कैटेनरी: Difference between revisions

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{{About|गणितीय वक्र}}
{{Redirect|चैनेट|वाइन अंगूर को चैनेट के नाम से भी जाना जाता है|सिन्सौट}}
{{short description|Curve that an idealized hanging chain or cable assumes}}
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[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|बिंदुओं से लटकी हुई श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]
[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|बिंदुओं से लटकी हुई श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]
[[File:PylonsSunset-5982.jpg|thumb|180px|right|फ्री-हैंगिंग [[ ओवरहेड पावर लाइन |ओवरहेड पावर लाइन]] भी कैटेनरी बनाती है (उच्च वोल्टेज लाइनों के साथ सबसे प्रमुख रूप से दिखाई देती है, और [[ तनाव इन्सुलेटर |तनाव इन्सुलेटर]] के पास कुछ अपूर्णता के साथ)।]]
[[File:PylonsSunset-5982.jpg|thumb|180px|right|फ्री-हैंगिंग [[ ओवरहेड पावर लाइन |ओवरहेड पावर लाइन]] भी कैटेनरी बनाती है (उच्च वोल्टेज लाइनों के साथ सबसे प्रमुख रूप से दिखाई देती है, और [[ तनाव इन्सुलेटर |तनाव इन्सुलेटर]] के पास कुछ अपूर्णता के साथ)।]]
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|एक मकड़ी के जाले पर रेशम कई लोचदार विरूपण कैटेनरी बनाते हैं।]]भौतिकी और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, कैटेनरी ({{IPAc-en|US|ˈ|k|æ|t|ən|ɛr|i}}, {{IPAc-en|UK|k|ə|ˈ|t|iː|n|ər|i}}) वह [[ वक्र |वक्र]] है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के [[ वजन |वजन]] के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|एक मकड़ी के जाले पर रेशम अनेक लोचदार विरूपण कैटेनरी बनाते हैं।]]भौतिकी और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, '''कैटेनरी''' वह [[ वक्र |वक्र]] है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के [[ वजन |भार]] के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।


[[ कैटेनरी आर्क | कैटेनरी आर्क]] में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है।
[[ कैटेनरी आर्क | कैटेनरी आर्क]] में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है।


वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और [[ कैटेनॉयड |कैटेनॉयड]] के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर गोलाकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है।
वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और [[ कैटेनॉयड |कैटेनॉयड]] के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर वृत्ताकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है।


कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है।<ref name="MathWorld">[[#MathWorld|MathWorld]]</ref> या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर<ref>''e.g.'':  {{cite book| last = Shodek| first = Daniel L.| title = Structures| edition = 5th| year = 2004| publisher = Prentice Hall| isbn = 978-0-13-048879-4| oclc = 148137330| page = 22 }}</ref> रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।<ref>{{cite web|url=https://mae.ufl.edu/~uhk/HANGING-ROPE.pdf |title=लटकती हुई रस्सी का आकार|website=Department of Mechanical & Aerospace Engineering - University of Florida |date=2017-05-02 |access-date=2020-06-04}}</ref>
कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है।<ref name="MathWorld">[[#MathWorld|MathWorld]]</ref> या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर<ref>''e.g.'':  {{cite book| last = Shodek| first = Daniel L.| title = Structures| edition = 5th| year = 2004| publisher = Prentice Hall| isbn = 978-0-13-048879-4| oclc = 148137330| page = 22 }}</ref> रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।<ref>{{cite web|url=https://mae.ufl.edu/~uhk/HANGING-ROPE.pdf |title=लटकती हुई रस्सी का आकार|website=Department of Mechanical & Aerospace Engineering - University of Florida |date=2017-05-02 |access-date=2020-06-04}}</ref>


गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र [[ अतिपरवलयिक कोज्या |अतिपरवलयिक कोज्या]] फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की [[ क्रांति की सतह |क्रांति की सतह]] , कैटेनॉयड, [[ न्यूनतम सतह |न्यूनतम सतह]] है, जो कि विशेष रूप से [[ क्रांति की न्यूनतम सतह |क्रांति की न्यूनतम सतह]] है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है।<ref>{{cite web|url=http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_02_CalculusVariations.html |title=विविधताओं की गणना|date=2015 |access-date=2019-05-03}}</ref> 1638 में [[ गैलिलियो गैलिली |गैलिलियो गैलिली]] ने [[ दो नए विज्ञान |दो नए विज्ञान]] की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन [[ रॉबर्ट हुक |रॉबर्ट हुक]] ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]], [[ क्रिस्टियान ह्यूजेंस |क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[ जोहान बर्नौली |जोहान बर्नौली]] द्वारा प्राप्त किया गया था।
गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की [[ क्रांति की सतह |क्रांति की सतह]] , कैटेनॉयड, [[ न्यूनतम सतह |न्यूनतम सतह]] है, जो कि विशेष रूप से [[ क्रांति की न्यूनतम सतह |क्रांति की न्यूनतम सतह]] है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है।<ref>{{cite web|url=http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_02_CalculusVariations.html |title=विविधताओं की गणना|date=2015 |access-date=2019-05-03}}</ref> 1638 में [[ गैलिलियो गैलिली |गैलिलियो गैलिली]] ने [[ दो नए विज्ञान |दो नए विज्ञान]] की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन [[ रॉबर्ट हुक |रॉबर्ट हुक]] ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]], [[ क्रिस्टियान ह्यूजेंस |क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[ जोहान बर्नौली |जोहान बर्नौली]] द्वारा प्राप्त किया गया था।


वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी [[ स्टील कैटेनरी रिसर |स्टील कैटेनरी रिसर]] को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के बीच निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह [[ अतिरिक्त रेखा |अतिरिक्त रेखा]] को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)
वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी [[ स्टील कैटेनरी रिसर |स्टील कैटेनरी रिसर]] को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के मध्य निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह [[ अतिरिक्त रेखा |अतिरिक्त रेखा]] को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)


ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं।<ref>{{cite book |last1=Luo |first1=Xiangang |title=कैटेनरी ऑप्टिक्स|date=2019 |publisher=Springer |location=Singapore |isbn=978-981-13-4818-1 |doi=10.1007/978-981-13-4818-1 |s2cid=199492908 }}</ref> जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।<ref>{{Cite journal|last1=Bourke|first1=Levi|last2=Blaikie|first2=Richard J.|date=2017-12-01|title=अल्ट्रा-हाई एनए इंटरफेरेंस लिथोग्राफी के लिए हर्पिन प्रभावी मीडिया रेज़ोनेंट अंडरलेयर और रेजोनेंट ओवरलेयर डिज़ाइन|url=https://www.osapublishing.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-34-12-2243|journal=JOSA A|language=EN|volume=34|issue=12|pages=2243–2249|doi=10.1364/JOSAA.34.002243|pmid=29240100|bibcode=2017JOSAA..34.2243B|issn=1520-8532}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Guo|first2=Yinghui|last3=Li|first3=Xiong|last4=Ma|first4=Xiaoliang|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-05|title=असाधारण युवा हस्तक्षेप का पुनरीक्षण: मेटासर्फ्स में कैटेनरी ऑप्टिकल फील्ड्स से स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन तक|journal=ACS Photonics|volume=5|issue=8|pages=3198–3204|language=en|doi=10.1021/acsphotonics.8b00437|s2cid=126267453 |issn=2330-4022}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Ma|first2=XiaoLiang|last3=Guo|first3=Yinghui|last4=Li|first4=Xiong|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-23|title=कैटेनरी ऑप्टिकल क्षेत्र और फैलाव के आधार पर सूक्ष्म मेटा-सतह तरंगों का सिद्धांत|url=https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-26-15-19555|journal=Optics Express|language=EN|volume=26|issue=15|pages=19555–19562|doi=10.1364/OE.26.019555|pmid=30114126|bibcode=2018OExpr..2619555P|issn=1094-4087|doi-access=free}}</ref>
ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं।<ref>{{cite book |last1=Luo |first1=Xiangang |title=कैटेनरी ऑप्टिक्स|date=2019 |publisher=Springer |location=Singapore |isbn=978-981-13-4818-1 |doi=10.1007/978-981-13-4818-1 |s2cid=199492908 }}</ref> जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।<ref>{{Cite journal|last1=Bourke|first1=Levi|last2=Blaikie|first2=Richard J.|date=2017-12-01|title=अल्ट्रा-हाई एनए इंटरफेरेंस लिथोग्राफी के लिए हर्पिन प्रभावी मीडिया रेज़ोनेंट अंडरलेयर और रेजोनेंट ओवरलेयर डिज़ाइन|url=https://www.osapublishing.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-34-12-2243|journal=JOSA A|language=EN|volume=34|issue=12|pages=2243–2249|doi=10.1364/JOSAA.34.002243|pmid=29240100|bibcode=2017JOSAA..34.2243B|issn=1520-8532}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Guo|first2=Yinghui|last3=Li|first3=Xiong|last4=Ma|first4=Xiaoliang|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-05|title=असाधारण युवा हस्तक्षेप का पुनरीक्षण: मेटासर्फ्स में कैटेनरी ऑप्टिकल फील्ड्स से स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन तक|journal=ACS Photonics|volume=5|issue=8|pages=3198–3204|language=en|doi=10.1021/acsphotonics.8b00437|s2cid=126267453 |issn=2330-4022}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Ma|first2=XiaoLiang|last3=Guo|first3=Yinghui|last4=Li|first4=Xiong|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-23|title=कैटेनरी ऑप्टिकल क्षेत्र और फैलाव के आधार पर सूक्ष्म मेटा-सतह तरंगों का सिद्धांत|url=https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-26-15-19555|journal=Optics Express|language=EN|volume=26|issue=15|pages=19555–19562|doi=10.1364/OE.26.019555|pmid=30114126|bibcode=2018OExpr..2619555P|issn=1094-4087|doi-access=free}}</ref>
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{{cite book| last1 = Peterson| first1 = Susan| last2 = Peterson| first2 = Jan| title = The Craft and Art of Clay: A Complete Potter's Handbook| url = https://books.google.com/books?id=PAZR-A9Ra6EC&pg=PA208| year = 2003| publisher = Laurence King| isbn = 978-1-85669-354-7| page = 224 }}</ref>
{{cite book| last1 = Peterson| first1 = Susan| last2 = Peterson| first2 = Jan| title = The Craft and Art of Clay: A Complete Potter's Handbook| url = https://books.google.com/books?id=PAZR-A9Ra6EC&pg=PA208| year = 2003| publisher = Laurence King| isbn = 978-1-85669-354-7| page = 224 }}</ref>


सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ गेटवे आर्क |गेटवे आर्क]] को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है।<ref>{{Citation | last1=Osserman | first1=Robert | title=Mathematics of the Gateway Arch | url=https://www.ams.org/notices/201002/index.html | year=2010 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 | volume=57 | issue=2 | pages=220–229}}</ref> यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण {{math|1=''y'' = ''A'' cosh(''Bx'')}}, के साथ है जो कैटेनरी है यदि {{math|1=''AB'' = 1}}. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. [[ राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न |राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न]] नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त [[ भारित कैटेनरी |भारित कैटेनरी]] है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें बीच में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं।<ref>{{cite journal| last = Hicks| first = Clifford B.| title = अतुल्य गेटवे आर्क: अमेरिका का सबसे शक्तिशाली राष्ट्रीय स्मारक| url = https://books.google.com/books?id=BuMDAAAAMBAJ&pg=PA89| volume = 120|date=December 1963| page = 89| issn = 0032-4558| issue = 6| journal = [[Popular Mechanics]] }}</ref><ref name="nrhpinv2">{{citation|url={{NHLS url|id=87001423}}|title=National Register of Historic Places Inventory-Nomination: Jefferson National Expansion Memorial Gateway Arch / Gateway Arch; or "The Arch"|year=1985 |first=Laura Soullière |last=Harrison |publisher=National Park Service }} and {{NHLS url|id=87001423|title=''Accompanying one photo, aerial, from 1975''|photos=y}}&nbsp;{{small|(578&nbsp;KB)}}</ref> जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, [[ सुनहेरे कमान |सुनहेरे कमान]] है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है।
सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ गेटवे आर्क |गेटवे आर्क]] को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है।<ref>{{Citation | last1=Osserman | first1=Robert | title=Mathematics of the Gateway Arch | url=https://www.ams.org/notices/201002/index.html | year=2010 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 | volume=57 | issue=2 | pages=220–229}}</ref> यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण {{math|1=''y'' = ''A'' cosh(''Bx'')}}, के साथ है जो कैटेनरी है यदि {{math|1=''AB'' = 1}}. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. [[ राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न |राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न]] नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त [[ भारित कैटेनरी |भारित कैटेनरी]] है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें मध्य में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं।<ref>{{cite journal| last = Hicks| first = Clifford B.| title = अतुल्य गेटवे आर्क: अमेरिका का सबसे शक्तिशाली राष्ट्रीय स्मारक| url = https://books.google.com/books?id=BuMDAAAAMBAJ&pg=PA89| volume = 120|date=December 1963| page = 89| issn = 0032-4558| issue = 6| journal = [[Popular Mechanics]] }}</ref><ref name="nrhpinv2">{{citation|url={{NHLS url|id=87001423}}|title=National Register of Historic Places Inventory-Nomination: Jefferson National Expansion Memorial Gateway Arch / Gateway Arch; or "The Arch"|year=1985 |first=Laura Soullière |last=Harrison |publisher=National Park Service }} and {{NHLS url|id=87001423|title=''Accompanying one photo, aerial, from 1975''|photos=y}}&nbsp;{{small|(578&nbsp;KB)}}</ref> जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, [[ सुनहेरे कमान |सुनहेरे कमान]] है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है।


