परिणामी: Difference between revisions
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{{Short description|Mathematical concept in polynomial theory}} | {{Short description|Mathematical concept in polynomial theory}} | ||
{{about|दो बहुपदों का परिणाम|विशेषण के रूप में प्रयोग करता है|परिणामी (बहुविकल्पी)}} | {{about|दो बहुपदों का परिणाम|विशेषण के रूप में प्रयोग करता है|परिणामी (बहुविकल्पी)}} | ||
गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति|बहुपद व्यंजक]] है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}} | गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति|बहुपद व्यंजक]] है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}} | ||
परिणामी का | परिणामी का विस्तृत रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहितफलन है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत फलनों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है। | ||
{{math|''n''}} वेरिएबल्स में {{math|''n''}} [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है।) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा प्रस्तुत किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनेर के साथ [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है। | |||
== | == संकेत पद्धति == | ||
दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य रूप से <math>\operatorname{res}(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}(A,B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता | दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य रूप से <math>\operatorname{res}(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}(A,B)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस | परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस स्थितियों में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को अधोलिखित: <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}_x(A,B)</math> के रूप में दर्शाया गया है। | ||
परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की | परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की कोटि का उपयोग किया जाता है। चूंकि, कोटि का बहुपद {{math|''d''}} उच्च कोटि के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च कोटि का उपयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः अधोलिखित या अधिलेख के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे <math>\operatorname{res}_{d,e}(A,B)</math> या <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(A,B).</math> | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
[[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को | [[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को सामान्यतः उनके [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स|सिल्वेस्टर आव्यूह]] के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये | ||
:<math>A=a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d</math> | :<math>A=a_0x^d +a_1x^{d-1} + \cdots + a_d</math> | ||
और | और | ||
:<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math> | :<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math> | ||
क्रमशः घात {{math|''d''}} और {{math|''e''}} वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त | क्रमशः घात {{math|''d''}} और {{math|''e''}} वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मापांक यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित है।) {{math|''i''}} द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व {{math|''i''}} सख्ती से कम कोटि के बहुपद हैं। वो मैप | ||
:<math>\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}</math> | :<math>\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}</math> | ||
:ऐसा है कि | :ऐसा है कि | ||
:<math>\varphi(P,Q)=AP+BQ</math> | :<math>\varphi(P,Q)=AP+BQ</math> | ||
ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। {{math|''x''}} की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम {{math|''d'' + ''e''}} के वर्ग | ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। {{math|''x''}} की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम {{math|''d'' + ''e''}} के वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है,जिसे {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के सिल्वेस्टर आव्यूह कहा जाता है। (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर आव्यूह में, सिल्वेस्टर आव्यूह को इस आव्यूह के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के आव्यूह को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है।)। | ||
इस प्रकार {{math|''A''}} और {{math|''B''}} का परिणाम निर्धारक है | इस प्रकार {{math|''A''}} और {{math|''B''}} का परिणाम निर्धारक है | ||
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0 & 0 & \cdots & a_d & 0 & 0 & \cdots & b_e | 0 & 0 & \cdots & a_d & 0 & 0 & \cdots & b_e | ||
\end{vmatrix},</math> | \end{vmatrix},</math> | ||
जिसमें {{math|''b''<sub>''j''</sub>}} के {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''d''}} | जिसमें {{math|''b''<sub>''j''</sub>}} के {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} और {{math|''d''}} स्तम्भ के {{math|''e''}} स्तम्भ हैं (तथ्य यह है कि {{mvar|a}} के पहले स्तम्भ और {{mvar|b}} के पहले स्तम्भ की लंबाई समान है, अर्थात {{math|1=''d'' = ''e''}}, यहाँ केवल निर्धारक के प्रदर्शन को सरल बनाने के लिए है।)। उदाहरण के लिए, {{math|1=''d'' = 3}} और {{math|1=''e'' = 2}} लेने पर हमें प्राप्त होता है। | ||
:<math>\begin{vmatrix} | :<math>\begin{vmatrix} | ||
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0 & a_3 & 0 & 0 & b_2 | 0 & a_3 & 0 & 0 & b_2 | ||
\end{vmatrix}.</math> | \end{vmatrix}.</math> | ||
यदि बहुपदों के गुणांक [[अभिन्न डोमेन]] से संबंधित हैं, तो | यदि बहुपदों के गुणांक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न कार्यक्षेत्र]] से संबंधित हैं, तो | ||
:<math>\operatorname{res}(A, B) = a_0^e b_0^d \prod_{\begin{array}{c}1 \leq i \leq d\\ 1 \leq j \leq e\end{array}} (\lambda_i-\mu_j) = a_0^e \prod_{i=1}^d B(\lambda_i) = (-1)^{de} b_0^d \prod_{j=1}^e A(\mu_j),</math> | :<math>\operatorname{res}(A, B) = a_0^e b_0^d \prod_{\begin{array}{c}1 \leq i \leq d\\ 1 \leq j \leq e\end{array}} (\lambda_i-\mu_j) = a_0^e \prod_{i=1}^d B(\lambda_i) = (-1)^{de} b_0^d \prod_{j=1}^e A(\mu_j),</math> | ||
