वेग: Difference between revisions
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{{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}} | {{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}} | ||
वेग [[ गति ]] में एक [[ भौतिक वस्तु ]] की [[ दिशात्मक व्युत्पन्न ]] गति है, जो स्थिति ( | वेग [[ गति ]] में एक [[ भौतिक वस्तु ]] की [[ दिशात्मक व्युत्पन्न ]] गति है, जो स्थिति(सदिश) में उसके [[ समय व्युत्पन्न ]] के संकेत के रूप देखी जाती है, जैसा कि समय के एक विशेष मानक (जैसे {{val|60|u=[[kilometres per hour|km/h]]}} [[ उत्तर ]] की ओर) द्वारा मापा जाता है। गति [[ गतिकी ]] में वेग एक मौलिक अवधारणा है, [[ शास्त्रीय यांत्रिकी | चिरसम्मत यांत्रिकी]] की शाखा जो निकायों की गति का वर्णन करती है। | ||
वेग एक भौतिक सदिश (ज्यामिति) [[ भौतिक मात्रा ]] है; इसे परिभाषित करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। वेग | वेग एक भौतिक सदिश(ज्यामिति) [[ भौतिक मात्रा ]] है; इसे परिभाषित करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। वेग के [[ अदिश (भौतिकी) |अदिश (भौतिकी)]] निरपेक्ष मान([[ परिमाण (गणित) |परिमाण (गणित)]]) गति कहा जाता है, एक सुसंगत व्युत्पन्न इकाई होने के कारण जिसकी मात्रा [[ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ]] ([[ मीट्रिक प्रणाली ]]) में [[ मीटर प्रति सेकंड ]] (m/s या m⋅s<sup>-1</sup>) के रूप में मापी जाती है)। उदाहरण के लिए, "5 मीटर प्रति सेकंड" एक अदिश राशि है, जबकि "5 मीटर प्रति सेकंड पूर्व" एक सदिश है। यदि गति, दिशा या दोनों में कोई परिवर्तन होता है, तो कहा जाता है कि वस्तु [[ त्वरण |त्वरण]] से गुजर रही है। | ||
== | == निरंतर वेग बनाम त्वरण == | ||
एक स्थिर वेग रखने के लिए, किसी वस्तु की गति एक स्थिर दिशा में होनी चाहिए। स्थिर दिशा वस्तु को एक सीधे रास्ते में गति के लिए बाधित करती है, इस प्रकार एक स्थिर वेग का अर्थ है एक सीधी रेखा में एक स्थिर गति से गति। | एक स्थिर वेग रखने के लिए, किसी वस्तु की गति एक स्थिर दिशा में होनी चाहिए। स्थिर दिशा वस्तु को एक सीधे रास्ते में गति के लिए बाधित करती है, इस प्रकार एक स्थिर वेग का अर्थ है एक सीधी रेखा में एक स्थिर गति से गति। | ||
<!-- Could discuss the basic equations of motion of a body moving at constant velocity here. --> | <!-- Could discuss the basic equations of motion of a body moving at constant velocity here. --> | ||
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==गति और वेग में अंतर == | ==गति और वेग में अंतर == | ||
{{main| | {{main|चाल}} | ||
[[File:Kinematics.svg|thumb|300px|क्लासिकल कण की काइनेमैटिक मात्रा: द्रव्यमान m, स्थिति 'r', वेग 'v', त्वरण 'a'।]]गति, एक वेग | [[File:Kinematics.svg|thumb|300px|क्लासिकल कण की काइनेमैटिक मात्रा: द्रव्यमान m, स्थिति 'r', वेग 'v', त्वरण 'a'।]]गति, एक वेग सदिश का [[ अदिश (गणित) ]] परिमाण, केवल यह दर्शाता है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से आगे बढ़ रही है।<ref name="Wolf2019">{{cite web|last=Rowland|first=Todd|title=वेग वेक्टर|year=2019|publisher=Wolfram MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/VelocityVector.html|access-date=2 June 2019}}</ref><ref name="Bidwell1901">{{cite book| last=Wilson|first=Edwin Bidwell|title=वेक्टर विश्लेषण: जे. विलार्ड गिब्स के व्याख्यानों पर स्थापित गणित और भौतिकी के छात्रों के उपयोग के लिए एक पाठ्य-पुस्तक|series=Yale bicentennial publications|year=1901|pages=125|publisher=C. Scribner's Sons|hdl=2027/mdp.39015000962285?urlappend=%3Bseq=149|url=http://hdl.handle.net/2027/mdp.39015000962285?urlappend=%3Bseq=149}} Earliest occurrence of the speed/velocity terminology.</ref> | ||
