परिणामी: Difference between revisions

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{{Short description|Mathematical concept in polynomial theory}}
{{Short description|Mathematical concept in polynomial theory}}
{{about|दो बहुपदों का परिणाम|विशेषण के रूप में प्रयोग करता है|परिणामी (बहुविकल्पी)}}
{{about|दो बहुपदों का परिणाम|विशेषण के रूप में प्रयोग करता है|परिणामी (बहुविकल्पी)}}


गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति|बहुपद व्यंजक]] है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}}
गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति|बहुपद व्यंजक]] है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}}
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{{math|''n''}} वेरिएबल्स में {{math|''n''}} [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है।) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनेर के साथ [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है।
{{math|''n''}} वेरिएबल्स में {{math|''n''}} [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है।) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनेर के साथ [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है।


== नोटेशन ==
== संकेत पद्धति ==
दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य रूप से <math>\operatorname{res}(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}(A,B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।  
दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य रूप से <math>\operatorname{res}(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}(A,B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।  


परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस स्थितियों में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}_x(A,B)</math> के रूप में दर्शाया गया है।
परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस स्थितियों में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को अधोलिखित: <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}_x(A,B)</math> के रूप में दर्शाया गया है।


परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। चूंकि, डिग्री का बहुपद {{math|''d''}} उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे <math>\operatorname{res}_{d,e}(A,B)</math> या <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(A,B).</math>
परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की कोटि का उपयोग किया जाता है। चूंकि, कोटि का बहुपद {{math|''d''}} उच्च कोटि के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च कोटि का उपयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः अधोलिखित या अधिलेख के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे <math>\operatorname{res}_{d,e}(A,B)</math> या <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(A,B).</math>




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== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


[[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को सामान्यतः उनके [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये
[[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को सामान्यतः उनके [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये
:<math>A=a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d</math>
:<math>A=a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d</math>
और
और
:<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math>
:<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math>
क्रमशः घात {{math|''d''}} और {{math|''e''}} वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित है।) {{math|''i''}} द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व {{math|''i''}}  सख्ती से कम  डिग्री के बहुपद हैं। वो मैप
क्रमशः घात {{math|''d''}} और {{math|''e''}} वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मापांक यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित है।) {{math|''i''}} द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व {{math|''i''}}  सख्ती से कम  कोटि के बहुपद हैं। वो मैप
:<math>\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}</math>  
:<math>\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}</math>  
:ऐसा है कि
:ऐसा है कि
:<math>\varphi(P,Q)=AP+BQ</math>
:<math>\varphi(P,Q)=AP+BQ</math>
ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। {{math|''x''}} की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम {{math|''d'' + ''e''}} के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है,जिसे  {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है। (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर मैट्रिक्स में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है।)।
ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। {{math|''x''}} की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम {{math|''d'' + ''e''}} के वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है,जिसे  {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के सिल्वेस्टर आव्यूह कहा जाता है। (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर आव्यूह में, सिल्वेस्टर आव्यूह को इस आव्यूह के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के आव्यूह को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है।)।


इस प्रकार {{math|''A''}} और {{math|''B''}} का परिणाम निर्धारक है
इस प्रकार {{math|''A''}} और {{math|''B''}} का परिणाम निर्धारक है
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0          & 0          & \cdots  & a_d      & 0          & 0              & \cdots & b_e   
0          & 0          & \cdots  & a_d      & 0          & 0              & \cdots & b_e   
\end{vmatrix},</math>
\end{vmatrix},</math>
जिसमें {{math|''b''<sub>''j''</sub>}} के {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''d''}} कॉलम के {{math|''e''}} कॉलम हैं (तथ्य यह है कि {{mvar|a}} के पहले कॉलम और {{mvar|b}} के पहले कॉलम की लंबाई समान है, अर्थात {{math|1=''d'' = ''e''}}, यहाँ केवल निर्धारक के प्रदर्शन को सरल बनाने के लिए है।)। उदाहरण के लिए, {{math|1=''d'' = 3}} और {{math|1=''e'' = 2}} लेने पर हमें प्राप्त होता है।
जिसमें {{math|''b''<sub>''j''</sub>}} के {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''d''}} स्तम्भ के {{math|''e''}} स्तम्भ हैं (तथ्य यह है कि {{mvar|a}} के पहले स्तम्भ और {{mvar|b}} के पहले स्तम्भ की लंबाई समान है, अर्थात {{math|1=''d'' = ''e''}}, यहाँ केवल निर्धारक के प्रदर्शन को सरल बनाने के लिए है।)। उदाहरण के लिए, {{math|1=''d'' = 3}} और {{math|1=''e'' = 2}} लेने पर हमें प्राप्त होता है।


