कोण: Difference between revisions

Revision as of 11:30, 30 June 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।

[[ यूक्लिडियन ज्यामिति ]] में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के पक्ष कहा जाता है, जो एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करता है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।^[1]दो किरणों से बनने वाले कोण उस तल में होते हैं जिसमें किरणें होती हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। इन्हें डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों के स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है कोना; सजातीय शब्द ग्रीक हैं ἀγκύλος (ankylοs), जिसका अर्थ है कुटिल, घुमावदार, और अंग्रेजी शब्द टखने। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपीय भाषा से जुड़े हुए हैं | प्रोटो-इंडो-यूरोपियन रूट * एंक-, जिसका अर्थ है झुकना या झुकना।^[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के संबंध में सीधे झूठ नहीं बोलती हैं। प्रोक्लस के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग यूडेमस द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।^[3]

कोणों की पहचान

गणितीय अभिव्यक्तियों में, ग्रीक अक्षरों का उपयोग करना आम है (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप में (इसके अन्य अर्थ के साथ भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक $π$ आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है)। लोअरकेस रोमन अक्षरों (ए, बी, सी, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे संदर्भों में जहां यह भ्रमित नहीं है, एक कोण को ऊपरी केस रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को दर्शाया गया है $∠BAC$ या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ . जहां भ्रम का कोई खतरा नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस मामले में कोण ए) द्वारा संदर्भित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, एक कोण के रूप में दर्शाया गया है, कहते हैं, $∠BAC$ , चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण की दिशा है मापा इसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, यह संदर्भ से स्पष्ट है कि सकारात्मक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक सम्मेलन अपनाया जा सकता है ताकि $∠BAC$ हमेशा बी से सी तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण को संदर्भित करता है, और $∠CAB$ C से B तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता (देखें .)§ Positive and negative angles):^[4]^[5]* 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

एक समकोण (90° से कम) से छोटे कोण को न्यून कोण (न्यून कोण का अर्थ तेज) कहा जाता है।
के बराबर कोण 1/4बारी (90° or $π$ /2 रेडियन) को समकोण कहा जाता है। समकोण बनाने वाली दो रेखाएँ सामान्य, ओर्थोगोनल या लंबवत कहलाती हैं।
एक समकोण से बड़ा और एक सीधे कोण से छोटा (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण (अधिक अर्थ वाला कुंद) कहा जाता है।
के बराबर कोण {sfrac|2}} मोड़ (180° or .) $π$ रेडियन) को एक सीधा कोण कहा जाता है।
एक सीधे कोण से बड़ा लेकिन एक मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) कोण को प्रतिवर्त कोण कहा जाता है।
1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 .) $π$ रेडियन) को पूर्ण कोण, पूर्ण कोण, गोल कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिरछा कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं:

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

Unit	Interval
Name	zero	acute	right angle	obtuse	straight	reflex	perigon
turn	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
radian	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
degree	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
gon	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

तुल्यता कोण जोड़े

समान माप वाले कोण (अर्थात समान परिमाण) समान या सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
दो कोण जो टर्मिनल पक्षों को साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का तीव्र संस्करण है जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण को जोड़कर निर्धारित किया जाता है (1/2 मोड़, 180°, या $π$ रेडियन), जब तक आवश्यक हो, तब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण है, 0 और . के बीच का मान 1/4 मोड़, 90°, या $π$ /2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री के कोण में 30 डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150 डिग्री के कोण में 30 डिग्री (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750 डिग्री के कोण का संदर्भ कोण 30 डिग्री (750-720) होता है।^[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

और D ऊर्ध्वाधर कोणों का एक युग्म है। हैच_मार्क#कॉन्ग्रेंसी_नोटेशन|हैच के निशान यहां कोण समानता दिखाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।

दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.^[7]: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।^[8]^[9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, ऊर्ध्वाधर कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,^[9] जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे:

सभी समकोण समान होते हैं।
बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।

जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा 180° − x. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी 180° − x. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण के माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B के माप को ज्ञात करते हैं 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं।

कोण A और B आसन्न हैं।

आसन्न कोण, अक्सर adj के रूप में संक्षिप्त। s, ऐसे कोण हैं जो एक सामान्य शीर्ष और किनारे साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, वे कोण होते हैं जो अगल-बगल होते हैं, या आसन्न होते हैं, एक हाथ साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, सीधे कोण या पूर्ण कोण के योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः पूरक, पूरक और पूरक कोण कहलाते हैं (देखें।§ Combining angle pairsनीचे)।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (अक्सर समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संबंधित कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।^[10]