 
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==कैटेनरी ब्रिज ==
==कैटेनरी ब्रिज ==
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एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।<ref>{{cite book| first= John S. |last=Scott| title = सिविल इंजीनियरिंग का शब्दकोश| date = 1992-10-31| publisher = Springer| isbn = 978-0-412-98421-1| page = 433 }}</ref><ref>{{cite journal|journal=[[Architects' Journal]] |volume=207 |date=1998 |page=51}}</ref>
एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।<ref>{{cite book| first= John S. |last=Scott| title = सिविल इंजीनियरिंग का शब्दकोश| date = 1992-10-31| publisher = Springer| isbn = 978-0-412-98421-1| page = 433 }}</ref><ref>{{cite journal|journal=[[Architects' Journal]] |volume=207 |date=1998 |page=51}}</ref>


चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के वजन का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का वजन समर्थित वजन की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के बीच होता है।<ref name="Lockwood122">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 122</ref><ref>
चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के भार का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का भार समर्थित भार की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के मध्य होता है।<ref name="Lockwood122">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 122</ref><ref>
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|title=Hanging With Galileo
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[[File:Comparison catenary parabola.svg|thumb|none|400px|एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और परवलयिक आर्क (लाल सॉलिड कर्व) की तुलना ही स्पैन और सैग के साथ। कैटेनरी साधारण सस्पेंशन ब्रिज, या सस्पेंडेड-डेक सस्पेंशन ब्रिज की केबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिस पर इसके डेक और हैंगर में केबल की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। परवलय निलंबित-डेक निलंबन पुल के केबल के प्रोफाइल का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर इसके केबल और हैंगर के डेक की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। ही स्पैन और सैग के साथ वास्तविक सस्पेंशन ब्रिज के केबल का प्रोफाइल दो कर्व्स के बीच स्थित होता है। कैटेनरी और परवलय समीकरण क्रमशः {{math|1=''y'' = cosh(''x'')}} तथा {{math|1=''y'' =''x''<sup>2</sup>}} हैं, ]]
[[File:Comparison catenary parabola.svg|thumb|none|400px|एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और परवलयिक आर्क (लाल सॉलिड कर्व) की तुलना ही स्पैन और सैग के साथ। कैटेनरी साधारण सस्पेंशन ब्रिज, या सस्पेंडेड-डेक सस्पेंशन ब्रिज की केबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिस पर इसके डेक और हैंगर में केबल की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। परवलय निलंबित-डेक निलंबन पुल के केबल के प्रोफाइल का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर इसके केबल और हैंगर के डेक की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। ही स्पैन और सैग के साथ वास्तविक सस्पेंशन ब्रिज के केबल का प्रोफाइल दो कर्व्स के मध्य स्थित होता है। कैटेनरी और परवलय समीकरण क्रमशः {{math|1=''y'' = cosh(''x'')}} तथा {{math|1=''y'' =''x''<sup>2</sup>}} हैं, ]]


==समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग==
==समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग==
[[File:Catenary.PNG|thumb|right|250px|एंकर पर खींचने के कम कोण के साथ भारी एंकर श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए।
[[File:Catenary.PNG|thumb|right|250px|एंकर पर खींचने के कम कोण के साथ भारी एंकर श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए।


जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे पानी में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.petersmith.net.nz/boat-anchors/catenary.php |title=चेन, रस्सी और कैटेनरी - छोटी नावों के लिए लंगर प्रणाली|publisher=Petersmith.net.nz |access-date=2010-11-17}}</ref>
जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे जल में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.petersmith.net.nz/boat-anchors/catenary.php |title=चेन, रस्सी और कैटेनरी - छोटी नावों के लिए लंगर प्रणाली|publisher=Petersmith.net.nz |access-date=2010-11-17}}</ref>
==गणितीय विवरण==
==गणितीय विवरण==


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<math display=block>y = a \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)</math>
<math display=block>y = a \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)</math>
जहाँ पर {{math|cosh}} अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ {{mvar|x}} निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।<ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Catenary.html |title=ज़ंजीर का|last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric_W._Weisstein |work=MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=2019-09-21 |quote=कैटेनरी के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x(t) = t, y(t) = [...] a cosh(t/a) द्वारा दिए गए हैं, जहां t=0 शीर्ष से मेल खाता है [...] }}< /रेफरी> [[ पैरामीटर ]] बदलने के बाद से सभी कैटेनरी वक्र एक दूसरे से [[ समानता (ज्यामिति) ]] हैं {{mvar|a}} वक्र के एक समान [[ स्केलिंग (ज्यामिति) ]] के बराबर है।
जहाँ पर {{math|cosh}} अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ {{mvar|x}} निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।<ref>{{cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/Catenary.html |title=ज़ंजीर का|last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric_W._Weisstein |work=MathWorld--A Wolfram Web Resource |access-date=2019-09-21 |quote=कैटेनरी के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x(t) = t, y(t) = [...] a cosh(t/a) द्वारा दिए गए हैं, जहां t=0 शीर्ष से मेल खाता है [...] }}< /रेफरी> [[ पैरामीटर ]] बदलने के बाद से सभी कैटेनरी वक्र एक दूसरे से [[ समानता (ज्यामिति) ]] हैं {{mvar|a}} वक्र के एक समान [[ स्केलिंग (ज्यामिति) ]] के बराबर है।


कैटेनरी के लिए [[ व्हीवेल समीकरण ]] है
कैटेनरी के लिए [[ व्हीवेल समीकरण ]] है
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<math display=block>\rho = a \sec^2 \varphi</math>
<math display=block>\rho = a \sec^2 \varphi</math>
जो स्पर्शरेखा की लंबाई है या सामान्य रेखा से इसके और के बीच वक्र तक {{mvar|x}}-अक्ष है ।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 444</ref>
जो स्पर्शरेखा की लंबाई है या सामान्य रेखा से इसके और के मध्य वक्र तक {{mvar|x}}-अक्ष है ।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 444</ref>




