किलिंग फॉर्म

गणित में, विल्हेम हत्या के नाम पर रखा गया किलिंग फॉर्म सममित द्विरेखीय रूप है जो असत्य समूहों और असत्य बीजगणित के सिद्धांतों में मौलिक भूमिका निभाता है। कार्टन की कसौटी मुख्य रूप से कार्टन के मानदंड (सॉल्वेबिलिटी की कसौटी और अर्ध-सरलता की कसौटी) से पता चलता है कि किलिंग फॉर्म का लाई बीजगणित के सेमीसिम्पल लाई बीजगणित से घनिष्ठ संबंध है।

इतिहास और नाम

किलिंग फॉर्म अनिवार्य रूप से लाई बीजगणित सिद्धांत में किसके द्वारा प्रस्तुत किया गया था? ऐली कार्टन (1894) उनकी थीसिस में असत्य सिद्धांत के ऐतिहासिक सर्वेक्षण में, बोरेल (2001) ने वर्णन किया है कि किस तरह से किलिंग फॉर्म शब्द पहली बार 1951 में सेमिनायर बोरबाकी के लिए अपनी खुद की रिपोर्ट के समय आया था, यह मिथ्या नाम के रूप में उत्पन्न हुआ, क्योंकि पहले से ही असत्य सिद्धांतकारों द्वारा प्रपत्र का उपयोग किया गया था, इस कारण बिना किसी नाम के जुड़ा हुआ था। कुछ अन्य लेखक अब कार्टन-किलिंग फॉर्म शब्द का प्रयोग करते हैं। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के अंत में, किलिंग ने नोट किया था कि लाई बीजगणित के नियमित अर्ध-सरल तत्व के विशेषता समीकरण के गुणांक आसन्न समूह के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं, जिससे यह पता चलता है कि किलिंग फॉर्म (अर्ताथ डिग्री 2 गुणांक) है अपरिवर्तनीय, अपितु उन्होंने इस तथ्य का अधिक उपयोग नहीं किया था। इस प्रकार मूल परिणाम जो कार्टन ने उपयोग किया, वह कार्टन की कसौटी थी, जिसमें कहा गया है कि किलिंग फॉर्म गैर-पतित है यदि असत्य बीजगणित अर्ध-सरल असत्य बीजगणित है।

परिभाषा

एक असत्य बीजगणित पर विचार करें ${\mathfrak {g}}$ क्षेत्र पर (गणित) K. हर तत्व x का ${\mathfrak {g}}$ आसन्न एंडोमोर्फिज्म को ad(x) द्वारा परिभाषित करता है, (जिसके रूप में भी लिखा गया है ad_x) का ${\mathfrak {g}}$ लेट ब्रैकेट की सहायता से किया जाता हैं, जैसे

$\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].$

अब, मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ परिमित आयाम का है, दो ऐसे एंडोमोर्फिज्म की संरचना के आव्यूह का निशान सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है

$B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),$

मूल्यों के साथ K, किलिंग फॉर्म ऑन ${\mathfrak {g}}$ के रूप में प्रकट होता हैं।

गुण

उपरोक्त परिभाषा से निम्नलिखित गुण प्रमेय के रूप में अनुसरण करते हैं।

• संहार रूप B बिलिनियर और सममित है।
• किलिंग फॉर्म अपरिवर्तनीय रूप है, जैसा कि कासिमिर संचालक से प्राप्त अन्य सभी रूप हैं। कासिमिर ऑपरेटरों की व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) विलुप्त हो जाती है; किलिंग फॉर्म के लिए, इस विलुप्त होने को इस रूप में लिखा जा सकता है

$B([x,y],z)=B(x,[y,z])$ : जहां [ , ] लाई बीजगणित# परिभाषा और प्रथम गुण है।

• यदि ${\mathfrak {g}}$ साधारण लाई बीजगणित है तो किसी भी अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप पर ${\mathfrak {g}}$ किलिंग फॉर्म का स्केलर मल्टीपल है।
• आटोमौर्फिज्म के अनुसार किलिंग फॉर्म s बीजगणित का ${\mathfrak {g}}$ भी अपरिवर्तनीय है, यह इस प्रकार हैं,

$B(s(x),s(y))=B(x,y)$

के लिए s में ${\mathfrak {g}}$.

• कार्टन कसौटी में कहा गया है कि असत्य बीजगणित अर्धसरल असत्य बीजगणित है यदि और केवल यदि किलिंग फॉर्म पतित रूप है। गैर-पतित।
• निलपोटेंट ले बीजगणित का किलिंग फॉर्म समान रूप से शून्य है।
• यदि I, J असत्य बीजगणित में असत्य बीजगणित के दो आदर्श हैं ${\mathfrak {g}}$ शून्य अंतःखण्ड के साथ, फिर I और J किलिंग फॉर्म के संबंध में ओर्थोगोनल सबस्पेस हैं।
• ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में {{math|B}एक आदर्श का} फिर से आदर्श है।
• यदि कोई दिया गया बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ इसके आदर्शों का प्रत्यक्ष योग है I₁,...,I_n, फिर की हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ अलग-अलग योगों के किलिंग रूपों का प्रत्यक्ष योग है।

आव्यूह तत्व

एक आधार दिया {{math|e_i}असत्य बीजगणित का } ${\mathfrak {g}}$, किलिंग फॉर्म के आव्यूह तत्व द्वारा दिए गए हैं

$B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).$

यहाँ

$\left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}$

आइंस्टीन योग अंकन में, जहां c_ij^k असत्य बीजगणित के संरचना स्थिरांक हैं। अनुक्रमणिका k कॉलम इंडेक्स और इंडेक्स के रूप में कार्य करता है n आव्यूह में पंक्ति अनुक्रमणिका के रूप में ad(e_i)ad(e_j). ट्रेस लेना डालने के समान है, इस प्रकार k = n और योग हैं और इसलिए हम लिख सकते हैं-

$B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}$

किलिंग फॉर्म सबसे सरल 2- टेन्सर है जिसे संरचना स्थिरांक से बनाया जा सकता है। ${\displaystyle B=B_{ij}e^{$