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a का पूरक है। > b) का पूरक है।

पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है (1/4 मोड़, 90°, या $π$ /2 रेडियन)।^[11]यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।

विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है।

कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।^[12]:यदि कोण A और B पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

\begin{aligned}  \end{aligned}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

@@ Line 213: / Line 213: @@
 === इकाइयां ===
 [[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]
-Dian
 पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे समकालीन इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, हालाँकि कई अन्य का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
@@ Line 225: / Line 225: @@
 कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि घुमावों की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
-{|वर्ग = विकिटेबल
+{|class = "wikitable"
-!नाम !!नंबर एक मोड़ में !!डिग्री में !!विवरण
+!name !!number in one turn!!in degrees !!description
+|-
+|[[turn (geometry)|Turn]]||1||360° || The ''turn'', also ''cycle'', ''revolution'', and ''rotation'', is complete circular movement or measure (as to return to the same point) with circle or ellipse.  A turn is abbreviated ''cyc'', ''rev'', or ''rot'' depending on the application. A turn is equal to [[Turn_(angle)#Proposals_for_a_single_letter_to_represent_2π|2{{pi}}]] radians or 360 degrees.
+|-
+|{{anchor|Multiples of π}}Multiples of {{pi}}||2||180° || The ''multiples of {{pi}} radians'' (MUL{{pi}}) unit is implemented in the [[Reverse Polish Notation|RPN]] scientific calculator [[WP&nbsp;43S]].<ref name="Bonin_2016"/><ref name="Bonin_2019_OG"/><ref name="Bonin_2019_RG"/> See also: [[IEEE 754 recommended operations]]
 |-
-|टर्न||1||360° || मोड़, चक्र, क्रांति, और रोटेशन, सर्कल या अंडाकार के साथ पूर्ण परिपत्र आंदोलन या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। आवेदन के आधार पर एक मोड़ संक्षिप्त रूप से cyc, rev, या rot है। एक मोड़ टर्न_(कोण) के बराबर होता है#प्रस्ताव_के लिए_एक_अक्षर_to_represent_2π|2{{pi}}रेडियन या 360 डिग्री।
+|[[circular sector|Quadrant]]||4||90°||One ''quadrant'' is a {{sfrac|4}}&nbsp;turn and also known as a ''[[right angle]]''. The quadrant is the unit used in [[Euclid's Elements]]. In German, the symbol <sup>∟</sup> has been used to denote a quadrant. 1 quad = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}}&nbsp;rad = {{sfrac|4}} turn = 100&nbsp;grad.
 |-
-|{{anchor|Multiples of π}}के गुणज {{pi}}||2||180° || के गुणज {{pi}} रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई RPN वैज्ञानिक कैलकुलेटर WP 43S में लागू की गई है।<ref name="Bonin_2016 /><ref name="Bonin_2019_ओजी /><ref name="Bonin_2019_RG /> यह भी देखें: IEEE 754 अनुशंसित संचालन
+|[[circular sector|Sextant]]||6||60°||The ''sextant'' was the unit used by the [[Babylonians]],<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> The degree, minute of arc and second of arc are [[sexagesimal]] subunits of the Babylonian unit. It is especially easy to construct with ruler and compasses. It is the ''angle of the [[equilateral triangle]]'' or is {{sfrac|6}}&nbsp;turn. 1 Babylonian unit = 60° = {{pi}}/3&nbsp;rad ≈ 1.047197551&nbsp;rad.
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-|चतुर्थांश||4||90°||एक चतुर्थांश a . है {{sfrac|4}}मोड़ और एक समकोण के रूप में भी जाना जाता है। चतुर्थांश [[ यूक्लिड के तत्व ]]ों में प्रयुक्त इकाई है। जर्मन में, प्रतीक <sup>∟</sup>चतुर्भुज को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड = {{sfrac|4}} बारी = 100 ग्रेड।
