मेरिडियन चाप: Difference between revisions
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[[ भूमंडल नापने का शास्र |भूमंडल नापने का शास्र]] एवं [[ मार्गदर्शन |मार्गदर्शन]] में, '''मेरिडियन चाप''' पृथ्वी की सतह पर समान देशांतर वाले दो बिंदुओं के मध्य [[वक्र (ज्यामिति)]] है। यह शब्द या तो भूमध्य रेखा (भूगोल) के [[चाप (ज्यामिति)]] या इसकी चाप की लंबाई को संदर्भित कर सकता है। | [[ भूमंडल नापने का शास्र |भूमंडल नापने का शास्र]] एवं [[ मार्गदर्शन |मार्गदर्शन]] में, '''मेरिडियन चाप''' पृथ्वी की सतह पर समान देशांतर वाले दो बिंदुओं के मध्य [[वक्र (ज्यामिति)]] है। यह शब्द या तो भूमध्य रेखा (भूगोल) के [[चाप (ज्यामिति)]] या इसकी चाप की लंबाई को संदर्भित कर सकता है। | ||
मेरिडियन चाप को मापने का उद्देश्य पृथ्वी का आंकड़ा निर्धारित करना है। मेरिडियन चाप के या अधिक मापों का उपयोग [[संदर्भ दीर्घवृत्त]] के आकार का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जो माप के क्षेत्र में [[ जिओएड |जिओएड]] का सबसे | मेरिडियन चाप को मापने का उद्देश्य पृथ्वी का आंकड़ा निर्धारित करना है। मेरिडियन चाप के या अधिक मापों का उपयोग [[संदर्भ दीर्घवृत्त]] के आकार का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जो माप के क्षेत्र में [[ जिओएड |जिओएड]] का सबसे उत्तम अनुमान लगाता है। विश्व के कई मेरिडियनों के साथ कई अक्षांशों पर मेरिडियन चाप के मापन को पूर्ण विश्व में फिट करने के उद्देश्य से भूस्थैतिक दीर्घवृत्त का अनुमान लगाने के लिए जोड़ा जा सकता है। | ||
[[गोलाकार पृथ्वी|वृत्ताकार पृथ्वी]] के आकार के प्रारंभिक निर्धारण के लिए चाप की आवश्यकता थी। 19वे दशक में प्रारम्भ हुए | [[गोलाकार पृथ्वी|वृत्ताकार पृथ्वी]] के आकार के प्रारंभिक निर्धारण के लिए चाप की आवश्यकता थी। 19वे दशक में प्रारम्भ हुए त्रुटिहीन सर्वेक्षण कार्य के लिए उस क्षेत्र में कई [[चाप माप|चाप मापों]] की आवश्यकता थी, जहां सर्वेक्षण किया जाना था, जिससे विश्व में संदर्भ दीर्घवृत्तों का प्रसार हुआ था। इस प्रकार नवीनतम निर्धारण [[ जियोडेटिक खगोल विज्ञान |जियोडेटिक खगोल विज्ञान]] या एस्ट्रो-जियोडेटिक मापन एवं उपग्रह जियोडेसी की विधियों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्तों को निर्धारित करने के लिए करते हैं, विशेष रूप से भूकेंद्रीय दीर्घवृत्त जो अब वैश्विक समन्वय प्रणालियों जैसे [[WGS 84|डब्ल्यूजीएस 84]] (संख्यात्मक विश्लेषण अभिव्यक्ति देखें) के लिए उपयोग किए जाते हैं। | ||
== माप का इतिहास== | == माप का इतिहास== | ||
{{see|भूगणित का इतिहास|मीटर का इतिहास}} | {{see|भूगणित का इतिहास|मीटर का इतिहास}} | ||
पृथ्वी के आकार का प्रारंभिक अनुमान ईसा पूर्व चौथी | पृथ्वी के आकार का प्रारंभिक अनुमान ईसा पूर्व चौथी दशक में ग्रीस से एवं 9वीं दशक में इस ज्ञान के लिए विद्वानों द्वारा प्रदर्शित किया गया है। प्रथम यथार्थवादी मूल्य की गणना [[सिकंदरिया]] के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने लगभग 240 ईसा पूर्व की थी। उन्होंने अनुमान लगाया कि मेरिडियन की लंबाई 252,000 स्टैडियन (यूनिट) है, जिसमें -2.4% एवं + 0.8% के मध्य वास्तविक मूल्य पर त्रुटि है (155 एवं 160 मीटर के मध्य स्टेडियम के लिए मान मानते हुए)।