चिरायता (गणित)

Error creating thumbnail:

यहां के पदचिह्न चिरायता को प्रदर्शित करते हैं। व्यक्तिगत बाएँ और दाएँ पैरों के निशान विमान में चिरल एनेंटिओमोर्फ हैं क्योंकि वे व्यक्तिगत रूप से कोई दर्पण समरूपता नहीं रखते हुए दर्पण चित्र हैं।

ज्यामिति में, आकृति चिरायता को प्रकट करती है (और कहा जाता है कि चिरायता है) यदि यह अपनी दर्पण प्रतिबिंब के समान नहीं है, या अधिक त्रुटिहीन रूप से, यदि इसे घूर्णन (गणित) और अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा इसकी दर्पण प्रतिबिंब में मैप नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार वस्तु जो चिरायता नहीं है, उसे 'अचिरायता' कहा जाता है।

इस प्रकार किसी चिरायता वस्तु और उसकी दर्पण प्रतिबिंब को एनेंटिओमोर्फ्स कहा जाता है। 'चिरायता' शब्द ग्रीक से लिया गया है, इस प्रकार χείρ (चीर), हाथ, सबसे परिचित चिरायता वस्तु तथा एनंटीओमर शब्द ग्रीक से उपजा है जिसका अर्थ ἐναντίος (enantios) 'विपरीत' + μορφή का 'रूप' हैं।

उदाहरण

File:3D Cartesian Coodinate Handedness.jpg

Left और दाएँ हाथ के नियम तीन आयामों में

टेट्रोमिनोस एस और जेड 2-आयामों में एन्टीओमर हैं

File:Tetromino S.svg S	File:Tetromino Z.svg Z

चिरल त्रि-आयामी वस्तुओं, जैसे कुंडलित वक्रता, को दाएं हाथ के नियम के अनुसार दाएं या बाएं हाथ से सौंपा जा सकता है।

कई अन्य परिचित वस्तुएं मानव शरीर की समान चिरल समरूपता प्रदर्शित करती हैं, जैसे दस्ताने और जूते के रूप में प्रकट कर सकते हैं। यह मुख्य रूप से दाएं जूते बाएं जूते से केवल दूसरे की दर्पण प्रतिबिंब होने से भिन्न होते हैं। इस कारण इसके विपरीत पतले दस्तानों को चिरायता नहीं माना जा सकता है यदि आप उन्हें विक्षनरी:इनसाइड आउट या इनसाइड आउट पहन सकते हैं।

लोकप्रिय वीडियो गेम टेट्रिस के जे, एल, एस और जेड-आकार के टेट्रोमिनो भी चिरायता प्रदर्शित करते हैं, किन्तु इस प्रकार यदि द्वि-आयामी समतल में स्थिति होते हैं। व्यक्तिगत रूप से उनमें समतल में कोई दर्पण सममिति नहीं होती है।

चिरायता और समरूपता समूह

एक आकृति अचिरल है यदि और केवल यदि इसके समरूपता समूह में कम से कम अभिविन्यास व्युत्क्रम आइसोमेट्री है। (यूक्लिडियन ज्यामिति में किसी भी आइसोमेट्री को इस रूप में लिखा जा सकता है $v\mapsto Av+b$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ $A$ और वेक्टर $b$. का निर्धारक $A$ या तो 1 या -1 है। यदि यह -1 है तो आइसोमेट्री ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग है, अन्यथा यह ओरिएंटेशन-प्रिजर्विंग है।

समूह सिद्धांत पर आधारित चिरायता की सामान्य परिभाषा सम्मिलित है। यह किसी भी ओरिएंटेशन अवधारणा को संदर्भित नहीं करता है: आइसोमेट्री प्रत्यक्ष है यदि यह आइसोमेट्री के वर्गों का उत्पाद है, और यदि नहीं, तो यह अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री है। इसके परिणामी चिरायता परिभाषा स्पेसटाइम में कार्य करती है।

दो आयामों में चिरायता

File:Bracelets33.svg

बीच में रंगीन नेकलेस (कॉम्बिनेटरिक्स) दो आयामों में चिरल है, दो अन्य अचिरल हैं।
इसका मतलब है कि टेबल पर भौतिक हार के रूप में टेबल पर रहते हुए बाएं और दाएं को उनकी दर्पण प्रतिबिंब में घुमाया जा सकता है। चूंकि बीच वाले को उठाकर तीन आयामों में बदलना होगा।