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===ज्यामितीय गुण ===
===ज्यामितीय गुण ===
किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात {{mvar|a}} समान होता है जो कि चयनित अंतराल से स्वतंत्र होता है। इस संपत्ति के साथ क्षैतिज रेखा के अतिरिक्त कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अतिरिक्त , कैटेनरी के विस्तार के अनुसार क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक वक्र के केन्द्रक और {{mvar|x}}-अक्ष को जोड़ने वाले लंबवत खंड का मध्यबिंदु है।<ref>{{cite journal|last=Parker |first=Edward |date=2010 |title=कैटेनरी की विशेषता वाली संपत्ति|journal=Mathematics Magazine |volume=83 |pages=63–64|doi=10.4169/002557010X485120 |s2cid=122116662 }}</ref>
किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात {{mvar|a}} समान होता है जो कि चयनित अंतराल से स्वतंत्र होता है। इस संपत्ति के साथ क्षैतिज रेखा के अतिरिक्त कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अतिरिक्त , कैटेनरी के विस्तार के अनुसार क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक वक्र के केन्द्रक और {{mvar|x}}-अक्ष को जोड़ने वाले लंबवत खंड का मध्यबिंदु है।<ref>{{cite journal|last=Parker |first=Edward |date=2010 |title=कैटेनरी की विशेषता वाली संपत्ति|journal=Mathematics Magazine |volume=83 |pages=63–64|doi=10.4169/002557010X485120 |s2cid=122116662 }}</ref>
=== विज्ञान ===
=== विज्ञान ===
एक समान विद्युत क्षेत्र में एक गतिमान आवेश एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (यदि आवेश वेग प्रकाश की गति {{mvar|c}} से बहुत कम है तो यह एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है)।<ref>{{cite book| last = Landau| first = Lev Davidovich| url=https://books.google.com/books?id=X18PF4oKyrUC&pg=PA56|title = क्षेत्र का शास्त्रीय सिद्धांत| year = 1975| publisher = Butterworth-Heinemann| isbn = 978-0-7506-2768-9| page = 56 }}</ref>
एक समान विद्युत क्षेत्र में एक गतिमान आवेश एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (यदि आवेश वेग प्रकाश की गति {{mvar|c}} से बहुत कम है तो यह एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है)।<ref>{{cite book| last = Landau| first = Lev Davidovich| url=https://books.google.com/books?id=X18PF4oKyrUC&pg=PA56|title = क्षेत्र का शास्त्रीय सिद्धांत| year = 1975| publisher = Butterworth-Heinemann| isbn = 978-0-7506-2768-9| page = 56 }}</ref>
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=== चेन और आर्क का मॉडल ===
=== चेन और आर्क का मॉडल ===
गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि [[ तनाव (भौतिकी) |तनाव (भौतिकी)]] का कोई भी बल लगाया जाता है। जो कि श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 442, p. 316</ref> इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है अतिरिक्त इसके कि तनाव की शक्ति [[ संपीड़न (भौतिकी) |संपीड़न (भौतिकी)]] की शक्ति बन जाती हैं और सब कुछ विपरीत हो जाता है।<ref>{{cite book| last = Church| first = Irving Porter| title = इंजीनियरिंग के यांत्रिकी| url = https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog| year = 1890| publisher = Wiley| page = [https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog/page/n410 387] }}</ref>
गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि [[ तनाव (भौतिकी) |तनाव (भौतिकी)]] का कोई भी बल लगाया जाता है। जो कि श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 442, p. 316</ref> इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है अतिरिक्त इसके कि तनाव की शक्ति [[ संपीड़न (भौतिकी) |संपीड़न (भौतिकी)]] की शक्ति बन जाती हैं और सब कुछ विपरीत हो जाता है।<ref>{{cite book| last = Church| first = Irving Porter| title = इंजीनियरिंग के यांत्रिकी| url = https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog| year = 1890| publisher = Wiley| page = [https://archive.org/details/mechanicsengine06churgoog/page/n410 387] }}</ref>


एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को कठोर निकाय माना जा सकता है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 65</ref> प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।
एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को कठोर निकाय माना जा सकता है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 65</ref> प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।
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जहाँ पर {{math|'''u'''}} [[ इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर |इकाई स्पर्शरेखा]] सदिश है।
जहाँ पर {{math|'''u'''}} [[ इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर |इकाई स्पर्शरेखा]] सदिश है।


[[File:CatenaryForceDiagram.svg|thumb|से कैटेनरी के खंड पर कार्य करने वाले बलों का आरेख {{math|'''c'''}} प्रति {{math|'''r'''}}. बल तनाव हैं {{math|'''T'''<sub>0</sub>}} पर {{math|'''c'''}}, तनाव {{math|'''T'''}} पर {{math|'''r'''}}, और श्रृंखला का वजन {{math|(0, −''λgs'')}}. चूँकि शृंखला विरामावस्था में है इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए।]]
[[File:CatenaryForceDiagram.svg|thumb|{{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक कैटेनरी के एक खंड पर कार्य करने वाले बलों का आरेख। बल {{math|'''c'''}} पर तनाव {{math|'''T'''<sub>0</sub>}}, {{math|'''r'''}} पर तनाव {{math|'''T'''}} और श्रृंखला का भार {{math|(0, −''λgs'')}} हैं। चूँकि श्रृंखला विरामावस्था में है इसलिए इन बलों का योग शून्य होना चाहिए।]]