<ref name="russo273277">{{cite book |last=Russo |first=Lucio |author-link=Lucio Russo |date=2004 |title=भूली हुई क्रांति|url=https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217|url-access=limited |location=Berlin |publisher=Springer|page=[https://archive.org/details/forgottenrevolut00russ_217/page/n277 273]-277}}</ref> एराटोस्थनीज ने अपनी प्रौद्योगिकी का वर्णन पृथ्वी की माप पर नामक पुस्तक में किया है, जिसे संरक्षित नहीं किया गया है। इस प्रकार लगभग 150 वर्ष पश्चात [[पोसिडोनियस]] द्वारा इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया गया था, एवं चाप माप पद्धति द्वारा 827 में थोड़ा उत्तम परिणाम की गणना की गई थी,<ref name="Torge Müller 2012 p. 5">{{cite book | last1=Torge | first1=W. | last2=Müller | first2=J. | title=भूमंडल नापने का शास्र| publisher=De Gruyter | series=De Gruyter Textbook | year=2012 | isbn=978-3-11-025000-8 | url=https://books.google.com/books?id=RcfmBQAAQBAJ&pg=PA6 | access-date=2021-05-02 | page=5}}</ref> इसके लिए खलीफा अल-मामून को उत्तरदायी ठहराया गया था। | ||
=== दीर्घवृत्तीय पृथ्वी === | === दीर्घवृत्तीय पृथ्वी === | ||
{{main|पृथ्वी दीर्घवृत्त#निर्धारण}} | {{main|पृथ्वी दीर्घवृत्त#निर्धारण}} | ||
प्रारंभिक साहित्य ध्रुवों पर कुचले हुए गोले का वर्णन करने के लिए चपटे गोलाकार शब्द का उपयोग करता है। आधुनिक साहित्य गोलाकार के स्थान पर क्रांति के दीर्घ[[वृत्त|वृत्ता]]कार शब्द का उपयोग करता है, चूंकि क्रांति के योग्य शब्द सामान्यतः हटा दिए जाते हैं। दीर्घवृत्त जो क्रांति का दीर्घवृत्त नहीं है, उसे त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त कहा जाता है। इस लेख में गोलाकार एवं दीर्घवृत्त का उपयोग दूसरे के स्थान पर किया गया है, यदि नहीं कहा गया है तो तिरछा निहित है। | प्रारंभिक साहित्य ध्रुवों पर कुचले हुए गोले का वर्णन करने के लिए चपटे गोलाकार शब्द का उपयोग करता है। आधुनिक साहित्य गोलाकार के स्थान पर क्रांति के दीर्घ [[वृत्त|वृत्ता]] कार शब्द का उपयोग करता है, चूंकि क्रांति के योग्य शब्द सामान्यतः हटा दिए जाते हैं। दीर्घवृत्त जो क्रांति का दीर्घवृत्त नहीं है, उसे त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त कहा जाता है। इस लेख में गोलाकार एवं दीर्घवृत्त का उपयोग दूसरे के स्थान पर किया गया है, यदि नहीं कहा गया है तो तिरछा निहित है। | ||
==== 17वीं एवं 18वीं | ==== 17वीं एवं 18वीं दशक ==== | ||
यद्यपि यह मौलिक प्राचीनता के पश्चात से जाना जाता था कि 17 वीं | यद्यपि यह मौलिक प्राचीनता के पश्चात से जाना जाता था कि 17 वीं दशक तक पृथ्वी गोलाकार पृथ्वी थी, जो इसके प्रमाण एकत्रित कर रहे थे कि यह आदर्श क्षेत्र नहीं था। इस प्रकार 1672 में, [[जीन रिचर]] ने पहला प्रमाण पाया कि पृथ्वी पर [[गुरुत्वाकर्षण]] स्थिर नहीं था (जैसा कि पृथ्वी गोलाकार होती तो ऐसा होता); वह केयेन, [[फ्रेंच गयाना]] के लिए पेंडुलम घड़ी ले गया एवं पाया कि यह खो गया है {{frac|2|1|2}} मिनट प्रति दिन [[पेरिस]] में इसकी दर की अपेक्षा में अधिक हैं।<ref>{{cite book | ||
| last = Poynting | | last = Poynting | ||
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| location = Washington | | location = Washington | ||
| url = https://books.google.com/books?id=A1IqAAAAMAAJ&pg=RA2-PA307 | | url = https://books.google.com/books?id=A1IqAAAAMAAJ&pg=RA2-PA307 | ||
