कैटेनरी: Difference between revisions
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{{short description|Curve that an idealized hanging chain or cable assumes}} | {{short description|Curve that an idealized hanging chain or cable assumes}} | ||
[[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|बिंदुओं से लटकी हुई | [[File:Kette Kettenkurve Catenary 2008 PD.JPG|thumb|180px|right|बिंदुओं से लटकी हुई श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]] | ||
[[File:PylonsSunset-5982.jpg|thumb|180px|right|फ्री-हैंगिंग [[ ओवरहेड पावर लाइन ]] भी | [[File:PylonsSunset-5982.jpg|thumb|180px|right|फ्री-हैंगिंग [[ ओवरहेड पावर लाइन |ओवरहेड पावर लाइन]] भी कैटेनरी बनाती है (उच्च वोल्टेज लाइनों के साथ सबसे प्रमुख रूप से दिखाई देती है, और [[ तनाव इन्सुलेटर |तनाव इन्सुलेटर]] के पास कुछ अपूर्णता के साथ)।]] | ||
[[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|एक मकड़ी के जाले पर रेशम | [[File:SpiderCatenary.jpg|thumb|180px|right|एक मकड़ी के जाले पर रेशम अनेक लोचदार विरूपण कैटेनरी बनाते हैं।]]भौतिकी और [[ ज्यामिति |ज्यामिति]] में, '''कैटेनरी''' वह [[ वक्र |वक्र]] है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के [[ वजन |भार]] के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है। | ||
[[ कैटेनरी आर्क ]] में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह | [[ कैटेनरी आर्क | कैटेनरी आर्क]] में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है। | ||
वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और [[ कैटेनॉयड ]] के | वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और [[ कैटेनॉयड |कैटेनॉयड]] के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर वृत्ताकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है। | ||
कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है।<ref name="MathWorld">[[#MathWorld|MathWorld]]</ref> या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर<ref>''e.g.'': {{cite book| last = Shodek| first = Daniel L.| title = Structures| edition = 5th| year = 2004| publisher = Prentice Hall| isbn = 978-0-13-048879-4| oclc = 148137330| page = 22 }}</ref> रोप स्टैटिक्स | कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है।<ref name="MathWorld">[[#MathWorld|MathWorld]]</ref> या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर<ref>''e.g.'': {{cite book| last = Shodek| first = Daniel L.| title = Structures| edition = 5th| year = 2004| publisher = Prentice Hall| isbn = 978-0-13-048879-4| oclc = 148137330| page = 22 }}</ref> रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।<ref>{{cite web|url=https://mae.ufl.edu/~uhk/HANGING-ROPE.pdf |title=लटकती हुई रस्सी का आकार|website=Department of Mechanical & Aerospace Engineering - University of Florida |date=2017-05-02 |access-date=2020-06-04}}</ref> | ||
गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र | गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की [[ क्रांति की सतह |क्रांति की सतह]] , कैटेनॉयड, [[ न्यूनतम सतह |न्यूनतम सतह]] है, जो कि विशेष रूप से [[ क्रांति की न्यूनतम सतह |क्रांति की न्यूनतम सतह]] है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है।<ref>{{cite web|url=http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/7010/CM_02_CalculusVariations.html |title=विविधताओं की गणना|date=2015 |access-date=2019-05-03}}</ref> 1638 में [[ गैलिलियो गैलिली |गैलिलियो गैलिली]] ने [[ दो नए विज्ञान |दो नए विज्ञान]] की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन [[ रॉबर्ट हुक |रॉबर्ट हुक]] ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में [[ लाइबनिट्स |लाइबनिट्स]], [[ क्रिस्टियान ह्यूजेंस |क्रिस्टियान ह्यूजेंस]] और [[ जोहान बर्नौली |जोहान बर्नौली]] द्वारा प्राप्त किया गया था। | ||
वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी | वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी [[ स्टील कैटेनरी रिसर |स्टील कैटेनरी रिसर]] को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के मध्य निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह [[ अतिरिक्त रेखा |अतिरिक्त रेखा]] को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।) | ||
ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत | ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं।<ref>{{cite book |last1=Luo |first1=Xiangang |title=कैटेनरी ऑप्टिक्स|date=2019 |publisher=Springer |location=Singapore |isbn=978-981-13-4818-1 |doi=10.1007/978-981-13-4818-1 |s2cid=199492908 }}</ref> जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।<ref>{{Cite journal|last1=Bourke|first1=Levi|last2=Blaikie|first2=Richard J.|date=2017-12-01|title=अल्ट्रा-हाई एनए इंटरफेरेंस लिथोग्राफी के लिए हर्पिन प्रभावी मीडिया रेज़ोनेंट अंडरलेयर और रेजोनेंट ओवरलेयर डिज़ाइन|url=https://www.osapublishing.org/josaa/abstract.cfm?uri=josaa-34-12-2243|journal=JOSA A|language=EN|volume=34|issue=12|pages=2243–2249|doi=10.1364/JOSAA.34.002243|pmid=29240100|bibcode=2017JOSAA..34.2243B|issn=1520-8532}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Guo|first2=Yinghui|last3=Li|first3=Xiong|last4=Ma|first4=Xiaoliang|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-05|title=असाधारण युवा हस्तक्षेप का पुनरीक्षण: मेटासर्फ्स में कैटेनरी ऑप्टिकल फील्ड्स से स्पिन-ऑर्बिट इंटरेक्शन तक|journal=ACS Photonics|volume=5|issue=8|pages=3198–3204|language=en|doi=10.1021/acsphotonics.8b00437|s2cid=126267453 |issn=2330-4022}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Pu|first1=Mingbo|last2=Ma|first2=XiaoLiang|last3=Guo|first3=Yinghui|last4=Li|first4=Xiong|last5=Luo|first5=Xiangang|date=2018-07-23|title=कैटेनरी ऑप्टिकल क्षेत्र और फैलाव के आधार पर सूक्ष्म मेटा-सतह तरंगों का सिद्धांत|url=https://www.osapublishing.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-26-15-19555|journal=Optics Express|language=EN|volume=26|issue=15|pages=19555–19562|doi=10.1364/OE.26.019555|pmid=30114126|bibcode=2018OExpr..2619555P|issn=1094-4087|doi-access=free}}</ref> | ||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
[[File:GaudiCatenaryModel.jpg|thumb|250px|कासा मिला में एंटोनी गौडी का कैटेनरी मॉडल]]कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी समान्य रूप से [[ थॉमस जेफरसन ]] को उत्तरदाई ठहराया जाता है,<ref>{{cite web|url=http://www.pballew.net/arithme8.html#catenary |title=गणित के शब्दों में "कैटेनरी"|publisher=Pballew.net |date=1995-11-21 |access-date=2010-11-17}}</ref><ref>{{cite book| last = Barrow| first = John D.| title = 100 आवश्यक चीजें जो आप नहीं जानते थे आप नहीं जानते थे: गणित आपकी दुनिया की व्याख्या करता है| year = 2010| publisher = W. W. Norton & Company| isbn = 978-0-393-33867-6| page = [https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27 27]| url = https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27}}</ref> | [[File:GaudiCatenaryModel.jpg|thumb|250px|कासा मिला में एंटोनी गौडी का कैटेनरी मॉडल]]कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी समान्य रूप से [[ थॉमस जेफरसन | थॉमस जेफरसन]] को उत्तरदाई ठहराया जाता है,<ref>{{cite web|url=http://www.pballew.net/arithme8.html#catenary |title=गणित के शब्दों में "कैटेनरी"|publisher=Pballew.net |date=1995-11-21 |access-date=2010-11-17}}</ref><ref>{{cite book| last = Barrow| first = John D.| title = 100 आवश्यक चीजें जो आप नहीं जानते थे आप नहीं जानते थे: गणित आपकी दुनिया की व्याख्या करता है| year = 2010| publisher = W. W. Norton & Company| isbn = 978-0-393-33867-6| page = [https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27 27]| url = https://archive.org/details/100essentialthin0000barr/page/27}}</ref> | ||
जिन्होंने पुल के लिए | जिन्होंने पुल के लिए आर्क के निर्माण पर [[ थॉमस पेन |थॉमस पेन]] को पत्र में लिखा था: | ||