जहाँ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_d</math> और <math>\mu_1,\dots,\mu_e</math> क्रमशः मूलें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता | जहाँ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_d</math> और <math>\mu_1,\dots,\mu_e</math> क्रमशः मूलें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है। {{mvar|A}} और {{mvar|B}} किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में अभिन्न कार्यक्षेत्र सम्मिलित है। | ||
यह नीचे दिखाई देने वाले परिणामी के लक्षण वर्णन गुणों का सीधा परिणाम है। पूर्णांक गुणांक के सामान्य | |||
यह नीचे दिखाई देने वाले परिणामी के लक्षण वर्णन गुणों का सीधा परिणाम है। पूर्णांक गुणांक के सामान्य स्थितियों में, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सामान्यतः [[जटिल संख्या|जटिल संख्याओं]] के क्षेत्र के रूप में चुना जाता है। | |||
== गुण == | == गुण == | ||
इस खंड और इसके उपखंडों में, {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में दो बहुपद हैं {{math|''x''}} संबंधित | इस खंड और इसके उपखंडों में, {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में दो बहुपद हैं {{math|''x''}} संबंधित कोटि के {{math|''d''}} और {{math|''e''}}, और उनके परिणामी को निरूपित किया जाता है। | ||
<math>\operatorname{res}(A,B).</math> | <math>\operatorname{res}(A,B).</math> | ||
=== गुणों की विशेषता === | === गुणों की विशेषता === | ||
गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य | गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य है। | ||
क्रमविनिमेय | क्रमविनिमेय वलय {{math|''R''}} में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र या अधिक सामान्यतः एक अभिन्न कार्यक्षेत्र है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अद्वितीयफलन है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है। | ||
* यदि {{mvar|R}} और | * यदि {{mvar|R}} और वलय का {{mvar|S}} [[सबरिंग|उपवलय]] है, तब <math>\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).</math> अर्थात् {{mvar|A}} और {{mvar|B}} का परिणाम समान होता है जब {{mvar|R}} या {{mvar|S}} बहुपदों पर विचार किया जाता है। | ||
*यदि {{math|1=''d'' = 0}} ( | *यदि {{math|1=''d'' = 0}} (अर्थात् यदि <math>A=a_0</math> अशून्य स्थिरांक है।) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math> | ||
* <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math> | * <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math> | ||
* <math>\operatorname{res}(B,A)=(-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)</math> * <math>\operatorname{res}(AB,C) = \operatorname{res}(A,C)\operatorname{res}(B,C)</math> | * <math>\operatorname{res}(B,A)=(-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)</math> * <math>\operatorname{res}(AB,C) = \operatorname{res}(A,C)\operatorname{res}(B,C)</math> | ||
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=== शून्य === | === शून्य === | ||
* अभिन्न | * अभिन्न कार्यक्षेत्र में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है। यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक कोटि के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो। | ||
* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो। | * पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो। | ||
* {{math|''e''}} से कम | * {{math|''e''}} से कम कोटि का एक बहुपद {{math|''P''}} और {{math|''d''}} से कम कोटि का एक बहुपद {{math|''Q''}} उपस्थित है जैसे कि <math> \operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.</math> यह स्वैच्छिक क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलय सिद्धांत) से संबंधित है। | ||
=== | === वलय होमोमोर्फिज्म द्वारा अप्रसरण === | ||
मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित | मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित कोटि के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव वलय में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की वलय समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय वलय में {{math|''S''}} को प्रायुक्त करने <math>\varphi</math> बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है। <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे <math>\varphi.</math> द्वारा निरूपित भी किया जाता है। इस अंकन के साथ, हमारे पास है: | ||
* यदि <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} ( | * यदि <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (अर्थात् यदि <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B))= e</math>), तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
* यदि <math>\deg(\varphi(A)) < d</math> और <math>\deg(\varphi(B))< e,</math> तब | * यदि <math>\deg(\varphi(A)) < d</math> और <math>\deg(\varphi(B))< e,</math> तब | ||
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* यदि <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब | * यदि <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह | निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह सामान्यतः [[मॉड्यूलर अंकगणित|मापांक अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की वलय है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई वलय {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस प्रकार से फिर से प्रारंभ किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा कोटि को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह गुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए। | ||
=== चर के परिवर्तन के | === चर के परिवर्तन के अनुसार व्युत्क्रम === | ||
*<math>\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | *<math>\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | ||
*<math>\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | *<math>\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | ||
* यदि <math>A_r(x)=x^dA(1/x)</math> और <math>B_r(x)=x^eB(1/x)</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] हैं {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, क्रमशः, फिर | * यदि <math>A_r(x)=x^dA(1/x)</math> और <math>B_r(x)=x^eB(1/x)</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] हैं {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, क्रमशः, फिर | ||
::<math>\operatorname{res}(A_r, B_r)= (-1)^{de}\operatorname{res}(A,B)</math> | ::<math>\operatorname{res}(A_r, B_r)= (-1)^{de}\operatorname{res}(A,B)</math> | ||
इसका | इसका अर्थ यह है कि परिणामी शून्य होने का गुण चर के रैखिक और प्रक्षेपी परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय है। | ||