| access-date = 2009-01-28}}</ref> इसने संकेत दिया कि पेरिस की अपेक्षा में केयेन में गुरुत्वाकर्षण का [[त्वरण]] कम था। इस प्रकार पेंडुलम ग्रेविमीटर को | | access-date = 2009-01-28}}</ref> इसने संकेत दिया कि पेरिस की अपेक्षा में केयेन में गुरुत्वाकर्षण का [[त्वरण]] कम था। इस प्रकार पेंडुलम ग्रेविमीटर को विश्व के दूरदराज के हिस्सों में यात्राओं पर ले जाया जाने लगा, एवं यह धीरे-धीरे पता चला कि बढ़ते [[अक्षांश]] के साथ गुरुत्वाकर्षण सुचारू रूप से बढ़ता है, [[भूमध्य रेखा]] की अपेक्षा में [[भौगोलिक ध्रुव|भौगोलिक ध्रुवों]] पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 0.5% अधिक होता है। | ||
1687 में, [[आइजैक न्यूटन]] ने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रमाण के रूप में प्रकाशित किया था कि पृथ्वी चपटी गोलाकार आकृति के {{sfrac|1|230}} के बराबर है।<ref name="Newton">Isaac Newton: [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n408 <!-- pg=405 --> ''Principia'', Book III, Proposition XIX, Problem III], translated into English by Andrew Motte. A searchable modern translation is available at [http://17centurymaths.com 17centurymaths]. Search the following [http://17centurymaths.com/contents/newton/book3s1.pdf pdf file] for 'spheroid'.</ref> यह कुछ, अपितु सभी नहीं, फ्रांसीसी वैज्ञानिकों द्वारा विवादित था। 1684-1718 की अवधि में [[ जॉन डोमिनिक कैसिनी |जॉन डोमिनिक कैसिनी]] एवं उनके बेटे [[जैक्स कैसिनी]] द्वारा [[ जॉन पिकार्ड |जॉन पिकार्ड]] के मध्याह्न चाप को लंबे चाप तक बढ़ाया गया था।<ref name="clarke">{{cite book | 1687 में, [[आइजैक न्यूटन]] ने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रमाण के रूप में प्रकाशित किया था कि पृथ्वी चपटी गोलाकार आकृति के {{sfrac|1|230}} के बराबर है।<ref name="Newton">Isaac Newton: [https://archive.org/details/bub_gb_KaAIAAAAIAAJ/page/n408 <!-- pg=405 --> ''Principia'', Book III, Proposition XIX, Problem III], translated into English by Andrew Motte. A searchable modern translation is available at [http://17centurymaths.com 17centurymaths]. Search the following [http://17centurymaths.com/contents/newton/book3s1.pdf pdf file] for 'spheroid'.</ref> यह कुछ, अपितु सभी नहीं, फ्रांसीसी वैज्ञानिकों द्वारा विवादित था। 1684-1718 की अवधि में [[ जॉन डोमिनिक कैसिनी |जॉन डोमिनिक कैसिनी]] एवं उनके बेटे [[जैक्स कैसिनी]] द्वारा [[ जॉन पिकार्ड |जॉन पिकार्ड]] के मध्याह्न चाप को लंबे चाप तक बढ़ाया गया था।<ref name="clarke">{{cite book | ||
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|url= https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.42772 |publisher=Clarendon Press | |url= https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.42772 |publisher=Clarendon Press | ||
|location=Oxford | |location=Oxford | ||
|oclc=2484948}}. Freely available online at [https://archive.org/details/cu31924004129650 Archive.org] and [https://www.forgottenbooks.com/en/books/Geodesy_10059832 Forgotten Books] ({{ISBN|9781440088650}}). In addition the book has been reprinted by [https://www.bookdepository.com/Geodesy-Alexander-Ross-Clarke/9781293262535 Nabu Press] ({{ISBN|978-1286804131}}), the first chapter covers the history of early surveys.