लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन

The product logarithm Lambert W function plotted in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i

वास्तविक x < 6 और y > −4 के लिए y = W(x) का ग्राफ। उपरोक्त शाखा (नीला) y ≥ −1 के साथ फ़ंक्शन W₀ (मुख्य शाखा) का ग्राफ़ तथा निचली शाखा (मैजेंटा) y ≤ −1 के साथ फ़ंक्शन W₋₁का ग्राफ़ है। x का न्यूनतम मान {−1/e,−1} पर है।

गणित में, लैम्बर्ट W फ़ंक्शन, जिसे ओमेगा फलन या उत्पाद लघुगणक भी कहा जाता है, एक बहुमान फलन, अर्थात् f(w) = we^w के विपरीत संबंध की शाखाएं है, जहाँ w कोई समिश्र संख्या है और e^w घातांकीय फलन है।

प्रत्येक पूर्णांक k के लिए एक शाखा होती है, जिसे W_k(z) द्वारा दर्शाया जाता है, जो एक समिश्र तर्क का एक समिश्र-मान फलन है। W₀ को प्रमुख शाखा के रूप में जाना जाता है। इन फलनों में निम्नलिखित गुणधर्म हैं: यदि z और w कोई सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो

$we^{w}=z$

यदि और केवल यदि धारण करता है

$w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.$

वास्तविक संख्याओं के साथ व्यवहार करते समय केवल दो शाखाएँ W₀ और W₋₁ पर्याप्त हैं: वास्तविक संख्याओं x और y के लिए समीकरण

$ye^{y}=x$

y के लिए केवल तभी हल किया जा सकता है यदि x ≥ −1/e; हमें y = W₀(x) प्राप्त होता है यदि x ≥ 0 और दो मान y = W₀(x) और y = W₋₁(x) अगर −1/e ≤ x < 0 है।

लैंबर्ट W संबंध को प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यह साहचर्य में उपयोगी है, उदाहरण के लिए वृक्ष ग्राफ की गणना में। इसका उपयोग घातांक से संबंधित विभिन्न समीकरणों (जैसे प्लैंक, बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक वितरण की अधिकतम सीमा) को हल करने के लिए किया जा सकता है और यह y′(t) = a y(t − 1) जैसे विलंब अवकल समीकरणों के हल में भी होता है। जैव रसायन और विशेष रूप से एंजाइम काइनेटिक में माइकलिस-मेंटेन काइनेटिक के समय-पाठ्यक्रम काइनेटिक विश्लेषण के लिए एक ओपन-फॉर्म हल का वर्णन लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के संदर्भ में किया गया है।

सम्मिश्र समतल में लैम्बर्ट W फ़ंक्शन की मुख्य शाखा, डोमेन रंगत के साथ आलेखित की गई। ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के अनुदिश कटी हुई शाखा पर ध्यान दें, जो −1/e पर समाप्त होती है।

लैंबर्ट W फ़ंक्शन, की मुख्य शाखा का मापांक arg W(z) के अनुसार रंगा गया है

शब्दावली

लैंबर्ट W फ़ंक्शन का नाम जोहान हेनरिक लैम्बर्ट के नाम पर रखा गया है। गणितीय फलनों की डिजिटल लाइब्रेरी में मुख्य शाखा W₀ को Wp तथा शाखा W₋₁ को Wm दर्शाया गया है।

यहां चयनित संकेत पद्धति कन्वेंशन (W₀ और W₋₁ के साथ) कॉर्लेस, गोनेट, हरे, जेफरी और डोनाल्ड नुथ द्वारा लैंबर्ट W फ़ंक्शन पर विहित संदर्भ का अनुसरण करता है।

"प्रोडक्ट लॉगेरिथ्म" नाम को इस प्रकार समझा जा सकता है: चूँकि f(w) = e^w के व्युत्क्रम फलन को लघुगणक कहा जाता है, इसलिए प्रोडक्ट (गणित) we^w के व्युत्क्रम "फ़ंक्शन" को "प्रोडक्ट लॉगेरिथ्म" कहना समझ में आता है। (तकनीकी नोट: काम्प्लेक्स लॉगेरिथ्म के समान यह बहुमान है तथा इस प्रकार W को व्युत्क्रम फलन के स्थान पर व्युत्क्रम संबंध के रूप में वर्णित किया गया है।) यह ओमेगा स्थिरांक से संबंधित है, जो W₀(1) के समान है।

