पॉसों वितरण: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| (9 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{short description|Discrete probability distribution}} | {{short description|Discrete probability distribution}} | ||
संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना{{r|Haight1967}} इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन ({{IPAc-en|'|p|w|ɑː|s|ɒ|n}}; {{IPA-fr|pwasɔ̃}}) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। | संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, '''पॉइसन वितरण''' असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना{{r|Haight1967}} इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन ({{IPAc-en|'|p|w|ɑː|s|ɒ|n}}; {{IPA-fr|pwasɔ̃}}) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। | ||
उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत | उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कुछ संभावना है और बहुत कुछ संभावना है यह 10 हो सकता है. | ||
एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या है। | एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या होती है। | ||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था।{{r|Poisson1837|p=205-207}} इस फलन ने कुछ यादृच्छिक | वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था।{{r|Poisson1837|p=205-207}} इस फलन ने कुछ यादृच्छिक वेरिएबल पर {{mvar|N }} ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातबं के अतिरिक्त दी गई लंबाई के [[समय]]-अंतराल के समय होने वाली भिन्न-भिन्न घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में [[अब्राहम डी मोइवरे]] द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है।{{r|deMoivre1711|p=219}}{{r|deMoivre1718|p=14-15}}{{r|deMoivre1721|p=193}}{{r|Johnson2005|p=157}} यह इसे स्टिगलर के नियम का उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।{{r|Stigler1982|Hald1984}} | ||
1860 में, [[साइमन न्यूकॉम्ब]] ने | 1860 में, [[साइमन न्यूकॉम्ब]] ने स्पेस की इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था।{{r|Newcomb1860}} इस वितरण का और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में [[लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़]] द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था;{{r|vonBortkiewitsch1898|p=23-25}} इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था । | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
| Line 16: | Line 16: | ||
===प्रायिकता द्रव्यमान फलन=== | ===प्रायिकता द्रव्यमान फलन=== | ||
एक असतत यादृच्छिक | एक असतत यादृच्छिक वेरिएबल {{mvar|X}} को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर <math>\lambda>0,</math> के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन दिया गया है:{{r|Yates2014|p=60}} | ||
:<math>f(k; \lambda) = \Pr(X{=}k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},</math> | :<math>f(k; \lambda) = \Pr(X{=}k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},</math> | ||
जहाँ | जहाँ | ||
| Line 23: | Line 23: | ||
* {{math|!}} भाज्य फलन है. | * {{math|!}} भाज्य फलन है. | ||
धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|λ}} {{mvar|X}} के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।<ref>For the proof, see: | |||
[[proofwiki:Expectation of Poisson Distribution|Proof wiki: expectation]] and [[proofwiki:Variance of Poisson Distribution|Proof wiki: variance]]</ref> | [[proofwiki:Expectation of Poisson Distribution|Proof wiki: expectation]] and [[proofwiki:Variance of Poisson Distribution|Proof wiki: variance]]</ref> | ||
:<math>\lambda = \operatorname{E}(X) = \operatorname{Var}(X).</math> | :<math>\lambda = \operatorname{E}(X) = \operatorname{Var}(X).</math> | ||
