नियम 90: Difference between revisions

Revision as of 13:23, 8 July 2023

यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों यों के साथ नियम 90 का समय-स्थान आरेख। पिक्सेल की प्रत्येक पंक्ति ऑटोमेटन का विन्यास है; समय लंबवत रूप से ऊपर से नीचे की ओर बढ़ता है।

सेलुलर ऑटोमेटन के गणित के अध्ययन में, नियम 90 अनन्य या अध्ययन के आधार पर प्राथमिक मौलिक ऑटोमेटन है। साओल की एक-सामग्री साझीदारी होती है, जिसमें से हर में 0 या 1 आदमी हो सकता है। हर समय चरण में सभी शेयरों को एक-एक करके या उनके दो पड़ोसियों को स्थान दिया जाता है। मार्टिन, ओडलीज़को और वोल्फ्राम (1984) ने इसे सरलतम गैर-तुच्छ सेक्टर ऑटोमेटन कहा है, और स्टीफन वोल्फ्राम की 2002 की पुस्तक में नए तरह के विज्ञान का विस्तार से वर्णन किया गया है।

जब जीवित कक्ष से प्रारंभिक किया गया, तो नियम 90 में सिएरपिन्स्की त्रिकोण के रूप में समय-स्थान आरेख है। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के व्यवहार को इस प्रतिरूप की प्रतियों के सुपरपोजिशन के रूप में समझाया जा सकता है, जो अनन्य या फ़ंक्शन का उपयोग करके संयुक्त है। कोई भी कॉन्फ़िगरेशन केवल सूक्ष्म रूप से कई गैर-शून्य कक्षो के साथ रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) बन जाता है जो अंततः सारणी को स्वयं की प्रतियों से भर देता है। जब नियम 90 को यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास से प्रारंभिक किया जाता है, तो इसका विन्यास हर कदम पर यादृच्छिक रहता है। इसका टाइम-स्पेस आरेख विभिन्न आकारों की कई त्रिकोणीय खिड़कियां बनाता है, प्रतिरूप तब बनते हैं जब कक्षो की लगातार पंक्ति साथ शून्य हो जाती है और फिर मान 1 वाले कक्ष धीरे-धीरे दोनों सिरों से इस पंक्ति में चले जाते हैं।

नियम 90 के प्रारंभिक अध्ययनों में से कुछ संख्या सिद्धांत में अनसुलझी समस्या के संबंध में किए गए थे, गिलब्रेथ का अनुमान, क्रमिक अभाज्य संख्याओं के अंतर पर। यह नियम गॉल्ड के अनुक्रम के माध्यम से संख्या सिद्धांत से अलग तरीके से भी जुड़ा हुआ है। यह क्रम एकल लाइव कक्ष के साथ नियम 90 प्रारंभिक करने के बाद प्रत्येक समय चरण में गैर-शून्य कक्षो की संख्या की गणना करता है।

चरण संख्या के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में गैर-शून्य अंकों की संख्या के बराबर एक्सपोनेंट के साथ इसका मान दो की शक्ति है। नियम 90 के अन्य अनुप्रयोगों में टेपेस्ट्री का डिज़ाइन सम्मिलित है।

नियम 90 के प्रत्येक विन्यास में ठीक चार पूर्ववर्ती हैं, अन्य विन्यास जो चरण के बाद दिए गए विन्यास का निर्माण करते हैं। इसलिए, कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ जैसे कई अन्य कक्षुलर ऑटोमेटा के विपरीत, नियम 90 में कोई गार्डन ऑफ ईडन (सेलुलर ऑटोमेटन) नहीं है, कॉन्फ़िगरेशन जिसमें कोई पूर्ववर्ती नहीं है। यह सेलुलर ऑटोमेटन का उदाहरण प्रदान करता है जो विशेषण है (प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन में पूर्ववर्ती है) किन्तु इंजेक्शन नहीं है (इसमें ही उत्तराधिकारी के साथ से अधिक कॉन्फ़िगरेशन के समुच्चय हैं)। यह ईडन प्रमेय के गार्डन से अनुसरण करता है कि नियम 90 स्थानीय रूप से इंजेक्शन है (एक ही उत्तराधिकारी के साथ सभी कॉन्फ़िगरेशन अनंत संख्या में सेलो में भिन्न होते हैं)।

विवरण

नियम

File:Rule 90 gate array.svg

नियम 90 में, प्रत्येक कक्ष के मान की गणना पिछले समय चरण में अनन्य या दो निकटतम मानों के रूप में की जाती है।

नियम 90 प्राथमिक कक्ष ऑटोमेटन है। इसका कारण यह है कि इसमें सेलो की एक-आयामी सरणी होती है, जिनमें से प्रत्येक में एकल बाइनरी मान होता है, या तो 0 या 1. सभी सेलो को मानों का असाइनमेंट कॉन्फ़िगरेशन कहलाता है। ऑटोमेटन को प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन दिया जाता है, और फिर अलग-अलग समय चरणों के अनुक्रम में अन्य कॉन्फ़िगरेशन के माध्यम से प्रगति करता है। प्रत्येक चरण पर, सभी कक्ष साथ अपडेट किए जाते हैं। पूर्व-निर्दिष्ट नियम प्रत्येक कक्ष के नए मान को उसके पिछले मूल्य और उसके दो निकटतम सेलो के मूल्यों के कार्य के रूप में निर्धारित करता है। सभी कक्ष ही नियम का पालन करते हैं, जो या तो सूत्र के रूप में या नियम तालिका के रूप में दिया जा सकता है जो निकटतम मानों के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए नया मान निर्दिष्ट करता है।^[1]