इतिहास

लैम्बर्ट ने सर्वप्रथम वर्ष 1758 में संबंधित लैम्बर्ट के ट्रान्सेंडैंटल समीकरण पर विचार किया, जिसके परिणामस्वरूप वर्ष 1783 में लियोनहार्ड यूलर का एक लेख आया जिसमें we^w के विशेष स्थिति पर चर्चा की गई।

लैम्बर्ट ने जिस समीकरण पर विचार किया वह था

$x=x^{m}+q.$

यूलर ने इस समीकरण को निम्न रूप में परिवर्तित कर दिया

$x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.$

दोनों लेखकों ने अपने समीकरणों के लिए एक श्रृंखलाबद्ध हल निष्पादित किया।

एक बार जब यूलर ने इस समीकरण को हल कर लिया तो उसने स्थिति a = b पर विचार किया। उन्होंने सीमाओं के साथ एक समीकरण निष्पादित किया

$\ln x=cx^{a}.$

तत्पश्चात उन्होंने a = 1 प्रयुक्त किया तथा x को c के रूप में व्यक्त करने वाले परिणामी समीकरण के लिए एक अभिसारी श्रृंखला हल प्राप्त किया।

x के संबंध में डेरिवेटिव लेने तथा कुछ प्रकलन के पश्चात लैम्बर्ट फ़ंक्शन का मानक रूप प्राप्त होता है।

वर्ष 1993 में, यह बताया गया कि लैम्बर्ट W फ़ंक्शन समान चार्ज के लिए क्वांटम-मैकेनिकल डबल-वेल डायराक डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल का निश्चित हल प्रदान करता है -जो भौतिकी में एक मुख्य समस्या है। इससे प्रेरित होकर रॉब कॉर्लेस और मेपल कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली डेवलपर्स ने सिद्ध किया कि "लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन का अनेक क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, किन्तु भिन्न- भिन्न नोटेशन और मानक नाम की अनुपस्थिति के कारण फ़ंक्शन के विषय में जानकारी उतनी अधिक नहीं थी जितनी अधिक होनी चाहिए थी।"

एक अन्य उदाहरण जहां यह फ़ंक्शन पाया जाता है वह माइकलिस-मेंटेन काइनेटिक में है।

यद्यपि यह व्यापक रूप से माना जाता था कि लैम्बर्ट W फ़ंक्शन को प्राथमिक (लिउविलियन फ़ंक्शन) फ़ंक्शन के संबंध में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, प्रथम प्रकाशित प्रमाण वर्ष 2008 तक प्रकाशित नहीं हुआ था।

प्राथमिक गुण, शाखाएँ और सीमा

W फ़ंक्शन की गणनीय शाखाएँ हैं, जिन्हें पूर्णांक k के लिए W_k(z) द्वारा दर्शाया गया है; जिसमें W₀(z) मुख्य (या प्रमुख) शाखा है। W₀(z) को सभी सम्मिश्र संख्याओं z के लिए परिभाषित किया गया है जबकि W_k(z) को k ≠ 0 के साथ सभी शून्येतर z के लिए परिभाषित किया गया है। हमारे पास सभी k ≠ 0 के लिए W₀(0) = 0 और limz→0 W_k(z) = −∞ है।

मुख्य शाखा के लिए शाखा बिंदु z = −1/e, पर एक शाखा काट के साथ है जो नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ −∞ तक विस्तारित है। यह शाखा कट मुख्य शाखा को दो शाखाओं W₋₁ और W₁ से पृथक करता है। k ≠ 0 के साथ सभी शाखाओं W_k में z = 0 पर एक शाखा बिंदु होता है और संपूर्ण नकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ एक शाखा विभाजित होती है।

शाखाओं n=-2,-1,0,1,2 के लिए W[n,x+i y] के काल्पनिक भाग का प्लॉट। प्लॉट बहुमूल्यवान जटिल लघुगणक फ़ंक्शन के समान है, सिवाय इसके कि शीटों के बीच का अंतर स्थिर नहीं है और मुख्य शीट का कनेक्शन अलग है