| Line 34: | Line 34: | ||
===उदाहरण=== | ===उदाहरण=== | ||
[[File:Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.JPG|thumb|alt=Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.|फुटपाथ पर च्युइंग गम चबाना। टाइल पर च्युइंग गम की संख्या लगभग पॉइसन वितरित होती है।]]पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है: | [[File:Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.JPG|thumb|alt=Chewing gum on a sidewalk in Reykjavík.|फुटपाथ पर च्युइंग गम चबाना। में टाइल पर च्युइंग गम की संख्या लगभग पॉइसन वितरित होती है।]]पॉइसन वितरण निम्नलिखित घटनाओं को मॉडल करने के लिए उपयोगी हो सकता है: | ||
* एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या हैं| | * एक वर्ष में पृथ्वी से टकराने वाले 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या हैं| | ||
* एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या होती हैं| | * एक विशेष समय अंतराल में डिटेक्टर से टकराने वाले लेजर फोटॉनों की संख्या होती हैं| | ||
| Line 43: | Line 43: | ||
*{{mvar|k}} किसी अंतराल में किसी घटना के घटित होने की संख्या है और {{mvar|k}} मान 0, 1, 2,.. ले सकता है। | *{{mvar|k}} किसी अंतराल में किसी घटना के घटित होने की संख्या है और {{mvar|k}} मान 0, 1, 2,.. ले सकता है। | ||
* एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती हैं। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं। | * एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना घटित होने की संभावना प्रभावित नहीं होती हैं। अर्थात् घटनाएँ स्वतंत्र रूप से घटित होती हैं। | ||
* घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे सामान्यतः स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें | * घटनाएँ घटित होने की औसत दर किसी भी घटना से स्वतंत्र होती है। सरलता के लिए, इसे सामान्यतः स्थिर माना जाता है, किंतु व्यवहार में समय के साथ इसमें परिवर्तन हो सकता है। | ||
* दो घटनाएँ बिल्कुल ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं | * दो घटनाएँ बिल्कुल ही क्षण में घटित नहीं हो सकतीं हैं| इसके अतिरिक्त , प्रत्येक बहुत छोटे उप-अंतराल पर, या तब बिल्कुल घटना घटती है, या कोई घटना नहीं घटती है। | ||
यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब {{mvar|k}} पॉइसन यादृच्छिक | यदि ये स्थितियाँ सत्य हैं, तब {{mvar|k}} पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल होता है, और {{mvar|k}} का वितरण पॉइसन वितरण होता है। | ||
पॉइसन वितरण भी [[द्विपद वितरण]] की [[सीमा (गणित)]] है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित {{mvar|λ}} समान होती है | यदि पॉइसन वितरण भी [[द्विपद वितरण]] की [[सीमा (गणित)]] होती है, जिसके लिए प्रत्येक परीक्षण की सफलता की संभावना परीक्षणों की संख्या से विभाजित {{mvar|λ}} समान होती है चूँकि परीक्षणों की संख्या अनंत तक पहुंचती है (या संबंधित वितरण देखें)। | ||
==== पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण ==== | ==== पॉइसन वितरण के लिए संभाव्यता के उदाहरण ==== | ||
| Line 88: | Line 88: | ||
{{col-begin|gap=5em}} | {{col-begin|gap=5em}} | ||
{{col-break}} | {{col-break}} | ||
मारिया डोलोरेस उगार्टे और सहकर्मियों की रिपोर्ट है कि विश्व कप फुटबॉल मैच में गोलों की औसत संख्या लगभग 2.5 है और पॉइसन मॉडल उपयुक्त है।{{r|Ugarte2016}} | मारिया डोलोरेस उगार्टे और सहकर्मियों की रिपोर्ट है कि विश्व कप फुटबॉल मैच में गोलों की औसत संख्या लगभग 2.5 होती है और पॉइसन मॉडल उपयुक्त होता है।{{r|Ugarte2016}} | ||
चूँकि औसत घटना दर प्रति मैच 2.5 गोल है, {{mvar|λ}} = 2.5 . | चूँकि औसत घटना दर प्रति मैच 2.5 गोल होते है, {{mvar|λ}} = 2.5 . | ||
: <math> P(k \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!}</math> | : <math> P(k \text{ goals in a match}) = \frac{2.5^k e^{-2.5}}{k!}</math> | ||