नियम 90 के स्थितियों यों में, प्रत्येक कक्ष का नया मान अनन्य या दो निकटतम मूल्यों का है। समतुल्य रूप से, इस विशेष ऑटोमेटन की अगली स्थितियों निम्न नियम तालिका द्वारा नियंत्रित होती है:^[1]

वर्तमान स्वरूप	111	110	101	100	011	010	001	000
केंद्र कक्ष के लिए नई स्थितियों	0	1	0	1	1	0	1	0

नामकरण

नियम 90 का नाम स्टीफन वोल्फ्राम के वोल्फ्राम कोड से आता है। एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए बाइनरी-दशमलव संकेतन। नियम के लिए अंकन की गणना करने के लिए, नियम तालिका में नए स्थितियों को एकल बाइनरी संख्या में जोड़ें, और संख्या को दशमलव में बदलें: 01011010₂ = 90₁₀.^[1]नियम 90 को सिएरपिन्स्की ऑटोमेटन भी कहा जाता है, इसकी विशेषता सिएरपिन्स्की त्रिभुज आकार के कारण उत्पन्न होती है,^[2] और मार्टिन-ओडलीज़को-वोल्फ्राम सेलुलर ऑटोमेटन के प्रारंभिक शोध के बाद ओलिवियर मार्टिन, एंड्रयू एम. ओडलीज़को, और स्टीफ़न वोल्फ्राम (1984) ऑटोमेटन भी कहा गया है।^[3]

गुण

एडिटिविटी, सुपरपोजिशन, और अपघटन

नियम 90 में विन्यास को सेलो के दो उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है जो दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। इन दो उपसमुच्चयों में से में सम समय चरणों में सम स्थितियों वाले कक्ष और विषम समय चरणों में विषम स्थितियों वाले कक्ष सम्मिलित हैं। दूसरे उपसमुच्चय में विषम समय चरणों में सम स्थितियों में कक्ष और सम समय चरणों में विषम स्थितियों में कक्ष सम्मिलित हैं। इन दो उपसमुच्चयों में से प्रत्येक को कक्ष ऑटोमेटन के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल इसकी आधी कक्षाएं होती हैं।^[4]

इनमें से प्रत्येक उपसमुच्चय के अंदर ऑटोमेटन के लिए नियम अन्य प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन, नियम 102 के समतुल्य है (प्रति समय चरण में आधे कक्ष की बदलाव को छोड़कर), जिसमें प्रत्येक कक्षा की नई स्थितियों अनन्य या उसके पुराने स्थान की है और उसका सही निकटतम। अर्थात्, नियम 90 का व्यवहार अनिवार्य रूप से नियम 102 की दो परस्पर जुड़ी प्रतियों के व्यवहार के समान है।^[5]

नियम 90 और नियम 102 को योज्य सेलुलर ऑटोमेटन कहा जाता है। इसका कारण यह है कि, यदि दो प्रारंभिक अवस्थाओं को अलग-अलग या उनके प्रत्येक स्थितियों की गणना करके जोड़ा जाता है, तो उनके बाद के विन्यासों को उसी तरह जोड़ा जाएगा। अधिक सामान्यतः, नियम 90 के किसी भी कॉन्फ़िगरेशन को दो उपसमुच्चय में असंबद्ध गैर-शून्य कक्षो के साथ विभाजित कर सकते हैं, दो उपसमुच्चय को अलग-अलग विकसित कर सकते हैं, और मूल ऑटोमेटन के प्रत्येक क्रमिक विन्यास को अनन्य या दो उपसमुच्चय के ही समय चरणों पर विन्यास के रूप में गणना कर सकते हैं। .^[6]

अवरुद्ध पेड़ और त्रिकोणीय समाशोधन

File:Rule 90 trees.svg

अस्त-व्यस्त पेड़ों का जंगल। यह टाइम-स्पेस डायग्राम है, किन्तु समय ऊपर की ओर चल रहा है, नीचे की ओर नहीं। रोचक बात यह है कि पांचवां पेड़ समर्थ होते हुए भी दोनों दिशाओं में नहीं निकला।

1970 के दशक की शुरुआत में नियम 90 ऑटोमेटन की (वैकल्पिक सेलो के दो स्वतंत्र उपसमुच्चयों में से पर इसके समकक्ष रूप में) जांच की गई है, जिससे लगातार अभाज्य संख्याओं के अंतर पर गिलब्रेथ के अनुमान में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त की जा सके। आगे अंतर ऑपरेटर को बार-बार प्रयुक्त करने से अभाज्य संख्याओं के त्रिकोण में, ऐसा प्रतीत होता है कि अधिकांश मान या तो 0 या 2 हैं।