वक्र के लिए [[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 316</ref> होने देना {{math|'''c'''}} श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 317</ref> वक्र का ढलान {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}}, {{math|'''c'''}} पर शून्य है चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लें कि {{math|'''r'''}}, {{math|'''c'''}} के दाईं ओर है क्योंकि अन्य स्थिति समरूपता द्वारा निहित है। {{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल {{math|'''c'''}} पर श्रृंखला का तनाव, {{math|'''r'''}} पर श्रृंखला का तनाव और श्रृंखला का वजन हैं। जो कि {{math|'''c'''}} पर तनाव, {{math|'''c'''}} पर वक्र के स्पर्शरेखा है और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है इसलिए इसे {{math|(−''T''<sub>0</sub>, 0)}}लिखा जा सकता है जहां {{math|''T''<sub>0</sub>}} बल का परिमाण है। {{math|'''r'''}} पर तनाव आर पर वक्र के समानांतर है और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। {{math|'''r'''}} पर तनाव को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसे {{math|1=''T'''''u''' = (''T'' cos ''φ'', ''T'' sin ''φ'')}} लिखा जा सकता है, जहां T बल का परिमाण है और {{mvar|φ}} {{math|'''r'''}} पर वक्र और x-अक्ष के बीच का कोण है। (स्पर्शरेखा कोण देखें)। अंत में, श्रृंखला के वजन को {{math|(0, −''λgs'')}} द्वारा दर्शाया जाता है, जहां {{mvar|λ}} प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, {{mvar|g}} गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है और {{mvar|s}}, {{math|'''c'''}} और {{math|'''r'''}} के बीच श्रृंखला के खंड की लंबाई है।
 
वक्र के लिए [[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 316</ref> होने देना {{math|'''c'''}} श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 317</ref> वक्र का ढलान {{math|{{sfrac|''dy''|''dx''}}}}, {{math|'''c'''}} पर शून्य है चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लें कि {{math|'''r'''}}, {{math|'''c'''}} के दाईं ओर है क्योंकि अन्य स्थिति समरूपता द्वारा निहित है। {{math|'''c'''}} से {{math|'''r'''}} तक श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल {{math|'''c'''}} पर श्रृंखला का तनाव, {{math|'''r'''}} पर श्रृंखला का तनाव और श्रृंखला का भार हैं। जो कि {{math|'''c'''}} पर तनाव, {{math|'''c'''}} पर वक्र के स्पर्शरेखा है और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है इसलिए इसे {{math|(−''T''<sub>0</sub>, 0)}}लिखा जा सकता है जहां {{math|''T''<sub>0</sub>}} बल का परिमाण है। {{math|'''r'''}} पर तनाव आर पर वक्र के समानांतर है और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। {{math|'''r'''}} पर तनाव को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसे {{math|1=''T'''''u''' = (''T'' cos ''φ'', ''T'' sin ''φ'')}} लिखा जा सकता है, जहां T बल का परिमाण है और {{mvar|φ}} {{math|'''r'''}} पर वक्र और x-अक्ष के मध्य का कोण है। (स्पर्शरेखा कोण देखें)। अंत में, श्रृंखला के भार को {{math|(0, −''λgs'')}} द्वारा दर्शाया जाता है, जहां {{mvar|λ}} प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, {{mvar|g}} गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है और {{mvar|s}}, {{math|'''c'''}} और {{math|'''r'''}} के मध्य श्रृंखला के खंड की लंबाई है।


श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है {{math|'''0'''}}, इसलिए
श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है {{math|'''0'''}}, इसलिए
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<math display=block>a = \frac{T_0}{\lambda g}</math>
<math display=block>a = \frac{T_0}{\lambda g}</math>
जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका वजन {{math|'''c'''}} पर तनाव के परिमाण के समान है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 67</ref> तब
जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका भार {{math|'''c'''}} पर तनाव के परिमाण के समान है।<ref>[[#Whewell|Whewell]] p. 67</ref> तब


<math display=block>\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}</math>
<math display=block>\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}</math>
वक्र को परिभाषित करने वाला समीकरण है।
वक्र को परिभाषित करने वाला समीकरण है।