{{quote|वर्तमान में मुझे इटली से मेहराब के [[यांत्रिक संतुलन|संतुलन]] पर अब्बे माशेरोनी द्वारा लिखित एक ग्रंथ प्राप्त हुआ है। यह अत्यंत वैज्ञानिक कार्य प्रतीत होता है। मेरे पास अभी तक इसमें सम्मिलित होने का समय नहीं है; किन्तु मुझे लगता है कि उनके प्रदर्शनों का निष्कर्ष यह है कि कैटेनरी का हर भाग पूर्ण संतुलन में है।<ref>{{उद्धरण पुस्तक| अंतिम = जेफरसन| प्रथम = थॉमस| शीर्षक = थॉमस जेफरसन के संस्मरण, पत्राचार और निजी कागजात| यूआरएल = https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft| वर्ष = 1829| प्रकाशक = हेनरी कोलबुरा और रिचर्ड बर्टले| पेज = [https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft/page/419 419] }}</ref>}} | {{quote|वर्तमान में मुझे इटली से मेहराब के [[यांत्रिक संतुलन|संतुलन]] पर अब्बे माशेरोनी द्वारा लिखित एक ग्रंथ प्राप्त हुआ है। यह अत्यंत वैज्ञानिक कार्य प्रतीत होता है। मेरे पास अभी तक इसमें सम्मिलित होने का समय नहीं है; किन्तु मुझे लगता है कि उनके प्रदर्शनों का निष्कर्ष यह है कि कैटेनरी का हर भाग पूर्ण संतुलन में है।<ref>{{उद्धरण पुस्तक| अंतिम = जेफरसन| प्रथम = थॉमस| शीर्षक = थॉमस जेफरसन के संस्मरण, पत्राचार और निजी कागजात| यूआरएल = https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft| वर्ष = 1829| प्रकाशक = हेनरी कोलबुरा और रिचर्ड बर्टले| पेज = [https://archive.org/details/memoirscorrespon02jeffuoft/page/419 419] }}</ref>}} | ||
अधिकांशत: यह कहा जाता है<ref name="Lockwood124"/> कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि | अधिकांशत: यह कहा जाता है<ref name="Lockwood124"/> कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि लटकी हुई श्रृंखला का वक्र परवलयिक था। चूँकि, अपने दो नए विज्ञान (1638) में, गैलीलियो ने लिखा है कि लटकती हुई रस्सी केवल अनुमानित परवलय है, जो कि स्पष्ट रूप से यह देखते हुए कि यह अनुमान स्पष्टता में सुधार करता है क्योंकि वक्रता छोटी हो जाती है और लगभग स्पष्ट होती है जब ऊंचाई 45 डिग्री से कम होती है।<ref>{{cite book| last = Fahie| first = John Joseph| title = गैलीलियो, उनका जीवन और कार्य| url = https://archive.org/details/galileohislifea01fahigoog| year = 1903| publisher = J. Murray| pages = [https://archive.org/details/galileohislifea01fahigoog/page/n411 359]–360 }}</ref> तथ्य यह है कि श्रृंखला के बाद वक्र परवलय नहीं है [[ जोआचिम जुंगियस |जोआचिम जुंगियस]] (1587-1657) द्वारा सिद्ध किया गया था; यह परिणाम मरणोपरांत 1669 में प्रकाशित हुआ था।<ref name="Lockwood124">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 124</ref> | ||
आर्क के निर्माण के लिए कैटेनरी के आवेदन का श्रेय रॉबर्ट हुक को दिया जाता है, जिसका वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप सेंट पॉल कैथेड्रल के पुनर्निर्माण के संदर्भ में कैटेनरी की ओर संकेत करता है।<ref>{{Cite journal|jstor=532102 |title=स्मारक और सूक्ष्मदर्शी: प्रारंभिक रॉयल सोसाइटी में एक बड़े पैमाने पर वैज्ञानिक सोच|journal=Notes and Records of the Royal Society of London |volume=55 |issue=2 |pages=289–308 |first=Lisa |last=Jardine|year=2001 |doi=10.1098/rsnr.2001.0145 |s2cid=144311552 }}</ref> जो कि कुछ बहुत पुराने आर्क अनुमानित कैटेनरी हैं, जिनमें से उदाहरण [[ सीटीसिफॉन |सीटीसिफॉन]] में [[ तकी सीज़र |तकी सीज़र]] का आर्क है।<ref>{{cite book| last = Denny| first = Mark| title = सुपर स्ट्रक्चर्स: द साइंस ऑफ ब्रिजेज, बिल्डिंग्स, डैम्स एंड अदर फीट्स ऑफ इंजीनियरिंग| year = 2010| publisher = JHU Press| isbn = 978-0-8018-9437-4| pages = 112–113 }}</ref> | |||