विशेष रूप से, गिलब्रेथ के अनुमान का प्रमाणित है कि इस त्रिकोण की प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाईं ओर के मान सभी 0 या 2 हैं। जब त्रिभुज की पंक्ति में मानों का सन्निहित अनुक्रम सभी 0 या 2 हो, तो नियम 90 का उपयोग अगली पंक्ति में संबंधित अनुक्रम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। मिलर (1970) ने जंगल में पेड़ों की वृद्धि के रूपक द्वारा नियम की व्याख्या की, जिसका शीर्षक था "आवधिक रूप से कम कद वाले पेड़ों के जंगल"। इस रूपक में, प्रारंभिक विन्यास के प्रत्येक स्थान पर पेड़ उगना शुरू हो जाता है जिसका मान 1 है, और फिर पेड़ों का यह जंगल साथ बढ़ता है, प्रत्येक समय कदम पर भूमि से ऊपर नई ऊंचाई तक। प्रत्येक समय चरण में प्रत्येक गैर-शून्य कक्ष ऐसी स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है जिस पर बढ़ती हुई पेड़ की शाखा का कब्जा है। प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर, शाखा अपने ऊपर बाईं और दाईं ओर दो कक्षाओ में से में विकसित हो सकती है, जब उसी कक्षा के लिये प्रतिस्पर्धा करने वाली कोई अन्य शाखा न हो। इन नियमों के अनुसार उगने वाले पेड़ों के जंगल का व्यवहार नियम 90 के समान ही होता है।^[7] नियम 90 के किसी भी प्रारंभिक विन्यास से, कोई गणितीय जंगल बना सकता है, निर्देशित चक्रीय ग्राफ जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम आउटगोइंग किनारा होता है, जिसके पेड़ मिलर के रूपक में पेड़ों के समान होते हैं। जंगल में प्रत्येक जोड़ी (x,i) के लिए शीर्ष है, जैसे कि कक्ष x समय i पर गैर-शून्य है। समय 0 पर शीर्षों का कोई आउटगोइंग किनारा नहीं है; प्रत्येक जंगल में पेड़ की जड़ बनता है। प्रत्येक शीर्ष (x,i) के लिए i अशून्य के साथ, इसका निवर्तमान किनारा (x ± 1, i - 1) तक जाता है, जो समय चरण i - 1 में x का अद्वितीय अशून्य पड़ोसी है। मिलर ने देखा कि ये वन त्रिकोणीय "समाशोधन" विकसित करते हैं , समय-अंतरिक्ष आरेख के क्षेत्र जिनमें कोई शून्येतर कक्षाएं नहीं हैं जो सपाट निचले किनारे और विकर्ण पक्षों से घिरी हुई हैं। ऐसा समाशोधन तब बनता है जब कक्षाओं का लगातार अनुक्रम समय चरण में साथ शून्य हो जाता है, और फिर (वृक्ष रूपक में) शाखाएं अंदर की ओर बढ़ती हैं, अंततः अनुक्रम की कक्षाओं को फिर से कवर करती हैं।^[7]

यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों के लिए, इस तरह से बने पेड़ों के बीच की सीमाएं स्वयं प्रतीत होती है और यादृच्छिक प्रतिरूप में बदल जाती हैं, पेड़ अधिकांशतः पूरी तरह से मर जाते हैं। किन्तु शिफ्ट का रजिस्टर के सिद्धांत के माध्यम से वह और अन्य प्रारंभिक स्थितियों को खोजने में सक्षम थे जिसमें सभी पेड़ सदैव के लिए जीवित रहते हैं, विकास का प्रतिरूप समय-समय पर दोहराता है, और सभी समाशोधन को आकार में बंधे रहने की गारंटी दी जा सकती है।^[7]^[8]

टेपेस्ट्री के डिजाइन बनाने के लिए मिलर ने इन दोहराए जाने वाले प्रतिरूप का उपयोग किया। मिलर के कुछ चित्र�

