ग्रुपॉयड: Difference between revisions
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{{About|श्रेणी सिद्धांत में समूह|एकल द्विचर प्रचालन के साथ बीजगणितीय संरचना|मैग्मा (बीजगणित)}} | {{About|श्रेणी सिद्धांत में समूह|एकल द्विचर प्रचालन के साथ बीजगणितीय संरचना|मैग्मा (बीजगणित)}} | ||
गणित में, विशेष रूप से [[श्रेणी सिद्धांत]] और [[होमोटॉपी सिद्धांत]] में, एक | गणित में, विशेष रूप से [[श्रेणी सिद्धांत]] और [[होमोटॉपी सिद्धांत|समस्थेयता सिद्धांत]] में, एक '''ग्रुपॉयड''' (प्रायः कम ब्रांट ग्रुपॉयड या आभासी समूह) कई समान तरीकों से [[समूह (गणित)|समूह]] की धारणा को सामान्यीकृत करता है। ग्रुपॉयड को एक रूप में देखा जा सकता है, | ||
*[[एकात्मक ऑपरेशन|द्विचर प्रचालन]] की जगह एक [[आंशिक फलन]] वाला [[समूह]], | *[[एकात्मक ऑपरेशन|द्विचर प्रचालन]] की जगह एक [[आंशिक फलन]] वाला [[समूह]], | ||
*'[[श्रेणी]]' जिसमें प्रत्येक [[आकारिकी]] व्युत्क्रमणीय होती है। इस प्रकार की | *'[[श्रेणी]]' जिसमें प्रत्येक [[आकारिकी]] व्युत्क्रमणीय होती है। इस प्रकार की श्रेणी को आकारिकी पर [[एकल संक्रिया]] के साथ संवर्धित के रूप में देखा जा सकता है, जिसे [[समूह सिद्धांत]] के अनुरूप प्रतिलोम कहा जाता है।<ref name="dicks-ventura-96">{{cite book|author=Dicks & Ventura|year=1996|title=एक नि: शुल्क समूह के इंजेक्शन एंडोमोर्फिज्म के एक परिवार द्वारा तय किया गया समूह|url={{Google books|plainurl=y|id=3sWSRRfNFKgC|page=6|text=G has the structure of a graph}}|page=6}}</ref> ग्रुपॉयड जहां केवल एक वस्तु होती है वह सामान्य समूह होता है। | ||
[[आश्रित प्रकार]] की उपस्थिति में, सामान्य रूप से एक श्रेणी को वर्गीकृत किए गए [[एकाभ]] के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह, एक ग्रुपॉयड को केवल वर्गीकृत किए गए समूह के रूप में देखा जा सकता है। | [[आश्रित प्रकार]] की उपस्थिति में, सामान्य रूप से एक श्रेणी को वर्गीकृत किए गए [[एकाभ|मोनोइड]] के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह, एक ग्रुपॉयड को केवल वर्गीकृत किए गए समूह के रूप में देखा जा सकता है। आकारिकी एक वस्तु से दूसरी वस्तु पर ले जाता है, और प्रकारों के एक आश्रित परिवार का निर्माण करता हैं, इस प्रकार आकारिकी को <math>g:A \rightarrow B</math>, <math>h:B \rightarrow C</math>, में वर्गीकृत किया जा सकता है। संरचना तब कुल फलन है, <math>\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C </math>, ताकि <math>h \circ g : A \rightarrow C </math> हो। | ||
विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं, | विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं, | ||
* [[सेटोइड्स]] | * [[सेटोइड्स]], [[सेट (गणित)|समुच्चय]] जो एक [[समतुल्य संबंध|तुल्यता संबंध]] के साथ आता है, | ||
*[[जी-सेट|जी-समुच्चय]], समूह <math>G</math> की [[क्रिया]] से सुसज्जित समुच्चय। | *[[जी-सेट|जी-समुच्चय]], समूह <math>G</math> की [[क्रिया]] से सुसज्जित समुच्चय। | ||
ग्रुपॉयड का उपयोग प्रायः [[ज्यामितीय]] वस्तुओं जैसे [[ कई गुना |विविध]] के बारे में विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। {{harvs|txt|first=हेनरिक |last=ब्रांट|authorlink=हेनरिक ब्रांट|year=1927}} ने [[ब्रांट सेमीग्रुप|ब्रांट अर्धसमूह]] के माध्यम से ग्रुपॉयड को स्पष्ट रूप से पेश किया।<ref>{{SpringerEOM|title=Brandt semi-group|ISBN=1-4020-0609-8}}</ref> | |||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