== गति का समीकरण == | == गति का समीकरण == | ||
{{main| | {{main|गति का समीकरण}} | ||
=== औसत वेग === | === औसत वेग === | ||
वेग को समय के साथ स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे औसत वेग से अंतर पर जोर देने के लिए तात्कालिक वेग भी कहा जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों में किसी वस्तु के औसत वेग की आवश्यकता हो सकती है, अर्थात स्थिर वेग जो एक ही समय अंतराल में एक चर वेग के रूप में एक ही परिणामी विस्थापन प्रदान करता | वेग को समय के साथ स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे औसत वेग से अंतर पर जोर देने के लिए तात्कालिक वेग भी कहा जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों में किसी वस्तु के औसत वेग की आवश्यकता हो सकती है, अर्थात स्थिर वेग जो एक ही समय अंतराल v(t) में कुछ समय अवधि में Δt एक चर वेग के रूप में एक ही परिणामी विस्थापन प्रदान करता है। औसत वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है: | ||
:<math qid=Q11465>\boldsymbol{\bar{v}} = \frac{\Delta\boldsymbol{x}}{\Delta t} .</math> | :<math qid=Q11465>\boldsymbol{\bar{v}} = \frac{\Delta\boldsymbol{x}}{\Delta t} .</math> | ||
औसत वेग | औसत वेग सदैव किसी वस्तु की औसत गति से कम या उसके बराबर होता है। यह अनुभव करके देखा जा सकता है कि दूरी सदैव निरंतरता से बढ़ रही है, विस्थापन परिमाण में वृद्धि या कमी के साथ-साथ दिशा बदल सकता है। | ||
विस्थापन-समय (x बनाम t) ग्राफ के संदर्भ में, तात्कालिक वेग (या, बस, वेग) को किसी भी बिंदु पर वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान और औसत वेग को ढलान के रूप में माना जा सकता है। औसत वेग के लिए समय अवधि की सीमाओं के बराबर t निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की [[ छेदक रेखा ]] का। | विस्थापन-समय (x बनाम t) ग्राफ के संदर्भ में, तात्कालिक वेग (या, बस, वेग) को किसी भी बिंदु पर वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान और औसत वेग को ढलान के रूप में माना जा सकता है। औसत वेग के लिए समय अवधि की सीमाओं के बराबर t निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की [[ छेदक रेखा ]] का। | ||
औसत वेग समय के साथ औसत वेग के समान होता है - | औसत वेग समय के साथ औसत वेग के समान होता है - अर्थात, इसका समय-भारित औसत, जिसे वेग के समय अभिन्न के रूप में गणना की जा सकती है: | ||
:<math>\boldsymbol{\bar{v}} = {1 \over t_1 - t_0 } \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt ,</math> | :<math>\boldsymbol{\bar{v}} = {1 \over t_1 - t_0 } \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt ,</math> | ||
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=== तात्कालिक वेग === | === तात्कालिक वेग === | ||
[[File:Velocity vs time graph.svg|thumb|266px|वेग बनाम समय ग्राफ़ का उदाहरण, और y-अक्ष पर वेग ''v'' के बीच संबंध, त्वरण ''a'' (तीन हरी स्पर्श रेखाएँ वक्र के साथ विभिन्न बिंदुओं पर त्वरण के मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं) और विस्थापन ''एस'' (वक्र के नीचे पीला [[ क्षेत्र ]]।)]]यदि हम v को वेग के रूप में और x को विस्थापन (स्थिति में परिवर्तन) | [[File:Velocity vs time graph.svg|thumb|266px|वेग बनाम समय ग्राफ़ का उदाहरण, और y-अक्ष पर वेग ''v'' के बीच संबंध, त्वरण ''a'' (तीन हरी स्पर्श रेखाएँ वक्र के साथ विभिन्न बिंदुओं पर त्वरण के मानों का प्रतिनिधित्व करती हैं) और विस्थापन ''एस'' (वक्र के नीचे पीला [[ क्षेत्र ]]।)]]यदि हम v को वेग के रूप में और x को विस्थापन(स्थिति में परिवर्तन) सदिश के रूप में मानते हैं, तो हम किसी कण या वस्तु के(तात्कालिक) वेग को, किसी विशेष समय t पर, समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: | ||