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 [[File:R090 rand 0.png|thumb|upright=1.35|यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों यों के साथ नियम 90 का समय-स्थान आरेख। पिक्सेल की प्रत्येक पंक्ति ऑटोमेटन का विन्यास है; समय लंबवत रूप से ऊपर से नीचे की ओर बढ़ता है।]]'''सेलुलर ऑटोमेटन''' के गणित के अध्ययन में, '''नियम 90''' अनन्य या अध्ययन के आधार पर प्राथमिक मौलिक ऑटोमेटन है। साओल की एक-सामग्री साझीदारी होती है, जिसमें से हर में 0 या 1 आदमी हो सकता है। हर समय चरण में सभी शेयरों को एक-एक करके या उनके दो पड़ोसियों को स्थान दिया जाता है। मार्टिन, ओडलीज़को और वोल्फ्राम (1984) ने इसे सरलतम गैर-तुच्छ सेक्टर ऑटोमेटन कहा है, और स्टीफन वोल्फ्राम की 2002 की पुस्तक में नए तरह के विज्ञान का विस्तार से वर्णन किया गया है।
-जब जीवित कक्ष से प्रारंभिक किया गया, तो नियम 90 में सिएरपिन्स्की त्रिकोण के रूप में समय-स्थान आरेख है। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के व्यवहार को इस  प्रतिरूप की प्रतियों के सुपरपोजिशन के रूप में समझाया जा सकता है, जो अनन्य या फ़ंक्शन का उपयोग करके संयुक्त है। कोई भी कॉन्फ़िगरेशन केवल सूक्ष्म रूप से कई गैर-शून्य कक्षो के साथ रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) बन जाता है जो अंततः सारणी को स्वयं की प्रतियों से भर देता है। जब नियम 90 को यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास से प्रारंभिक किया जाता है, तो इसका विन्यास हर '''बार''' कदम पर यादृच्छिक रहता है। इसका टाइम-स्पेस आरेख विभिन्न आकारों की कई त्रिकोणीय खिड़कियां बनाता है,  प्रतिरूप '''जो''' तब बनते हैं जब कक्षो की लगातार पंक्ति साथ शून्य हो जाती है और फिर मान 1 वाले कक्ष धीरे-धीरे दोनों सिरों से इस पंक्ति में चले जाते हैं।
+जब जीवित कक्ष से प्रारंभिक किया गया, तो नियम 90 में सिएरपिन्स्की त्रिकोण के रूप में समय-स्थान आरेख है। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के व्यवहार को इस  प्रतिरूप की प्रतियों के सुपरपोजिशन के रूप में समझाया जा सकता है, जो अनन्य या फ़ंक्शन का उपयोग करके संयुक्त है। कोई भी कॉन्फ़िगरेशन केवल सूक्ष्म रूप से कई गैर-शून्य कक्षो के साथ रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) बन जाता है जो अंततः सारणी को स्वयं की प्रतियों से भर देता है। जब नियम 90 को यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास से प्रारंभिक किया जाता है, तो इसका विन्यास हर  कदम पर यादृच्छिक रहता है। इसका टाइम-स्पेस आरेख विभिन्न आकारों की कई त्रिकोणीय खिड़कियां बनाता है,  प्रतिरूप  तब बनते हैं जब कक्षो की लगातार पंक्ति साथ शून्य हो जाती है और फिर मान 1 वाले कक्ष धीरे-धीरे दोनों सिरों से इस पंक्ति में चले जाते हैं।
 नियम 90 के प्रारंभिक अध्ययनों में से कुछ [[संख्या सिद्धांत]] में अनसुलझी समस्या के संबंध में किए गए थे, गिलब्रेथ का अनुमान, क्रमिक अभाज्य संख्याओं के अंतर पर। यह नियम गॉल्ड के अनुक्रम के माध्यम से संख्या सिद्धांत से अलग तरीके से भी जुड़ा हुआ है। यह क्रम एकल लाइव कक्ष के साथ नियम 90 प्रारंभिक करने के बाद प्रत्येक समय चरण में गैर-शून्य कक्षो की संख्या की गणना करता है।
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 === नामकरण ===
-नियम 90 का नाम स्टीफन वोल्फ्राम के [[वोल्फ्राम कोड]] से आता है। एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए बाइनरी-[[दशमलव]] संकेतन। नियम के लिए अंकन की गणना करने के लिए, नियम तालिका में नए स्थितियों को एकल [[बाइनरी संख्या]] में जोड़ें, और संख्या को दशमलव में बदलें: 01011010<sub>2</sub> = 90<sub>10</sub>.<ref name="w83"/>नियम 90 को सिएरपिन्स्की ऑटोमेटन भी कहा जाता है, इसकी विशेषता सिएरपिन्स्की त्रिभुज आकार के कारण उत्पन्न होती है,<ref name="cns04">{{citation|first1=Jens Christian|last1=Claussen|first2=Jan|last2=Nagler|first3=Heinz Georg|last3=Schuster|title=Sierpinski signal generates 1/''f''<sup>&nbsp;''α''</sup> spectra|journal=Physical Review E|volume=70|year=2004|issue=3|page=032101|doi=10.1103/PhysRevE.70.032101|pmid=15524560|arxiv=cond-mat/0308277|bibcode = 2004PhRvE..70c2101C |s2cid=39929111 }}.</ref> और मार्टिन-ओडलीज़को-वोल्फ्राम सेलुलर ऑटोमेटन के प्रारंभिक शोध के बाद ओलिवियर मार्टिन, एंड्रयू एम. ओडलीज़को, और स्टीफ़न वोल्फ्राम (1984) '''इस''' ऑटोमेटन भी कहा गया है '''पर'''।<ref>{{citation|first1=Michał|last1=Misiurewicz|first2=John G.|last2=Stevens|first3=Diana M.|last3=Thomas|author3-link= Diana Thomas (mathematician) |title=Iterations of linear maps over finite fields|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=413|issue=1|year=2006|pages=218–234|doi=10.1016/j.laa.2005.09.002|doi-access=free}}.</ref>