फलन W_k(z), k ∈ Z सभी अंतःक्षेपक हैं तथा उनकी श्रेणियां असंयुक्त हैं। संपूर्ण बहुमान फ़ंक्शन W की सीमा सम्मिश्र समतल है। वास्तविक अक्ष की छवि वास्तविक अक्ष और हिप्पियास के चतुर्भुज पैरामीट्रिक वक्र w = −t cot t + it का मिलन है।

व्युत्क्रमण

जिसके लिए जटिल विमान के क्षेत्र $W(n,ze^{z})=z$, जहां z = x + iy. किसी विशेष क्षेत्र की गहरी सीमाएँ उसी रंग के हल्के क्षेत्र में शामिल होती हैं। {−1, 0} पर बिंदु दोनों में शामिल है $n=-1$ (नीला) क्षेत्र और $n=0$ (ग्रे) क्षेत्र. क्षैतिज ग्रिड रेखाएँ π के गुणकों में होती हैं।

उपरोक्त सीमा क्षेत्र सम्मिश्र समतल में उन क्षेत्रों को भी चित्रित करता है जहां सरल व्युत्क्रमण संबंध $W(n,ze^{z})=z$ सत्य है। f = zez का तात्पर्य है कि एक n उपस्थित है जैसे कि $z=W(n,f)=W(n,ze^{z})$, जहां n, z के मान पर निर्भर करता है। पूर्णांक n का मान आकस्मिक रुप से परिवर्तित हो जाता है जब ze^z ,$W(n,ze^{z})$ के शाखा काट पर होता है जिसका अर्थ है कि ze^z ≤ 0, $n=0$ के अतिरिक्त जहां यह ze^z ≤ −1/e है।

$z=x+iy$, को परिभाषित करना जहां x और y वास्तविक हैं और e^z को ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त करना यह देखा गया है,

${\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y).\\\end{aligned}}$

$n\neq 0$ के लिए $W(n,ze^{z})$ के लिए शाखा काट गैर-सकारात्मक वास्तविक अक्ष है, इसलिए

$x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),$

और

$(x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.$

$n=0$, के लिए $W[n,ze^{z}]$ के लिए काटी गई शाखा $-\infty <z\leq -1/e$ के साथ वास्तविक अक्ष है जिससे कि असमानता बन जाए

$(x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.$

उपरोक्त से परिबद्ध क्षेत्रों के भीतर $W(n,ze^{z})$,में कोई असंतत परिवर्तन नहीं होता है तथा वे क्षेत्र निर्दिष्ट करते हैं जहां W फ़ंक्शन केवल इन्वेर्टिबल होता है, अर्थात $W(n,ze^{z})=z$।

कैलकुलस

व्युत्पन्न

अस्पष्ट विभेदन द्वारा कोई यह प्रदर्शित कर सकता है कि W की सभी शाखाएँ अवकल समीकरण को संतुष्ट करती हैं

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.$

(W , z = −1/e के लिए अवकलनीय नहीं है) परिणामस्वरूप, हमें W के अवकलज के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

${\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.$

सर्वसमिका e^W(z) = z/W(z), का उपयोग करते हुए, हमें निम्नलिखित समकक्ष सूत्र प्राप्त होता है:

${\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.$

मूलतः हमारे पास है

$W'_{0}(0)=1.$

समाकल

फ़ंक्शन W(x), और W(x) से संबद्ध अनेक अन्य व्यंजकों को प्रतिस्थापन नियम w = W(x) अर्थात x = we^w का उपयोग करके समाकलित किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}$

(अंतिम समीकरण साहित्य में अधिक सामान्य है किंतु x = 0 पर अपरिभाषित है)। इसका एक परिणाम (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि W₀(e) = 1) सर्वसमिका है

$\int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.$

उपगामी प्रसार

टेलर श्रृंखला को 0 के आसपास W₀ लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है तथा इसके द्वारा दिया गया है

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .$

अभिसरण की त्रिज्या 1/e है, जैसा कि आनुपातिक परीक्षण से देखा जा सकता है। इस श्रृंखला द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन को अंतराल (गणित) (−∞, −1/e]के समय कटी हुई शाखा के साथ सभी सम्मिश्र संख्याओं पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन तक वर्धित किया जा सकता है; यह होलोमोर्फिक फ़ंक्शन लैम्बर्ट W फ़ंक्शन की प्रमुख शाखा को परिभाषित करता है।

x के बड़े मानों के लिए, W₀ उपगामी है

${\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}$

जहाँ L₁ = ln x, L₂ = ln ln x और [^{l + m}
_{l + 1}] प्रथम प्रकार की एक ऋणेतर स्टर्लिंग संख्या है। प्रसारण की केवल प्रथम दो शर्तों को रखते हुए,