</ref> चाप को कम से कम तीन अक्षांश निर्धारणों के साथ मापा गया था, इसलिए वे चाप के उत्तरी एवं दक्षिणी हिस्सों के लिए औसत वक्रता निकालने में सक्षम थे, जिससे समग्र आकार का निर्धारण हो सके। परिणामों ने संकेत दिया कि पृथ्वी लम्बी गोलाकार (ध्रुवीय त्रिज्या से कम भूमध्यरेखीय त्रिज्या के साथ) थी। इस विवाद को हल करने के लिए, [[फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज]] (1735) ने पेरू (पियरे बौगुएर, [[लुइस गोडिन]], [[चार्ल्स मैरी डे ला कोंडोमाइन]], [[एंटोनियो डी उलोआ]], [[जॉर्ज जुआन और सांतासिलिया|जॉर्ज जुआन एवं सांतासिलिया]]) एवं लैपलैंड ([[पियरे लुइस मौपर्टुइस]], [[एलेक्सिस क्लेराट]], चार्ल्स) के लिए अभियान प्रस्तावित किया था। एटिएन लुई कैमस, [[पियरे-चार्ल्स ले मोननियर]], रेजिनाल्ड आउटहियर, [[एंडर्स सेल्सियस]])। पेरू के अभियान का वर्णन [[फ्रेंच जियोडेसिक मिशन]] लेख में किया गया है एवं [[लैपलैंड के लिए फ्रेंच जियोडेसिक मिशन]] टू लैपलैंड लेख में वर्णित है। विषुवतीय एवं ध्रुवीय अक्षांशों पर परिणामी मापों ने पुष्टि की कि न्यूटन का समर्थन करने वाले चपटे गोलाकार द्वारा पृथ्वी का सबसे | |oclc=2484948}}. Freely available online at [https://archive.org/details/cu31924004129650 Archive.org] and [https://www.forgottenbooks.com/en/books/Geodesy_10059832 Forgotten Books] ({{ISBN|9781440088650}}). In addition the book has been reprinted by [https://www.bookdepository.com/Geodesy-Alexander-Ross-Clarke/9781293262535 Nabu Press] ({{ISBN|978-1286804131}}), the first chapter covers the history of early surveys.</ref> चाप को कम से कम तीन अक्षांश निर्धारणों के साथ मापा गया था, इसलिए वे चाप के उत्तरी एवं दक्षिणी हिस्सों के लिए औसत वक्रता निकालने में सक्षम थे, जिससे समग्र आकार का निर्धारण हो सके। परिणामों ने संकेत दिया कि पृथ्वी लम्बी गोलाकार (ध्रुवीय त्रिज्या से कम भूमध्यरेखीय त्रिज्या के साथ) थी। इस विवाद को हल करने के लिए, [[फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज]] (1735) ने पेरू (पियरे बौगुएर, [[लुइस गोडिन]], [[चार्ल्स मैरी डे ला कोंडोमाइन]], [[एंटोनियो डी उलोआ]], [[जॉर्ज जुआन और सांतासिलिया|जॉर्ज जुआन एवं सांतासिलिया]]) एवं लैपलैंड ([[पियरे लुइस मौपर्टुइस]], [[एलेक्सिस क्लेराट]], चार्ल्स) के लिए अभियान प्रस्तावित किया था। एटिएन लुई कैमस, [[पियरे-चार्ल्स ले मोननियर]], रेजिनाल्ड आउटहियर, [[एंडर्स सेल्सियस]])। पेरू के अभियान का वर्णन [[फ्रेंच जियोडेसिक मिशन]] लेख में किया गया है एवं [[लैपलैंड के लिए फ्रेंच जियोडेसिक मिशन]] टू लैपलैंड लेख में वर्णित है। विषुवतीय एवं ध्रुवीय अक्षांशों पर परिणामी मापों ने पुष्टि की कि न्यूटन का समर्थन करने वाले चपटे गोलाकार द्वारा पृथ्वी का सबसे उत्तम प्रारूप तैयार किया गया था।<ref name="clarke" /> चूंकि 1743 तक, क्लेराट के प्रमेय ने न्यूटन के दृष्टिकोण को पूर्ण तरह से परिवर्तित कर दिया था। | ||
दशक के अंत तक, [[जीन-बैप्टिस्ट-जोसेफ डेलम्ब्रे]] ने [[डनकर्क]] से भूमध्य सागर (डेलम्ब्रे एवं मेचैन के मध्याह्न चाप) तक फ्रांसीसी चाप को | दशक के अंत तक, [[जीन-बैप्टिस्ट-जोसेफ डेलम्ब्रे]] ने [[डनकर्क]] से भूमध्य सागर (डेलम्ब्रे एवं मेचैन के मध्याह्न चाप) तक फ्रांसीसी चाप को तत्पश्चात से माप लिया एवं बढ़ाया गया था। अक्षांश के चार मध्यवर्ती निर्धारणों द्वारा इसे पाँच भागों में विभाजित किया गया था। पेरू के चाप के लिए मापों को साथ जोड़कर दीर्घवृत्त आकार के मापदंडों को निर्धारित किया गया था एवं [[पेरिस मेरिडियन]] के साथ भूमध्य रेखा एवं ध्रुव के मध्य की दूरी की गणना की गई थी {{val|5130762}} [[toise|ट्वासेस]] पेरिस में मानक ट्वास बार द्वारा निर्दिष्ट के रूप में किया जाता हैं। इस दूरी को त्रुटिहीन रूप से परिभाषित करना {{val|10000000|u=m}} के रूप में नए मानक [[मीटर]] बार के निर्माण का नेतृत्व किया {{val|0.5130762}} था।<ref name="clarke" />{{rp|22}} | ||
