नियम 90: Difference between revisions

[[File:R090 rand 0.png|thumb|upright=1.35|यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों के साथ नियम 90 का समय-स्थान आरेख है । पिक्सेल की प्रत्येक पंक्ति ऑटोमेटन का विन्यास है; समय लंबवत रूप से ऊपर से नीचे की ओर बढ़ता है।]]'''सेलुलर ऑटोमेटन''' के गणित के अध्ययन में, '''नियम 90''' अनन्य या अध्ययन के आधार पर प्राथमिक मौलिक ऑटोमेटन है। साओल की एक-सामग्री साझीदारी होती है, इस प्रकार से हर में 0 या 1 आदमी हो सकता है। हर समय चरण में सभी शेयरों को एक-एक करके या उनके '''दो''' '''पड़ोसियों''' निकटतम को स्थान दिया जाता है। मार्टिन, ओडलीज़को और वोल्फ्राम (1984) ने इसे सरलतम गैर-तुच्छ सेक्टर ऑटोमेटन कहा है, और स्टीफन वोल्फ्राम की 2002 की पुस्तक में नए तरह के विज्ञान का विस्तार से वर्णन किया गया है।

जब एक एकल जीवित कोशिका से प्रारंभिक किया गया, तो नियम 90 में सिएरपिन्स्की त्रिकोण के रूप में समय-स्थान आरेख है। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के व्यवहार को इस प्रतिरूप की प्रतियों के सुपरपोजिशन के रूप में समझाया जा सकता है, जो अनन्य या फ़ंक्शन का उपयोग करके संयुक्त है। इस प्कोरकार कोई भी कॉन्फ़िगरेशन केवल सूक्ष्म रूप से अनेक  गैर-शून्य कोशिकाओं के साथ रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) बन जाता है जो अंततः सारणी को स्वयं की प्रतियों से भर देता है। जब नियम 90 को यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास से प्रारंभिक किया जाता है, तो इसका विन्यास हर कदम पर यादृच्छिक रहता है। इसका टाइम-स्पेस आरेख विभिन्न आकारों की अनेक  त्रिकोणीय खिड़कियां बनाता है,इस तरह प्रतिरूप तब बनते हैं जब कोशिकाओं की निरंतर पंक्ति एक साथ शून्य हो जाती है और फिर मान 1 वाले कोशिका धीरे-धीरे दोनों सिरों से इस पंक्ति में चले जाते हैं और प्रतिरूप बनाते है।

नियम 90 के प्रारंभिक अध्ययनों में से कुछ [[संख्या सिद्धांत]] में अनसुलझी समस्या के संबंध में किए गए थे, इस प्रकार गिलब्रेथ का अनुमान, यह है कि क्रमिक अभाज्य संख्याओं के अंतर पर यह नियम गॉल्ड के अनुक्रम के माध्यम से संख्या सिद्धांत से अलग विधि से भी जुड़ा हुआ है। यह नियम क्रम एकल लाइव कोशिका के साथ नियम 90 प्रारंभिक करने के पश्चात  प्रत्येक समय चरण में गैर-शून्य कोशिकाओं की संख्या की गणना करता है। इस प्रकार चरण संख्या के [[द्विआधारी प्रतिनिधित्व]] में गैर-शून्य अंकों की संख्या के बराबर एक्सपोनेंट के साथ इसके मान में [[दो की शक्ति]] है। और नियम 90 के अन्य अनुप्रयोगों में [[टेपेस्ट्री]] का डिज़ाइन सम्मिलित है।

=== नियम                     ===

[[File:Rule 90 gate array.svg|thumb|नियम 90 में, प्रत्येक कोशिका के मान की गणना पिछले समय चरण में अनन्य या दो निकटतम मानों के रूप में की जाती है।]]नियम 90 प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन है। इसका कारण यह है कि इसमें कोशिका की एक-आयामी सरणी होती है, जिनमें से प्रत्येक में एक एकल बाइनरी मान होता है, वह या तो 0 या 1. सभी कोशिकाओं के मानों का असाइनमेंट कॉन्फ़िगरेशन कहलाता है।ऑटोमेटन को एक प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन दिया जाता है, और फिर यह अलग-अलग समय चरणों के अनुक्रम में अन्य कॉन्फ़िगरेशन के माध्यम से आगे बढ़ता है और प्रत्येक चरण के , सभी कक्ष में एक साथ अद्यतन होते हैं। एक पूर्व-निर्दिष्ट नियम प्रत्येक कोशिका का नया मान उसके पिछले मान को और उसके दो निकटतम कक्षों के मानों के फलन के रूप में निर्धारित करता है। इस प्रकार सभी कोशिकाएँ समान नियम का पालन करती हैं, और जिसे यह या तो एक सूत्र के रूप में या एक नियम तालिका के रूप में दिया जा सकता है जो यह निकटतम मूल्यों के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए नया मान निर्दिष्ट करता है।