+|[[Radian]]||{{math|2''π''}}||57°17′||The ''radian'' is determined by the circumference of a circle that is equal in length to the radius of the circle (''n''&nbsp;=&nbsp;2{{pi}}&nbsp;=&nbsp;6.283...). It is the angle subtended by an arc of a circle that has the same length as the circle's radius. The symbol for radian is ''rad''. One turn is 2{{math|π}}&nbsp;radians, and one radian is {{sfrac|180°|{{pi}}}}, or about 57.2958 degrees. In mathematical texts, angles are often treated as being dimensionless with the radian equal to one, resulting in the unit ''rad'' often being omitted. The radian is used in virtually all mathematical work beyond simple practical geometry, due, for example, to the pleasing and "natural" properties that the [[trigonometric function]]s display when their arguments are in radians. The radian is the (derived) unit of angular measurement in the [[SI]], which also treats angle as being dimensionless.
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-|सेक्सटेंट||6||60°||सेक्सटेंट वह इकाई थी जिसका इस्तेमाल बेबीलोन के लोग करते थे,<ref name="Jeans_1947 /><ref name="Murnaghan_1946 /> डिग्री, चाप का मिनट और चाप का दूसरा भाग बेबीलोनियाई इकाई की सेक्सेजिमल सबयूनिट हैं। शासक और परकार के साथ निर्माण करना विशेष रूप से आसान है। यह समबाहु त्रिभुज का कोण है या is {{sfrac|6}}मोड़। 1 बेबीलोन की इकाई = 60° = {{pi}}/ 3 रेड 1.047197551 रेड।
+| Hexacontade||60 ||6°||The ''hexacontade'' is a unit used by [[Eratosthenes]]. It is equal to 6°, so that a whole turn was divided into 60 hexacontades.
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-||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई में होता है (n = 2{{pi}}= 6.283...)। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड है। एक मोड़ 2 . है{{math|π}}रेडियन, और एक रेडियन है {{sfrac|180°|{{pi}}}}, या लगभग 57.2958 डिग्री। गणितीय ग्रंथों में कोण o . होते हैंften को एक के बराबर रेडियन के साथ आयामहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप यूनिट रेड को अक्सर छोड़ दिया जाता है। रेडियन का प्रयोग व्यावहारिक ज्यामिति से परे लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, मनभावन और प्राकृतिक गुणों के कारण जो [[ त्रिकोणमितीय कार्य ]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं। रेडियन एसआई में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को आयामहीन भी मानता है।
 |-
-| Hexacontade||60|6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग इरेटोस्थनीज द्वारा किया जाता है। यह 6° के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है।
+|[[Binary angular measurement|Binary degree]] ||256||1°33'45"  || The ''binary degree'', also known as the ''[[binary radian]]'' or ''brad'' or ''binary angular measurement (BAM)''.<ref name="ooPIC"/> The binary degree is used in computing so that an angle can be efficiently represented in a single [[byte]] (albeit to limited precision). Other measures of angle used in computing may be based on dividing one whole turn into 2<sup>''n''</sup> equal parts for other values of ''n''.
+<ref name="Hargreaves_2010"/> It is {{sfrac|256}} of a turn.<ref name="ooPIC"/>
 |-
-|बाइनरी डिग्री ||256||1°33'45 || बाइनरी डिग्री, जिसे बाइनरी रेडियन या ब्रैड या [[ बाइनरी कोणीय माप ]] (BAM) के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/>बाइनरी डिग्री का उपयोग कंप्यूटिंग में किया जाता है ताकि एक कोण को एक बाइट में कुशलता से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। कंप्यूटिंग में प्रयुक्त कोण के अन्य उपाय एक पूरे मोड़ को 2 . में विभाजित करने पर आधारित हो सकते हैं<sup>''n''</sup>n के अन्य मानों के लिए समान भाग।
+|[[degree (angle)|Degree]] ||360 ||1°|| One advantage of this old [[sexagesimal]] subunit is that many angles common in simple geometry are measured as a whole number of degrees. Fractions of a degree may be written in normal decimal notation (e.g. 3.5° for three and a half degrees), but the "minute" and "second" sexagesimal subunits of the "degree-minute-second" system are also in use, especially for [[Geographic coordinate system|geographical coordinates]] and in [[astronomy]] and [[ballistics]] (''n''&nbsp;=&nbsp;360) The ''degree'', denoted by a small superscript circle (°), is 1/360 of a turn, so one ''turn'' is 360°. The case of degrees for the formula given earlier, a ''degree'' of ''n'' = 360° units is obtained by setting ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}.
-<ref name="Hargreaves_2010 /> यह है {{sfrac|256}} एक मोड़ का।<ref name="ooPIC"/>|-