| Line 122: | Line 122: | ||
====अंतराल में बार होने वाली घटनाएँ: का विशेष स्थितिया {{mvar|λ}}=1 और {{mvar|k}} = 0 ==== | ====अंतराल में बार होने वाली घटनाएँ: का विशेष स्थितिया {{mvar|λ}}=1 और {{mvar|k}} = 0 ==== | ||
मान लीजिए कि खगोलविदों का अनुमान है कि बड़े उल्कापिंड (एक निश्चित आकार से ऊपर) | मान लीजिए कि खगोलविदों का अनुमान है कि बड़े उल्कापिंड (एक निश्चित आकार से ऊपर) होते हैं और यहऔसतन प्रत्येक 100 वर्ष में एक बार पृथ्वी से टकराते हैं ({{nobr| {{mvar|λ}} {{=}} 1 }}प्रति 100 वर्ष घटना), और यह कि उल्कापिंड के टकराने की संख्या पॉइसन वितरण के अनुसार होती है। अगले 100 वर्षों में {{nobr| {{mvar|k}} {{=}} 0 }} उल्कापिंड के टकराने की संभावना क्या है? | ||
: <math> P(k = \text{0 meteorites hit in next 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37.</math> | : <math> P(k = \text{0 meteorites hit in next 100 years}) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = \frac{1}{e} \approx 0.37.</math> | ||
इन धारणाओं के अनुसार, संभावना है कि अगले 100 वर्षों में कोई बड़ा उल्कापिंड पृथ्वी से नहीं टकराएगा, लगभग 0.37 है। शेष {{nobr|1 − 0.37 {{=}} 0.63}} अगले 100 वर्षों में 1, 2, 3 या अधिक बड़े उल्कापिंडों के टकराने की संभावना है। उपरोक्त उदाहरण में, | इन धारणाओं के अनुसार, संभावना है कि अगले 100 वर्षों में कोई बड़ा उल्कापिंड पृथ्वी से नहीं टकराएगा, यह लगभग 0.37 होता है। शेष {{nobr|1 − 0.37 {{=}} 0.63}} और इसमें अगले 100 वर्षों में 1, 2, 3 या अधिक बड़े उल्कापिंडों के टकराने की संभावना है। उपरोक्त उदाहरण में, प्रत्येक 100 वर्ष में एक बार अतिप्रवाह बाढ़ आती है और {{nobr|({{mvar|λ}} {{=}} 1).}} इसी गणना के अनुसार, 100 वर्षों में अतिप्रवाह बाढ़ न आने की संभावना लगभग 0.37 होती थी। | ||
सामान्यतः, यदि कोई घटना प्रति अंतराल में औसतन बार घटित होती है ({{mvar|λ}} = 1), और घटनाएँ पॉइसन वितरण का अनुसरण करती हैं {{nobr|{{mvar|P}}(अगले अंतराल में 0 घटनाएं {{=}} 0.37.}}हैं| इसके साथ ही, {{nobr|{{mvar|P}}(अगले अंतराल में बिल्कुल एक घटना) {{=}} 0.37,}} हैं |जैसा कि अतिप्रवाह बाढ़ के लिए तालिका में दिखाया गया है। | सामान्यतः, यदि कोई घटना प्रति अंतराल में औसतन बार घटित होती है ({{mvar|λ}} = 1), और यह घटनाएँ पॉइसन वितरण का अनुसरण करती हैं और {{nobr|{{mvar|P}}(अगले अंतराल में 0 घटनाएं {{=}} 0.37.}} होता हैं| इसके साथ ही, {{nobr|{{mvar|P}}(अगले अंतराल में बिल्कुल एक घटना) {{=}} 0.37,}} होती हैं |जैसा कि अतिप्रवाह बाढ़ के लिए तालिका में दिखाया गया है। | ||
=== उदाहरण जो पॉइसन मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं === | === उदाहरण जो पॉइसन मान्यताओं का उल्लंघन करते हैं === | ||
प्रति मिनट [[छात्र केंद्र]] पर पहुंचने वाले छात्रों की संख्या संभवतः पॉइसन वितरण का पालन नहीं करेगी, | प्रति मिनट [[छात्र केंद्र]] पर पहुंचने वाले छात्रों की संख्या संभवतः पॉइसन वितरण का पालन नहीं करेगी, चूँकि इसकी दर स्थिर नहीं होती है और (कक्षा समय के समय कुछ दर, कक्षा समय के मध्य उच्च दर) और व्यक्तिगत छात्रों का आगमन स्वतंत्र नहीं होता है| और (छात्र समूहों में आते हैं)। इस प्रकार गैर-निरंतर आगमन दर को [[मिश्रित पॉइसन वितरण]] के रूप में और व्यक्तिगत छात्रों के अतिरिक्त समूहों के आगमन को मिश्रित पॉइसन प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है। | ||
किसी देश में प्रति वर्ष 5 तीव्रता वाले भूकंपों की संख्या पॉइसन वितरण के अनुरूप नहीं हो सकती है, यदि बड़ा भूकंप समान तीव्रता के झटकों की संभावना को बढ़ा देता है। | किसी देश में प्रति वर्ष 5 तीव्रता वाले भूकंपों की संख्या पॉइसन वितरण के अनुरूप नहीं हो सकती है, यदि बड़ा भूकंप समान तीव्रता के झटकों की संभावना को बढ़ा देता है। | ||
ऐसे उदाहरण जिनमें | ऐसे उदाहरण जिनमें कुछ से कुछ घटना की गारंटी होती है, और यह पॉइसन वितरित नहीं होती हैं; किंतु इसे शून्य-ट्रंकेटेड पॉइसन वितरण का उपयोग करके मॉडल को तैयार किया जा सकता है। | ||