ग्रुपॉयड एक बीजगणितीय संरचना <math>(G,\ast)</math> है जिसमें | ग्रुपॉयड एक बीजगणितीय संरचना <math>(G,\ast)</math> है जिसमें एक अरिक्त समुच्च्य <math>G</math> और एक द्विआधारी [[आंशिक फलन]] '<math>\ast</math>' सम्मिलित है जो <math>G</math> पर परिभाषित है। | ||
=== बीजगणितीय === | === बीजगणितीय === | ||
एक ग्रुपॉयड एक समुच्चय <math>G</math> है जिसमें एक [[एकात्मक संक्रिया]] <math>{}^{-1}:G\to G,</math> | एक ग्रुपॉयड एक समुच्चय <math>G</math> है जिसमें एक [[एकात्मक संक्रिया]] <math>{}^{-1}:G\to G,</math> और [[आंशिक फलन]] <math>*:G\times G \rightharpoonup G</math> है। यहाँ * एक [[द्विआधारी संक्रिया]] नहीं है क्योंकि यह आवश्यक रूप से <math>G</math> के सभी तत्वों के जोड़े के लिए परिभाषित नहीं है। सटीक शर्तें जिसके तहत <math>*</math> को परिभाषित किया गया है, वे यहाँ व्यक्त नहीं की गई हैं और स्थिति के अनुसार बदलती हैं। | ||
संक्रियाएँ <math>\ast</math> और <sup>−1</sup> में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध गुण हैं, | संक्रियाएँ <math>\ast</math> और <sup>−1</sup> में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध गुण हैं, <math>G</math> में सभी <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> के लिए , | ||
# साहचर्य, यदि <math>a*b</math> और <math>b*c</math> परिभाषित हैं, तो <math>(a * b) * c</math> और <math>a * (b * c)</math> परिभाषित हैं और बराबर हैं। इसके विपरीत यदि एक <math>(a * b) * c</math> और <math>a * (b * c)</math> परिभाषित है, तब वे दोनों परिभाषित हैं (और वे एक दूसरे के बराबर हैं), | # साहचर्य, यदि <math>a*b</math> और <math>b*c</math> परिभाषित हैं, तो <math>(a * b) * c</math> और <math>a * (b * c)</math> परिभाषित हैं और बराबर हैं। इसके विपरीत यदि एक <math>(a * b) * c</math> और <math>a * (b * c)</math> परिभाषित है, तब वे दोनों परिभाषित हैं (और वे एक दूसरे के बराबर हैं), तथा <math>a*b</math> और <math>b*c</math> भी परिभाषित हैं। | ||
# [[गुणात्मक प्रतिलोम]], <math>a^{-1} * a</math> और <math>a*{a^{-1}}</math> हमेशा परिभाषित होते हैं। | # [[गुणात्मक प्रतिलोम]], <math>a^{-1} * a</math> और <math>a*{a^{-1}}</math> हमेशा परिभाषित होते हैं। | ||
# [[पहचान तत्व|पहचान,]] यदि <math>a*b</math> परिभाषित किया गया है, तो <math>a*b*{b^{-1}} = a</math>, और <math>{a^{-1}} * a * b = b</math>। (पिछले दो स्वयंसिद्ध पहले से ही दिखाते हैं कि ये | # [[पहचान तत्व|पहचान,]] यदि <math>a*b</math> परिभाषित किया गया है, तो <math>a*b*{b^{-1}} = a</math>, और <math>{a^{-1}} * a * b = b</math>। (पिछले दो स्वयंसिद्ध पहले से ही दिखाते हैं कि ये अभिव्यक्तिया परिभाषित और स्पष्ट हैं।) | ||
इन स्वयंसिद्धों से दो आसान और | इन स्वयंसिद्धों से दो आसान और उपयुक्त गुण निकलते हैं, | ||
* <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>, | * <math>(a^{-1})^{-1} = a</math>, | ||
* अगर <math>a*b</math> परिभाषित किया गया है, तो <math>(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}</math>।<ref> | * अगर <math>a*b</math> परिभाषित किया गया है, तो <math>(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}</math>।<ref> | ||
