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}}. इस प्रकार (a, b)</nowiki>K = (c, d)K.

~~केवल।~~ दो मामले~~: ए~~ = बी, और ए ≠ ~~बी।~~

केवल दो मामले a = b, और a ≠ b।

अगर ए = ~~बी:~~

अगर a = b

:(ए, बी)K = {{''a''}, {''a, b''}} = {{''a''}, {''a, a''}} = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}.

:(a, b)K<nowiki> = {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a, a''<nowiki>}} = </nowiki><nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}.</nowiki>

:{{''c''}, {''c, d''}} = (सी, डी)K = (ए, बी)K = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}.

:<nowiki>{{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}} = (c, d)</nowiki>K = (a, b)K = <nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}.</nowiki>

: इस प्रकार {सी} = {सी, डी} = {ए}, जिसका अर्थ है ए = सी और ए = ~~डी। परिकल्पना~~ से, ए = ~~बी। इसलिए बी~~ = ~~डी।~~

: इस प्रकार {c} = {c, d} = {a}, जिसका अर्थ है a = c और a = d प्रमेय से, a = b अत b = d।

यदि a ≠ b, तो (a, b)K = (सी, डी)K तात्पर्य {{''a''}, {''a, b''}} = {{''c''}, {''c, d''}}.

यदि a ≠ b, तो (a, b)K = (c, d)K<nowiki> तात्पर्य {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}}.</nowiki>

: मान लीजिए {सी, डी} = {ए}। तब सी = डी = ए, और इसलिए {{''c''}, {''c, d''}} = {{''a''}, {''a, a''}} = {{''a''}, {''a''}} = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}. परन्तु फिर {{''a''}, {''a, b''}} <nowiki> के बराबर भी होगा{{</nowiki>''a''}}, ~~ताकि~~ b = a जो a ≠ b के विपरीत हो।

: <nowiki>मान लीजिए {c, d} = {a}। तब c = d = a, और इसलिए {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a, a''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a''<nowiki>}} = </nowiki><nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}. परन्तु फिर {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} भी बराबर होगा {{</nowiki>''a''<nowiki>}}, कि b = a जो a ≠ b के विपरीत हो।</nowiki>

:मान लीजिए {c} = {a, b}, तब a = b = c, जो a ≠ b का भी विरोध करता है।

:इसलिए {c} = {a}, ताकि c = a और {c, d} = {a, b} हो।

:यदि d = a सत्य थे, तो {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, एक विरोधाभास इस प्रकार d = b स्थिति है, ताकि a = c और b = d हो।

~~: मान लीजिए~~ {सी} = {ए, बी}~~। तब a~~ = b ~~= c~~, जो a ~~≠ b का भी विरोध करता है।~~

==== ''''प्रतिलोम'''<nowiki/>' ====

(''a, b'')रिवर्स<nowiki> = {{</nowiki>''b''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''b''}, {''b, a''<nowiki>}} = (</nowiki>''b, a'')K.

~~: इसलिए {c} = {~~a}, ~~ताकि c~~ = ~~a और {~~c, d} = {a, b~~} हो।~~

''If''. If (''a, b'')रिवर्स = (''c, d'')रिवर्स, (''b, a'')K = (''d, c'')K इसलिए, ''b = d'' और ''a = c''.

: यदि d ~~= a सत्य थे~~, तो {c, ~~d} =~~ {a, a} = {a} ≠ {a, b}~~, एक विरोधाभास।~~ इस प्रकार ~~d =~~ b ~~स्थिति है, ताकि a~~ = c ~~और b =~~ d ~~हो।~~

''यदि'' ''a = c'' और ''b = d''<nowiki>, तो {{</nowiki>''b''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''d''}, {''c, d''<nowiki>}} इस प्रकार (</nowiki>''a, b'')रिवर्स = (''c, d'')रिवर्स.

'~~रिवर्स~~'~~: ~~

'''संक्षेप में'''

~~(ए, बी)reverse = {{~~''b''~~}, {''a, b''}} = {{''b''}, {''b, a''}} = (बी, ए)K.~~

~~यदि। अगर (ए~~, ~~बी)~~<~~sub~~>~~reverse~~</~~sub~~> ~~= (सी~~, ~~डी)~~<~~sub~~>~~reverse~~</~~sub~~>,

यदि ''a = c'' और ''b = d'', तो {''a'', {''a, b''<nowiki>}} = {</nowiki>''c'', {''c, d''<nowiki>}} इस प्रकार (</nowiki>''a, b'')छोटा = (''c, d'')छोटा.

~~(बी ० ए~~)K = (डी, सी)K. ~~इसलिए, बी = डी और ए = सी।~~

~~केवल।~~ यदि ~~ए = सी और बी = डी, तो {~~{''b''}, {''a, b''}} = {{''d''}, {''c, d''}}.