==== 19वीं दशक ==== | ==== 19वीं दशक ==== | ||
19वीं | 19वीं दशक में, कई खगोलशास्त्री एवं भूगर्भशास्त्री विभिन्न मध्याह्न चापों के साथ पृथ्वी की वक्रता के विस्तृत अध्ययन में लगे हुए थे। विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्लेसिस 1817, एअरी 1830, [[बेसेल दीर्घवृत्ताभ]], एवरेस्ट 1830, एवं [[अलेक्जेंडर रॉस क्लार्क]] जैसे कई मॉडल दीर्घवृत्त प्राप्त किए गए थे।<ref>{{cite book | ||
|year=1866 | |year=1866 | ||
|first1=Alexander Ross | |first1=Alexander Ross | ||
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{{see also|अक्षांश#मध्याह्न चाप}} | {{see also|अक्षांश#मध्याह्न चाप}} | ||
गोले पर, याम्योत्तर चाप की लंबाई केवल | गोले पर, याम्योत्तर चाप की लंबाई केवल वृत्ताकार सेक्टर चाप लंबाई होती है। इस क्रांति के दीर्घवृत्त पर, लघु मध्याह्न चापों के लिए, उनकी लंबाई को पृथ्वी की त्रिज्या के लिए मध्यवर्ती पृथ्वी के भाग की वक्रता की भूमध्यरेखीय त्रिज्या एवं वृत्ताकार चाप सूत्रीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। लंबे चापों के लिए, लंबाई दो 'मध्याह्न दूरी' के घटाव से होती है, भूमध्य रेखा से अक्षांश पर बिंदु तक की दूरी {{mvar|φ}}. | ||
मानचित्र अनुमानों के सिद्धांत में यह महत्वपूर्ण समस्या है, विशेष रूप से अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण के समान थी। | मानचित्र अनुमानों के सिद्धांत में यह महत्वपूर्ण समस्या है, विशेष रूप से अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण के समान थी। | ||
| Line 194: | Line 194: | ||
==== सामान्यीकृत श्रृंखला ==== | ==== सामान्यीकृत श्रृंखला ==== | ||
उपरोक्त श्रृंखला में आठवें क्रम में या तीसरे सपाट में चौथे क्रम में एक मिलीमीटर सटीकता प्रदान करते हैं। प्रतीकात्मक बीजगणित प्रणालियों की सहायता से, उन्हें | उपरोक्त श्रृंखला में आठवें क्रम में या तीसरे सपाट में चौथे क्रम में एक मिलीमीटर सटीकता प्रदान करते हैं। प्रतीकात्मक बीजगणित प्रणालियों की सहायता से, उन्हें सरलता से तीसरे चपटेपन में छठे क्रम तक बढ़ाया जा सकता है जो स्थलीय अनुप्रयोगों के लिए पूर्ण दोहरी सटीकता प्रदान करता है। | ||
डेलाम्बरे <ref name=delambre/>एवं बेसेल<ref name=bessel25/>दोनों ने अपनी श्रृंखला को ऐसे रूप में लिखा है, जो उन्हें क्रम में सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। बेसेल की श्रृंखला में गुणांक विशेष रूप से सरल रूप से व्यक्त किए जा सकते हैं | डेलाम्बरे <ref name=delambre/>एवं बेसेल<ref name=bessel25/>दोनों ने अपनी श्रृंखला को ऐसे रूप में लिखा है, जो उन्हें क्रम में सामान्यीकृत करने की अनुमति देता है। बेसेल की श्रृंखला में गुणांक विशेष रूप से सरल रूप से व्यक्त किए जा सकते हैं | ||
| Line 212: | Line 212: | ||
==== संख्यात्मक भाव ==== | ==== संख्यात्मक भाव ==== | ||