$W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).$

अन्य वास्तविक शाखा W₋₁, को अंतराल [−1/e, 0) में परिभाषित किया गया है, इसका अनुमान उसी रूप में है क्योंकि x इस स्थिति में L₁ = ln(−x) और L₂ = ln(−ln(−x)) के साथ शून्य के निकट पहुंचता है।

पूर्णांक और संमिश्र घात

W₀ की पूर्णांक घात शून्य पर सरल टेलर(या लॉरेंट श्रृंखला) श्रृंखला के प्रसार को भी स्वीकार करती हैं:

$W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .$

अधिक सामान्यतः r ∈ Z, के लिए लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र देता है

$W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},$

जो सामान्यतः क्रम r की एक लॉरेंट श्रृंखला है। समान रूप से, अनुवर्ती W₀(x) / x की घातों को टेलर प्रसार के रूप में लिखा जा सकता है:

$\left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},$

जो किसी भी r ∈ C और |x| < 1/e के लिए मान्य है।

सीमाएँ और असमानताएँ

लैम्बर्ट फ़ंक्शन के लिए अनेक अपगामी सीमाएँ ज्ञात हैं।

हुरफ़र और हसनी ने दिखाया कि निम्नलिखित सीमा x ≥ e के लिए मान्य है:

$\ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.$

उन्होंने केवल $x=y\ln(y)$ के लिए समानता के साथ

$W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),$

प्रत्येक $y>1/e$ और $x\geq -1/e$, के लिए सामान्य सीमाएँ भी प्रदर्शित की। सीमा अनेक $y=x+1$ जैसी अन्य सीमाएं बनाने की अनुमति देता है जो सीमा प्रदान करता है

$W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).$

वर्ष 2013 में यह सिद्ध हुआ कि शाखा W₋₁ को निम्नानुसार परिबद्ध किया जा सकता है:

$-1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.$

रॉबर्ट इकोनो और जॉन पी. बॉयड ने सीमा को निम्नानुसार परिवर्धित किया::

$\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).$

सर्वसमिका

डब्ल्यू की एक साजिश_j(एक्स ई^x) जहां नीला j=0 के लिए है और लाल j=−1 के लिए है। विकर्ण रेखा उन अंतरालों को दर्शाती है जहां W_j(एक्स ई^x)=x

The product logarithm Lambert W function W 2(z) plotted in the complex plane from -2-2i to 2+2i

परिभाषा से कुछ सर्वसमिकाएँ प्राप्त होती हैं:

${\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}$

ध्यान दें, चूँकि f(x) = xe^x अंतःक्षेपक नहीं है, इसलिए यह सदैव नहीं मानता है कि W(f(x)) = x व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समान है। निर्धारित x < 0 और x ≠ −1 के लिए समीकरण xe^x = ye^y के y में दो वास्तविक हल हैं, जिनमें से एक निश्चित रूप y = x है। तत्पश्चात i = 0 और x < −1, के साथ-साथ i = −1 और x ∈ (−1, 0), y = W_i(xe^x) के लिए द्वितीय हल है।

कुछ अन्य सर्वसमिकाएँ:

${\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}$

$\ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.$

$W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.$

$W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.$

${\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}$

(यदि उचित शाखा का चयन किया जाता है तो इसे अन्य n और x तक वर्धित किया जा सकता है)।

$W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.$

परिभाषा में −ln x प्रतिस्थापित करने पर:

${\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}$

यूलर के पुनरावृत्त घातांक h(x) के साथ:

${\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}$

विशेष मान

प्रमुख शाखा के विशेष मान निम्नलिखित हैं:

$W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.$

$W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.$

$W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2.$

$W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\ {\text{ provided }}\ x\geqslant 1/e\approx 0.36788.$

$W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\ {\text{ provided }}\ x>0.$

$W_{0}(0)=0.$

$W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots$ (ओमेगा स्थिरांक).