''केवल यदि'' मान लीजिए {''a'', {''a, b''<nowiki>}} = {</nowiki>''c'', {''c, d''<nowiki>}}. तब a बाएँ हाथ की ओर है, और इस प्रकार दाएँ हाथ में है। क्योंकि समान समुच्चय में समान अवयव होते हैं, a = c या a = {c, d} में से कोई एक स्थिति होना चाहिए</nowiki>

इस प्रकार (ए, ~~बी)reverse~~ = ~~(सी~~, ~~डी)reverse~~</~~sub~~>.

~~छोटा~~:~~<ref>For~~ a ~~formal [[Metamath]] proof of the adequacy of~~ '''~~short~~''', ~~see [http://us.metamath.org/mpegif/opthreg.html here (opthreg).] Also see Tourlakis (2003)~~, ~~Proposition III.10.1.</ref>~~

: यदि ''a'' = { ''c, d'' }, तो उपरोक्त के समान तर्क से, { ''a, b'' } दाहिने हाथ की ओर है, इसलिए { ''a, b'' } = ''c'' या { ''a, b'' } = { ''c, d'' }।

~~यदि~~: यदि a = c और ~~b = d~~, तो {a, {a, b}} = {c, {c, d}}~~। इस प्रकार (ए~~, ~~बी)short~~ = ~~(सी, डी)short.~~

:: यदि { ''a, b'' } = ''c'' तो ''c'' { ''c, d'' } = ''a'' में है और ''a'' ''c'' में है, और यह संयोजन नियमितता के सिद्धांत के विपरीत है, क्योंकि { ''a, c'' } के संबंध में "तत्व" के तहत कोई न्यूनतम तत्व नहीं है।

:: यदि { ''a, b'' } = { ''c, d'' }, तो ''a'' = { ''c, d'' } = { ''a'' '', b'' } से ''a'' का एक अवयव है, फिर से नियमितता का विरोध करता है। इसलिए ''a = c'' धारण करना चाहिए

~~केवल अगर: मान लीजिए {ए, {ए, बी}} = {सी, {सी, डी}}।~~

दोबारा, हम देखते हैं कि { ''a, b'' } = ''c'' या { ''a, b'' } = { ''c, d'' }।

~~तब a बाएं हाथ की ओर है~~, ~~और इस प्रकार दाहिने हाथ की ओर है।~~

~~क्योंकि समान समुच्चय में समान अवयव होते~~ हैं~~, a = c या a = {c, d} में से कोई एक मामला होना चाहिए।~~

~~: यदि a = {c, d}, तो उपरोक्त समान तर्क के अनुसार, {a, b} दाहिने हाथ की ओर है, इसलिए~~ {a, b} = c या {a, b} = {c, d}।

::यदि {ए, बी} = सी तो सी {सी, डी} = ए में है और ए सी में है, और यह संयोजन नियमितता के सिद्धांत के विपरीत है, क्योंकि {ए, सी} में संबंध तत्व के तहत कोई न्यूनतम तत्व नहीं है का।

::यदि {ए, बी} = {सी, डी}, तो ए, ए का एक तत्व है, ए = {सी, डी} = {ए, बी} से, फिर से नियमितता का विरोध करता है।

~~: इसलिए a = c धारण करना चाहिए।~~

~~दोबारा, हम देखते हैं कि {ए, बी} = सी या {ए, बी} = {सी, डी}।~~

:विकल्प { ''a, b'' } = ''c'' और ''a = c'' का अर्थ है कि ''c'', ''c'' का एक तत्व है, जो नियमितता का विरोध करता है।

: विकल्प {ए, बी} = सी और ए = सी का ~~तात्पर्य~~ है कि ~~सी नियमितता के विपरीत~~, सी का एक तत्व है।

:तो हमारे पास ''a = c'' और { ''a, b'' } = { ''c, d'' }, और इसलिए { ''b'' } = { ''a, b'' } \ { ''a'' } = { ''c, d'' } \ { ''c'' } = { ''d'' }, तो ''b'' = d ।

: तो हमारे पास a = c और {a, b} = {c, d}, और इसलिए: {b} = {a, b} \ {a} = {c, d} \ {c} = {d} , तो बी = ~~डी।~~

===~~क्विन-रॉसर~~ परिभाषा ===

=== कुइन–रोसेर का परिभाषा ===

~~जे.~~ बार्कले रोसेर (1953)<ref>[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.</ref> [[विलार्ड वैन ऑरमन क्वीन]] के कारण आदेशित ~~जोड़ी~~ की एक परिभाषा नियोजित ~~की गई~~ जिसके लिए [[प्राकृतिक संख्या]]ओं की पूर्व परिभाषा की आवश्यकता होती है। ~~होने देना~~ <math>\N</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ~~बनें~~ और पहले परिभाषित करें

[[:hi:जे। बार्कले रोसेर|रोसेर]] (1953) <ref>[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.</ref> ने [[:hi:विलार्ड वैन ऑरमन क्वीन|कुइन]] के कारण आदेशित युग्म की परिभाषा को नियोजित किया जिसके लिए [[:hi:प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] की पूर्व परिभाषा की आवश्यकता होती है। मान लीजिए कि <math>\N</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और पहले परिभाषित करें

:<math>\sigma(x) := \begin{cases}

<math>\sigma(x) := \begin{cases}

x, & \text{if }x \not\in \N, \\

x+1, & \text{if }x \in \N.