ऊपर दी गई त्रिकोणमितीय श्रृंखला का क्लेंशॉ एल्गोरिथ्म | ऊपर दी गई त्रिकोणमितीय श्रृंखला का क्लेंशॉ एल्गोरिथ्म जियोडेटिक अनुप्रयोगों का उपयोग करके सरलता से मूल्यांकन किया जा सकता है। यह विधि अधिकांश त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना से बचती है एवं श्रृंखला को तीव्रता से एवं त्रुटिहीन रूप से अभिव्यक्त करने की अनुमति देती है। प्रौद्योगिकी का उपयोग अंतर का मूल्यांकन करने के लिए भी किया जा सकता है {{math|''m''(''φ''<sub>1</sub>) − ''m''(''φ''<sub>2</sub>)}} उच्च सापेक्ष सटीकता बनाए रखते हुए हैं। | ||
अर्ध-प्रमुख अक्ष एवं [[वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम]] दीर्घवृत्त की विलक्षणता के लिए मूल्यों को प्रतिस्थापित करना | अर्ध-प्रमुख अक्ष एवं [[वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम]] दीर्घवृत्त की विलक्षणता के लिए मूल्यों को प्रतिस्थापित करना | ||
| Line 221: | Line 221: | ||
जहाँ {{math|''φ''<sup>(</sup>°<sup>)</sup> {{=}} {{sfrac|''φ''|1°}}}} है {{mvar|φ}} डिग्री में व्यक्त (एवं इसी तरह के लिए {{math|''β''<sup>(</sup>°<sup>)</sup>}}). | जहाँ {{math|''φ''<sup>(</sup>°<sup>)</sup> {{=}} {{sfrac|''φ''|1°}}}} है {{mvar|φ}} डिग्री में व्यक्त (एवं इसी तरह के लिए {{math|''β''<sup>(</sup>°<sup>)</sup>}}). | ||
दीर्घवृत्त पर समानांतरों के मध्य की | दीर्घवृत्त पर समानांतरों के मध्य की त्रुटिहीन दूरी पर {{math|''φ''<sub>1</sub>}} एवं {{math|''φ''<sub>2</sub>}} है {{math|''m''(''φ''<sub>1</sub>) − ''m''(''φ''<sub>2</sub>)}}. डब्ल्यूजीएस84 के लिए दूरी के लिए अनुमानित व्यंजक {{math|Δ''m''}} अक्षांश पर वृत्त से ± 0.5° पर दो समानांतरों के मध्य {{mvar|φ}} द्वारा दिया गया है। | ||
:<math>\Delta m=(111\,133 - 560\cos 2\varphi)\mbox{ metres.}</math> | :<math>\Delta m=(111\,133 - 560\cos 2\varphi)\mbox{ metres.}</math> | ||
| Line 232: | Line 232: | ||
तिमाही याम्योत्तर को दूसरी तरह के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, | तिमाही याम्योत्तर को दूसरी तरह के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, | ||
:<math>m_\mathrm{p}=aE(e)=bE(ie').</math> | :<math>m_\mathrm{p}=aE(e)=bE(ie').</math> | ||
जहाँ <math>e, e'</math> | जहाँ <math>e, e'</math> प्रथम एवं दूसरी विलक्षणता_(गणित) अण्डाकार हैं। | ||
तिमाही याम्योत्तर भी निम्नलिखित सामान्यीकृत श्रृंखला द्वारा दिया गया है: | तिमाही याम्योत्तर भी निम्नलिखित सामान्यीकृत श्रृंखला द्वारा दिया गया है: | ||
| Line 240: | Line 240: | ||
ध्रुवीय पृथ्वी की परिधि केवल चार गुना चौथाई मध्याह्न रेखा है: | ध्रुवीय पृथ्वी की परिधि केवल चार गुना चौथाई मध्याह्न रेखा है: | ||
:<math> C_p=4m_p</math> | :<math> C_p=4m_p</math> | ||
मध्याह्न दीर्घवृत्त की परिधि को सुधारक वृत्त परिधि के रूप में भी | मध्याह्न दीर्घवृत्त की परिधि को सुधारक वृत्त परिधि के रूप में भी तत्पश्चात लिखा जा सकता है, इस प्रकार {{math|''C''<sub>p</sub> {{=}} 2π''M''<sub>r</sub>}} होने पर सुधारात्मक पृथ्वी त्रिज्या है: | ||
:<math>M_r=0.5(a+b)/c_0</math> | :<math>M_r=0.5(a+b)/c_0</math> | ||
{{val|6367449.146|u=m}} के रूप में इसका मूल्यांकन किया जा सकता है। | {{val|6367449.146|u=m}} के रूप में इसका मूल्यांकन किया जा सकता है। | ||
| Line 249: | Line 249: | ||