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Proof of second property: since ''a'' * ''b'' is defined, so is (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b''. Therefore (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' is also defined. Moreover since ''a'' * ''b'' is defined, so is ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> = ''a''. Therefore ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup> is also defined. From 3. we obtain (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>. ✓</ref> | Proof of second property: since ''a'' * ''b'' is defined, so is (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b''. Therefore (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' is also defined. Moreover since ''a'' * ''b'' is defined, so is ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> = ''a''. Therefore ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup> is also defined. From 3. we obtain (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''a''<sup>−1</sup> = (''a'' * ''b'')<sup>−1</sup> * ''a'' * ''b'' * ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup> = ''b''<sup>−1</sup> * ''a''<sup>−1</sup>. ✓</ref> | ||
=== श्रेणी सिद्धांत === | === श्रेणी सिद्धांत === | ||
समूह एक [[छोटी]] [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] है जिसमें प्रत्येक [[आकृतिवाद]] एक [[समरूपता]] है, अर्थात, उलटा।<ref name="dicks-ventura-96"/> अधिक स्पष्ट रूप से, एक समूह G है, | |||
* वस्तुओं का एक | * वस्तुओं का एक समुच्चय G<sub>0</sub> | ||
* G<sub>0</sub> में वस्तुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, x से y तक | * G<sub>0</sub> में वस्तुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, x से y तक आकारिकी (या तीर) का एक (संभवतः खाली) समुच्चय G(x,y) मौजूद है। हम f : x → y लिखते हैं, यह दर्शाने के लिए कि f, G(x,y) का एक तत्व है। | ||
* प्रत्येक वस्तु x के लिए, G(x,x) का एक निर्दिष्ट तत्व <math>\mathrm{id}_x</math>, | * प्रत्येक वस्तु x के लिए, G(x,x) का एक निर्दिष्ट तत्व <math>\mathrm{id}_x</math>, | ||
* वस्तुओं x, y, और z के प्रत्येक त्रिगुण के लिए, एक फलन <math>\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf</math>, | * वस्तुओं x, y, और z के प्रत्येक त्रिगुण के लिए, एक फलन <math>\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf</math>, | ||
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* <math>f f^{-1} = \mathrm{id}_y</math> और <math>f^{-1} f = \mathrm{id}_x</math>। | * <math>f f^{-1} = \mathrm{id}_y</math> और <math>f^{-1} f = \mathrm{id}_x</math>। | ||
यदि f, G(x, y) का एक | यदि f, G(x, y) का एक तत्व है तो x को f का 'स्रोत' कहा जाता है, जिसे s(f) लिखा जाता है, और y को f का 'लक्ष्य' कहा जाता है, जिसे t(f) लिखा जाता है। एक समूह G को कभी-कभी <math>G_1 \rightrightarrows G_0</math> के रूप में दर्शाया जाता है, जहां <math>G_1</math> सभी रूपों का समुच्चय है, और दो तीर <math>G_1 \to G_0</math> स्रोत और लक्ष्य का प्रतिनिधित्व करते हैं। | ||
अधिक | आमतौर पर अधिक , परिमित फाइबर उत्पादों को स्वीकार करने वाली याट्टीच्छक श्रेणी में एक [[समूहबद्ध वस्तु]] पर विचार किया जा सकता है। | ||