-|डिग्री ||360 ||1°|| इस पुराने सेक्जेसिमल सबयूनिट का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव अंकन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए साढ़े तीन डिग्री के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन डिग्री-मिनट-सेकंड सिस्टम की मिनट और दूसरी सेक्सेजिमल सब यूनिट भी उपयोग में हैं, खासकर भौगोलिक निर्देशांक और खगोल विज्ञान में और बैलिस्टिक (n = 360) एक छोटे सुपरस्क्रिप्ट सर्कल (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ 360° है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, k = . सेट करके n = 360° इकाइयों की एक डिग्री प्राप्त की जाती है {{sfrac|360°|2{{pi}}}}.
 |-
-| ग्रैड||400 ||0°54′ || ग्रेड, जिसे ग्रेड, ग्रेडियन या गॉन भी कहा जाता है। यह चतुर्थांश की दशमलव उपइकाई है। एक समकोण 100 ग्रैड है। एक किलोमीटर को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक मध्याह्न रेखा के साथ चाप के एक सेंटी-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर सेक्सजेसिमल नॉटिकल मील (n = 400) का दशमलव एनालॉग है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है।
+| [[grad (angle)|Grad]]||400 ||0°54′ || The ''grad'', also called ''grade'', ''[[gradian]]'', or ''gon''. It is a decimal subunit of the quadrant. A right angle is 100 grads. A [[kilometre]] was historically defined as a [[centi]]-grad of arc along a [[meridian (geography)|meridian]] of the Earth, so the kilometer is the decimal analog to the [[sexagesimal]] [[nautical mile]] (''n''&nbsp;=&nbsp;400). The grad is used mostly in [[triangulation (surveying)|triangulation]] and continental [[surveying]].
 |-
-| |21,600 ||0°1′|| चाप का मिनट (या एमओए, आर्कमिन्यूट, या बस मिनट) है {{sfrac|60}} एक डिग्री का। एक समुद्री मील को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक बड़े वृत्त (n = 21,600) के साथ चाप के एक मिनट के रूप में परिभाषित किया गया था। आर्कमिन्यूट है {{sfrac|60}} डिग्री का = {{sfrac|21,600}} मोड़। इसे एक अभाज्य ( ′ ) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3° 30′ 3 × 60 + 30 = 210 मिनट या 3 + के बराबर है{{sfrac|30|60}} = 3.5 डिग्री। कभी-कभी दशमलव अंशों के साथ मिश्रित प्रारूप का भी उपयोग किया जाता है, उदा। 3° 5.72′ = 3 +{{sfrac|5.72|60}} डिग्री। एक समुद्री मील को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक महान वृत्त के साथ एक आर्कमिन्यूट के रूप में परिभाषित किया गया था।
+| [[Minute of arc]]||21,600 ||0°1′|| The ''minute of arc'' (or ''MOA'', ''arcminute'', or just ''minute'') is {{sfrac|60}} of a degree. A [[nautical mile]] was historically defined as a minute of arc along a [[great circle]] of the Earth (''n''&nbsp;=&nbsp;21,600).  The ''arcminute'' is {{sfrac|60}} of a degree = {{sfrac|21,600}} turn. It is denoted by a single prime (&nbsp;′&nbsp;). For example, 3°&nbsp;30′ is equal to 3&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;=&nbsp;210 minutes or 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|30|60}} = 3.5 degrees. A mixed format with decimal fractions is also sometimes used, e.g. 3°&nbsp;5.72′ = 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|5.72|60}} degrees. A [[nautical mile]] was historically defined as an arcminute along a [[great circle]] of the Earth.
 |-
-| |1,296,000 ||0°0′1″||आर्क का दूसरा (या आर्कसेकंड, या सिर्फ दूसरा) है {{sfrac|60}} चाप के एक मिनट और {{sfrac|3600}} एक डिग्री का (n = 1,296,000)। आर्कसेकंड (या चाप का दूसरा, या सिर्फ दूसरा) है {{sfrac|60}} एक चापाकल का और {{sfrac|3600}} एक डिग्री का। इसे दोहरे अभाज्य ( ″ ) से निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3° 7′ 30″ 3 + . के बराबर है {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} डिग्री, या 3.125 डिग्री।
+| [[Second of arc]]||1,296,000 ||0°0′1″||The ''second of arc'' (or ''arcsecond'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of a minute of arc and {{sfrac|3600}} of a degree (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000). The ''arcsecond'' (or ''second of arc'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of an arcminute and {{sfrac|3600}} of a degree. It is denoted by a double prime (&nbsp;″&nbsp;). For example, 3°&nbsp;7′&nbsp;30″ is equal to 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} degrees, or 3.125&nbsp;degrees.
 |}
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