\end{cases}</math>

~~कार्यक्रम <math>\sigma</math>~~ यदि यह एक प्राकृतिक संख्या है और इसे अन्यथा छोड़ देता है ~~तो इसके तर्क को बढ़ा देता है;~~ संख्या 0 के कार्यात्मक मान के रूप में प्रकट नहीं ~~होता है~~ <math>\~~sigma</math>.~~

~~जैसा <math>~~x \smallsetminus \N</math> के तत्वों का ~~समुच्चय~~ है ~~<math>x</math> अंदर नही~~ <math>\N</math> ~~पुरानी शैली~~ का

कार्यात्मक अपने तर्क को बढ़ाता है यदि यह एक प्राकृतिक संख्या है और इसे अन्यथा छोड़ देता है संख्या 0 के कार्यात्मक मान के σ रूप में प्रकट नहीं होती है। जैसा <math> {\displaystyle x\smallsetminus \mathbb {N} }{\displaystyle x\smallsetminus \mathbb {N} } </math> के तत्वों का समूह है जो <math>\N</math> में नहीं चलने वाले तत्वों का समूह है

:<math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>

यह ~~छवि (गणित) # एक सेट~~ के ~~सबसेट~~ की ~~छवि~~ है ~~<math>~~x~~</math> नीचे <math>\sigma</math>, छवि (गणित)#अन्य शब्दावली~~ द्वारा ~~<math>\sigma''x</math> भी।~~ आवेदन समारोह ~~<math>\varphi</math> एक सेट~~ x में बस इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, ~~<math>\varphi~~(x)~~</math>~~ में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी ~~सेट~~ x और y के लिए,

: <math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>

:<math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>

:यह σ के तहत समुच्चय x की समुच्चय इमेज है, जिसे कभी-कभी σ″ x द्वारा भी दर्शाया जाता है। आवेदन समारोह φ समुच्चय x में इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, φ(एक्स) में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी समुच्चय x और y के लिए,

: <math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>

आगे परिभाषित करें

~~:<math>\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.</math>~~

~~इस के द्वारा, <math>\psi(x)</math> में हमेशा संख्या 0 होती है।~~

~~अंत में, आदेशित जोड़ी (ए, बी) को अलग संघ के रूप में परिभाषित करें~~

<math>\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.</math>

:<math>(~~A, B~~) := \~~varphi~~[A] \cup ~~\psi[B] =~~ \{~~\varphi(a) : a \in A~~\} ~~\cup \{~~\varphi(b) \cup \{0~~\} : b \in B~~ \}.</math>

(~~जो है <math>\varphi''~~A ~~\cup \psi''~~B~~</math> वैकल्पिक संकेतन~~ में)।

इसके द्वारा, x में हमेशा संख्या 0 होती है।

अंत में, क्रमित युग्म (A, B) को अलग संघ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

~~जोड़ी के सभी तत्वों को निकालना जिसमें 0 नहीं है और पूर्ववत करना~~ <math>\varphi</math> पैदावार ए। इसी तरह, बी को उस जोड़ी के तत्वों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है जिसमें 0 होता है।<ref>[~~https://randall-holmes.github.io/ Holmes, M. Randall~~]~~: ''~~[~~https://web.archive.org/web/20180416202817/http://math.boisestate.edu/~best/best18/Talks/holmes_best18.pdf On Ordered Pairs~~]~~'', on: Boise State, March 29, 2009. The author uses <math>~~\~~sigma_1</math> for <math>~~\varphi~~</math> and <math>\sigma_2</math> for <math>\psi</math>.</ref>~~

<math>(A, B) := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.</math>

~~उदाहरण के लिए, जोड़ी <math>~~( ~~\{\{~~a~~,0\},~~\~~{b,c,1~~\}\~~} ,~~ \{\~~{d,2\},\{e,f,3\}\}~~ )~~</math> के रूप में एन्कोड किया गया है <math>~~\{\{~~a,1~~\}~~,\{~~b~~,c,2\},~~\~~{d,3,0~~\}~~,\{e,f,4,0\}\}</math> बशर्ते <math>a,b,c,d,e,f\notin \N~~</math>.

टाइप थ्योरी में और उसके परिणाम में जैसे स्वयंसिद्ध सेट थ्योरी [[नई नींव]], क्वीन-रॉसर जोड़ी के अनुमानों के समान ही है और इसलिए इसे टाइप-लेवल ऑर्डरेड जोड़ी कहा जाता है। इसलिए इस परिभाषा में एक फ़ंक्शन (गणित) को सक्षम करने का लाभ है, जिसे आदेशित जोड़े के एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, इसके तर्कों के प्रकार से केवल 1 उच्च प्रकार है। यह परिभाषा तभी काम करती है जब प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत हो। न्यू फ़ाउंडेशन में ऐसा होता है, लेकिन टाइप थ्योरी या न्यू फ़ाउंडेशन में नहीं। जे। बार्कले रोसेर ने दिखाया कि इस तरह के एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी (या यहां तक कि 1 आदेशित जोड़ी द्वारा टाइप-रेज़िंग) का अस्तित्व अनंत के स्वयंसिद्ध का अर्थ है। क्विनियन सेट सिद्धांतों के संदर्भ में आदेशित जोड़ी की व्यापक चर्चा के लिए, होम्स (1998) देखें।<~~ref~~>~~Holmes, M. Randall (1998)~~ ''~~[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf Elementary~~