अभिसरण तक। द्वारा उपयुक्त प्रारंभिक अनुमान दिया गया है {{math|''φ''<sub>0</sub> {{=}} ''μ''}} जहाँ | अभिसरण तक। द्वारा उपयुक्त प्रारंभिक अनुमान दिया गया है {{math|''φ''<sub>0</sub> {{=}} ''μ''}} जहाँ | ||
:<math>\mu = \frac{\pi}2 \frac m{m_\mathrm{p}}</math> | :<math>\mu = \frac{\pi}2 \frac m{m_\mathrm{p}}</math> | ||
दिष्टकारी अक्षांश है। ध्यान दें कि इसके लिए श्रृंखला {{math|''m''(''φ'')}} को भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है, चूँकि वक्रता की याम्योत्तर त्रिज्या का सूत्र है {{math|''M''(''φ'')}} का उपयोग इसके | दिष्टकारी अक्षांश है। ध्यान दें कि इसके लिए श्रृंखला {{math|''m''(''φ'')}} को भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है, चूँकि वक्रता की याम्योत्तर त्रिज्या का सूत्र है {{math|''M''(''φ'')}} का उपयोग इसके अतिरिक्त किया जा सकता है। | ||
वैकल्पिक रूप से, मध्याह्न दूरी के लिए हेल्मर्ट की श्रृंखला को देने के लिए वापस किया जा सकता है<ref>Helmert (1880), §1.10</ref><ref name=adams1921>Adams, Oscar S (1921). [https://geodesy.noaa.gov/library/pdfs/Special_Publication_No_67.pdf ''Latitude Developments Connected With Geodesy and Cartography'']. US Coast and Geodetic Survey Special Publication No. 67. p. 127.</ref> | वैकल्पिक रूप से, मध्याह्न दूरी के लिए हेल्मर्ट की श्रृंखला को देने के लिए वापस किया जा सकता है<ref>Helmert (1880), §1.10</ref><ref name=adams1921>Adams, Oscar S (1921). [https://geodesy.noaa.gov/library/pdfs/Special_Publication_No_67.pdf ''Latitude Developments Connected With Geodesy and Cartography'']. US Coast and Geodetic Survey Special Publication No. 67. p. 127.</ref> | ||
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Latest revision as of 06:45, 19 October 2023
भूमंडल नापने का शास्र एवं मार्गदर्शन में, मेरिडियन चाप पृथ्वी की सतह पर समान देशांतर वाले दो बिंदुओं के मध्य वक्र (ज्यामिति) है। यह शब्द या तो भूमध्य रेखा (भूगोल) के चाप (ज्यामिति) या इसकी चाप की लंबाई को संदर्भित कर सकता है।
मेरिडियन चाप को मापने का उद्देश्य पृथ्वी का आंकड़ा निर्धारित करना है। मेरिडियन चाप के या अधिक मापों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्त के आकार का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जो माप के क्षेत्र में जिओएड का सबसे उत्तम अनुमान लगाता है। विश्व के कई मेरिडियनों के साथ कई अक्षांशों पर मेरिडियन चाप के मापन को पूर्ण विश्व में फिट करने के उद्देश्य से भूस्थैतिक दीर्घवृत्त का अनुमान लगाने के लिए जोड़ा जा सकता है।
वृत्ताकार पृथ्वी के आकार के प्रारंभिक निर्धारण के लिए चाप की आवश्यकता थी। 19वे दशक में प्रारम्भ हुए त्रुटिहीन सर्वेक्षण कार्य के लिए उस क्षेत्र में कई चाप मापों की आवश्यकता थी, जहां सर्वेक्षण किया जाना था, जिससे विश्व में संदर्भ दीर्घवृत्तों का प्रसार हुआ था। इस प्रकार नवीनतम निर्धारण जियोडेटिक खगोल विज्ञान या एस्ट्रो-जियोडेटिक मापन एवं उपग्रह जियोडेसी की विधियों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्तों को निर्धारित करने के लिए करते हैं, विशेष रूप से भूकेंद्रीय दीर्घवृत्त जो अब वैश्विक समन्वय प्रणालियों जैसे डब्ल्यूजीएस 84 (संख्यात्मक विश्लेषण अभिव्यक्ति देखें) के लिए उपयोग किए जाते हैं।
माप का इतिहास