+नियम 90 का नाम स्टीफन वोल्फ्राम के [[वोल्फ्राम कोड]] से आता है। एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए बाइनरी-[[दशमलव]] संकेतन। नियम के लिए अंकन की गणना करने के लिए, नियम तालिका में नए स्थितियों को एकल [[बाइनरी संख्या]] में जोड़ें, और संख्या को दशमलव में बदलें: 01011010<sub>2</sub> = 90<sub>10</sub>.<ref name="w83"/>नियम 90 को सिएरपिन्स्की ऑटोमेटन भी कहा जाता है, इसकी विशेषता सिएरपिन्स्की त्रिभुज आकार के कारण उत्पन्न होती है,<ref name="cns04">{{citation|first1=Jens Christian|last1=Claussen|first2=Jan|last2=Nagler|first3=Heinz Georg|last3=Schuster|title=Sierpinski signal generates 1/''f''<sup>&nbsp;''α''</sup> spectra|journal=Physical Review E|volume=70|year=2004|issue=3|page=032101|doi=10.1103/PhysRevE.70.032101|pmid=15524560|arxiv=cond-mat/0308277|bibcode = 2004PhRvE..70c2101C |s2cid=39929111 }}.</ref> और मार्टिन-ओडलीज़को-वोल्फ्राम सेलुलर ऑटोमेटन के प्रारंभिक शोध के बाद ओलिवियर मार्टिन, एंड्रयू एम. ओडलीज़को, और स्टीफ़न वोल्फ्राम (1984) ऑटोमेटन भी कहा गया है।<ref>{{citation|first1=Michał|last1=Misiurewicz|first2=John G.|last2=Stevens|first3=Diana M.|last3=Thomas|author3-link= Diana Thomas (mathematician) |title=Iterations of linear maps over finite fields|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=413|issue=1|year=2006|pages=218–234|doi=10.1016/j.laa.2005.09.002|doi-access=free}}.</ref>
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 === अवरुद्ध पेड़ और त्रिकोणीय समाशोधन ===
-[[File:Rule 90 trees.svg|thumb|upright=1.35|अस्त-व्यस्त पेड़ों का जंगल। यह टाइम-स्पेस डायग्राम है, किन्तु समय ऊपर की ओर चल रहा है, नीचे की ओर नहीं। रोचक बात यह है कि पांचवां पेड़ समर्थ होते हुए भी दोनों दिशाओं में नहीं निकला।]]1970 के दशक की शुरुआत में नियम 90 ऑटोमेटन की (वैकल्पिक सेलो के दो स्वतंत्र उपसमुच्चयों में से पर इसके समकक्ष रूप में) '''की''' जांच की गई है, जिससे लगातार [[अभाज्य संख्या]]ओं के अंतर पर गिलब्रेथ के अनुमान में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त की जा सके। [[ आगे अंतर ऑपरेटर |आगे अंतर ऑपरेटर]] को बार-बार प्रयुक्त करने से अभाज्य संख्याओं के त्रिकोण में, ऐसा प्रतीत होता है कि अधिकांश मान या तो 0 या 2 हैं।
+[[File:Rule 90 trees.svg|thumb|upright=1.35|अस्त-व्यस्त पेड़ों का जंगल। यह टाइम-स्पेस डायग्राम है, किन्तु समय ऊपर की ओर चल रहा है, नीचे की ओर नहीं। रोचक बात यह है कि पांचवां पेड़ समर्थ होते हुए भी दोनों दिशाओं में नहीं निकला।]]1970 के दशक की शुरुआत में नियम 90 ऑटोमेटन की (वैकल्पिक सेलो के दो स्वतंत्र उपसमुच्चयों में से पर इसके समकक्ष रूप में) जांच की गई है, जिससे लगातार [[अभाज्य संख्या]]ओं के अंतर पर गिलब्रेथ के अनुमान में अतिरिक्त जानकारी प्राप्त की जा सके। [[ आगे अंतर ऑपरेटर |आगे अंतर ऑपरेटर]] को बार-बार प्रयुक्त करने से अभाज्य संख्याओं के त्रिकोण में, ऐसा प्रतीत होता है कि अधिकांश मान या तो 0 या 2 हैं।
 विशेष रूप से, गिलब्रेथ के अनुमान का प्रमाणित है कि इस त्रिकोण की प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाईं ओर के मान सभी 0 या 2 हैं। जब त्रिभुज की पंक्ति में मानों का सन्निहित अनुक्रम सभी 0 या 2 हो, तो नियम 90 का उपयोग अगली पंक्ति में संबंधित अनुक्रम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। {{harvtxt|मिलर|1970}} ने जंगल में पेड़ों की वृद्धि के रूपक द्वारा नियम की व्याख्या की, जिसका शीर्षक था "आवधिक रूप से कम कद वाले पेड़ों के जंगल"। इस रूपक में, प्रारंभिक विन्यास के प्रत्येक स्थान पर पेड़ उगना शुरू हो जाता है जिसका मान 1 है, और फिर पेड़ों का यह जंगल साथ बढ़ता है, प्रत्येक समय कदम पर भूमि से ऊपर नई ऊंचाई तक। प्रत्येक समय चरण में प्रत्येक गैर-शून्य कक्ष ऐसी स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है जिस पर बढ़ती हुई पेड़ की शाखा का कब्जा है। प्रत्येक क्रमिक समय चरण पर, शाखा अपने ऊपर बाईं और दाईं ओर दो कक्षाओ में से में विकसित हो सकती है, जब उसी कक्षा के लिये प्रतिस्पर्धा करने वाली कोई अन्य शाखा न हो। इन नियमों के अनुसार उगने वाले पेड़ों के जंगल का व्यवहार नियम 90 के समान ही होता है।<ref name="m70">{{citation|first=J. C. P.|last=Miller|authorlink=J. C. P. Miller|title=Periodic forests of stunted trees|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1172|year=1970|pages=63–111|jstor=73779|doi=10.1098/rsta.1970.0003|bibcode = 1970RSPTA.266...63M |s2cid=123330469 }}.</ref>