:<math>\begin{vmatrix}  
:<math>\begin{vmatrix}  
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0      & a_3  & 0    & 0    & b_2
0      & a_3  & 0    & 0    & b_2
\end{vmatrix}.</math>
\end{vmatrix}.</math>
यदि बहुपदों के गुणांक [[अभिन्न डोमेन]] से संबंधित हैं, तो
यदि बहुपदों के गुणांक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न कार्यक्षेत्र]] से संबंधित हैं, तो
:<math>\operatorname{res}(A, B) = a_0^e b_0^d \prod_{\begin{array}{c}1 \leq i \leq d\\ 1 \leq j \leq e\end{array}} (\lambda_i-\mu_j) = a_0^e \prod_{i=1}^d B(\lambda_i) = (-1)^{de} b_0^d \prod_{j=1}^e A(\mu_j),</math>
:<math>\operatorname{res}(A, B) = a_0^e b_0^d \prod_{\begin{array}{c}1 \leq i \leq d\\ 1 \leq j \leq e\end{array}} (\lambda_i-\mu_j) = a_0^e \prod_{i=1}^d B(\lambda_i) = (-1)^{de} b_0^d \prod_{j=1}^e A(\mu_j),</math>
जहाँ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_d</math> और <math>\mu_1,\dots,\mu_e</math> क्रमशः मूलें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है। {{mvar|A}} और {{mvar|B}} किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड में अभिन्न डोमेन सम्मिलित है।
जहाँ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_d</math> और <math>\mu_1,\dots,\mu_e</math> क्रमशः मूलें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है। {{mvar|A}} और {{mvar|B}} किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में अभिन्न कार्यक्षेत्र सम्मिलित है।


यह नीचे दिखाई देने वाले परिणामी के लक्षण वर्णन गुणों का सीधा परिणाम है। पूर्णांक गुणांक के सामान्य स्थितियों में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सामान्यतः [[जटिल संख्या]]ओं के क्षेत्र के रूप में चुना जाता है।
यह नीचे दिखाई देने वाले परिणामी के लक्षण वर्णन गुणों का सीधा परिणाम है। पूर्णांक गुणांक के सामान्य स्थितियों में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सामान्यतः [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र के रूप में चुना जाता है।


== गुण ==
== गुण ==
इस खंड और इसके उपखंडों में, {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में दो बहुपद हैं {{math|''x''}} संबंधित डिग्री के {{math|''d''}} और {{math|''e''}}, और उनके परिणामी को निरूपित किया जाता है।
इस खंड और इसके उपखंडों में, {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में दो बहुपद हैं {{math|''x''}} संबंधित कोटि के {{math|''d''}} और {{math|''e''}}, और उनके परिणामी को निरूपित किया जाता है।
  <math>\operatorname{res}(A,B).</math>
  <math>\operatorname{res}(A,B).</math>


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गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य है।
गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य है।


क्रमविनिमेय रिंग {{math|''R''}} में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र या अधिक सामान्यतः एक अभिन्न डोमेन है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अद्वितीयफलन है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।
क्रमविनिमेय वलय {{math|''R''}} में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र या अधिक सामान्यतः एक अभिन्न कार्यक्षेत्र है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अद्वितीयफलन है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।