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क्रमित युग्म: Difference between revisions

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 {{short description|Pair of mathematical objects}}
-[[File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|thumb|300px|[[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] [[यूक्लिडियन विमान]] में प्रत्येक बिंदु को एक आदेशित जोड़ी से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि {{sfrac|''x''<sup>2</sup>|4}}+य<sup>2</sup>=1.]]गणित में, [[क्रम|क्रमित]] युग्म (''a'', ''b'') वस्तुओं का युग्म है। जिस क्रम में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है क्रमित युग्म (''a'', ''b'') क्रमित युग्म (''b'', ''a'') से भिन्न है जब तक' '<nowiki/>''a''<nowiki/>' = '''b''<nowiki/>' न हो। (इसके विपरीत, अव्यवस्थित युग्म {''a'', ''b''} अव्यवस्थित युग्म {''b'', ''a''} के बराबर होती है।)
+[[File:Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg|thumb|300px|[[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] [[यूक्लिडियन विमान]] में प्रत्येक बिंदु को एक क्रमित युग्मों से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि {{sfrac|''x''<sup>2</sup>|4}}+y<sup>2</sup>=1.]]गणित में, [[क्रम|क्रमित]] युग्म (''a'', ''b'') वस्तुओं का युग्म है। जिस क्रम में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है क्रमित युग्म (''a'', ''b'') क्रमित युग्म (''b'', ''a'') से भिन्न है जब तक' '<nowiki/>''a''<nowiki/>' = '''b''<nowiki/>' न हो। (इसके विपरीत, अव्यवस्थित युग्म {''a'', ''b''} अव्यवस्थित युग्म {''b'', ''a''} के बराबर होती है।)
 क्रमित युग्मों को 2-टुपल्स, या अनुक्रम (कभी-कभी, कंप्यूटर विज्ञान के संदर्भ में सूचियाँ) भी कहा जाता है जिनकी लंबाई 2 होती है। [[अदिश (गणित)|अदिशों]]  के क्रमित युग्मों को कभी-कभी 2-आयामी [[वेक्टर (गणित और भौतिकी)|सदिश]]  कहा जाता है।
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 जैसे किन्हीं भी दो वस्तुओं के लिए {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} के लिए, क्रमित युग्म {{math|(''a'', ''b'')}} उस क्रम में दो वस्तुओं  {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} को निर्दिष्ट करने वाला संकेत चिन्ह है।<ref name="Wolf">{{citation|first=Robert S.|last=Wolf|title=Proof, Logic, and Conjecture / The Mathematician's Toolbox|publisher=W. H. Freeman and Co.|year=1998|isbn=978-0-7167-3050-7|page=164}}</ref>
-इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक सेट की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक सेट में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।
+इसके बाद प्रायः दो तत्वों के एक समुच्चय की तुलना की जाती है, यह संकेत करते हुए कि एक समुच्चय में {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} अलग होना चाहिए, लेकिन एक क्रमित युग्मों में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक समुच्चय के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, क्रमित युग्मों में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित युग्म बदल जाती है।
 यह "परिभाषा" असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से क्रमित युग्मों के बारे में सोचता है।<ref>{{citation|first1=Peter|last1=Fletcher|first2=C. Wayne|last2=Patty|title=Foundations of Higher Mathematics|publisher=PWS-Kent|year=1988|isbn=0-87150-164-3|page=80}}</ref>
-अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने सेट का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />
+अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए क्रमित युग्म को एक [[आदिम धारणा]] के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था। यह 1954 में प्रकाशित अपने समुच्चय का सिद्धांत में एन.बॉरबाकी समूह द्वारा लिया गया। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि क्रमित युग्मों के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध रूप से ग्रहण किया जाना चाहिए।<ref name="Wolf" />
-क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें सेट सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि सेट सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों  की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।