 नियम 90 के किसी भी प्रारंभिक विन्यास से, कोई गणितीय जंगल बना सकता है, निर्देशित चक्रीय ग्राफ जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर अधिकतम आउटगोइंग किनारा होता है, जिसके पेड़ मिलर के रूपक में पेड़ों के समान होते हैं। जंगल में प्रत्येक जोड़ी (x,i) के लिए शीर्ष है, जैसे कि कक्ष x समय i पर गैर-शून्य है। समय 0 पर शीर्षों का कोई आउटगोइंग किनारा नहीं है; प्रत्येक जंगल में पेड़ की जड़ बनता है। प्रत्येक शीर्ष (x,i) के लिए i अशून्य के साथ, इसका निवर्तमान किनारा (x ± 1, i - 1) तक जाता है, जो समय चरण i - 1 में x का अद्वितीय अशून्य पड़ोसी है। मिलर ने देखा कि ये वन त्रिकोणीय "समाशोधन" विकसित करते हैं , समय-अंतरिक्ष आरेख के क्षेत्र जिनमें कोई शून्येतर कक्षाएं नहीं हैं जो सपाट निचले किनारे और विकर्ण पक्षों से घिरी हुई हैं। ऐसा समाशोधन तब बनता है जब कक्षाओं का लगातार अनुक्रम समय चरण में साथ शून्य हो जाता है, और फिर (वृक्ष रूपक में) शाखाएं अंदर की ओर बढ़ती हैं, अंततः अनुक्रम की कक्षाओं को फिर से कवर करती हैं।<ref name="m70" />
-यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों '''यों''' के लिए, इस तरह से बने पेड़ों के बीच की सीमाएं स्वयं प्रतीत होती '''ता''' है और यादृच्छिक  प्रतिरूप में बदल जाती हैं, '''और''' पेड़ अधिकांशतः पूरी तरह से मर जाते हैं। किन्तु [[ शिफ्ट का रजिस्टर |शिफ्ट का रजिस्टर]] के सिद्धांत के माध्यम से वह और अन्य प्रारंभिक स्थितियों '''यों''' को खोजने में सक्षम थे जिसमें सभी पेड़ सदैव के लिए जीवित रहते हैं, विकास का  प्रतिरूप समय-समय पर दोहराता है, और सभी समाशोधन को आकार में बंधे रहने की गारंटी दी जा सकती है।<ref name="m70" /><ref>{{citation|first=H. G.|last=ApSimon|title=Periodic forests whose largest clearings are of size 3|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1172|year=1970|pages=113–121|jstor=73780|doi=10.1098/rsta.1970.0004|bibcode=1970RSPTA.266..113A|s2cid=121067116 }}; {{citation|first=H. G.|last=ApSimon|title=Periodic forests whose largest clearings are of size ''n''&nbsp;≥&nbsp;4|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1538|year=1970|pages=399–404|jstor=73780|doi=10.1098/rspa.1970.0185 |bibcode=1970RSPSA.319..399A|s2cid=119435085 }}. A similar analysis of periodic configurations in Rule 90 also appears in {{harvtxt|Wolfram|2002}}, p. 954.</ref>
+यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों के लिए, इस तरह से बने पेड़ों के बीच की सीमाएं स्वयं प्रतीत होती  है और यादृच्छिक  प्रतिरूप में बदल जाती हैं, पेड़ अधिकांशतः पूरी तरह से मर जाते हैं। किन्तु [[ शिफ्ट का रजिस्टर |शिफ्ट का रजिस्टर]] के सिद्धांत के माध्यम से वह और अन्य प्रारंभिक स्थितियों  को खोजने में सक्षम थे जिसमें सभी पेड़ सदैव के लिए जीवित रहते हैं, विकास का  प्रतिरूप समय-समय पर दोहराता है, और सभी समाशोधन को आकार में बंधे रहने की गारंटी दी जा सकती है।<ref name="m70" /><ref>{{citation|first=H. G.|last=ApSimon|title=Periodic forests whose largest clearings are of size 3|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1172|year=1970|pages=113–121|jstor=73780|doi=10.1098/rsta.1970.0004|bibcode=1970RSPTA.266..113A|s2cid=121067116 }}; {{citation|first=H. G.|last=ApSimon|title=Periodic forests whose largest clearings are of size ''n''&nbsp;≥&nbsp;4|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London|series=Series A, Mathematical and Physical Sciences|volume=266|issue=1538|year=1970|pages=399–404|jstor=73780|doi=10.1098/rspa.1970.0185 |bibcode=1970RSPSA.319..399A|s2cid=119435085 }}. A similar analysis of periodic configurations in Rule 90 also appears in {{harvtxt|Wolfram|2002}}, p. 954.</ref>
 टेपेस्ट्री के डिजाइन बनाने के लिए मिलर ने इन दोहराए जाने वाले  प्रतिरूप का उपयोग किया। मिलर के कुछ चित्रपट भौतिक वृक्षों का चित्रण करते हैं; अन्य लोग त्रिकोण के अमूर्त  प्रतिरूप का उपयोग करते हुए नियम 90 ऑटोमेटन की कल्पना करते हैं।<ref name="m70" />
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 === सीरपिंस्की त्रिकोण ===
-[[File:R090 pulse wide.png|thumb|upright=1.5|सिएरपिन्स्की त्रिकोण नियम 90 द्वारा उत्पन्न]]नियम 90 का टाइम-स्पेस आरेख प्लॉट है जिसमें {{math|''i''}}वीं पंक्ति स्टेप पर ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन को रिकॉर्ड करती है {{math|''i''}}. जब आरंभिक अवस्था में एकल अशून्य कक्ष होता है, तो इस आरेख में सिएरपिन्स्की [[त्रिकोण]] का आभास होता है, जो त्रिभुजों को बड़े त्रिभुजों में जोड़कर बनाया गया [[भग्न]] है। नियम 18, 22, 26, 82, 146, 154, 210 और 218 भी कक्ष से सीरपिंस्की त्रिकोण उत्पन्न करते हैं, चूंकि ये सभी पूरी तरह से समान रूप से नहीं बनाए जाते हैं। इस संरचना की व्याख्या करने की विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि, नियम 90 में, प्रत्येक कक्ष अनन्य या उसके '''दो''' निकटतम में से है। क्योंकि यह [[मॉड्यूलर अंकगणित]] -2 जोड़ के बराबर है, यह पास्कल के त्रिकोण के मोडुलो -2 संस्करण को उत्पन्न करता है। आरेख में 1 है जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[विषम संख्या]] है, और 0 जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[सम संख्या]] है। यह सिएरपिन्स्की त्रिकोण का असतत संस्करण है।<ref name="w83"/><ref>{{harvtxt|Wolfram|2002}}, pp. 25–26, 270–271, 870.</ref>