* यदि {{mvar|R}} और रिंग का {{mvar|S}} [[सबरिंग]] है, तब <math>\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).</math> अर्थात् {{mvar|A}} और {{mvar|B}} का परिणाम समान होता है जब {{mvar|R}} या {{mvar|S}} बहुपदों पर विचार किया जाता है।
* यदि {{mvar|R}} और वलय का {{mvar|S}} [[सबरिंग|उपवलय]] है, तब <math>\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).</math> अर्थात् {{mvar|A}} और {{mvar|B}} का परिणाम समान होता है जब {{mvar|R}} या {{mvar|S}} बहुपदों पर विचार किया जाता है।
*यदि {{math|1=''d'' = 0}} (अर्थात् यदि <math>A=a_0</math> अशून्य स्थिरांक है।) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math>
*यदि {{math|1=''d'' = 0}} (अर्थात् यदि <math>A=a_0</math> अशून्य स्थिरांक है।) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math>
* <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math>
* <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math>
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=== शून्य ===
=== शून्य ===
* अभिन्न डोमेन में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है। यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक डिग्री के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो।
* अभिन्न कार्यक्षेत्र में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है। यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक कोटि के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो।
* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो।
* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो।
* {{math|''e''}} से कम डिग्री का एक बहुपद {{math|''P''}} और {{math|''d''}} से कम डिग्री का एक बहुपद {{math|''Q''}} उपस्थित है जैसे कि  <math> \operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.</math> यह स्वैच्छिक क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) से संबंधित है।
* {{math|''e''}} से कम कोटि का एक बहुपद {{math|''P''}} और {{math|''d''}} से कम कोटि का एक बहुपद {{math|''Q''}} उपस्थित है जैसे कि  <math> \operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.</math> यह स्वैच्छिक क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) से संबंधित है।


=== रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा अप्रसरण ===
=== वलय होमोमोर्फिज्म द्वारा अप्रसरण ===
मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित डिग्री के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव रिंग में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}} को प्रायुक्त करने <math>\varphi</math> बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है। <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे <math>\varphi.</math> द्वारा निरूपित भी किया जाता है।  इस अंकन के साथ, हमारे पास है:
मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित कोटि के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव वलय में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की वलय समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय वलय में {{math|''S''}} को प्रायुक्त करने <math>\varphi</math> बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है। <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे <math>\varphi.</math> द्वारा निरूपित भी किया जाता है।  इस अंकन के साथ, हमारे पास है:
* यदि <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है  {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (अर्थात् यदि <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B))= e</math>), तब
* यदि <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है  {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (अर्थात् यदि <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B))= e</math>), तब
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
Line 88: Line 87:
* यदि <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब
* यदि <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह सामान्यतः [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस प्रकार से फिर से प्रारंभ किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह गुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।
निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह सामान्यतः [[मॉड्यूलर अंकगणित|मापांक अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की वलय है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई वलय {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस प्रकार से फिर से प्रारंभ किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा कोटि को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह गुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।


=== चर के परिवर्तन के अनुसार व्युत्क्रम ===
=== चर के परिवर्तन के अनुसार व्युत्क्रम ===
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*यदि {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो
*यदि {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो
::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math>
::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math>
*यदि {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि {{math|''A'' – ''CB''}} की डिग्री {{math|''{{delta}}''}} है, तब
*यदि {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि {{math|''A'' – ''CB''}} की कोटि {{math|''{{delta}}''}} है, तब
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math>  
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math>  
::
::
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:और यदि {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब
:और यदि {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math>
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math>
इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है। इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (परन्तु कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या सामान्यतः त्रुटिहीन विभाजनों के अतिरिक्त किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न डोमेन पर काम करता है (अर्थात, अंशों को सम्मिलित किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं, चूंकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।
इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है। इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (परन्तु कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या सामान्यतः त्रुटिहीन विभाजनों के अतिरिक्त किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न कार्यक्षेत्र पर काम करता है (अर्थात, अंशों को सम्मिलित किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं, चूंकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर आव्यूह के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।


=== सामान्य गुण ===
=== सामान्य गुण ===
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इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो।
इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो।


परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> डिग्री के लिए {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अधिकांश सामान्य परिणामी कहा जाता है। इसके निम्नलिखित गुण हैं।
परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> कोटि के लिए {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अधिकांश सामान्य परिणामी कहा जाता है। इसके निम्नलिखित गुण हैं।


*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है।
*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है।
*यदि <math>I</math> का आदर्श (रिंग थ्योरी) है <math>R[x]</math> द्वारा उत्पन्न {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, तब <math>I\cap R</math> द्वारा उत्पन्न <math>\operatorname{res}(A,B)</math> [[प्रमुख आदर्श]] है .
*यदि <math>I</math> का आदर्श (वलय सिद्धांत) है <math>R[x]</math> द्वारा उत्पन्न {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, तब <math>I\cap R</math> द्वारा उत्पन्न <math>\operatorname{res}(A,B)</math> [[प्रमुख आदर्श]] है .