+क्रमित युग्मों से सख्ती से व्यवहार का एक और तरीका उन्हें समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि समुच्चय सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो क्रमित युग्मों  की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।
 == [[समुच्चय सिद्धान्त]] का उपयोग करते हुए क्रमित युग्म को परिभाषित करना ==
-यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के सेट (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair   is a paradigm for the clarification of philosophical  ideas (see  "[[Word and Object]]", section 53).
+यदि कोई इस बात से सहमत है कि समुच्चय सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म प्राथमिक के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।<ref>[[Willard van Orman Quine|Quine]] has argued that the set-theoretical implementations of the concept of the ordered pair   is a paradigm for the clarification of philosophical  ideas (see  "[[Word and Object]]", section 53).
 The general notion of such definitions or implementations  are discussed in Thomas Forster "Reasoning about theoretical entities".
 </ref> क्रमित युग्मों की कई समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें <ref>{{Cite web|last=Dipert|first=Randall|title=क्रमबद्ध जोड़े के सेट-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व और संबंधों के तर्क के लिए उनकी पर्याप्तता।|url=https://www.academia.edu/|url-status=live}}</ref>).
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 * <math>( a, b )_{\text{short}} :=  \{ a, \{a, b\}\};</math>
 * <math>( a, b )_{\text{01}} := \{\{0, a \}, \{1, b \}\}.</math><ref>This differs from Hausdorff's definition in not requiring the two elements 0 and 1 to be distinct from ''a'' and ''b''.</ref>
-विपरीत परिभाषा केवल कुराटोस्की परिभाषा का निरर्थक संस्करण है, और इस तरह कोई स्वतंत्र हित नहीं है। परिभाषा को छोटा कहा जाता है क्योंकि इसमें [[ब्रेसिज़ (विराम चिह्न)]] के तीन युग्म के बजाय दो की आवश्यकता होती है। यह साबित करने के लिए कि विशिष्ट संपत्ति को संतुष्ट करता है, नियमितता के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref>Tourlakis, George (2003) ''Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory''. Cambridge Univ. Press. Proposition III.10.1.</ref><nowiki> इसके अलावा, यदि कोई प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन के प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय-सैद्धांतिक निर्माण का उपयोग करता है, तो 2 को समुच्चय {0, 1} = {0, {0}} के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो युग्म (0, 0)</nowiki><sub>लघु</sub>  से अप्रभेद्य है। फिर भी छोटी युग्म का एक और नुकसान यह तथ्य है कि भले ही ''ए'' और ''बी'' एक ही प्रकार के हों, छोटी युग्म के तत्व नहीं हैं। (हालांकि, यदि ''a'' = ''b'' तो लघु संस्करण में कार्डिनलिटी 2 बनी रहती है, जो कि किसी भी "युग्म" से उम्मीद की जा सकती है, जिसमें  "क्रमित युग्म" भी शामिल है।
+विपरीत परिभाषा केवल कुराटोस्की परिभाषा का निरर्थक संस्करण है, और इस तरह कोई स्वतंत्र हित नहीं है। परिभाषा को छोटा कहा जाता है क्योंकि इसमें [[ब्रेसिज़ (विराम चिह्न)]] के तीन युग्म के बजाय दो की आवश्यकता होती है। यह साबित करने के लिए कि विशिष्ट संपत्ति को संतुष्ट करता है, नियमितता के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref>Tourlakis, George (2003) ''Lectures in Logic and Set Theory. Vol. 2: Set Theory''. Cambridge Univ. Press. Proposition III.10.1.</ref><nowiki> इसके अलावा, यदि कोई प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन के प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय-सैद्धांतिक निर्माण का उपयोग करता है, तो 2 को समुच्चय {0, 1} = {0, {0}} के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो युग्म (0, 0)</nowiki><sub>लघु</sub>  से अप्रभेद्य है। फिर भी छोटी युग्म का एक और नुकसान यह तथ्य है कि भले ही ''a'' और ''b'' एक ही प्रकार के हों, छोटी युग्म के तत्व नहीं हैं। (हालांकि, यदि ''a'' = ''b'' तो लघु संस्करण में कार्डिनलिटी 2 बनी रहती है, जो कि किसी भी "युग्म" से उम्मीद की जा सकती है, जिसमें  "क्रमित युग्म" भी शामिल है।