ऐसे वितरणों की गणना करें जिनमें शून्य घटनाओं वाले अंतरालों की संख्या पॉइसन मॉडल द्वारा अनुमानित की तुलना में अधिक है, शून्य-'''फुलाए''' गए मॉडल का उपयोग करके मॉडलिंग की जा सकती है। | इस प्रकार ऐसे वितरणों की गणना करें जिनमें शून्य घटनाओं वाले अंतरालों की संख्या पॉइसन मॉडल द्वारा अनुमानित की तुलना में अधिक होती है,और शून्य-'''फुलाए''' गए मॉडल का उपयोग करके मॉडलिंग की जा सकती है। | ||
=== वर्णनात्मक आँकड़े === | === वर्णनात्मक आँकड़े === | ||
* पॉइसन-वितरित यादृच्छिक | * पॉइसन-वितरित यादृच्छिक वेरिएबल का अपेक्षित मान और विचरण दोनों {{mvar|λ}} समान होते हैं| . | ||
* भिन्नता का गुणांक <math display="inline"> \lambda^{-1/2},</math>है जबकि [[फैलाव का सूचकांक]] 1 है।{{r|Johnson2005|p=163}} | * भिन्नता का गुणांक <math display="inline"> \lambda^{-1/2},</math>होता है जबकि [[फैलाव का सूचकांक]] 1 है।{{r|Johnson2005|p=163}} | ||
* माध्य के सापेक्ष माध्य निरपेक्ष विचलन है{{r|Johnson2005|p=163}} <math display="block">\operatorname{E}[\ |X-\lambda|\ ]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.</math> | * माध्य के सापेक्ष माध्य निरपेक्ष विचलन होता है| {{r|Johnson2005|p=163}} <math display="block">\operatorname{E}[\ |X-\lambda|\ ]= \frac{2 \lambda^{\lfloor\lambda\rfloor + 1} e^{-\lambda}}{\lfloor\lambda\rfloor!}.</math> | ||
* गैर-पूर्णांक {{mvar|λ}} के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक | * गैर-पूर्णांक {{mvar|λ}} के साथ पॉइसन-वितरित यादृच्छिक वेरिएबल का [[मोड (सांख्यिकी)]] <math>\lfloor \lambda \rfloor,</math> के समान होता है जो {{mvar|λ}} इससे कुछ या इसके समान का सबसे बड़ा पूर्णांक है . इसे [[फर्श समारोह|फर्श फलन]] ({{mvar|λ}}) के रूप में भी लिखा जाता है और जब {{mvar|λ}} धनात्मक पूर्णांक होता है, तब मोड {{mvar|λ}} बहुलक हैं और {{mvar|λ}} − 1 बहुलक होता हैं| | ||
* पॉइसन वितरण के सभी संचयक अपेक्षित मूल्य {{mvar|λ}} के समान हैं | * पॉइसन वितरण के सभी संचयक अपेक्षित मूल्य {{mvar|λ}} के समान हैं| और वह {{mvar|n}} पॉइसन वितरण का {{mvar|n}}वां [[तथ्यात्मक क्षण]] {{mvar|λ}}{{sup| {{mvar|n}} }} होता है| | ||
* [[पॉइसन प्रक्रिया]] का अपेक्षित मूल्य कभी-कभी तीव्रता और एक्सपोज़र के उत्पाद में विघटित हो जाता है (या सामान्यतः समय या सम्मिस्ट पर तीव्रता फलन के अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे कभी-कभी एक्सपोज़र के रूप में वर्णित किया जाता है)।{{r|Helske2017}} | * [[पॉइसन प्रक्रिया]] का अपेक्षित मूल्य कभी-कभी तीव्रता और एक्सपोज़र के उत्पाद में विघटित हो जाता है| और इस प्रकार (या सामान्यतः समय या सम्मिस्ट पर तीव्रता फलन के अभिन्न अंग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसे कभी-कभी एक्सपोज़र के रूप में वर्णित किया जाता है)।{{r|Helske2017}} | ||
=== माध्यिका === | === माध्यिका === | ||
माध्यिका के लिए सीमा (<math>\nu</math>) के वितरण ज्ञात हैं और यह गणितीय शब्दजाल या तीव्र होते हैं:{{r|Choi1994}} | माध्यिका के लिए सीमा (<math>\nu</math>) के वितरण ज्ञात होते हैं और यह गणितीय शब्दजाल या तीव्र होते हैं:{{r|Choi1994}} | ||
<math display="block">\lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}.</math> | <math display="block">\lambda - \ln 2 \le \nu < \lambda + \frac{1}{3}.</math> | ||
=== उच्चतर क्षण === | === उच्चतर क्षण === | ||
उच्च गैर-केन्द्रित [[क्षण (गणित)]], पॉइसन वितरण के {{mvar|m}}<sub>{{mvar|k}}</sub> , {{mvar|λ}} में, [[टचर्ड बहुपद]] हैं| <math display="block"> m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix},</math> जहां | उच्च गैर-केन्द्रित [[क्षण (गणित)]], पॉइसन वितरण के {{mvar|m}}<sub>{{mvar|k}}</sub> , {{mvar|λ}} में, [[टचर्ड बहुपद]] होते हैं| <math display="block"> m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix},</math> जहां ब्रेसिज़ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं।{{r|Riordan1937}}{{r|Haight1967|p=6}} वही बहुपदों के गुणांकों का संयोजक अर्थ होता है। और वास्तव में, जब पॉइसन वितरण का अपेक्षित मूल्य 1 के समान होता है, तब डोबिंस्की का सूत्र कहता है कि {{mvar|n}}‑वां क्षण आकार {{mvar|n}} के समुच्चय के विभाजन की संख्या के समान होता है| | ||