+[[File:R090 pulse wide.png|thumb|upright=1.5|सिएरपिन्स्की त्रिकोण नियम 90 द्वारा उत्पन्न]]नियम 90 का टाइम-स्पेस आरेख प्लॉट है जिसमें {{math|''i''}}वीं पंक्ति स्टेप पर ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन को रिकॉर्ड करती है {{math|''i''}}. जब आरंभिक अवस्था में एकल अशून्य कक्ष होता है, तो इस आरेख में सिएरपिन्स्की [[त्रिकोण]] का आभास होता है, जो त्रिभुजों को बड़े त्रिभुजों में जोड़कर बनाया गया [[भग्न]] है। नियम 18, 22, 26, 82, 146, 154, 210 और 218 भी कक्ष से सीरपिंस्की त्रिकोण उत्पन्न करते हैं, चूंकि ये सभी पूरी तरह से समान रूप से नहीं बनाए जाते हैं। इस संरचना की व्याख्या करने की विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि, नियम 90 में, प्रत्येक कक्ष अनन्य या उसके  निकटतम में से है। क्योंकि यह [[मॉड्यूलर अंकगणित]] -2 जोड़ के बराबर है, यह पास्कल के त्रिकोण के मोडुलो -2 संस्करण को उत्पन्न करता है। आरेख में 1 है जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[विषम संख्या]] है, और 0 जहाँ पास्कल के त्रिभुज में [[सम संख्या]] है। यह सिएरपिन्स्की त्रिकोण का असतत संस्करण है।<ref name="w83"/><ref>{{harvtxt|Wolfram|2002}}, pp. 25–26, 270–271, 870.</ref>
-इस प्रतिमान की प्रत्येक पंक्ति में जीवित दो सेलो की संख्या '''दो''' की शक्ति है। '''में''' {{math|''i''}}वीं पंक्ति, में यह बराबर है {{math|2<sup>''k''</sup>}}, जहाँ '''कहाँ''' {{math|''k''}} संख्या की बाइनरी संख्या में गैर-शून्य अंकों की संख्या है{{math|''i''}}. जीवित सेलो की इन संख्याओं का क्रम, है
+इस प्रतिमान की प्रत्येक पंक्ति में जीवित दो सेलो की संख्या की शक्ति है। {{math|''i''}}वीं पंक्ति, में यह बराबर है {{math|2<sup>''k''</sup>}}, जहाँ  {{math|''k''}} संख्या की बाइनरी संख्या में गैर-शून्य अंकों की संख्या है{{math|''i''}}. जीवित सेलो की इन संख्याओं का क्रम, है
 :1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4 , 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, ... {{OEIS|A001316}}
 यह गोल्ड के अनुक्रम के रूप में जाना जाता है।
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 आरंभिक विन्यास की एकल सजीव सेलो [[सॉटूथ (सेलुलर ऑटोमेटन)]] है।इसका मतलब यह है कि कुछ समय चरणों में जीवित कोशिकाओं की संख्या मनमाने ढंग से बड़ी हो जाती है जबकि अन्य चरणों में वे केवल दो जीवित कोशिकाओं में लौट आती हैं, अनंत बार। इस  प्रतिरूप की वृद्धि दर में एक विशिष्ट बढ़ती हुई सॉटूथ तरंग आकृति होती है जिसका उपयोग उन भौतिक प्रक्रियाओं को पहचानने के लिए किया जा सकता है जो नियम 90 के समान व्यवहार करती हैं।।<ref>{{citation|first1=B. K.|last1=Kar|first2=A.|last2=Gupta|first3=P. Pal|last3=Chaudhuri|title=On explicit expressions in additive cellular automata theory|journal=Information Sciences|volume=72|issue=1–2|pages=83–103|year=1993|doi=10.1016/0020-0255(93)90030-P}}.</ref>
-सिएरपिंस्की त्रिकोण भी नियम 90 में किसी भी विन्यास के विकास में अधिक सूक्ष्म तरीके से होता है। नियम के विकास में किसी भी समय चरण में, किसी भी  कक्ष '''कोशिका''' की स्थिति की गणना कक्षों के अनन्य या उपसमूह के रूप में की जा सकती है। प्रारंभिक विन्यास. उस उपसमुच्चय का आकार सिएरपिंस्की त्रिभुज की iवीं पंक्ति के समान है।
+सिएरपिंस्की त्रिकोण भी नियम 90 में किसी भी विन्यास के विकास में अधिक सूक्ष्म तरीके से होता है। नियम के विकास में किसी भी समय चरण में, किसी भी  कक्ष  की स्थिति की गणना कक्षों के अनन्य या उपसमूह के रूप में की जा सकती है। प्रारंभिक विन्यास. उस उपसमुच्चय का आकार सिएरपिंस्की त्रिभुज की iवीं पंक्ति के समान है।
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 == अन्य प्रणालियों द्वारा अनुकरण ==