:<math>\boldsymbol{v} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{x}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} .</math> | :<math>\boldsymbol{v} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{x}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} .</math> | ||
इस व्युत्पन्न समीकरण से, एक-आयामी | इस व्युत्पन्न समीकरण से, एक-आयामी सन्दर्भ में यह देखा जा सकता है कि वेग बनाम समय(v बनाम t ग्राफ) के तहत क्षेत्र विस्थापन, x है। कलन के संदर्भ में, वेग फलन v(t) का समाकल [[ अभिन्न |अभिन्न]] विस्थापन फलन x(t) है। चित्र में, यह s लेबल वाले वक्र के नीचे के पीले क्षेत्र से समानता रखता है(विस्थापन के लिए एक वैकल्पिक संकेतन होने के कारण)। | ||
:<math qid=Q190291>\boldsymbol{x} = \int \boldsymbol{v} \ dt .</math> | :<math qid=Q190291>\boldsymbol{x} = \int \boldsymbol{v} \ dt .</math> | ||
चूँकि समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न स्थिति में परिवर्तन ([[ मीटर ]] में) को समय में परिवर्तन (सेकंड में) से विभाजित करता है, वेग को [[ मीटर प्रति सेकंड ]] (m/s) में मापा जाता है। हालांकि तात्कालिक वेग की अवधारणा पहली बार में प्रति-सहज प्रतीत हो सकती है, इसे उस वेग के रूप में माना जा सकता है जिस पर वस्तु उस समय गति करना बंद कर देती है। | चूँकि समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न स्थिति में परिवर्तन([[ मीटर |मीटर]] में) को समय में परिवर्तन(सेकंड में) से विभाजित करता है, वेग को [[ मीटर प्रति सेकंड ]] (m/s) में मापा जाता है। हालांकि तात्कालिक वेग की अवधारणा पहली बार में प्रति-सहज प्रतीत हो सकती है, इसे उस वेग के रूप में माना जा सकता है जिस पर वस्तु उस समय गति करना बंद कर देती है। | ||
=== त्वरण से संबंध === | === त्वरण से संबंध === | ||
यद्यपि वेग को स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, | यद्यपि वेग को स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, किसी वस्तु के त्वरण के लिए अभिव्यक्ति के साथ शुरू करना प्रायः अधिक सामान्य होता है। जैसा कि चित्र में तीन हरी स्पर्शरेखा रेखाओं द्वारा देखा गया है, किसी बिंदु पर किसी वस्तु का तात्कालिक त्वरण उस बिंदु पर v(t) ग्राफ के वक्र के स्पर्शरेखा का [[ ढलान ]] है। दूसरे शब्दों में, त्वरण को समय के सापेक्ष वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है: | ||
:<math qid=Q11376> \boldsymbol{a} = \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} .</math> | :<math qid=Q11376> \boldsymbol{a} = \frac{d\boldsymbol{v}}{dt} .</math> | ||
वहां से, हम | वहां से, हम वेग के लिए a(t) त्वरण बनाम समय ग्राफ के तहत क्षेत्र के रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह इंटीग्रल की अवधारणा का उपयोग करके किया जाता है: | ||
:<math>\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .</math> | :<math>\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .</math> | ||
| Line 70: | Line 70: | ||
==== निरंतर त्वरण ==== | ==== निरंतर त्वरण ==== | ||