=== एकरूपता ===
=== एकरूपता ===
डिग्री के लिए सामान्य परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} विभिन्न विधियों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक:
कोटि के लिए सामान्य परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} विभिन्न विधियों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक:
* यह <math>a_0, \ldots, a_d.</math> में डिग्री {{math|''e''}} का सजातीय है।
* यह <math>a_0, \ldots, a_d.</math> में कोटि {{math|''e''}} का सजातीय है।
* यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में डिग्री {{math|''d''}} का सजातीय है।
* यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में कोटि {{math|''d''}} का सजातीय है।
* यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में डिग्री {{math|''d'' + ''e''}} का सजातीय है।
* यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में कोटि {{math|''d'' + ''e''}} का सजातीय है।
* यदि <math>a_i</math> और <math>b_i</math> को परिणामी {{math|''i''}} दिया जाता है। (अर्थात्, प्रत्येक गुणांक का परिणामी [[प्राथमिक सममित बहुपद]] के रूप में इसकी डिग्री है), तो यह कुल परिणामी का {{math|''de''}} का [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है |
* यदि <math>a_i</math> और <math>b_i</math> को परिणामी {{math|''i''}} दिया जाता है। (अर्थात्, प्रत्येक गुणांक का परिणामी [[प्राथमिक सममित बहुपद]] के रूप में इसकी कोटि है), तो यह कुल परिणामी का {{math|''de''}} का [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है |
*यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}}  में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में डिग्री {{math|''de''}} का सजातीय है।
*यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित कोटि {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम कोटि {{math|''d''}} और {{math|''e''}}  में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में कोटि {{math|''de''}} का सजातीय है।


=== उन्मूलन गुण ===
=== उन्मूलन गुण ===
मान लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) <math>R[x],</math> में दो बहुपद रिंग {{math|''A''}} और {{math|''B''}}  द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब:
मान लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (वलय सिद्धांत) <math>R[x],</math> में दो बहुपद वलय {{math|''A''}} और {{math|''B''}}  द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब:
* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math>
* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math>
* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> यदि और केवल <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> यह शून्य है।
* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> यदि और केवल <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> यह शून्य है।
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सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। चूंकि, जैसा कि मूलों की सामान्यतः गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की मूलों का [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, किन्तु यह अत्यधिक अक्षम होगा।
सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। चूंकि, जैसा कि मूलों की सामान्यतः गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की मूलों का [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, किन्तु यह अत्यधिक अक्षम होगा।


जैसा कि परिणामी सिल्वेस्टर मैट्रिक्स (और बेज़ाउट मैट्रिक्स) का निर्धारक है, इसकी गणना निर्धारकों की गणना के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है। इसके लिये <math>O(n^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता है। जैसा कि एल्गोरिदम उत्तम जटिलता के साथ जाना जाता है (नीचे देखें), इस पद्धति का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जाता है।
जैसा कि परिणामी सिल्वेस्टर आव्यूह (और बेज़ाउट आव्यूह) का निर्धारक है, इसकी गणना निर्धारकों की गणना के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है। इसके लिये <math>O(n^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता है। जैसा कि एल्गोरिदम उत्तम जटिलता के साथ जाना जाता है (नीचे देखें), इस पद्धति का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जाता है।


यह {{slink||बहुपदों के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता}} से आता है कि परिणामी की गणना बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम से दृढ़ता से संबंधित है। इससे पता चलता है कि डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के दो बहुपदों के परिणाम की गणना गुणांक के क्षेत्र में अंकगणितीय संचालन <math>O(de)</math> में की जा सकती है।
यह {{slink||बहुपदों के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता}} से आता है कि परिणामी की गणना बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम से दृढ़ता से संबंधित है। इससे पता चलता है कि कोटि {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के दो बहुपदों के परिणाम की गणना गुणांक के क्षेत्र में अंकगणितीय संचालन <math>O(de)</math> में की जा सकती है।