और यह साधारण सीमा होती है|<ref>{{cite journal |last1=D. Ahle |first1=Thomas | year=2022 |title=द्विपद और पॉइसन वितरण के कच्चे क्षणों के लिए तीव्र और सरल सीमाएं| journal=Statistics & Probability Letters | volume=182 |page=109306 | doi=10.1016/j.spl.2021.109306 |arxiv=2103.17027 }}</ref> | |||
<math display="block">m_k = E[X^k] \le | <math display="block">m_k = E[X^k] \le | ||
\left(\frac{k}{\log(k/\lambda+1)}\right)^k \le \lambda^k \exp\left(\frac{k^2}{2\lambda}\right).</math> | \left(\frac{k}{\log(k/\lambda+1)}\right)^k \le \lambda^k \exp\left(\frac{k^2}{2\lambda}\right).</math> | ||
=== पॉइसन-वितरित यादृच्छिक | === पॉइसन-वितरित यादृच्छिक वेरिएबल का योग === | ||
यदि <math>i=1,\dotsc,n</math> के लिए <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> स्वतंत्र हैं, तब <math display="inline">\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).</math>{{r|Lehmann1986|p=65}} व्युत्क्रम रायकोव का प्रमेय है, जो कहता है कि यदि दो स्वतंत्र यादृच्छिक | यदि <math>i=1,\dotsc,n</math> के लिए <math>X_i \sim \operatorname{Pois}(\lambda_i)</math> स्वतंत्र होते हैं, तब <math display="inline">\sum_{i=1}^n X_i \sim \operatorname{Pois}\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i\right).</math>{{r|Lehmann1986|p=65}} व्युत्क्रम रायकोव का प्रमेय होता है, जो कहता है कि यदि दो स्वतंत्र यादृच्छिक वेरिएबल का योग पॉइसन-वितरित है, तब उन दो में प्रत्येक स्वतंत्र वेरिएबल जैसे होते हैं तब यादृच्छिक वेरिएबल भी वैसा ही होता है।{{r|Raikov1937}}{{r|vonMises1964|p=}} | ||
=== अन्य गुण === | === अन्य गुण === | ||
* पॉइसन वितरण [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] संभाव्यता वितरण हैं।{{r|Laha1979|p=233}}{{r|Johnson2005|p=164}} | * पॉइसन वितरण [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] संभाव्यता वितरण होता हैं।{{r|Laha1979|p=233}}{{r|Johnson2005|p=164}} | ||
*<math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math> से <math>\operatorname{Pois}(\lambda_0)</math> का निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन द्वारा दिया गया है<math display="block">\operatorname{D}_{\text{KL}}(\lambda\mid\lambda_0) = \lambda_0 - \lambda + \lambda \log \frac{\lambda}{\lambda_0}.</math> | *<math>\operatorname{Pois}(\lambda)</math> से <math>\operatorname{Pois}(\lambda_0)</math> का निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन द्वारा दिया गया है<math display="block">\operatorname{D}_{\text{KL}}(\lambda\mid\lambda_0) = \lambda_0 - \lambda + \lambda \log \frac{\lambda}{\lambda_0}.</math> | ||
*यदि<math>\lambda \geq 1</math> पूर्णांक है,तब <math>Y\sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> <math>\Pr(Y \geq E[Y]) \geq \frac{1}{2}</math> और <math>\Pr(Y \leq E[Y]) \geq \frac{1}{2}.</math> को संतुष्ट करता है।<ref>{{cite book |last=Mitzenmacher |first=Michael |date=2017 |others=Eli Upfal |title=Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis |isbn=978-1-107-15488-9 |edition=2nd |location=Cambridge, UK |at=Exercise 5.14 |oclc=960841613}}</ref> | *यदि<math>\lambda \geq 1</math> पूर्णांक है,तब <math>Y\sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> <math>\Pr(Y \geq E[Y]) \geq \frac{1}{2}</math> और <math>\Pr(Y \leq E[Y]) \geq \frac{1}{2}.</math> को संतुष्ट करता है।<ref>{{cite book |last=Mitzenmacher |first=Michael |date=2017 |others=Eli Upfal |title=Probability and computing: Randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis |isbn=978-1-107-15488-9 |edition=2nd |location=Cambridge, UK |at=Exercise 5.14 |oclc=960841613}}</ref> | ||