स्थिर त्वरण के विशेष सन्दर्भ में , [[ गति के समीकरण |गति के समीकरण]] का उपयोग करके वेग का अध्ययन किया जा सकता है। यह मानते हुए कि a को कुछ मनमाना स्थिर सदिश के बराबर माना जाता है, यह दिखाना तुच्छ है कि | |||
:<math>\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t</math> | :<math>\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t</math> | ||
समय t पर वेग के रूप में v और समय t = 0 पर वेग के रूप में u, इस समीकरण को प्रसिद्ध समीकरण {{math|1='''''x''''' = '''''u'''t'' + '''''a'''t''<sup>2</sup>/2}}, के साथ जोड़कर, विस्थापन और औसत वेग के बीच संबंध स्थापित करना संभव है। | |||
:<math>\boldsymbol{x} = \frac{(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})}{2} t = \boldsymbol{\bar{v}}t.</math> | :<math>\boldsymbol{x} = \frac{(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})}{2} t = \boldsymbol{\bar{v}}t.</math> | ||
समय से स्वतंत्र वेग के लिए | समय से स्वतंत्र वेग के लिए व्यंजक व्युत्पन्न करना भी संभव है, जिसे[[ टोरिसेली समीकरण ]] के रूप में जाना जाता है, जो इस प्रकार है: | ||
:<math>v^{2} = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t)\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t) = u^{2} + 2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})+a^{2}t^{2}</math> | :<math>v^{2} = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t)\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t) = u^{2} + 2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})+a^{2}t^{2}</math> | ||
:<math>(2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{x} = (2\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{u}t + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{a}t^{2}) = 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) + a^{2}t^{2} = v^{2} - u^{2}</math> | :<math>(2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{x} = (2\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{u}t + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{a}t^{2}) = 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) + a^{2}t^{2} = v^{2} - u^{2}</math> | ||
:<math>\therefore v^{2} = u^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})</math> | :<math>\therefore v^{2} = u^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})</math> | ||
जहाँ पर {{math|1=''v'' = {{abs|'''''v'''''}}}} आदि। | |||
उपरोक्त समीकरण [[ न्यूटोनियन यांत्रिकी ]] और | उपरोक्त समीकरण [[ न्यूटोनियन यांत्रिकी ]] और विशेष सापेक्षता दोनों के लिए मान्य हैं। जहां न्यूटोनियन यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता भिन्न होती है, वहीं विभिन्न पर्यवेक्षक एक ही स्थिति का वर्णन कैसे करेंगे। विशेष रूप से, न्यूटोनियन यांत्रिकी में, सभी पर्यवेक्षक टी के मूल्य पर सहमत होते हैं और स्थिति नियमों में परिवर्तन एक ऐसी स्थिति पैदा करता है जिसमें सभी गैर-त्वरित पर्यवेक्षक समान मूल्यों के साथ किसी वस्तु के त्वरण का वर्णन करेंगे। वही विशेष सापेक्षता के लिए सही नहीं है। दूसरे शब्दों में, केवल आपेक्षिक वेग की गणना की जा सकती है। | ||
=== वेग पर निर्भर मात्रा === | === वेग पर निर्भर मात्रा === | ||
गतिमान वस्तु की [[ गतिज ऊर्जा ]] उसके वेग पर निर्भर करती है और समीकरण द्वारा | किसी गतिमान वस्तु की [[ गतिज ऊर्जा ]] उसके वेग पर निर्भर करती है और इसे समीकरण द्वारा दिया जाता है: | ||