=== परिभाषाओं की तुलना === | === परिभाषाओं की तुलना करना === | ||
बीजगणितीय और श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषाएँ समतुल्य हैं, जैसा कि अब हम दिखाते हैं। श्रेणी-सैद्धांतिक अर्थों में एक समूह को देखते हुए, G को सभी | बीजगणितीय और श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषाएँ समतुल्य हैं, जैसा कि अब हम दिखाते हैं। श्रेणी-सैद्धांतिक अर्थों में एक समूह को देखते हुए, G को सभी समुच्चय G (x, y) (यानी x से y तक आकारिकी के समुच्चय) का [[असंयुक्त सम्मिलन]] होने दें। जब <math>\mathrm{comp}</math> और <math>\mathrm{inv}</math> G पर आंशिक संचालन बन जाते हैं, तब <math>\mathrm{inv}</math> वास्तव में हर जगह परिभाषित किया जाएगा। हम ∗ को <math>\mathrm{comp}</math> और <sup>−1</sup> को <math>\mathrm{inv}</math> के रूप में परिभाषित करते हैं, जो बीजगणितीय अर्थ में एक ग्रुपॉयड देता है। G<sub>0</sub> (और इसलिए <math>\mathrm{id}</math>) के स्पष्ट संदर्भ को छोड़ा जा सकता है। | ||
इसके विपरीत, बीजगणितीय अर्थ में एक | इसके विपरीत, बीजगणितीय अर्थ में एक ग्रुपॉयड G दिया गया है, एक तुल्यता संबंध <math>\sim</math> को इसके तत्वों पर <math>a \sim b</math> द्वारा परिभाषित करें , यदि ∗a a<sup>−1</sup> = b∗ b<sup>-1</sup>। मान लीजिए कि G<sub>0</sub> <math>\sim</math>, अर्थात <math>G_0:=G/\!\!\sim</math> के तुल्यता वर्गों का समुच्चय है। a* a<sup>−1</sup> को <math>1_x</math> से निरूपित करें यदि <math>a\in G</math> साथ <math>x\in G_0</math> हो । | ||
<math>a \sim b</math> | |||
अब | अब <math>G(x, y)</math> को सभी तत्वों f के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें जिससे कि <math>1_x*f*1_y</math> का अस्तित्व हो। <math>f \in G(x,y)</math> और <math>g \in G(y, z),</math> दिया हुआ है, उनके योग को <math>gf:=f*g \in G(x,z)</math> के रूप में परिभाषित किया गया है। यह देखने के लिए कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है, निरीक्षण करें कि <math>(1_x*f)*1_y</math> और <math>1_y*(g*1_z)</math> का अस्तित्व है, इसलिए <math>(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g</math> का भी अस्तित्व है। x पर तत्समक आकारिकी तब <math>1_x</math>है, और f का श्रेणी-सैद्धांतिक व्युत्क्रम f<sup>-1</sup> है। | ||
ऊपर दी गई परिभाषाओं में समुच्चय को [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|कक्षाओं]] से बदला जा सकता है, जैसा कि आमतौर पर श्रेणी सिद्धांत में होता है। | |||
=== शीर्ष समूह और कक्षाएँ === | === शीर्ष समूह और कक्षाएँ === | ||
ग्रुपॉयड G को देखते हुए, शीर्ष समूह या 'समदैशिकता समूह' या G में 'वस्तु समूह' विधि G (x,x) के उपसमुच्चय हैं, जहां x G की कोई वस्तु है। ऊपर दिए गए स्वयंसिद्धों से यह आसानी से पता चलता है कि ये वास्तव में समूह हैं, क्योंकि तत्वों की प्रत्येक जोड़ी रचना योग्य है और व्युत्क्रम एक ही शीर्ष समूह में हैं। | |||
एक बिंदु | एक बिंदु <math>x \in X</math> पर ग्रुपॉयड G की 'कक्षा' समुच्चय <math>s(t^{-1}(x)) \subset X</math> द्वारा दी गई है जिसमें प्रत्येक बिंदु सम्मिलित है जो G में एक आकारिकी द्वारा x से जोड़ा जा सकता है। यदि दो बिंदु <math>x</math> और <math>y</math> समान कक्षाओं में हैं, तो उनके शीर्ष समूह <math>G(x)</math> और <math>G(y)</math> [[समूह समरूपता|तुल्याकारी]] हैं, यदि <math>f</math> <math>x</math> से <math>y</math> तक कोई आकारिकी है, तो तुल्याकारिता मानचित्रण <math>g\to fgf^{-1}</math>द्वारा दी जाती है। | ||
