मोटर चर: Difference between revisions

Revision as of 09:51, 9 August 2023

गणित में, मोटर वैरिएबल का फलन विभाजित-सम्मिश्र संख्या विमान में तर्कों और मानो के साथ फलन (गणित) होता है, जैसे कि सम्मिश्र वैरिएबल के कार्यों में सामान्य सम्मिश्र संख्याएं सम्मिलित होती हैं। विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा है। उन्होंने अपने स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियनमें अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया गया था। व्यंजना और परंपरा के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल के स्थान पर मोटर वेरिएबल का उपयोग यहां किया जाता है।

उदाहरण के लिए,

f(z)=u(z)+j\ v(z),\ z=x+jy,\ x,y\in R,\quad j^{2}=+1,\quad u(z),v(z)\in R.

मोटर वैरिएबल के कार्य वास्तविक विश्लेषण को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं। चूँकि, सिद्धांत सम्मिश्र विश्लेषण से अधिक कम है। फिर भी, पारंपरिक सम्मिश्र विश्लेषण के कुछ विधियों की व्याख्या मोटर वैरिएबल के साथ दी गई है और समान्यत: हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में उपस्थित है।

प्राथमिक कार्य

माना D = $\{z=x+jy:x,y\in R\}$ , विभाजित-सम्मिश्र विमान है जिसमे निम्नलिखित अनुकरणीय फलन f का डोमेन और रेंज 'D' में है:

एक वर्सोर की क्रिया या हाइपरबोलिक वर्सोर $u=\exp(aj)=\cosh a+j\sinh a$ एफ़िन परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए अनुवाद (ज्यामिति) के साथ जोड़ा जाता है

f(z)=uz+c\

. जब c = 0, फलन स्क़ुईज़ मानचित्रण के समान होता है।

साधारण सम्मिश्र अंकगणित में वर्ग फलन की कोई समानता नहीं है। होने देना

f(z)=z^{2}\

और उस पर ध्यान दें

f(-1)=f(j)=f(-j)=1.\

परिणाम यह है कि चार चतुर्भुजों को एक, पहचान घटक में मैप किया गया है:

U_{1}=\{z\in D:\mid y\mid <x\}

.

ध्यान दें कि $zz^{*}=1\$ इकाई हाइपरबोला $x^{2}-y^{2}=1$ बनाता है इस प्रकार

गुणात्मक प्रतिलोम

f(z)=1/z=z^{*}/\mid z\mid ^{2}{\text{where}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}

C में वृत्त के विपरीत हाइपरबोला को संदर्भ वक्र के रूप में सम्मिलित किया गया है।

रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन

एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। इस प्रकार निर्माण विभाजित-सम्मिश्र संख्या घटकों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:

[z : 1] (\begin{matrix}  \end{matrix}

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 {{Short description|Mathematical functions of split-complex numbers}}
-गणित में, '''मोटर वैरिएबल''' का फलन [[विभाजित-[[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]]] विमान में तर्कों और मानो के साथ [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] होता है, जैसे कि [[जटिल चर|सम्मिश्र वैरिएबल]] के कार्यों में सामान्य सम्मिश्र संख्याएं सम्मिलित होती हैं। [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा है। उन्होंने अपने [[स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन]]में अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया गया था। व्यंजना और परंपरा के लिए ''स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल'' के स्थान पर ''मोटर वेरिएबल'' का उपयोग यहां किया जाता है।
+गणित में, '''मोटर वैरिएबल''' का फलन विभाजित-[[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] विमान में तर्कों और मानो के साथ [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] होता है, जैसे कि [[जटिल चर|सम्मिश्र वैरिएबल]] के कार्यों में सामान्य सम्मिश्र संख्याएं सम्मिलित होती हैं। [[विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड]] ने अपने प्रिलिमिनरी स्केच ऑफ़ बिक्वाटर्नियंस (1873) में गतिज संचालक के लिए मोटर शब्द गढ़ा है। उन्होंने अपने [[स्प्लिट-बाइक्वाटर्नियन]]में अदिशों के लिए स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्याओं का उपयोग किया गया था। व्यंजना और परंपरा के लिए ''स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स वेरिएबल'' के स्थान पर ''मोटर वेरिएबल'' का उपयोग यहां किया जाता है।
 उदाहरण के लिए,
 :<math>f(z) = u(z) + j \ v(z) ,\ z = x + j y ,\ x,y \in R ,\quad j^2 = +1,\quad u(z),v(z) \in R.</math>
-मोटर वैरिएबल के कार्य [[वास्तविक विश्लेषण]] को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं। चूँकि , सिद्धांत [[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] से अधिक कम है। फिर भी, पारंपरिक सम्मिश्र विश्लेषण के कुछ विधियों की व्याख्या मोटर वैरिएबल के साथ दी गई है, और समान्यत: हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में उपस्थित है।
+मोटर वैरिएबल के कार्य [[वास्तविक विश्लेषण]] को विस्तारित करने और विमान की मैपिंग का कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व प्रदान करने के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं। चूँकि, सिद्धांत [[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] से अधिक कम है। फिर भी, पारंपरिक सम्मिश्र विश्लेषण के कुछ विधियों की व्याख्या मोटर वैरिएबल के साथ दी गई है और समान्यत: हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण में उपस्थित है।
 ==प्राथमिक कार्य==
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 ==[[रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन]]==
-[[एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा]] की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। निर्माण विभाजित-सम्मिश्र संख्या घटकों के साथ [[सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:
+[[एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा]] की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रक्षेप्य रेखा P(D) बनाई जाती है। इस प्रकार निर्माण विभाजित-सम्मिश्र संख्या घटकों के साथ [[सजातीय निर्देशांक]] का उपयोग करता है। प्रक्षेप्य रेखा P(D) रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा रूपांतरित होती है:
 :<math>[z:1]\begin{pmatrix}a & c \\ b & d \end{pmatrix} = [az + b : cz + d] , </math> कभी-कभी लिखा जाता है
 :<math>f(z) = \frac {az + b} {cz + d},</math> परन्तु cz + d 'D' में इकाई है।
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 जहां T = {z = x + jy : |y| < x < 1 या |y| <2 - x जब 1 ≤ x <2}।
-प्रक्षेप्य रेखा पर आक्षेप के रूप में रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को अनुभव करने के लिए ''''D''' ' के कॉम्पैक्टिफिकेशन का उपयोग किया जाता है। नीचे दिया गया अनुभाग देखें.
+प्रक्षेप्य रेखा पर आक्षेप के रूप में रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों को अनुभव करने के लिए ''''D'''<nowiki/>' के कॉम्पैक्टिफिकेशन का उपयोग किया जाता है। नीचे दिया गया अनुभाग देखें.
 ==एक्सप, लॉग, और वर्गमूल==
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-=='''D''' -[[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]]==
+=='''D''' -[[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]]               ==
 कॉची-रीमैन समीकरण जो [[जटिल विमान|सम्मिश्र विमान]] में [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)]] पर होलोमोर्फिक कार्यों की विशेषता बताते हैं, मोटर वैरिएबल के कार्यों के लिए एनालॉग है। विर्टिंगर व्युत्पन्न का उपयोग करके '''D'''-होलोमोर्फिक कार्यों के लिए दृष्टिकोण मोट्टर एंड रॉसा द्वारा दिया गया था:<ref name=M&R>A.E. Motter & M.A.F. Rosa (1998) "Hyperbolic Calculus", [[Advances in Applied Clifford Algebras]] 8(1):109&ndash;28</ref> जिसमे फलन f = u + j v को ''''D'''-होलोमोर्फिक' कहा जाता है
 :<math>0 \ = \ \left({\partial \over \partial x} - j {\partial \over \partial y}\right) (u + j v) = \ u_x - j^2 v_y + j (v_x - u_y).</math>
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 [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक]] फलन सिद्धांत में तुलनीय दृष्टिकोण को पीटर ड्यूरेन के टेक्स्ट में देखा जा सकता है।<ref>[[Peter Duren]] (2004) ''Harmonic Mappings in the Plane'', pp.&nbsp;3,4, [[Cambridge University Press]]</ref> यह स्पष्ट है कि घटक ''u'' और '''D''' -होलोमोर्फिक फलन ''f'' का ''v'' से जुड़े [[तरंग समीकरण]] को संतुष्ट करता है '''D''' 'अलेम्बर्ट, जबकि सी-होलोमोर्फिक फलन के घटक लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
-==ला प्लाटा पाठ==
+==ला प्लाटा पाठ                                                                                         ==
 में [[ला प्लाटा का राष्ट्रीय विश्वविद्यालय]] में, अनंत श्रृंखला के अभिसरण के विशेषज्ञ जे.सी. विग्नॉक्स ने विश्वविद्यालय की वार्षिक पत्रिका में मोटर वैरिएबल पर चार लेख लिखे।<ref>Vignaux, J.C. & A. Durañona y Vedia (1935) "Sobre la teoría de las funciones de una variable compleja hiperbólica", ''Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas'', pp.&nbsp;139–184, [[Universidad Nacional de La Plata]], República Argentina</ref> वह परिचयात्मक के एकमात्र लेखक हैं, और उन्होंने दूसरों पर अपने विभाग प्रमुख A. दुरानोना वाई वेदिया से परामर्श किया है। सोबरे लास सीरीज डी न्यूमेरोस कॉम्प्लीजोस हिपरबोलिकोस में वह कहते हैं (पृष्ठ 123):
 :अतिशयोक्तिपूर्ण सम्मिश्र संख्याओं की यह प्रणाली [मोटर वैरिएबल ] मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है या वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक बीजगणित का प्रत्यक्ष योग; यह गुण वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के गुणों के उपयोग के माध्यम से श्रृंखला के सिद्धांत और हाइपरबोलिक सम्मिश्र वैरिएबल के कार्यों की व्याख्या की अनुमति देती है।

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प्राथमिक कार्य

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