 ==== सिद्ध करना कि परिभाषाएँ विशेषता गुण को संतुष्ट करती हैं ====
-साबित करें: (ए, बी) = (सी, डी) [[अगर और केवल अगर]] ए = सी और बी = डी।
+सिद्ध होना: (a, b) = (c, d) [[अगर और केवल अगर]] a = c और b = d।
-'कुरातोवस्की':<br>
+==== '''कुराटोव्स्की''' ====
-यदि। यदि ए = सी और बी = डी, तो {{''a''}, {''a, b''}} = {{''c''}, {''c, d''}}. इस प्रकार (ए, बी)<sub>K</sub> = (सी, डी)<sub>K</sub>.
+<nowiki>यदि a = c और b = d, तो {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}}. इस प्रकार (a, b)</nowiki><sub>K</sub> = (c, d)<sub>K</sub>.
-केवल। दो मामले: ए = बी, और ए ≠ बी।
+केवल दो मामले a = b, और a ≠ b।
-अगर ए = बी:
+अगर a = b
-:(ए, बी)<sub>K</sub> = {{''a''}, {''a, b''}} = {{''a''}, {''a, a''}} = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}.
+:(a, b)<sub>K</sub><nowiki> = {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a, a''<nowiki>}} = </nowiki><nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}.</nowiki>
-:{{''c''}, {''c, d''}} = (सी, डी)<sub>K</sub> = (ए, बी)<sub>K</sub> = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}.
+:<nowiki>{{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}} = (c, d)</nowiki><sub>K</sub> = (a, b)<sub>K</sub> = <nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}.</nowiki>
-: इस प्रकार {सी} = {सी, डी} = {ए}, जिसका अर्थ है ए = सी और ए = डी। परिकल्पना से, ए = बी। इसलिए बी = डी।
+: इस प्रकार {c} = {c, d} = {a}, जिसका अर्थ है a = c और a = d प्रमेय से, a = b अत b = d।
-यदि a ≠ b, तो (a, b)<sub>K</sub> = (सी, डी)<sub>K</sub> तात्पर्य {{''a''}, {''a, b''}} = {{''c''}, {''c, d''}}.
+यदि a ≠ b, तो (a, b)<sub>K</sub> = (c, d)<sub>K</sub><nowiki> तात्पर्य {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}}.</nowiki>
-: मान लीजिए {सी, डी} = {ए}। तब सी = डी = ए, और इसलिए {{''c''}, {''c, d''}} = {{''a''}, {''a, a''}} = {{''a''}, {''a''}} = <nowiki>{{</nowiki>''a''}}. परन्तु फिर {{''a''}, {''a, b''}} <nowiki> के बराबर भी होगा{{</nowiki>''a''}}, ताकि b = a जो a ≠ b के विपरीत हो।
+: <nowiki>मान लीजिए {c, d} = {a}। तब c = d = a, और इसलिए {{</nowiki>''c''}, {''c, d''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a, a''<nowiki>}} = {{</nowiki>''a''}, {''a''<nowiki>}} = </nowiki><nowiki>{{</nowiki>''a''<nowiki>}}. परन्तु फिर {{</nowiki>''a''}, {''a, b''<nowiki>}}  भी बराबर होगा {{</nowiki>''a''<nowiki>}}, कि b = a जो a ≠ b के विपरीत हो।</nowiki>
+:मान लीजिए {c} = {a, b}, तब a = b = c, जो a ≠ b का भी विरोध करता है।
+:इसलिए {c} = {a}, ताकि c = a और {c, d} = {a, b} हो।
+:यदि d = a सत्य थे, तो {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, एक विरोधाभास इस प्रकार d = b स्थिति है, ताकि a = c और b = d हो।
-: मान लीजिए {सी} = {ए, बी}। तब a = b = c, जो a ≠ b का भी विरोध करता है।
+==== ''''प्रतिलोम'''<nowiki/>' ====
+(''a, b'')<sub>रिवर्स</sub><nowiki> = {{</nowiki>''b''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''b''}, {''b, a''<nowiki>}} = (</nowiki>''b, a'')<sub>K</sub>.
-: इसलिए {c} = {a}, ताकि c = a और {c, d} = {a, b} हो।
+''If''. If (''a, b'')<sub>रिवर्स</sub> = (''c, d'')<sub>रिवर्स</sub>, (''b, a'')<sub>K</sub> = (''d, c'')<sub>K</sub> इसलिए, ''b = d'' और ''a = c''.
-: यदि d = a सत्य थे, तो {c, d} = {a, a} = {a} ≠ {a, b}, एक विरोधाभास। इस प्रकार d = b स्थिति है, ताकि a = c और b = d हो।
+''यदि'' ''a = c'' और ''b = d''<nowiki>, तो {{</nowiki>''b''}, {''a, b''<nowiki>}} = {{</nowiki>''d''}, {''c, d''<nowiki>}} इस प्रकार (</nowiki>''a, b'')<sub>रिवर्स</sub> = (''c, d'')<sub>रिवर्स</sub>.
-'रिवर्स':<br>
+'''संक्षेप में'''
-(ए, बी)<sub>reverse</sub> = {{''b''}, {''a, b''}} = {{''b''}, {''b, a''}} = (बी, ए)<sub>K</sub>.
-यदि। अगर (ए, बी)<sub>reverse</sub> = (सी, डी)<sub>reverse</sub>,