File:Triangle.Scalene.svg

एक विषमबाहु त्रिभुज में दर्पण समरूपता नहीं होती है, और इसलिए यह 2-आयामों में चिरल पॉलीटोप है।

दो आयामों में, प्रत्येक आकृति जिसमें समरूपता का अक्ष होता है, अचिरल होता है, और यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक परिबद्ध अचिरल आकृति में समरूपता का अक्ष होना चाहिए। (एक आकृति की समरूपता का अक्ष $F$ रेखा है $L$, ऐसा है कि $F$ मैपिंग के अनुसार अपरिवर्तनीय है $(x,y)\mapsto (x,-y)$, कब $L$ होने के लिए चुना जाता है इस प्रकार समन्वय प्रणाली को $x$-अक्ष द्वारा प्रकट किया जाता हैं।) इस कारण से, त्रिभुज अचिरल है यदि यह समबाहु त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज है, और चिरायता है यदि यह विषमबाहु है।

निम्नलिखित प्रारूप पर विचार करें:

File:Krok 6.pngयह आकृति चिरायता है, क्योंकि इस कारण यह अपनी दर्पण प्रतिबिंब के समान नहीं है:

File:Krok 6 mirrored.pngकिन्तु यदि कोई प्रारूप को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाता है, तो उसे (अनबाउंड) अचिरल आकृति प्राप्त होती है जिसमें समरूपता का कोई अक्ष नहीं होता है। इसका समरूपता समूह एकल ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न फ्रीज़ समूह के रूप में उपयोग किया जाता हैं।

तीन आयामों में चिरायता

File:Chiralität von Würfeln V.1.svg

चिरायता पासा की जोड़ी (एनंटीओमर)

तीन आयामों में, प्रत्येक आकृति जिसमें समरूपता S₁ का दर्पण तल होता है, समरूपता S₂ का व्युत्क्रम केंद्र, या उच्च अनुचित घुमाव (रोटररिफ्लेक्शन) S_nसमरूपता की धुरी अचिरल है। (एक आकृति की समरूपता का तल $F$ विमान है $P$, ऐसा है कि $F$ मैपिंग के अनुसार अपरिवर्तनीय है $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$, इस प्रकार $P$ होने के लिए $x$-$y$- समन्वय प्रणाली का समतल चुना जाता है। इस प्रकार इस आकृति की समरूपता $F$ का केंद्र बिन्दु $C$ है , ऐसा है कि $F$ मैपिंग के अनुसार अपरिवर्तनीय है $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$, इस स्थिति में $C$ को निर्देशांक प्रणाली के मूल के रूप में चुना गया है।) ध्यान दें, चूंकि, ऐसे अचिरल आंकड़े हैं जिनमें समरूपता के समतल और केंद्र दोनों की कमी है। उदाहरण के रूप में कुछ आंकड़े इस प्रकार है

$F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}$

जो ओरिएंटेशन रिवर्सिंग आइसोमेट्री $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ के अनुसार अपरिवर्तनीय है और इस प्रकार अचिरल, किन्तु इसमें न तो समतल है और न ही समरूपता के केंद्र का आंकड़ा इस प्रकार प्रकट किया जाता हैं।

$F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}$

यह भी अचिरल है क्योंकि मूल समरूपता का केंद्र है, किन्तु इसमें समरूपता के तल का अभाव है।

अचिरल आकृतियों में तीन आयामों में बिंदु समूह हो सकते हैं जो समरूपता का केंद्र हैं।

क्नाट सिद्धांत

क्नाट (गणित) को अचिरायता कहा जाता है, इस प्रकार यदि इसे अपनी दर्पण प्रतिबिंब में निरंतर विकृत किया जा सकता है, अन्यथा इसे चिरल क्नाट कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अननॉट और फिगर-आठ क्नाट (गणित) या फिगर-आठ क्नाट अचिरायता हैं, जबकि ट्रेफिल क्नाट चिरायता को प्रकट करती है।

यह भी देखें

• चिरायता पॉलीटोप
• चिरायता (भौतिकी)
• चिरायता (रसायन विज्ञान)
• विषमता
• तिरछापन
• वर्टेक्स बीजगणित

अग्रिम पठन

• Flapan, Erica (2000). When Topology Meets Chemistry. Outlook. Cambridge University Press and Mathematical Association of America. ISBN 0-521-66254-0.

बाहरी संबंध

• Symmetry, Chirality, Symmetry Measures and Chirality Measures: General Definitions
• Chiral Polyhedra by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• Chiral manifold at the Manifold Atlas.