-[[File:Highlife replicator.png|thumb|HighLife में बाउटी पास्ता रेप्लिकेटर, जिसकी एक-आयामी सरणियाँ नियम 90 का अनुकरण करने के लिए उपयोग की जा सकती हैं]]कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा और अन्य कम्प्यूटेशनल प्रणाली नियम 90 के व्यवहार का अनुकरण करने में सक्षम हैं। उदाहरण के लिए, नियम 90 में कॉन्फ़िगरेशन को विभिन्न प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियम 22 में कॉन्फ़िगरेशन में अनुवादित किया जा सकता है। अनुवाद प्रत्येक नियम 90 कक्ष को तीन से बदल देता है। लगातार नियम 22 सेल। '''ये''' के कक्ष सभी शून्य हैं यदि नियम 90 कक्ष स्वयं शून्य है। गैर-शून्य नियम 90 कक्ष का अनुवाद और उसके बाद दो शून्य में किया जाता है। इस परिवर्तन के साथ, नियम 22 ऑटोमेटन के प्रत्येक छह चरण नियम 90 ऑटोमेटन के चरण का अनुकरण करते हैं। कुछ [[स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणाली]] और [[ टैग प्रणाली |टैग प्रणाली]] के लिए प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा नियम 45 और नियम 126 के लिए नियम 90 के समान प्रत्यक्ष प्रस्ताव भी संभव हैं, और [[वायरवर्ल्ड]] सहित कुछ द्वि-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा में भी संभव है। नियम 90 भी इसी तरह खुद को अनुकरण कर सकता है। यदि नियम 90 कॉन्फ़िगरेशन के प्रत्येक कक्ष को लगातार सेलो की जोड़ी से बदल दिया जाता है, पहले में मूल कक्ष का मान होता है और दूसरे में शून्य होता है, तो इस दोगुनी कॉन्फ़िगरेशन का वही व्यवहार होता है जो मूल कॉन्फ़िगरेशन में आधी गति पर होता है।<ref>{{harvtxt|Wolfram|2002}}, pp. 269–270, 666–667, 701–702, 1117.</ref>
+[[File:Highlife replicator.png|thumb|HighLife में बाउटी पास्ता रेप्लिकेटर, जिसकी एक-आयामी सरणियाँ नियम 90 का अनुकरण करने के लिए उपयोग की जा सकती हैं]]कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा और अन्य कम्प्यूटेशनल प्रणाली नियम 90 के व्यवहार का अनुकरण करने में सक्षम हैं। उदाहरण के लिए, नियम 90 में कॉन्फ़िगरेशन को विभिन्न प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियम 22 में कॉन्फ़िगरेशन में अनुवादित किया जा सकता है। अनुवाद प्रत्येक नियम 90 कक्ष को तीन से बदल देता है। लगातार नियम 22 सेल के कक्ष सभी शून्य हैं यदि नियम 90 कक्ष स्वयं शून्य है। गैर-शून्य नियम 90 कक्ष का अनुवाद और उसके बाद दो शून्य में किया जाता है। इस परिवर्तन के साथ, नियम 22 ऑटोमेटन के प्रत्येक छह चरण नियम 90 ऑटोमेटन के चरण का अनुकरण करते हैं। कुछ [[स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणाली]] और [[ टैग प्रणाली |टैग प्रणाली]] के लिए प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा नियम 45 और नियम 126 के लिए नियम 90 के समान प्रत्यक्ष प्रस्ताव भी संभव हैं, और [[वायरवर्ल्ड]] सहित कुछ द्वि-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा में भी संभव है। नियम 90 भी इसी तरह खुद को अनुकरण कर सकता है। यदि नियम 90 कॉन्फ़िगरेशन के प्रत्येक कक्ष को लगातार सेलो की जोड़ी से बदल दिया जाता है, पहले में मूल कक्ष का मान होता है और दूसरे में शून्य होता है, तो इस दोगुनी कॉन्फ़िगरेशन का वही व्यवहार होता है जो मूल कॉन्फ़िगरेशन में आधी गति पर होता है।<ref>{{harvtxt|Wolfram|2002}}, pp. 269–270, 666–667, 701–702, 1117.</ref>
 कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा को रेप्लिकेटर का समर्थन करने के लिए जाना जाता है,  प्रतिरूप जो स्वयं की प्रतियां बनाते हैं, और नियम 90 के लिए ट्री ग्रोथ मॉडल के समान व्यवहार साझा करते हैं। रेप्लिकेटर  प्रतिरूप के दोनों ओर नई प्रति रखी जाती है, जब तक कि वहां स्थान खाली है। यद्यपि, यदि दो रेप्लिकेटर दोनों स्वयं को ही स्थितियों में प्रतिलिपि करने का प्रयास करते हैं, तो स्थान रिक्त रहता है। दोनों ही मामलों में रेप्लिकेटर स्वयं गायब हो जाते हैं, उनकी प्रतियाँ प्रतिकृति जारी रखने के लिए रह जाती हैं। इस व्यवहार का मानक उदाहरण द्वि-आयामी [[हाईलाइफ (सेलुलर ऑटोमेटन)]] नियम में बाउटी पास्ता  प्रतिरूप है। यह नियम कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ की तरह कई तरह से व्यवहार करता है, किन्तु लाइफ में इतना छोटा रेप्लिकेटर उपस्थित नहीं है। जब भी ऑटोमेटन समान विकास  प्रतिरूप के साथ रेप्लिकेटर का समर्थन करता है, तो रेप्लिकेटर के एक-आयामी सरणियों का उपयोग नियम 90 का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{citation|contribution=Recipe for the week of July 1–7: Replicating Skeeters|first=David|last=Griffeath|url=http://psoup.math.wisc.edu/archive/recipe75.html|year=1996|title=The Primordial Soup Kitchen}}.</ref> नियम 90 ( सेलो की परिमित पंक्तियों पर) को द्वि-आयामी के ब्लॉक ऑसिलेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) द्वारा भी अनुकरण किया जा सकता है {{Not a typo|लाइफ-लाइक}} सेलुलर ऑटोमेटन B36/S125, जिसे 2x2 भी कहा जाता है, और नियम 90 के व्यवहार का उपयोग इन दोलकों की संभावित अवधियों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{citation|first=Nathaniel|last=Johnston|contribution=The B36/S125 "2x2" {{Not a typo|Life-like}} cellular automaton|pages=99–114|title=Game of Life Cellular Automata|editor-first=Andrew|editor-last=Adamatzky|editor-link=Andrew Adamatzky|publisher=Springer-Verlag|year=2010|arxiv=1203.1644|bibcode = 2010golc.book...99J |doi = 10.1007/978-1-84996-217-9_7 |s2cid=41344677 }}.</ref>

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