परिणामी: Difference between revisions

परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है।

क्रमविनिमेय रिंग {{math|''R''}} में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र या अधिक आम तौर पर एक अभिन्न डोमेन है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अनूठा कार्य है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।

* <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math>

* <math>\operatorname{res}(B,A)=(-1)^{de} \operatorname{res}(A,B)</math> * <math>\operatorname{res}(AB,C) = \operatorname{res}(A,C)\operatorname{res}(B,C)</math>

=== रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा इनवेरियन ===

मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित डिग्री के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव रिंग में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}} को लागू करने <math>\varphi</math> बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे निरूपित भी किया जाता है <math>\varphi.</math> इस अंकन के साथ, हमारे पास है:

::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>

::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0.</math>

::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>

::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>

निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह गुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।

*<math>\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))</math>

*<math>\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))</math>

::<math>\operatorname{res}(A_r, B_r)= (-1)^{de}\operatorname{res}(A,B)</math>

इसका मतलब यह है कि परिणामी शून्य होने का गुण चर के रैखिक और प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है।

=== बहुपदों के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम ===

::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math>

::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math>  

::

::विशेष रूप से, यदि कोई हो {{mvar|B}} या {{math|deg ''C'' < deg ''A'' – deg ''B''}} [[मोनिक बहुपद]] है, तब

::<math>\operatorname{res}(A-CB,B) = \operatorname{res}(A,B), </math>

::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math>

इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है. इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (बशर्ते कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या आम तौर पर सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न डोमेन पर काम करता है (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल हैं, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है।

*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है।

=== एकरूपता ===

* यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में डिग्री {{math|''d''}} का सजातीय है  

* यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में डिग्री {{math|''d'' + ''e''}} का सजातीय है   

=== उन्मूलन गुण ===

मन लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) <math>R[x],</math> में दो बहुपद रिंग {{math|''A''}} और {{math|''B''}}  द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब:

* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math>

*आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> का मूलांक है  अर्थात्, प्रत्येक <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है  

* के सभी [[अलघुकरणीय बहुपद]] <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> के हर तत्व को <math>I\cap R.</math> में विभाजित करें  

पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।

== संगणना ==

Q(x,y)&=0,

\end{align}</math>

इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना हैं

बहुपद का विभेदक, जो संख्या सिद्धांत में मौलिक उपकरण है, बहुपद के परिणामी और उसके व्युत्पन्न के प्रमुख गुणांक द्वारा भागफल है।

मान लीजिये <math>K(\alpha)</math> तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में। का हर तत्व <math>\beta \in K(\alpha)</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\beta=Q(\alpha),</math> जहाँ <math>Q</math> बहुपद है। तब <math>\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x)),</math> और यह परिणामी <math>\beta.</math> के न्यूनतम बहुपद की घात है  

:परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। ट्रैगर ने साबित कर दिया कि प्रतिपक्षी है

:<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x)),</math>

=== कंप्यूटर बीजगणित ===

वह है:

* अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है।

::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math>

* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की गुण अपरिवर्तनीय है।

जिसमें प्रत्येक <math>Q_i</math> डिग्री के सजातीय बहुपदों पर चलता है <math>D-d_i,</math> और [[कोडोमेन]] है {{math|''C''}}डिग्री के सजातीय बहुपदों का मॉड्यूल {{math|''D''}}.

====जेनेरिक मैकाले परिणामी के गुण ====

=== क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम ===

अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद <math>P_1,\ldots,P_n</math> डिग्रियों का <math>d_1,\ldots,d_n</math> क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) {{math|''k''}}, अर्थात् वे इससे संबंधित हैं <math>k[x_1,\dots,x_n].</math> उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''k''}} के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>P_i.</math>

:<math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,</math>

जहाँ <math>D=d_1+\cdots +d_n-n+1</math> मैकाले डिग्री है, और <math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle</math> अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि <math>P_1,\ldots,P_n</math> अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य नहीं है, {{math|(0, ..., 0)}}, का <math>x_1,\ldots,x_n.</math>

क्षेत्र में गुणांक वाले इनपुट बहुपदों के मामले में, परिणामी का त्रुटिहीन मूल्य शायद ही कभी महत्वपूर्ण होता है, केवल इसकी समानता (या नहीं) शून्य मायने रखती है। जैसा कि परिणामी शून्य है यदि और केवल यदि मैकाले मैट्रिक्स की रैंक इसकी पंक्तियों की संख्या से कम है, तो यह समानता शून्य हो सकती है, जिसे मैकाले मैट्रिक्स में गॉसियन विलोपन लागू करके परीक्षण किया जा सकता है। यह समय जटिलता प्रदान करता है <math>d^{O(n)},</math> जहाँ {{math|''d''}} इनपुट बहुपद की अधिकतम डिग्री है।

=== यू-परिणामस्वरूप ===

सामान्य रेखीय रूप है जिसके गुणांक नए अनिश्चित हैं <math>u_1, \ldots, u_n.</math> नोटेशन <math>u_i</math> या <math>U_i</math> इन सामान्य गुणांकों के लिए पारंपरिक है, और यू-परिणामी शब्द का मूल है।

==== अधिक बहुपदो