+यदि ''a = c'' और ''b = d'', तो {''a'', {''a, b''<nowiki>}} = {</nowiki>''c'', {''c, d''<nowiki>}} इस प्रकार (</nowiki>''a, b'')<sub>छोटा</sub> = (''c, d'')<sub>छोटा</sub>.
-(बी ० ए)<sub>K</sub> = (डी, सी)<sub>K</sub>. इसलिए, बी = डी और ए = सी।
-केवल। यदि ए = सी और बी = डी, तो {{''b''}, {''a, b''}} = {{''d''}, {''c, d''}}.
+''केवल यदि'' मान लीजिए {''a'', {''a, b''<nowiki>}} = {</nowiki>''c'', {''c, d''<nowiki>}}. तब a बाएँ हाथ की ओर है, और इस प्रकार दाएँ हाथ में है। क्योंकि समान समुच्चय में समान अवयव होते हैं, a = c या a = {c, d} में से कोई एक स्थिति होना चाहिए</nowiki>
-इस प्रकार (ए, बी)<sub>reverse</sub> = (सी, डी)<sub>reverse</sub>.
-छोटा:<ref>For a formal [[Metamath]] proof of the adequacy of '''short''', see [http://us.metamath.org/mpegif/opthreg.html here (opthreg).] Also see Tourlakis (2003), Proposition III.10.1.</ref>
+: यदि ''a'' = { ''c, d'' }, तो उपरोक्त के समान तर्क से, { ''a, b'' } दाहिने हाथ की ओर है, इसलिए { ''a, b'' } = ''c'' या { ''a, b'' } = { ''c, d'' }।
-यदि: यदि a = c और b = d, तो {a, {a, b}} = {c, {c, d}}। इस प्रकार (ए, बी)<sub>short</sub> = (सी, डी)<sub>short</sub>.
+:: यदि { ''a, b'' } = ''c'' तो ''c'' { ''c, d'' } = ''a'' में है और ''a'' ''c'' में है, और यह संयोजन नियमितता के सिद्धांत के विपरीत है, क्योंकि { ''a, c'' } के संबंध में "तत्व" के तहत कोई न्यूनतम तत्व नहीं है।
+:: यदि { ''a, b'' } = { ''c, d'' }, तो ''a'' = { ''c, d'' } = { ''a'' '', b'' } से ''a'' का एक अवयव है, फिर से नियमितता का विरोध करता है। इसलिए ''a = c'' धारण करना चाहिए
-केवल अगर: मान लीजिए {ए, {ए, बी}} = {सी, {सी, डी}}।
+दोबारा, हम देखते हैं कि { ''a, b'' } = ''c'' या { ''a, b'' } = { ''c, d'' }।
-तब a बाएं हाथ की ओर है, और इस प्रकार दाहिने हाथ की ओर है।
-क्योंकि समान समुच्चय में समान अवयव होते हैं, a = c या a = {c, d} में से कोई एक मामला होना चाहिए।
-: यदि a = {c, d}, तो उपरोक्त समान तर्क के अनुसार, {a, b} दाहिने हाथ की ओर है, इसलिए {a, b} = c या {a, b} = {c, d}।
-::यदि {ए, बी} = सी तो सी {सी, डी} = ए में है और ए सी में है, और यह संयोजन नियमितता के सिद्धांत के विपरीत है, क्योंकि {ए, सी} में संबंध तत्व के तहत कोई न्यूनतम तत्व नहीं है का।
-::यदि {ए, बी} = {सी, डी}, तो ए, ए का एक तत्व है, ए = {सी, डी} = {ए, बी} से, फिर से नियमितता का विरोध करता है।
-: इसलिए a = c धारण करना चाहिए।
-दोबारा, हम देखते हैं कि {ए, बी} = सी या {ए, बी} = {सी, डी}।
+:विकल्प { ''a, b'' } = ''c'' और ''a = c'' का अर्थ है कि ''c'', ''c'' का एक तत्व है, जो नियमितता का विरोध करता है।
-: विकल्प {ए, बी} = सी और ए = सी का तात्पर्य है कि सी नियमितता के विपरीत, सी का एक तत्व है।
+:तो हमारे पास ''a = c'' और { ''a, b'' } = { ''c, d'' }, और इसलिए { ''b'' } = { ''a, b'' } \ { ''a'' } = { ''c, d'' } \ { ''c'' } = { ''d'' }, तो ''b''     = d ।
-: तो हमारे पास a = c और {a, b} = {c, d}, और इसलिए: {b} = {a, b} \ {a} = {c, d} \ {c} = {d} , तो बी = डी।
-===क्विन-रॉसर परिभाषा ===
+=== कुइन–रोसेर का परिभाषा ===
-जे. बार्कले रोसेर (1953)<ref>[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.</ref> [[विलार्ड वैन ऑरमन क्वीन]] के कारण आदेशित जोड़ी की एक परिभाषा नियोजित की गई जिसके लिए [[प्राकृतिक संख्या]]ओं की पूर्व परिभाषा की आवश्यकता होती है। होने देना <math>\N</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय बनें और पहले परिभाषित करें
+[[:hi:जे। बार्कले रोसेर|रोसेर]] (1953) <ref>[[J. Barkley Rosser]], 1953. ''Logic for Mathematicians''. McGraw–Hill.</ref> ने [[:hi:विलार्ड वैन ऑरमन क्वीन|कुइन]] के कारण आदेशित युग्म की परिभाषा को नियोजित किया जिसके लिए [[:hi:प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] की पूर्व परिभाषा की आवश्यकता होती है। मान लीजिए कि <math>\N</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और पहले परिभाषित करें
-:<math>\sigma(x) := \begin{cases}
+<math>\sigma(x) := \begin{cases}
        x, & \text{if }x \not\in \N, \\
        x+1, & \text{if }x \in \N.
      \end{cases}</math>
-कार्यक्रम <math>\sigma</math> यदि यह एक प्राकृतिक संख्या है और इसे अन्यथा छोड़ देता है तो इसके तर्क को बढ़ा देता है; संख्या 0 के कार्यात्मक मान के रूप में प्रकट नहीं होता है <math>\sigma</math>.