:<math qid=Q46276>E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}</math> | :<math qid=Q46276>E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2}mv^{2}</math> | ||
विशेष सापेक्षता की उपेक्षा | विशेष सापेक्षता की उपेक्षा करना, जहाँ ई<sub>k</sub> संवेग h ऊर्जा है और m द्रव्यमान है।[[ गति ]]ज ऊर्जा एक अदिश राशि है क्योंकि यह वेग के वर्ग पर निर्भर करती है, हालांकि संबंधित मात्रा, संवेग, एक सदिश है और इसे इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है: | ||
:<math qid=Q41273>\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}</math> | :<math qid=Q41273>\boldsymbol{p}=m\boldsymbol{v}</math> | ||
विशेष सापेक्षता में, आयामहीन [[ लोरेंत्ज़ कारक ]] | विशेष सापेक्षता में, आयामहीन [[ लोरेंत्ज़ कारक ]] प्रायःप्रकट होता है, और इसके द्वारा दिया जाता है: | ||
:<math qid=Q599404>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math> | :<math qid=Q599404>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}</math> | ||
जहां लोरेंत्ज़ कारक है और c प्रकाश की गति है। | जहां लोरेंत्ज़ कारक है और c प्रकाश की गति है। | ||
पलायन वेग वह न्यूनतम गति है जो एक बैलिस्टिक वस्तु को पृथ्वी जैसे विशाल पिंड से बचने के लिए आवश्यक है। यह गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जब वस्तु की [[ गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा ]] (जो | पलायन वेग वह न्यूनतम गति है जो एक बैलिस्टिक वस्तु को पृथ्वी जैसे विशाल पिंड से बचने के लिए आवश्यक है। यह गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जब वस्तु की [[ गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा ]] (जो सदैव नकारात्मक होती है) में जोड़ा जाता है, शून्य के बराबर होता है। M द्रव्यमान वाले किसी ग्रह के केंद्र से r दूरी पर स्थित किसी वस्तु के पलायन वेग का सामान्य सूत्र है: | ||
:<math>v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2gr},</math> | :<math>v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2gr},</math> | ||
जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है और g गुरुत्वीय त्वरण है। पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग | जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है और g गुरुत्वीय त्वरण है। पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग 11,200 m/s है, और यह वस्तु की दिशा की परवाह किए बिना है। यह कुछ हद तक एक मिथ्या नाम से बचने की गति बनाता है, क्योंकि अधिक सही शब्द बच निकलने की गति होगी: किसी भी वस्तु को उस परिमाण का वेग प्राप्त होता है, पर्यावरण की परवाह किए बिना, जब तक वह आधार निकाय के आसपास के क्षेत्र को छोड़ देता है। जब तक कि वह किसी चीज से प्रतिच्छेद न कर दे। अपनी राह पर। | ||
== सापेक्ष वेग == | == सापेक्ष वेग == | ||
{{main| | {{main|सापेक्ष वेग}} | ||
सापेक्ष वेग एक | सापेक्ष वेग एक निर्देशांक प्रणाली में परिभाषित दो वस्तुओं के बीच वेग का माप है। सापेक्ष वेग चिरसम्मत और आधुनिक दोनों भौतिकी में मौलिक है, क्योंकि भौतिकी में कई प्रणालियाँ दो या दो से अधिक कणों की सापेक्ष गति से निपटती हैं। न्यूटनियन यांत्रिकी में, सापेक्ष वेग चुने हुए जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से स्वतंत्र है। यह अब विशेष सापेक्षता में ऐसा नहीं है जिसमें वेग संदर्भ फ्रेम की पसंद पर निर्भर करते हैं। | ||