$W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1).$

$W_{0}(e)=1.$

$W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e.$

$W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i.$

निरूपण

लैंबर्ट फ़ंक्शन की मुख्य शाखा को पॉइसन के कारण उचित समाकल द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$-{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.$

व्यापक डोमेन पर −1/e ≤ x ≤ e, पर मेज़ो द्वारा अत्यधिक सरल निरूपण पाया गया:

$W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.$

मुख्य शाखा का एक और निरूपण उसी लेखक द्वारा तथा पूर्व में कलुगिन-जेफरी-कोरलेस द्वारा पाया गया था:

$W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.$

निम्नलिखित कॉन्टिन्यूइड फ्रैक्शन निरूपण प्रमुख शाखा के लिए भी प्रयुक्त होता है:

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.$

इसके अतिरिक्त यदि |W₀ (x)| < 1:

$W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.$

परिणामस्वरूप, यदि |W₀ (x)| > e, तब

$W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.$

अन्य सूत्र

निश्चित समाकलन

W फ़ंक्शन की प्रमुख शाखा से सम्बंधित अनेक उपयोगी निश्चित समाकलन सूत्र हैं, जिनमें निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}$

प्रथम सर्वसमिका ध्रुवीय निर्देशांक में गाउसीय समाकल लिखकर प्राप्त की जा सकती है।

द्वितीय सर्वसमिका प्रतिस्थापन u = W₀ (x) बनाकर प्राप्त की जा सकती है, जो प्रदान करता है

${\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}$

इस प्रकार

तृतीय सर्वसमिका द्वितीय से u = x⁻² प्रतिस्थापन करके प्राप्त की जा सकती है तथा  प्रथम सर्वसमिका z = 1/√2 tan x प्रतिस्थापन द्वारा तृतीय से भी प्राप्त की जा सकती है।

शाखा कट के साथ z को छोड़कर (−∞, −1/e] (जहां समाकल अभिसरित नहीं होता है) लैंबर्ट W फ़ंक्शन की मुख्य शाखा की गणना निम्नलिखित समाकल द्वारा की जा सकती है:

${\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}$

जहाँ दो समाकल व्यंजक समाकलन की समरूपता के कारण समतुल्य हैं।

अनिश्चित समाकलन

$$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$$

1st proof

Introduce substitution variable $u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C$

$u=W(x)$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$

2nd proof

$W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx$

$u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C$

$u=W(x)$

$\int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C$

$$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$$

Proof

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx$

$u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du$

$v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv$

$w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw$

$t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C$

$t=W\left(w\right)$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C$

$w=Av$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C$

$v=e^{u}$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C$

$u=Bx$

$\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C$

$$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C$$

Proof

Introduce substitution variable $u=W(x)$, which gives us $ue^{u}=x$ and ${\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}$

$v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$v=-u$

$\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C$

$u=W(x)$

${\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}$

अनुप्रयोग

समीकरणों को हल करना

लैंबर्ट W फ़ंक्शन का उपयोग उन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है जिनमें अज्ञात मात्रा आधार और घातांक दोनों में या लघुगणक के आंतरिक तथा बाह्य दोनों भाग में होती है। योजना यह है कि इस प्रकार के समीकरण को ze^z = w में से किसी एक रूप में परिवर्तित करना है और तत्पश्चात W फ़ंक्शन का उपयोग करके z को हल करना है।

उदाहरण के लिए, समीकरण

$3^{x}=2x+2$

(जहाँ x एक अज्ञात वास्तविक संख्या है) को इस रूप में पुनः लिखकर हल किया जा सकता है

${\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}$

इस अंतिम समीकरण का वांछित रूप है तथा वास्तविक x के हल हैं:

$(\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)$

इस प्रकार:

$x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots$

सामान्यतः,हल

$x=a+b\,e^{cx}$

है:

$x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})$

जहाँ a, b, और c सम्मिश्र अचर हैं जिनमें b और c शून्य के समान नहीं हैं तथा W फ़ंक्शन किसी भी पूर्णांक क्रम का है।

श्यान प्रवाह

प्राकृतिक घटनाओं तथा प्रयोगशाला प्रयोगों में कणिक और मलवा प्रवाह अग्रभागों और निक्षिप्त तथा श्यान तरल पदार्थों के अग्रभागों को लैम्बर्ट-यूलर ओमेगा फ़ंक्शन का उपयोग करके निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

$H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),$

जहाँ H(x) मलबा प्रवाह की ऊंचाई तथा x चैनल की अनुप्रवाह स्थिति है, L एकीकृत मॉडल पैरामीटर है जिसमें प्रवाह, प्रवाह ऊंचाई और हाइड्रोलिक दाब प्रवणता के अनेक भौतिक और ज्यामितीय पैरामीटर सम्मिलित हैं।