तनाव का क्षैतिज घटक, {{math|1=''T'' cos ''φ'' = ''T''<sub>0</sub>}} स्थिर है और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है, {{math|1=''T'' sin ''φ'' = ''λgs''}} {{math|'''r'''}} और शीर्ष के बीच श्रृंखला की लंबाई के लिए आनुपातिक है।<ref name="Routh Art 443 318">[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 318</ref>
तनाव का क्षैतिज घटक, {{math|1=''T'' cos ''φ'' = ''T''<sub>0</sub>}} स्थिर है और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है, {{math|1=''T'' sin ''φ'' = ''λgs''}} {{math|'''r'''}} और शीर्ष के मध्य श्रृंखला की लंबाई के लिए आनुपातिक है।<ref name="Routh Art 443 318">[[#Routh|Routh]] Art. 443 p. 318</ref>
=== वक्र के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति ===
=== वक्र के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति ===
ऊपर दिए गए अवकल समीकरण को वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए हल किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p/ 317</ref>
ऊपर दिए गए अवकल समीकरण को वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए हल किया जा सकता है।<ref>Following [[#Routh|Routh]] Art. 443 p/ 317</ref>
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  इस प्रकार चुनी गई x-अक्ष को कैटेनरी की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।
  इस प्रकार चुनी गई x-अक्ष को कैटेनरी की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।


इसका तात्पर्य यह है कि एक बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} पर तनाव का परिमाण {{math|1=''T'' = ''λgy''}} है, जो बिंदु और नियता के बीच की दूरी के समानुपाती होता है।<ref name="Routh Art 443 318" />
इसका तात्पर्य यह है कि एक बिंदु {{math|(''x'', ''y'')}} पर तनाव का परिमाण {{math|1=''T'' = ''λgy''}} है, जो बिंदु और नियता के मध्य की दूरी के समानुपाती होता है।<ref name="Routh Art 443 318" />


इस तनाव को {{math|1=''T'' = ''T''<sub>0</sub> ''y''/''a''}} के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
इस तनाव को {{math|1=''T'' = ''T''<sub>0</sub> ''y''/''a''}} के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
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और, फिर से, y-अक्ष की स्थिति को स्थानांतरित करके, α को 0 लिया जा सकता है।
और, फिर से, y-अक्ष की स्थिति को स्थानांतरित करके, α को 0 लिया जा सकता है।


<math display="block">x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right)\,,\quad s=a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.</math>
<math display="block">x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right)\,,\quad s=a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.</math>इस प्रकार चुनी गई y-अक्ष शीर्ष से होकर गुजरती है और इसे कैटेनरी की धुरी कहा जाता है।
 
इस प्रकार चुनी गई y-अक्ष शीर्ष से होकर गुजरती है और इसे कैटेनरी की धुरी कहा जाता है।


इन परिणामों का उपयोग {{mvar|s}} देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है
इन परिणामों का उपयोग {{mvar|s}} देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है
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तथा
तथा
<math display=block>y = a \sec \varphi + \beta\,.</math>
<math display=block>y = a \sec \varphi + \beta\,.</math>
पहले की तरह, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 के रूप में लिया जा सकता है ।
पहले की तरह, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 के रूप में लिया जा सकता है ।


<math display=block>\sec \varphi + \tan \varphi = e^\frac{x}{a}\,,</math>
<math display=block>\sec \varphi + \tan \varphi = e^\frac{x}{a}\,,</math>
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=== पैरामीटर निर्धारित करना ===
=== पैरामीटर निर्धारित करना ===
[[Image:Catenary-tension.svg|350px|thumb|क्षैतिज बल के आधार पर समान दो बिंदुओं के माध्यम से तीन कैटेनरी {{mvar|T<sub>H</sub>}}.]]समान्यत: पैरामीटर {{mvar|a}} अक्ष की स्थिति है। इस स्थिति में समीकरण निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:<ref>Following Todhunter Art. 186</ref>
[[Image:Catenary-tension.svg|350px|thumb|क्षैतिज बल {{mvar|T<sub>H</sub>}} के आधार पर, समान दो बिंदुओं के माध्यम से तीन कैटेनरी।]]समान्यत: पैरामीटर {{mvar|a}}