1671 में, हुक ने [[ रॉयल सोसाइटी | रॉयल सोसाइटी]] को घोषणा की कि उन्होंने | 1671 में, हुक ने [[ रॉयल सोसाइटी |रॉयल सोसाइटी]] को घोषणा की कि उन्होंने आर्च के इष्टतम आकार की समस्या को हल कर दिया है, और 1675 में लैटिन विपर्यय के रूप में एन्क्रिप्टेड समाधान प्रकाशित किया गया था।<ref>[[cf.]] the anagram for [[Hooke's law]], which appeared in the next paragraph.</ref> जिसमे हेलियोस्कोप के उनके विवरण के परिशिष्ट में है ,<ref>{{cite web |url=http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml |title=आर्क डिजाइन|publisher=Lindahall.org |date=2002-10-28 |access-date=2010-11-17 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101113210736/http://www.lindahall.org/events_exhib/exhibit/exhibits/civil/design.shtml |archive-date=2010-11-13 }}</ref> जहां उन्होंने लिखा है कि उन्होंने भवन के लिए सभी प्रकार के मेहराबों का वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप पाया है। उन्होंने इस विपर्यय का समाधान प्रकाशित नहीं किया गया था<ref>The original anagram was ''abcccddeeeeefggiiiiiiiillmmmmnnnnnooprrsssttttttuuuuuuuux'': the letters of the Latin phrase, alphabetized.</ref> जिसे अपने जीवनकाल में, किन्तु 1705 में उनके निष्पादक ने इसे यूटी पेंडेट कॉन्टिनम फ्लेक्साइल, एसआईसी स्टैबिट कॉन्टिगुम रिगिडम इनवर्सम के रूप में प्रदान किया गया था, जिसका अर्थ है कि जैसे लचीली केबल लटकती है, वैसे ही व्युत्क्रम , आर्च के स्पर्श करने वाले टुकड़े खड़े हो जाते हैं। | ||
1691 में, [[ गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो | गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो]] , क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने [[ जैकब बर्नौली | जैकब बर्नौली]] द्वारा | 1691 में, [[ गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो |गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो]] , क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने [[ जैकब बर्नौली |जैकब बर्नौली]] द्वारा चुनौती के उत्तर में [[ समीकरण |समीकरण]] निकाला गया था;<ref name="Lockwood124" /> जिसे उनके समाधान जून 1691 के लिए [[ जर्नल ऑफ स्कॉलर्स |जर्नल ऑफ स्कॉलर्स]] में प्रकाशित किए गए थे।<ref>{{citation|first=C.|last=Truesdell|title=The Rotational Mechanics of Flexible Or Elastic Bodies 1638–1788: Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei Secundae|location=Zürich| | ||
url=https://books.google.com/books?id=gxrzm6y10EwC&pg=PA66|page=66|publisher=Orell Füssli|date=1960|isbn=9783764314415}}</ref><ref name="calladine">{{citation|first=C. R.|last=Calladine|title=An amateur's contribution to the design of Telford's Menai Suspension Bridge: a commentary on Gilbert (1826) 'On the mathematical theory of suspension bridges'|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A|date=2015-04-13|volume=373|issue=2039|page=20140346|doi=10.1098/rsta.2014.0346|pmid=25750153|pmc=4360092|bibcode=2015RSPTA.37340346C}}</ref> [[ डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) | डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ)]] ने 1697 में कैटेनरी पर | url=https://books.google.com/books?id=gxrzm6y10EwC&pg=PA66|page=66|publisher=Orell Füssli|date=1960|isbn=9783764314415}}</ref><ref name="calladine">{{citation|first=C. R.|last=Calladine|title=An amateur's contribution to the design of Telford's Menai Suspension Bridge: a commentary on Gilbert (1826) 'On the mathematical theory of suspension bridges'|journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A|date=2015-04-13|volume=373|issue=2039|page=20140346|doi=10.1098/rsta.2014.0346|pmid=25750153|pmc=4360092|bibcode=2015RSPTA.37340346C}}</ref> [[ डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) |डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ)]] ने 1697 में कैटेनरी पर ग्रंथ लिखा था<ref name="Lockwood124" /><ref>{{citation|first=Davidis|last=Gregorii|title=Catenaria|journal=Philosophical Transactions|volume=19|issue=231|date=August 1697|pages=637–652|doi=10.1098/rstl.1695.0114|doi-access=free}}</ref> जिसमें उन्होंने सही अंतर समीकरण की गलत व्युत्पत्ति प्रदान की गई थी।<ref name="calladine" /> | ||