नलीय प्रवाह में, लैम्बर्ट W फ़ंक्शन डार्सी घर्षण कारक को खोजने के लिए कोलब्रुक समीकरण के स्पष्ट सूत्रीकरण का भाग है। इस कारक का उपयोग पाइप के प्रत्यक्ष प्रवाह के माध्यम से दाब ह्रास को निर्धारित करने के लिए किया जाता है जब प्रवाह प्रक्षुब्ध होता है।

सरल शाखा हाइड्रोलिक प्रणालियों में समय पर निर्भर प्रवाह

लैम्बर्ट W फ़ंक्शन की मुख्य शाखा को मैकेनिकल इंजीनियरिंग के क्षेत्र में अपकेन्द्री पंपों का उपयोग करके भिन्न-भिन्न मुक्त सतह स्तरों के साथ दो जलाशयों के मध्य न्यूटोनियन तरल पदार्थ के कालाश्रित हस्तांतरण के अध्ययन में नियोजित किया गया था। लैंबर्ट W फ़ंक्शन ने लैमिनर और प्रक्षुब्ध दोनों प्रणालियों में द्रव के प्रवाह दर का सटीक हल प्रदान किया:

$${\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}$$

जहाँ $Q_{i}$ प्रारंभिक प्रवाह दर तथा $t$ समय है।

न्यूरोइमेजिंग

लैंबर्ट W फ़ंक्शन को मस्तिष्क के रक्त प्रवाह और मस्तिष्क वॉक्सेल के भीतर ऑक्सीजन के प्रयोग में परिवर्तन को संबंधित ऑक्सीजन ह्रास पर निर्भर (बोल्ड) सिग्नल से जोड़ने के लिए न्यूरोइमेजिंग के क्षेत्र में नियोजित किया गया था।

केमिकल इंजीनियरिंग

लैंबर्ट W फ़ंक्शन को इलेक्ट्रोकेमिकल ऊर्जा भंडारण के लिए कांचीय कार्बन आधारित सुपरकैपेसिटर में छिद्रित इलेक्ट्रोड फिल्म की मोटाई के मॉडलिंग के लिए रासायनिक इंजीनियरिंग के क्षेत्र में नियोजित किया गया था। लैंबर्ट W फ़ंक्शन गैस चरण थर्मल सक्रियण प्रक्रिया के लिए सटीक हल सिद्ध हुआ जहां कार्बन फिल्म की वृद्धि तथा एक ही फिल्म का दहन परस्पर प्रतिस्पर्धा करते हैं।

क्रिस्टल वृद्धि

क्रिस्टल वृद्धि में शील समीकरण का उपयोग करके विलेय का वितरण प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए लैंबर्ट W फ़ंक्शन के नकारात्मक सिद्धांत का उपयोग वितरण गुणांक ${\textstyle k}$ की गणना के लिए किया जा सकता है:

${\begin{aligned}&k={\frac {W(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}$

पदार्थ विज्ञान

लैंबर्ट W फ़ंक्शन को क्रिटिकल डिस्लोकेशन ऑनसेट फिल्म की मोटाई के निर्धारण के लिए एपीटैक्सियल फिल्म विकास के क्षेत्र में नियोजित किया गया था। यह एक एपिटैक्सियल फिल्म की गणना की गई मोटाई है जहां थर्मोडायनामिक सिद्धांतों के कारण फिल्म में संग्रहीत प्रत्यास्थ ऊर्जा को कम करने के लिए क्रिस्टलोग्राफिक अव्यवस्थाएं विकसित होंगी। इस समस्या के लिए लैंबर्ट W के आवेदन से पूर्व एक अप्रत्यक्ष समीकरण को हल करके समीक्षात्मक मोटाई निर्धारित की जानी थी। लैम्बर्ट W इसे सरलता से विश्लेषणात्मक संचालन के लिए एक स्पष्ट समीकरण में परिवर्तित कर देता है।