इस प्रकार नियम 90 के स्थितियों में, प्रत्येक कोशिका का नया मान एक अनन्य या दो निकटतम मूल्यों का है। समतुल्य रूप से, इस विशेष ऑटोमेटन की अगली स्थितियों में यह निम्न नियम तालिका द्वारा नियंत्रित होती है:<ref name="w83">{{citation|first=Stephen|last=Wolfram|authorlink=Stephen Wolfram|title=Statistical mechanics of cellular automata|journal=Reviews of Modern Physics|issue=3|volume=55|pages=601–644|year=1983|doi=10.1103/RevModPhys.55.601|url=http://www.stephenwolfram.com/publications/articles/ca/83-statistical/|bibcode=1983RvMP...55..601W}}.</ref>

! वर्तमान स्वरूप !! 111 !! 110 !! 101 !! 100 !! 011 !! 010 !! 001 !! 000

! केंद्र कोशिका के लिए नई स्थितियों

=== एडिटिविटी, सुपरपोजिशन, और अपघटन                              ===

नियम 90 में विन्यास को कोशिकाओं के दो उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है जो दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं।और इन दो उपसमुच्चयों में से एक में सम समय चरणों में सम स्थितियों वाले कोशिका और विषम समय चरणों में विषम स्थितियों वाले कोशिका सम्मिलित होते हैं। और दूसरे उपसमुच्चय में विषम समय चरणों में सम स्थितियों में कोशिका और सम समय चरणों में विषम स्थितियों में कोशिका सम्मिलित होते हैं। इस प्रकार इन दो उपसमुच्चयों में से प्रत्येक को कोशिका ऑटोमेटन के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल इसकी आधी कोशिकााएं होती हैं।<ref>{{citation|first=Harold V.|last=McIntosh|author-link=Harold V. McIntosh|url=http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/wandl/global.pdf|year=1993|title=Ancestors: Commentaries on "The Global Dynamics of Cellular Automata" by Andrew Wuensche and Mike Lesser (Addison-Wesley, 1992)|publisher=Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma de Puebla}}.</ref>              

इनमें से प्रत्येक उपसमुच्चय के अंदर ऑटोमेटन के लिए नियम अन्य प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन, नियम 102 के समतुल्य होता है (यह प्रति समय चरण में आधे कोशिका के बदलाव को छोड़कर), जिसमें प्रत्येक कोशिका की नई स्थिति अनन्य या उसके पुराने स्थान की होती है और यह उसका सही निकटतम नियम होता है । अर्थात्, नियम 90 का व्यवहार अनिवार्य रूप से नियम 102 की दो परस्पर जुड़ी प्रतियों के व्यवहार के समान होता है।<ref>{{citation

  }}: "Except for trivial CAs the other four linear elementary CAs, Rule 60, Rule 90, Rule 102 and Rule 150, are either essentially equivalent to Rule 90 or Rule 150."</ref>  

विशेष रूप से, यह गिलब्रेथ के अनुमान का प्रमाणित है कि इस त्रिकोण की प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाईं ओर के सभी मान 0 या 2 हैं। जब त्रिभुज की पंक्ति में मानों का सन्निहित अनुक्रम सभी 0 या 2 हो, तो नियम 90 का उपयोग अगली पंक्ति में संबंधित अनुक्रम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। {{harvtxt|मिलर|1970}} ने जंगल में पेड़ों की वृद्धि के रूपक द्वारा नियम की व्याख्या की, जिसका शीर्षक था "आवधिक रूप से कम कद वाले पेड़ों के जंगल"। और इस रूपक में, प्रारंभिक विन्यास के प्रत्येक स्थान पर पेड़ उगना शुरू हो जाता है जिसका मान 1 है, और फिर पेड़ों का यह जंगल साथ बढ़ता है, प्रत्येक समय कदम पर भूमि से ऊपर नई ऊंचाई तक। प्रत्येक समय चरण में प्रत्येक गैर-शून्य कोशिका ऐसी स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है जिस पर बढ़ती हुई पेड़ की शाखा का कब्जा है। प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर, शाखा अपने ऊपर बाईं और दाईं ओर दो कोशिकााओ में से में विकसित हो सकती है, जब उसी कोशिका के लिये प्रतिस्पर्धा करने वाली कोई अन्य शाखा न हो। इया प्रकार इन नियमों के अनुसार उगने वाले पेड़ों के जंगल का व्यवहार नियम 90 के समान ही होता है।<ref name="m70">{{citation|first=J. C. P.|last=Miller|authorlink=J. C. P. Miller|title=Periodic forests of stunted trees|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1172|year=1970|pages=63–111|jstor=73779|doi=10.1098/rsta.1970.0003|bibcode = 1970RSPTA.266...63M |s2cid=123330469 }}.</ref>