-जैसा <math>x \smallsetminus \N</math> के तत्वों का समुच्चय है <math>x</math> अंदर नही <math>\N</math> पुरानी शैली का
+कार्यात्मक अपने तर्क को बढ़ाता है यदि यह एक प्राकृतिक संख्या है और इसे अन्यथा छोड़ देता है संख्या 0 के कार्यात्मक मान के σ रूप में प्रकट नहीं होती है। जैसा <math> {\displaystyle x\smallsetminus \mathbb {N} }{\displaystyle x\smallsetminus \mathbb {N} } </math> के तत्वों का समूह है जो <math>\N</math> में नहीं चलने वाले तत्वों का समूह है
-:<math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>
-यह छवि (गणित) # एक सेट के सबसेट की छवि है <math>x</math> नीचे <math>\sigma</math>, छवि (गणित)#अन्य शब्दावली द्वारा <math>\sigma''x</math> भी। आवेदन समारोह <math>\varphi</math> एक सेट x में बस इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, <math>\varphi(x)</math> में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी सेट x और y के लिए,
+: <math>\varphi(x) := \sigma[x] = \{\sigma(\alpha)\mid\alpha \in x\} = (x \smallsetminus \N) \cup \{n+1 : n \in (x \cap \N) \}.</math>
-:<math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>
+:यह σ के तहत समुच्चय x की समुच्चय इमेज है, जिसे कभी-कभी σ″ x द्वारा भी दर्शाया जाता है। आवेदन समारोह φ समुच्चय x में  इसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में वृद्धि होती है। विशेष रूप से, φ(एक्स) में कभी भी 0 नहीं होता है, ताकि किसी भी समुच्चय x और y के लिए,
+: <math>\varphi(x) \neq \{0\} \cup \varphi(y).</math>
 आगे परिभाषित करें
-:<math>\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.</math>
-इस के द्वारा, <math>\psi(x)</math> में हमेशा संख्या 0 होती है।
-अंत में, आदेशित जोड़ी (ए, बी) को अलग संघ के रूप में परिभाषित करें
+<math>\psi(x) := \sigma[x] \cup \{0\} = \varphi(x) \cup \{0\}.</math>
-:<math>(A, B) := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.</math>
-(जो है <math>\varphi''A \cup \psi''B</math> वैकल्पिक संकेतन में)।
+इसके द्वारा, x में हमेशा संख्या 0 होती है।
+अंत में, क्रमित युग्म (A, B) को अलग संघ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
-जोड़ी के सभी तत्वों को निकालना जिसमें 0 नहीं है और पूर्ववत करना <math>\varphi</math> पैदावार ए। इसी तरह, बी को उस जोड़ी के तत्वों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है जिसमें 0 होता है।<ref>[https://randall-holmes.github.io/ Holmes, M. Randall]: ''[https://web.archive.org/web/20180416202817/http://math.boisestate.edu/~best/best18/Talks/holmes_best18.pdf On Ordered Pairs]'', on: Boise State, March 29, 2009. The author uses <math>\sigma_1</math> for <math>\varphi</math> and <math>\sigma_2</math> for <math>\psi</math>.</ref>
+<math>(A, B) := \varphi[A] \cup \psi[B] = \{\varphi(a) : a \in A\} \cup \{\varphi(b) \cup \{0\} : b \in B \}.</math>
-उदाहरण के लिए, जोड़ी <math>( \{\{a,0\},\{b,c,1\}\} , \{\{d,2\},\{e,f,3\}\} )</math> के रूप में एन्कोड किया गया है <math>\{\{a,1\},\{b,c,2\},\{d,3,0\},\{e,f,4,0\}\}</math> बशर्ते <math>a,b,c,d,e,f\notin \N</math>.
-टाइप थ्योरी में और उसके परिणाम में जैसे स्वयंसिद्ध सेट थ्योरी [[नई नींव]], क्वीन-रॉसर जोड़ी के अनुमानों के समान ही है और इसलिए इसे टाइप-लेवल ऑर्डरेड जोड़ी कहा जाता है। इसलिए इस परिभाषा में एक फ़ंक्शन (गणित) को सक्षम करने का लाभ है, जिसे आदेशित जोड़े के एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, इसके तर्कों के प्रकार से केवल 1 उच्च प्रकार है। यह परिभाषा तभी काम करती है जब प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय अनंत हो। न्यू फ़ाउंडेशन में ऐसा होता है, लेकिन टाइप थ्योरी या न्यू फ़ाउंडेशन में नहीं। जे। बार्कले रोसेर ने दिखाया कि इस तरह के एक प्रकार-स्तरीय आदेशित जोड़ी (या यहां तक कि 1 आदेशित जोड़ी द्वारा टाइप-रेज़िंग) का अस्तित्व अनंत के स्वयंसिद्ध का अर्थ है। क्विनियन सेट सिद्धांतों के संदर्भ में आदेशित जोड़ी की व्यापक चर्चा के लिए, होम्स (1998) देखें।<ref>Holmes, M. Randall (1998) ''[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf  Elementary