चूँकि, जब गुणांक पूर्णांक, परिमेय संख्या या बहुपद होते हैं, तो ये अंकगणितीय संचालन गुणांक के कई GCD संगणनाओं को प्रायुक्त करते हैं जो समान क्रम के होते हैं और एल्गोरिथ्म को अक्षम बनाते हैं।
चूँकि, जब गुणांक पूर्णांक, परिमेय संख्या या बहुपद होते हैं, तो ये अंकगणितीय संचालन गुणांक के कई जीसीडी संगणनाओं को प्रायुक्त करते हैं जो समान क्रम के होते हैं और एल्गोरिथ्म को अक्षम बनाते हैं।


इस समस्या को समाधान करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी GCD संगणना से बचने के लिए उपपरिणामस्वरूप छद्म-शेष अनुक्रम प्रस्तुत किए गए थे। पूर्णांक गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए गुणांकों पर रिंग समरूपता के अनुसार परिणामी के अच्छे व्यवहार का उपयोग करके एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म प्राप्त किया जाता है, एक उनके परिणामी मॉडुलो की पर्याप्त रूप से कई [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] की गणना करता है और फिर चीनी शेष प्रमेय के साथ परिणाम का पुनर्निर्माण करता है।
इस समस्या को समाधान करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी जीसीडी संगणना से बचने के लिए उपपरिणामस्वरूप छद्म-शेष अनुक्रम प्रस्तुत किए गए थे। पूर्णांक गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए गुणांकों पर वलय समरूपता के अनुसार परिणामी के अच्छे व्यवहार का उपयोग करके एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म प्राप्त किया जाता है, एक उनके परिणामी मापांकों की पर्याप्त रूप से कई [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] की गणना करता है और फिर चीनी शेष प्रमेय के साथ परिणाम का पुनर्निर्माण करता है।


पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें उत्तम [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक (<math>\log(s(d+e)),</math> से गुणा किया जाता है  जहाँ {{math|''s''}} इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा है)।
पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें उत्तम [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक (<math>\log(s(d+e)),</math> से गुणा किया जाता है  जहाँ {{math|''s''}} इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा है)।
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Q(x,y)&=0,
Q(x,y)&=0,
\end{align}</math>
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जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद है। तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति|सामान्य गुण]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  यदि और केवल यदि या तो <math>\beta</math> उपस्थित है।  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस स्थितियों में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).
जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री|कुल कोटि]] के बहुपद है। तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} कोटि की [[सामान्य संपत्ति|सामान्य गुण]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  यदि और केवल यदि या तो <math>\beta</math> उपस्थित है।  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस स्थितियों में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).


इसलिए, प्रणाली के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना है।
इसलिए, प्रणाली के समाधान की मूलों {{math|''R''}} की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना है।


बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम <math>\deg\left(\operatorname{res}_y(P,Q)\right)\le de</math>, के मान से होता है की {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} डिग्री का उत्पाद . वास्तव में, चरों के रैखिक परिवर्तन के बाद, कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक रूट के लिए {{math|''x''}} परिणामी का, {{math|''y''}} का बिल्कुल मान है  जैसे कि {{math|(''x'', ''y'')}} का सामान्य शून्य {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} है। इससे पता चलता है कि उभयनिष्ठ शून्यों की संख्या अधिक से अधिक परिणामी की डिग्री है, जो कि  {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} अधिक से अधिक डिग्री का गुणनफल है। कुछ तकनीकीताओं के साथ, इस प्रमाण को यह दिखाने के लिए बढ़ाया जा सकता है कि अनंत पर गुणा और शून्य की गिनती, शून्य की संख्या वास्तव में डिग्री का उत्पाद है।
बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम <math>\deg\left(\operatorname{res}_y(P,Q)\right)\le de</math>, के मान से होता है की {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} कोटि का उत्पाद . वास्तव में, चरों के रैखिक परिवर्तन के बाद, कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक रूट के लिए {{math|''x''}} परिणामी का, {{math|''y''}} का बिल्कुल मान है  जैसे कि {{math|(''x'', ''y'')}} का सामान्य शून्य {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} है। इससे पता चलता है कि उभयनिष्ठ शून्यों की संख्या अधिक से अधिक परिणामी की कोटि है, जो कि  {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} अधिक से अधिक कोट