[[ यूलर | यूलर]] ने 1744 में सिद्ध किया गया था कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर {{mvar|x}}-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम [[ सतह क्षेत्र | सतह क्षेत्र]] (कैटेनॉयड) की सतह देता है।<ref name="MathWorld" />[[ निकोलस फुस | निकोलस फुस]] ने 1796 में किसी भी बल के अनुसार | [[ यूलर | यूलर]] ने 1744 में सिद्ध किया गया था कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर {{mvar|x}}-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम [[ सतह क्षेत्र |सतह क्षेत्र]] (कैटेनॉयड) की सतह देता है।<ref name="MathWorld" />[[ निकोलस फुस | निकोलस फुस]] ने 1796 में किसी भी बल के अनुसार श्रृंखला के संतुलन का वर्णन करने वाले समीकरण दिए है।<ref>[[#Routh|Routh]] Art. 455, footnote</ref> | ||
== | == विपरीत कैटेनरी आर्क == | ||
भट्ठों के निर्माण में | इस प्रकार के भट्ठों के निर्माण में अधिकांशत: [[ कैटेनरी मेहराब |कैटेनरी आर्क]] का उपयोग किया जाता है। जिसमे वांछित वक्र बनाने के लिए, वांछित आयामों की लटकती श्रृंखला के आकार को ऐसे रूप में स्थानांतरित किया जाता है जिसे तब ईंटों या अन्य निर्माण पदार्थ की नियुक्ति के लिए गाइड के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>{{cite book| last1 = Minogue| first1 = Coll| last2 = Sanderson| first2 = Robert| title = लकड़ी से बने सिरेमिक: समकालीन अभ्यास| year = 2000| publisher = University of Pennsylvania| isbn = 978-0-8122-3514-2| page = 42 }}</ref><ref> | ||
{{cite book| last1 = Peterson| first1 = Susan| last2 = Peterson| first2 = Jan| title = The Craft and Art of Clay: A Complete Potter's Handbook| url = https://books.google.com/books?id=PAZR-A9Ra6EC&pg=PA208| year = 2003| publisher = Laurence King| isbn = 978-1-85669-354-7| page = 224 }}</ref> | {{cite book| last1 = Peterson| first1 = Susan| last2 = Peterson| first2 = Jan| title = The Craft and Art of Clay: A Complete Potter's Handbook| url = https://books.google.com/books?id=PAZR-A9Ra6EC&pg=PA208| year = 2003| publisher = Laurence King| isbn = 978-1-85669-354-7| page = 224 }}</ref> | ||
सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में [[ गेटवे आर्क |गेटवे आर्क]] को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है।<ref>{{Citation | last1=Osserman | first1=Robert | title=Mathematics of the Gateway Arch | url=https://www.ams.org/notices/201002/index.html | year=2010 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 | volume=57 | issue=2 | pages=220–229}}</ref> यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण {{math|1=''y'' = ''A'' cosh(''Bx'')}}, के साथ है जो कैटेनरी है यदि {{math|1=''AB'' = 1}}. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. [[ राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न |राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न]] नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त [[ भारित कैटेनरी |भारित कैटेनरी]] है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें मध्य में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं।<ref>{{cite journal| last = Hicks| first = Clifford B.| title = अतुल्य गेटवे आर्क: अमेरिका का सबसे शक्तिशाली राष्ट्रीय स्मारक| url = https://books.google.com/books?id=BuMDAAAAMBAJ&pg=PA89| volume = 120|date=December 1963| page = 89| issn = 0032-4558| issue = 6| journal = [[Popular Mechanics]] }}</ref><ref name="nrhpinv2">{{citation|url={{NHLS url|id=87001423}}|title=National Register of Historic Places Inventory-Nomination: Jefferson National Expansion Memorial Gateway Arch / Gateway Arch; or "The Arch"|year=1985 |first=Laura Soullière |last=Harrison |publisher=National Park Service }} and {{NHLS url|id=87001423|title=''Accompanying one photo, aerial, from 1975''|photos=y}} {{small|(578 KB)}}</ref> जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, [[ सुनहेरे कमान |सुनहेरे कमान]] है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है। | |||
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==कैटेनरी ब्रिज == | |||
[[File:Soderskar-bridge.jpg|thumb|right|250px|साधारण निलंबन पुल अनिवार्य रूप से मोटे केबल होते हैं, और कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।]] | |||