* पॉइसन यादृच्छिक | * पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल की अंतिम संभावनाओं के लिए सीमाएं <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> [[चेर्नॉफ़ बाध्य]] तर्क का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। | ||
*पॉइसन यादृच्छिक | *पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> की अंतिम संभावनाओं की सीमाएं <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> तर्क का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती हैं। {{r|Mitzenmacher2005|p=97-98}}<math display="block">P(X \geq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda}}{x^x}, \text{ for } x > \lambda,</math> <math display="block">P(X \leq x) \leq \frac{(e \lambda)^x e^{-\lambda} }{x^x}, \text{ for } x < \lambda.</math> | ||
* | * अपर टेल की संभावना को निम्नानुसार (कुछ से कुछ दो के कारक द्वारा) कड़ा किया जा सकता है|{{r|Short2013}} <math display="block">P(X \geq x) \leq \frac{e^{-\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}}{\max{(2, \sqrt{4\pi\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)}})}, \text{ for } x > \lambda,</math> जहाँ <math>\operatorname{D}_{\text{KL}}(x\mid\lambda)</math> निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन है। जैसा कि ऊपर वर्णित हुआ है| | ||
* असमानताएं जो पॉइसन यादृच्छिक | * असमानताएं जो पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल <math> X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> के वितरण फलन को [[मानक सामान्य वितरण]] फलन <math> \Phi(x) </math> से संबंधित करती हैं वे इस प्रकार होते हैं| {{r|Short2013}} <math display="block"> \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)}\right) < P(X \leq k) < \Phi\left(\operatorname{sign}(k-\lambda+1)\sqrt{2\operatorname{D}_{\text{KL}}(k+1\mid\lambda)}\right), \text{ for } k > 0,</math> जहाँ <math>\operatorname{D}_{\text{KL}}(k\mid\lambda)</math> यह फिर से निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर विचलन होता है। | ||
=== पॉइसन | === पॉइसन रेस === | ||
मान लीजिए कि<math>X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> और <math>Y \sim \operatorname{Pois}(\mu)</math> स्वतंत्र यादृच्छिक वेरिएबल हैं,<math> \lambda < \mu,</math> के साथ तब हमारे पास वह है|<math display="block"> | |||
मान लीजिए कि<math>X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)</math> और <math>Y \sim \operatorname{Pois}(\mu)</math> स्वतंत्र यादृच्छिक | |||
\frac{e^{-(\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2 }}{(\lambda + \mu)^2} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{2\sqrt{\lambda \mu}} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{4\lambda \mu} \leq P(X - Y \geq 0) \leq e^{- (\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2} | \frac{e^{-(\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2 }}{(\lambda + \mu)^2} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{2\sqrt{\lambda \mu}} - \frac{e^{-(\lambda + \mu)}}{4\lambda \mu} \leq P(X - Y \geq 0) \leq e^{- (\sqrt{\mu} -\sqrt{\lambda})^2} | ||
</math> | </math> | ||
ऊपरी सीमा को मानक चेर्नॉफ़ बाउंड का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। | ऊपरी सीमा को मानक चेर्नॉफ़ बाउंड का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। | ||