कक्षाएँ | कक्षाएँ समुच्चय X का एक विभाजन बनाती हैं, यदि इसकी केवल एक कक्षा होती है तो एक समूह को संक्रामी कहा जाता है (समकक्ष रूप से, यदि यह एक श्रेणी के रूप में [[जुड़ा]] हुआ है)। उस स्थिति में, सभी शीर्ष समूह समरूपी होते हैं (दूसरी ओर, यह संक्रामकता के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है, प्रतिउदाहरणों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग [[देखें]])। | ||
=== उपसमूह और आकारिकी === | === उपसमूह और आकारिकी === | ||
<math>G \rightrightarrows X</math> का एक उपसमूह एक [[उपश्रेणी]] <math>H \rightrightarrows Y</math> है जो स्वयं एक समूह है। इसे विस्तृत या पूर्ण कहा जाता है यदि यह एक उपश्रेणी के रूप में [[विस्तृत उपश्रेणी|विस्तृत]] या [[पूर्ण उपश्रेणी|पूर्ण]] है, क्रमशः, यदि प्रत्येक <math>x,y \in Y</math> के लिए <math>X = Y</math> या <math>G(x,y)=H(x,y)</math> है। | |||
एक | एक ग्रुपॉयड आकारिकी केवल दो (श्रेणी-सैद्धांतिक) ग्रुपॉयड के बीच एक प्रकार्यक है। | ||
ग्रुपॉयड की विशेष प्रकार की आकारिकी संबद्ध हैं। ग्रुपॉयड के एक आकारिकी <math>p: E \to B</math> को एक [[ कंपन |कंपन]] कहा जाता है यदि प्रत्येक वस्तु के लिए <math>x</math> <math>E</math> का और प्रत्येक आकारिकी <math>b</math> का <math>B</math> <math>p(x)</math> से शुरू होता है, <math>x</math> से शुरू होने वाले <math>E</math> का एक आकारिकी <math>e</math> ऐसा होता है जैसे कि <math>p(e)=b</math>। एक स्पंदन को [[मोर्फिज्म को कवर करना|समुपयोग आकारिकी]] या [[समूह बद्ध का समुपयोग|ग्रुपॉयड का समुपयोग]] कहा जाता है यदि आगे ऐसा <math>e</math> अद्वितीय हो। ग्रुपॉयड के [[समुपयोग आकारिता|समुपयोग आकारिकी]] विशेष रूप से उपयोगी होते हैं क्योंकि उनका उपयोग समष्टि के [[मानचित्रों को समुपयोग]] करने के लिए किया जा सकता है।<ref>J.P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'', 1999, The University of Chicago Press {{ISBN|0-226-51183-9}} (''see chapter 2'')</ref> | |||
यह भी सच है कि किसी दिए गए ग्रुपॉयड के आकारिकी को | |||
यह भी सच है कि किसी दिए गए ग्रुपॉयड <math>B</math> के आकारिकी को समुपयोग करने की श्रेणी समुच्चय पर ग्रुपॉयड <math>B</math> की क्रियाओं की श्रेणी के बराबर है। | |||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
=== | === सांस्थिति === | ||
{{Main| | {{Main|मौलिक समूह}} | ||
[[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] <math>X</math> दिया गया है, मान लीजिए <math>G_0</math> ,<math>X</math> का समुच्चय है। बिंदु <math>p</math> से बिंदु <math>q</math> तक के आकारिकी <math>p</math> से <math>q</math> तक [[निरंतर कार्य (टोपोलॉजी)|निरंतर पथों]] के [[समतुल्य वर्ग]] हैं, दो पथ समतुल्य हैं यदि वे [[होमोटोपिक|समस्थानी]] हैं। इस तरह के दो रूपों की रचना पहले मार्ग का अनुसरण करके की जाती है, फिर दूसरे की समरूपता तुल्यता प्रत्याभुति देती है कि यह रचना [[साहचर्य]] है। इस ग्रुपॉयड को <math>X</math>[[ मौलिक समूह | का मौलिक समूह]] कहा जाता है , जिसे <math>\pi_1(X)</math> (या कभी-कभी, <math>\Pi_1(X)</math>) द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/fundamental+groupoid|title=nLab में मौलिक Groupoid|website=ncatlab.org|access-date=2017-09-17}}</ref> सामान्य मौलिक समूह <math>\pi_1(X,x)</math> तो बिंदु <math>x</math> के लिए शीर्ष समूह है। | |||