[[File:Puentedelabarra(below).jpg|thumb|right|250px|उरुग्वे के माल्डोनाडो में [[ लियोनेल वीरा ब्रिज |लियोनेल वीरा ब्रिज]] की तरह [[ तनावग्रस्त रिबन पुल |तनावग्रस्त रिबन पुल]] भी कठोर डेक में एम्बेडेड केबलों के साथ कैटेनरी वक्र का अनुसरण करते हैं।]]फ्री-हैंगिंग चेन में, चेन की लंबाई के संबंध में लगाया गया बल समान होता है, और इसलिए चेन कैटेनरी कर्व का अनुसरण करती है।<ref>{{cite book| first= Owen |last1=Byer|first2=Felix |last2=Lazebnik|first3=Deirdre L. |last3=Smeltzer|author3-link=Deirdre Smeltzer| title = यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए तरीके| url = https://books.google.com/books?id=QkuVb672dWgC&pg=PA210| date = 2010-09-02| publisher = MAA| isbn = 978-0-88385-763-2| page = 210 }}</ref> जिसे साधारण निलंबन पुल या कैटेनरी पुल के बारे में भी यही सच है, जहां सड़क मार्ग केबल का अनुसरण करता है।<ref>{{cite book| first= Leonardo|last= Fernández Troyano| title = ब्रिज इंजीनियरिंग: एक वैश्विक परिप्रेक्ष्य| url = https://books.google.com/books?id=0u5G8E3uPUAC&pg=PA514| year = 2003| publisher = Thomas Telford| isbn = 978-0-7277-3215-6| page = 514 }}</ref><ref>{{cite book| first1= W. |last1=Trinks|first2=M. H. |last2=Mawhinney|first3=R. A. |last3=Shannon|first4=R. J. |last4=Reed|first5=J. R. |last5=Garvey| title = औद्योगिक भट्टियां| url = https://books.google.com/books?id=EqRTAAAAMAAJ&pg=PA132| date = 2003-12-05| publisher = Wiley| isbn = 978-0-471-38706-0| page = 132 }}</ref> | |||
एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।<ref>{{cite book| first= John S. |last=Scott| title = सिविल इंजीनियरिंग का शब्दकोश| date = 1992-10-31| publisher = Springer| isbn = 978-0-412-98421-1| page = 433 }}</ref><ref>{{cite journal|journal=[[Architects' Journal]] |volume=207 |date=1998 |page=51}}</ref> | |||
चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के भार का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का भार समर्थित भार की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के मध्य होता है।<ref name="Lockwood122">[[#Lockwood|Lockwood]] p. 122</ref><ref> | |||
चूँकि , एक निलंबित सड़क के साथ एक | |||
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|title=Hanging With Galileo | |title=Hanging With Galileo | ||
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[[File:Comparison catenary parabola.svg|thumb|none|400px|एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और | [[File:Comparison catenary parabola.svg|thumb|none|400px|एक कैटेनरी आर्च (ब्लैक डॉटेड कर्व) और परवलयिक आर्क (लाल सॉलिड कर्व) की तुलना ही स्पैन और सैग के साथ। कैटेनरी साधारण सस्पेंशन ब्रिज, या सस्पेंडेड-डेक सस्पेंशन ब्रिज की केबल का प्रतिनिधित्व करता है, जिस पर इसके डेक और हैंगर में केबल की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। परवलय निलंबित-डेक निलंबन पुल के केबल के प्रोफाइल का प्रतिनिधित्व करता है जिस पर इसके केबल और हैंगर के डेक की तुलना में नगण्य द्रव्यमान होता है। ही स्पैन और सैग के साथ वास्तविक सस्पेंशन ब्रिज के केबल का प्रोफाइल दो कर्व्स के मध्य स्थित होता है। कैटेनरी और परवलय समीकरण क्रमशः {{math|1=''y'' = cosh(''x'')}} तथा {{math|1=''y'' =''x''<sup>2</sup>}} हैं, ]] | ||
==समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग== | ==समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग== | ||
[[File:Catenary.PNG|thumb|right|250px| | [[File:Catenary.PNG|thumb|right|250px|एंकर पर खींचने के कम कोण के साथ भारी एंकर श्रृंखला कैटेनरी बनाती है।]]गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए। | ||
जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे जल में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।<ref>{{cite web|url=http://www.petersmith.net.nz/boat-anchors/catenary.php |title=चेन, रस्सी और कैटेनरी - छोटी नावों के लिए लंगर प्रणाली|publisher=Petersmith.net.nz |access-date=2010-11-17}}</ref> | |||
==गणितीय विवरण== | ==गणितीय विवरण== | ||