नियम 90 के किसी भी प्रारंभिक विन्यास से, कोई गणितीय जंगल बना सकता है, निर्देशित चक्रीय ग्राफ जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम आउटगोइंग किनारा होता है, जिसके पेड़ मिलर के रूपक में पेड़ों के समान होते हैं। जंगल में प्रत्येक जोड़ी (x,i) के लिए शीर्ष होता है, जैसे कि कोशिका x समय i पर गैर-शून्य है।और समय 0 पर शीर्षों का कोई आउटगोइंग किनारा नहीं है; प्रत्येक जंगल में पेड़ की जड़ बनती है। प्रत्येक शीर्ष (x,i) के लिए i अशून्य के साथ, इसका निवर्तमान किनारा (x ± 1, i - 1) तक जाता है, जो समय चरण i - 1 में x का अद्वितीय अशून्य पड़ोसी है। मिलर ने देखा कि ये वन त्रिकोणीय "समाशोधन" विकसित करते हैं , समय-अंतरिक्ष आरेख के क्षेत्र जिनमें कोई शून्येतर कोशिकााएं नहीं होती हैं जो सपाट निचले किनारे और विकर्ण पक्षों से घिरी हुई हैं। ऐसा समाशोधन तब बनता है जब कोशिकाओं का निरंतर अनुक्रम समय चरण के साथ शून्य हो जाता है, और फिर (वृक्ष रूपक में) शाखाएं अंदर की ओर बढ़ती रहती हैं, अंततः यह अनुक्रम की कोशिकाओं को फिर से कवर करती हैं।<ref name="m70" />  

[[File:R090 pulse wide.png|thumb|upright=1.5|सिएरपिन्स्की त्रिकोण नियम 90 द्वारा उत्पन्न होता है ।]]नियम 90 का टाइम-स्पेस आरेख प्लॉट है जिसमें {{math|''i''}}वीं पंक्ति स्टेप पर {{math|''i''}} ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन को रिकॉर्ड करती है . जब आरंभिक अवस्था में एकल अशून्य कोशिका होता है, तो इस आरेख में सिएरपिन्स्की [[त्रिकोण]] का आभास होता है, जो त्रिभुजों को बड़े त्रिभुजों में जोड़कर बनाया गया [[भग्न]] है। नियम 18, 22, 26, 82, 146, 154, 210 और 218 भी कोशिका से सीरपिंस्की त्रिकोण उत्पन्न करते हैं, चूंकि ये सभी पूरी तरह से समान रूप से नहीं बनाए जाते हैं। इस संरचना की व्याख्या करने की विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि, नियम 90 में, प्रत्येक कोशिका अनन्य या उसके निकटतम में से है। क्योंकि यह [[मॉड्यूलर अंकगणित]] -2 जोड़ के बराबर है, यह पास्कल के त्रिकोण के मोडुलो -2 संस्करण को उत्पन्न करता है। आरेख में 1 है जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[विषम संख्या]] है, और 0 जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[सम संख्या]] है। यह सिएरपिन्स्की त्रिकोण का असतत संस्करण है।<ref name="w83"/><ref>{{harvtxt|Wolfram|2002}}, pp. 25–26, 270–271, 870.</ref>

इस प्रतिमान की प्रत्येक पंक्ति में जीवित दो कोशिकाओं की संख्या की शक्ति है। {{math|''i''}}वीं पंक्ति, में यह बराबर है {{math|2^''k''}}, जहाँ {{math|''k''}} संख्या की बाइनरी संख्या में गैर-शून्य अंकों की संख्या है. जीवित कोशिकाओं की इन संख्याओं का क्रम, है

यह गोल्ड के अनुक्रम के रूप में जाना जाता है।