इस विचार का एक महत्वपूर्ण विस्तार मौलिक समूह | मौलिक समूह <math>\pi_1(X)</math> की कक्षाएँ <math>X</math> के पथ से जुड़े घटक हैं। इसलिए, [[पथ से जुड़े स्थान]] का मूलभूत समूह सकर्मक है, और हम ज्ञात तथ्य को पुनर्प्राप्त करते हैं , किसी भी आधार बिंदु पर मूलभूत समूह समरूप हैं। इसके अलावा, इस स्थिति में, मौलिक समूह और मौलिक समूह श्रेणियों के [[बराबर]] हैं, (सामान्य सिद्धांत के लिए [[नीचे]] अनुभाग देखें)। | ||
इस विचार का एक महत्वपूर्ण विस्तार मौलिक समूह <math>\pi_1(X,A)</math> पर विचार करना है जहां <math>A\subset X</math> आधार बिंदुओं का एक चुना हुआ समूह है। यहाँ <math>\pi_1(X,A)</math> <math>\pi_1(X)</math> का एक (विस्तृत) उपसमूह है ,जहाँ कोई केवल उन रास्तों पर विचार करता है जिनके अंत बिंदु <math>A</math> से संबंधित हैं। समुच्चय <math>A</math> को वर्तमान स्थिति की ज्यामिति के अनुसार चुना जा सकता है। | |||
=== तुल्यता संबंध === | === तुल्यता संबंध === | ||
अगर <math>X</math> एक | अगर <math>X</math> एक [[सेटॉइड]] है, अर्थात एक [[समतुल्य संबंध]] वाला समुच्चय <math>\sim</math>, तो इस तुल्यता संबंध का प्रतिनिधित्व करने वाला एक समूह निम्नानुसार बनाया जा सकता है: | ||
* ग्रुपॉयड की वस्तुएं | * ग्रुपॉयड की वस्तुएं <math>X</math> के तत्व हैं , | ||
* | * <math>X</math> में किन्हीं दो तत्वों <math>x</math> और <math>y</math> के लिए , <math>x</math> से <math>y</math> तक एकल आकारिकी है (<math>(y,x)</math> से निरूपित करें) यदि केवल <math>x\sim y</math>, | ||
* | * <math>(z,y)</math> और <math>(y,x)</math> है <math>(z,x)</math> की रचना। | ||
इस समूह के शीर्ष समूह हमेशा तुच्छ होते हैं | इस समूह के शीर्ष समूह हमेशा तुच्छ होते हैं, इसके अलावा, यह समूह आम तौर पर सकर्मक नहीं है और इसकी कक्षाएँ बिल्कुल तुल्यता वर्ग हैं। दो अधिकतम उदाहरण हैं, | ||
* यदि | * यदि <math>X</math> का प्रत्येक तत्व <math>X</math> के प्रत्येक अन्य तत्व के साथ संबंध रखता है, तो हमें <math>X</math> की जोड़ी का ग्रुपॉयड प्राप्त करते हैं, जिसमें संपूर्ण <math>X \times X</math> तीरों के समूह के रूप में होता है, और जो सकर्मक होता है। | ||
* यदि | * यदि <math>X</math> का प्रत्येक तत्व केवल स्वयं के साथ संबंध में है, तो इकाई ग्रुपॉयड प्राप्त करता है, जिसमें तीरों के समुच्चय के रूप में <math>X</math> है, <math>s = t = id_X</math> और जो पूरी तरह से अकर्मक है (प्रत्येक सिंगलटन <math>\{x\}</math> एक कक्षा है)। | ||
==== उदाहरण ==== | ==== उदाहरण ==== | ||
*अगर <math>f: X_0 \to Y</math> | *अगर <math>f: X_0 \to Y</math> [[स्मूथ बहुविध का स्मूथ विशेषण निमज्जन]] है, तो <math>X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0</math> एक तुल्यता संबंध है<ref name=":0" /> क्योंकि <math>Y</math> में सांस्थितिक समष्टि के विशेषण मानचित्र के तहत <math>X_0</math> के भागफल सांस्थितिक के लिए एक सांस्थितिक तुल्य कारी है। अगर हम लिखते हैं, <math>X_1 = X_0\times_YX_0</math> तो हमें ग्रुपॉयड <math>X_1 \rightrightarrows X_0</math> | ||