पृथ्वी के आकार का प्रारंभिक अनुमान ईसा पूर्व चौथी दशक में ग्रीस से एवं 9वीं दशक में इस ज्ञान के लिए विद्वानों द्वारा प्रदर्शित किया गया है। प्रथम यथार्थवादी मूल्य की गणना सिकंदरिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने लगभग 240 ईसा पूर्व की थी। उन्होंने अनुमान लगाया कि मेरिडियन की लंबाई 252,000 स्टैडियन (यूनिट) है, जिसमें -2.4% एवं + 0.8% के मध्य वास्तविक मूल्य पर त्रुटि है (155 एवं 160 मीटर के मध्य स्टेडियम के लिए मान मानते हुए)।[1] एराटोस्थनीज ने अपनी प्रौद्योगिकी का वर्णन पृथ्वी की माप पर नामक पुस्तक में किया है, जिसे संरक्षित नहीं किया गया है। इस प्रकार लगभग 150 वर्ष पश्चात पोसिडोनियस द्वारा इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया गया था, एवं चाप माप पद्धति द्वारा 827 में थोड़ा उत्तम परिणाम की गणना की गई थी,[2] इसके लिए खलीफा अल-मामून को उत्तरदायी ठहराया गया था।
दीर्घवृत्तीय पृथ्वी
प्रारंभिक साहित्य ध्रुवों पर कुचले हुए गोले का वर्णन करने के लिए चपटे गोलाकार शब्द का उपयोग करता है। आधुनिक साहित्य गोलाकार के स्थान पर क्रांति के दीर्घ वृत्ता कार शब्द का उपयोग करता है, चूंकि क्रांति के योग्य शब्द सामान्यतः हटा दिए जाते हैं। दीर्घवृत्त जो क्रांति का दीर्घवृत्त नहीं है, उसे त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त कहा जाता है। इस लेख में गोलाकार एवं दीर्घवृत्त का उपयोग दूसरे के स्थान पर किया गया है, यदि नहीं कहा गया है तो तिरछा निहित है।
17वीं एवं 18वीं दशक
यद्यपि यह मौलिक प्राचीनता के पश्चात से जाना जाता था कि 17 वीं दशक तक पृथ्वी गोलाकार पृथ्वी थी, जो इसके प्रमाण एकत्रित कर रहे थे कि यह आदर्श क्षेत्र नहीं था। इस प्रकार 1672 में, जीन रिचर ने पहला प्रमाण पाया कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण स्थिर नहीं था (जैसा कि पृथ्वी गोलाकार होती तो ऐसा होता); वह केयेन, फ्रेंच गयाना के लिए पेंडुलम घड़ी ले गया एवं पाया कि यह खो गया है 2+1⁄2 मिनट प्रति दिन पेरिस में इसकी दर की अपेक्षा में अधिक हैं।[3][4] इसने संकेत दिया कि पेरिस की अपेक्षा में केयेन में गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कम था। इस प्रकार पेंडुलम ग्रेविमीटर को विश्व के दूरदराज के हिस्सों में यात्राओं पर ले जाया जाने लगा, एवं यह धीरे-धीरे पता चला कि बढ़ते अक्षांश के साथ गुरुत्वाकर्षण सुचारू रूप से बढ़ता है, भूमध्य रेखा की अपेक्षा में भौगोलिक ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 0.5% अधिक होता है।
1687 में, आइजैक न्यूटन ने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रमाण के रूप में प्रकाशित किया था कि पृथ्वी चपटी गोलाकार आकृति के 1/230 के बराबर है।[5] यह कुछ, अपितु सभी नहीं, फ्रांसीसी वैज्ञानिकों द्वारा विवादित था। 1684-1718 की अवधि में जॉन डोमिनिक कैसिनी एवं उनके बेटे जैक्स कैसिनी द्वारा जॉन पिकार्ड के मध्याह्न चाप को लंबे चाप तक बढ़ाया गया था।[6] चाप को कम से कम तीन अक्षांश निर्धारणों के साथ मापा गया था, इसलिए वे चाप के उत्तरी एवं दक्षिणी हिस्सों के लिए औसत वक्रता निकालने में सक्षम थे, जिससे समग्र आकार का निर्धारण हो सके। परिणामों ने संकेत दिया कि पृथ्वी लम्बी गोलाकार (ध्रुवीय त्रिज्या से कम भूमध्यरेखीय त्रिज्या के साथ) थी। इस विवाद को हल करने के लिए, फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज (1735) ने पेरू (पियरे बौगुएर, लुइस गोडिन, चार्ल्स मैरी डे ला कोंडोमाइन, एंटोनियो डी उलोआ, जॉर्ज जुआन एवं सांतासिलिया) एवं लैपलैंड (