यदि कोई वस्तु A वेग सदिश (ज्यामिति) | यदि कोई वस्तु A वेग सदिश (ज्यामिति) v के साथ गतिमान है और कोई वस्तु B वेग सदिश w से गतिमान है, तो वस्तु A के सापेक्ष वस्तु B का वेग दो वेग सदिशों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: | ||
:<math>\boldsymbol{v}_{A\text{ relative to }B} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{w}</math> | :<math>\boldsymbol{v}_{A\text{ relative to }B} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{w}</math> | ||
इसी प्रकार, वेग ''w'' से गतिमान वस्तु B का आपेक्षिक वेग, वेग ''v'' से गतिमान वस्तु A के सापेक्ष है: | इसी प्रकार, वेग ''w'' से गतिमान वस्तु B का आपेक्षिक वेग, वेग ''v'' से गतिमान वस्तु A के सापेक्ष है: | ||
:<math>\boldsymbol{v}_{B\text{ relative to }A} = \boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}</math> | :<math>\boldsymbol{v}_{B\text{ relative to }A} = \boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}</math> | ||
सामान्यतः, चुना गया जड़त्वीय फ्रेम वह होता है जिसमें दो उल्लिखित वस्तुओं में से उत्तरार्द्ध आराम पर होता है। | |||
=== अदिश वेग === | === अदिश वेग === | ||
एक आयामी | एक आयामी सन्दर्भ में,<ref>[http://www.saburchill.com/physics/chapters/0083.html Basic principle]</ref> वेग अदिश हैं और समीकरण या तो है: | ||
:<math> v_\text{rel} = v - (-w)</math>, अगर दो ऑब्जेक्ट विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, या: | :<math> v_\text{rel} = v - (-w)</math>, अगर दो ऑब्जेक्ट विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, या: | ||
:<math> v_\text{rel} = v -(+w)</math>, यदि दो वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हैं। | :<math> v_\text{rel} = v -(+w)</math>, यदि दो वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हैं। | ||
| Line 112: | Line 112: | ||
== ध्रुवीय निर्देशांक == | == ध्रुवीय निर्देशांक == | ||
<!-- This section is linked from [[Doppler effect]] --> | <!-- This section is linked from [[Doppler effect]] --> | ||
[[File:Radial_and_tangential.svg|right|thumb|180px|एक पर्यवेक्षक ओ के चारों ओर वस्तु के निरंतर वेग के साथ रैखिक गति के विभिन्न क्षणों में वेग के रेडियल और स्पर्शरेखा घटकों का प्रतिनिधित्व ( | [[File:Radial_and_tangential.svg|right|thumb|180px|एक पर्यवेक्षक ओ के चारों ओर वस्तु के निरंतर वेग के साथ रैखिक गति के विभिन्न क्षणों में वेग के रेडियल और स्पर्शरेखा घटकों का प्रतिनिधित्व (यहसमानता रखता है, उदाहरण के लिए, फुटपाथ पर खड़े पैदल यात्री के चारों ओर एक सीधी सड़क पर एक कार के पारित होने के लिए)। [[ डॉपलर प्रभाव ]] के कारण रेडियल घटक देखा जा सकता है, स्पर्शरेखा घटक वस्तु की स्थिति में दृश्य परिवर्तन का कारण बनता है।]][[ ध्रुवीय समन्वय प्रणाली ]] में, एक द्वि-आयामी वेग को [[ रेडियल वेग ]] द्वारा वर्णित किया जाता है जिसे मूल रूप से एक कोणीय वेग के घटक के रूप में परिभाषित किया जाता है, और ।, जो मूल रूप से घूर्णन की दर है(दाएं हाथ के समन्वय प्रणाली में धनात्मक मात्राएं वामावर्त घूर्णन का प्रतिनिधित्व करती हैं और ऋणात्मक मात्राएं दक्षिणावर्त घूर्णन का प्रतिनिधित्व करती हैं)। | ||
रेडियल और अनुप्रस्थ घटकों में वेग | रेडियल और कोणीय वेगों को रेडियल और अनुप्रस्थ घटकों में वेग सदिश को विघटित करके कार्टेशियन वेग और विस्थापन वैक्टर से प्राप्त किया जा सकता है। अनुप्रस्थ(गणित) वेग मूल बिंदु पर केन्द्रित वृत्त के अनुदिश वेग का घटक है। | ||
:<math>\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R</math> | :<math>\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R</math> | ||