छिद्रपूर्ण मीडिया

लैंबर्ट W फ़ंक्शन को स्थिर आप्लावन और स्थूलता के एक सजातीय नत सरंध्र संस्तर में दो गुरूत्वीय पृथक्कृत तरल पदार्थों को पृथक करने वाले अंतरापृष्ठ के आनति को मॉडल करने के लिए सरंध्र मीडिया में तरल प्रवाह के क्षेत्र में नियोजित किया गया है जहां निचले सिरे पर इंजेक्ट किया गया सघन तरल पदार्थ, समान दर से शीर्ष सिरे से उत्पन्न होने वाले लघुतर तरल पदार्थ को विस्थापित कर देता है। समाधान की मुख्य शाखा स्थिर विस्थापन के समान होती है जबकि -1 शाखा तब प्रयुक्त होती है यदि विस्थापन हल्के तरल पदार्थ के नीचे चल रहे भारी तरल पदार्थ के साथ अस्थिर होता है।

बर्नौली संख्याएं और टोड जीनस

समीकरण (बर्नौली संख्याओं और टॉड जीनस के उत्पादक कार्यों से सम्बंधित)::

$Y={\frac {X}{1-e^{X}}}$

दो वास्तविक शाखाओं W₀ और W₋₁ के माध्यम से हल किया जा सकता है::

$X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}$

यह एप्लिकेशन दिखाता है कि W फ़ंक्शन शाखा अंतर को अन्य अतिश्रेष्ट समीकरणों को हल करने के लिए नियोजित किया जा सकता है।

सांख्यिकी

सममित कुल्बैक-लीबलर विचलन (जिसे जेफ़रीज़ विचलन भी कहा जाता है) के संबंध में परिभाषित हिस्टोग्राम के एक सेट का केन्द्रक ) लैंबर्ट W फ़ंक्शन का उपयोग करके एक संवृत्त रूप है।

संक्रामक रोगों के लिए परीक्षणों की एकत्रीकरण

पूल परीक्षणों के लिए इष्टतम समूह आकार का हल करना जिससे कि कम से कम एक व्यक्ति संक्रमित हो, इसमें लैंबर्ट W फ़ंक्शन सम्मिलित है।

श्रोडिंगर समीकरण का सटीक समाधान

लैंबर्ट W फ़ंक्शन एक क्वांटम-मैकेनिकल क्षमता में प्रकट होता है, जो पांचवें को प्रदान करता है - हार्मोनिक ऑसिलेटर प्लस सेंट्रीफ्यूगल, कूलम्ब प्लस व्युत्क्रम वर्ग, मोर्स और व्युत्क्रम वर्गमूल क्षमता के बगल में - स्थिर एक-आयामी श्रोडिंगर का सटीक समाधान संगम हाइपरज्यामितीय कार्यों के संदर्भ में समीकरण। क्षमता इस प्रकार दी गई है

$V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.$

समाधान की एक ख़ासियत यह है कि श्रोडिंगर समीकरण के सामान्य समाधान की रचना करने वाले दो मूलभूत समाधानों में से प्रत्येक एक तर्क के आनुपातिक दो संगम हाइपरज्यामितीय कार्यों के संयोजन द्वारा दिया गया है

$z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).$

लैंबर्ट W फ़ंक्शन डेल्टा क्षमता#डबल डेल्टा क्षमता के साथ एक आयामी श्रोडिंगर समीकरण की बाध्य अवस्था ऊर्जा के सटीक समाधान में भी दिखाई देता है।

क्यूसीडी युग्मन स्थिरांक का सटीक समाधान

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, प्रबल अन्योन्यक्रिया के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में युग्मन स्थिरांक $\alpha _{\text{s}}$ की गणना n क्वांटम लूप सहित फेनमैन आरेखों के अनुरूप क्रम n में की जाती है। प्रथम क्रम n=1, हल सटीक (उस क्रम पर) तथा विश्लेषणात्मक है। उच्च क्रम n>1 पर कोई सटीक और विश्लेषणात्मक हल नहीं है तथा एक अनुमानित हल प्रस्तुत करने के लिए सामान्यतः एक पुनरावृत्त विधि का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, द्वितीय क्रम n=2 के लिए लैम्बर्ट फ़ंक्शन एक सटीक (यदि गैर-विश्लेषणात्मक) हल प्रदान करता है।

आइंस्टीन वैक्यूम समीकरणों के सटीक हल

आइंस्टीन वैक्यूम समीकरणों के श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक हल में, एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक से श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांक तक जाने के लिए W फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है। इस कारण से यह क्रुस्कल-सेकेरेस निर्देशांक के निर्माण में भी प्रदर्शित होता है।