निचली सीमा को यह नोट करके सिद्ध किया जा सकता है कि<math> P(X-Y\geq0\mid X+Y=i)</math>संभावना यह है कि <math display="inline">Z \geq \frac{i}{2},</math> जहाँ है | निचली सीमा को यह नोट करके सिद्ध किया जा सकता है कि<math> P(X-Y\geq0\mid X+Y=i)</math>संभावना यह है कि <math display="inline">Z \geq \frac{i}{2},</math> जहाँ होता है| | ||
<math display="inline">Z \sim \operatorname{Bin}\left(i, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right),</math> जो नीचे <math display="inline"> \frac{1}{(i+1)^2} e^{-iD\left(0.5 \| \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)},</math> से घिरा है जहां <math>D</math> सापेक्ष एन्ट्रॉपी है (विवरण के लिए द्विपद वितरण की | <math display="inline">Z \sim \operatorname{Bin}\left(i, \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right),</math> जो नीचे <math display="inline"> \frac{1}{(i+1)^2} e^{-iD\left(0.5 \| \frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)},</math> से घिरा है जहां <math>D</math> सापेक्ष एन्ट्रॉपी है (विवरण के लिए द्विपद वितरण की टेल पर सीमा पर प्रविष्टि देखें) जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त यह ध्यान में रखते हुए कि <math> X+Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda+\mu),</math> और बिना परंतु संभाव्यता पर निचली सीमा की गणना करने से परिणाम मिलता रहता है। और अधिक विवरण कामथ एट अल के परिशिष्ट में पाया जा सकता है | {{r|Kamath2015}} | ||
== संबंधित वितरण == | == संबंधित वितरण == | ||
=== अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में === | === अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में === | ||
पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है | पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है चूँकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है और सफलताओं की अपेक्षित मूल्य संख्या निश्चित रहती है| - नीचे दुर्लभ घटनाओं का नियम देखें। इसलिए, इसका उपयोग द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है यदि {{mvar|n}} पर्याप्त रूप से बड़ा होता है और p पर्याप्त रूप से छोटा होता है। यदि n कुछ से कुछ 20 है और p 0.05 से छोटा या उसके समान है, तब पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का अच्छा सन्निकटन होता है, और यदि {{mvar|n}} ≥ 100 और {{mvar|n p}} ≤ 10 है तब यहाँ उत्कृष्ट सन्निकटन होता है। {{r|NIST2006}} <math display="block">F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)</math> | ||
===सामान्य=== | ===सामान्य=== | ||
* यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, फिर अंतर <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है। | * यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र होता हैं, फिर अंतर <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है। | ||
*यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math>स्वतंत्र हैं, तब <math>X_1+X_2</math> पर | *यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math>स्वतंत्र हैं, तब <math>X_1+X_2</math> पर परंतु <math>X_1</math> का वितरण द्विपद वितरण होता है। | ||
* विशेष रूप से, यदि <math>X_1+X_2=k,</math> तब <math>X_1| X_1+X_2=k\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)).</math> अधिक सामान्यतः, यदि ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>n</sub> मापदंडों के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक | * विशेष रूप से, यदि <math>X_1+X_2=k,</math> तब <math>X_1| X_1+X_2=k\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)).</math> अधिक सामान्यतः, यदि ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>n</sub> मापदंडों के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक वेरिएबल होते हैं {{mvar|λ}}<sub>1</sub>, {{mvar|λ}}<sub>2</sub>, ..., {{mvar|λ}}<sub>{{mvar|n}}</sub> तब | ||
*: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में | *: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में ह | ||