=== बहुपदों के परिवर्तन के | === बहुपदों के परिवर्तन के अनुसार व्युत्क्रम === | ||
*यदि {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो | *यदि {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो | ||
::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
*यदि {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि {{math|''A'' – ''CB''}} की | *यदि {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि {{math|''A'' – ''CB''}} की कोटि {{math|''{{delta}}''}} है, तब | ||
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
:: | :: | ||
| Line 106: | Line 106: | ||
:और यदि {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | :और यदि {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | ||
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान | इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है। इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (परन्तु कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या सामान्यतः त्रुटिहीन विभाजनों के अतिरिक्त किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न कार्यक्षेत्र पर काम करता है (अर्थात, अंशों को सम्मिलित किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं, चूंकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर आव्यूह के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। | ||
=== सामान्य गुण === | === सामान्य गुण === | ||
| Line 117: | Line 117: | ||
इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो। | इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो। | ||
परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> | परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> कोटि के लिए {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अधिकांश सामान्य परिणामी कहा जाता है। इसके निम्नलिखित गुण हैं। | ||
*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है। | *<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है। | ||
*यदि <math>I</math> का आदर्श ( | *यदि <math>I</math> का आदर्श (वलय सिद्धांत) है <math>R[x]</math> द्वारा उत्पन्न {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, तब <math>I\cap R</math> द्वारा उत्पन्न <math>\operatorname{res}(A,B)</math> [[प्रमुख आदर्श]] है . | ||
=== एकरूपता === | === एकरूपता === | ||
कोटि के लिए सामान्य परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} विभिन्न विधियों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक: | |||
* यह <math>a_0, \ldots, a_d.</math> में | * यह <math>a_0, \ldots, a_d.</math> में कोटि {{math|''e''}} का सजातीय है। | ||
* यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में | * यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में कोटि {{math|''d''}} का सजातीय है। | ||
* यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में | * यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में कोटि {{math|''d'' + ''e''}} का सजातीय है। | ||
* यदि <math>a_i</math> और <math>b_i</math> को परिणामी {{math|''i''}} दिया जाता | * यदि <math>a_i</math> और <math>b_i</math> को परिणामी {{math|''i''}} दिया जाता है। (अर्थात्, प्रत्येक गुणांक का परिणामी [[प्राथमिक सममित बहुपद]] के रूप में इसकी कोटि है), तो यह कुल परिणामी का {{math|''de''}} का [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है | | ||
*यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित | *यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित कोटि {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम कोटि {{math|''d''}} और {{math|''e''}} में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में कोटि {{math|''de''}} का सजातीय है। | ||
=== उन्मूलन गुण === | === उन्मूलन गुण === | ||
मान लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (वलय सिद्धांत) <math>R[x],</math> में दो बहुपद वलय {{math|''A''}} और {{math|''B''}} द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब: | |||
* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | * <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | ||
* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> यदि और केवल <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> यह शून्य | * आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> यदि और केवल <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> यह शून्य है। | ||
*आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> का मूलांक है अर्थात्, प्रत्येक <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है | *आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> का मूलांक है अर्थात्, प्रत्येक <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है | ||
* के सभी [[अलघुकरणीय बहुपद]] <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> के हर तत्व को <math>I\cap R.</math> में विभाजित करें | * के सभी [[अलघुकरणीय बहुपद]] <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> के हर तत्व को <math>I\cap R.</math> में विभाजित करें | ||
पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है। | पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है। | ||
जैसा की {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में से कम से कम एक मोनिक है, एक {{math|''n''}}टपल <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> का <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> शून्य है यदि और केवल यदि <math>\alpha</math> | जैसा की {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में से कम से कम एक मोनिक है, एक {{math|''n''}}टपल <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> का <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> शून्य है यदि और केवल यदि <math>\alpha</math> उपस्थित है जैसे कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य शून्य है। ऐसा उभयनिष्ठ शून्य <math>I\cap R.</math> भी के सभी अवयवों का शून्य होता है इसके विपरीत यदि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> के तत्वों का सामान्य <math>I\cap R,</math> शून्य है यह परिणामी का शून्य है, और उपस्थित है <math>\alpha</math> ऐसा है कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का सामान्य शून्य है {{math|''A''}} और {{math|''B''}}. इसलिए <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> बिल्कुल वही शून्य हैं। | ||
== संगणना == | == संगणना == | ||
सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। | |||