जहाँ पर | |||
*<math>\boldsymbol{v}_T</math> अनुप्रस्थ वेग है | *<math>\boldsymbol{v}_T</math> अनुप्रस्थ वेग है | ||
*<math>\boldsymbol{v}_R</math> रेडियल वेग है। | *<math>\boldsymbol{v}_R</math> रेडियल वेग है। | ||
रेडियल वेग का परिमाण | रेडियल वेग का परिमाण विस्थापन की दिशा में वेग सदिश और इकाई सदिश का [[ डॉट उत्पाद ]] है। | ||
:<math>v_R=\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|}</math> | :<math>v_R=\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|}</math> | ||
जहाँ पर <math>\boldsymbol{r}</math> विस्थापन है। | |||
अनुप्रस्थ वेग का परिमाण विस्थापन और वेग | अनुप्रस्थ वेग का परिमाण विस्थापन और वेग सदिश की दिशा में इकाई सदिश का क्रॉस उत्पाद है। यह कोणीय वेग का गुणनफल भी है <math>\omega</math> और विस्थापन का परिमाण। | ||
:<math>v_T=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|}=\omega|\boldsymbol{r}|</math> | :<math>v_T=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|}=\omega|\boldsymbol{r}|</math> | ||
ऐसा है कि | ऐसा है कि | ||
:<math>\omega=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|^2}.</math> | :<math>\omega=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|^2}.</math> | ||
अदिश रूप में कोणीय संवेग, अनुप्रस्थ वेग के मूल समय से दूरी का द्रव्यमान गुणा है, या समतुल्य रूप से, [[ कोणीय गति ]] से दूरी के वर्ग गुणा का द्रव्यमान गुणा है। कोणीय | अदिश रूप में कोणीय संवेग, अनुप्रस्थ वेग के मूल समय से दूरी का द्रव्यमान गुणा है, या समतुल्य रूप से, [[ कोणीय गति ]] से दूरी के वर्ग गुणा का द्रव्यमान गुणा है। कोणीय संवेग के लिए संकेत परिपाटी कोणीय वेग के समान ही है। | ||
:<math>L=mrv_T=mr^2\omega</math> | :<math>L=mrv_T=mr^2\omega</math> | ||
जहाँ पर | |||
*<math>m</math> द्रव्यमान है | *<math>m</math> द्रव्यमान है | ||
*<math>r=|\boldsymbol{r}|.</math> | *<math>r=|\boldsymbol{r}|.</math> | ||
भावाभिव्यक्ति <math>mr^2</math> जड़त्व के क्षण के रूप में जाना जाता है। | भावाभिव्यक्ति <math>mr^2</math> जड़त्व के क्षण के रूप में जाना जाता है। | ||
यदि बल केवल व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता के साथ रेडियल दिशा में हैं, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण कक्षा के | यदि बल केवल व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता के साथ रेडियल दिशा में हैं, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण कक्षा के सन्दर्भ में, कोणीय गति स्थिर है, और अनुप्रस्थ गति दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है, कोणीय गति दूरी वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, और वह दर जिस पर क्षेत्र बह गया है वह स्थिर है। इन संबंधों को केपलर के ग्रहों की गति के नियम के रूप में जाना जाता है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
| Line 163: | Line 163: | ||
*आदर्श सिद्धान्त | *आदर्श सिद्धान्त | ||
*रफ़्तार | *रफ़्तार | ||
*स्थिति | *स्थिति सदिश) | ||
*निरपेक्ष मूल्य | *निरपेक्ष मूल्य | ||
* | *सदिश (ज्यामिति) | ||
*यौगिक | *यौगिक | ||
*स्पर्शरेखा | *स्पर्शरेखा | ||
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{{Classical mechanics derived SI units}} | {{Classical mechanics derived SI units}} | ||
{{Authority control}} | {{Authority control}} | ||
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