डेल्टा-शेल क्षमता की प्रतिध्वनि

डेल्टा-शेल क्षमता की S-वेव अनुनादों को लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के संदर्भ में सटीक रूप से लिखा जा सकता है।

थर्मोडायनामिक संतुलन

यदि किसी प्रतिक्रिया में ऊष्मा धारिता वाले अभिकारक और उत्पाद सम्मिलित होते हैं जो तापमान के साथ स्थिर होते हैं तो उस स्थिति में साम्य स्थिरांक K

$\ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T$

कुछ स्थिरांक a, b, और c के लिए पालन करता है। जब c (के समान ΔC_p/R) शून्य नहीं है तो हम T का मान या मान पा सकते हैं जहाँ K दिए गए मान के समान है, जहाँ हम ln T के लिए L का उपयोग करते हैं।

${\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}$

यदि a और c का चिन्ह समान है तो या तो दो हल होंगे या कोई हल नहीं होगा (या एक यदि W का तर्क यथार्थत: −1/e है)। (उपरोक्त हल प्रासंगिक नहीं हो सकता है।) यदि उनके विपरीत संकेत हैं, तो एक समाधान होगा।

पॉलिमर मिश्रण का चरण पृथक्करण

एडमंड-ऑगस्टन मॉडल के अनुसार ऊष्मागतिक रूप से असंगत पॉलिमर मिश्रण के चरण आरेख की गणना में W फ़ंक्शन के संदर्भ में बिनोडल और टाई-लाइनों के हल सूत्रित किए जाते हैं।

D-आयामी ब्रह्मांड में वीन का विस्थापन नियम

वीन के विस्थापन नियम को $\nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। $x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T$ और $d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0$,के साथ जहाँ $\rho _{T}$ वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व है, कोई $e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}$ प्राप्त करता है। उपर्युक्त हल $x=D+W\left(-De^{-D}\right)$ दर्शाता है कि वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व ब्रह्मांड की विमीयता पर निर्भर है।

एडीएस/सीएफटी समानता

विशाल मैग्नन, एकल स्पाइक्स और GKP स्ट्रिंग्स के परिक्षेपण संबंधों के चिरसम्मत परिमित आकार के संशोधन को लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

महामारी विज्ञान

एसआईआर मॉडल की t → ∞ सीमा में अतिसंवेदनशील और ठीक हुए व्यक्तियों के अनुपात का लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के संदर्भ में एक हल है।

प्रक्षेप्य की उड़ान के समय का निर्धारण

एक प्रक्षेप्य की यात्रा का कुल समय जो उसके वेग के अनुपात में वायु प्रतिरोध का अनुभव करता है, जिसे लैम्बर्ट W फ़ंक्शन का उपयोग करके सटीक रूप में निर्धारित किया जा सकता है।

विद्युत चुम्बकीय सतह तरंग प्रसार

एक बेलनाकार धातु के तार में प्रसारित होने वाले विद्युत चुम्बकीय अक्षीय सममित सतह तरंग (एक कम क्षीणन एकल TM01 मोड) के प्रसार तरंग संख्या के निर्धारण में दिखाई देने वाला पारलौकिक समीकरण u ln u = v (जहाँ u और v समस्या के ज्यामितीय और भौतिक कारकों को एक साथ जोड़ना), जिसे लैम्बर्ट W फ़ंक्शन द्वारा हल किया जाता है। लगभग वर्ष 1898 में सोमरफेल्ड के कारण इस समस्या के प्रथम हल में पूर्व से ही लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के मूल्य को निर्धारित करने के लिए एक पुनरावृत्त विधि सम्मिलित थी।

वास्तविक दीर्घवृत्त के ऑर्थोगोनल प्रक्षेप पथ

$(0,0)$ पर केन्द्रित दीर्घवृत्त $x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}$ का वर्ग विलक्षणता $\varepsilon$ द्वारा मानकीकृत है। इस वर्ग के आयतीय प्रक्षेपवक्र अवकल समीकरण $\left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx$ द्वारा दिए गए हैं जिसका सामान्य हल वर्ग $y^{2}=$$W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))$ है।

सामान्यीकरण

मानक लैम्बर्ट W फ़ंक्शन ट्रान्सेंडैंटल बीजगणितीय समीकरणों (x में) के सटीक हल व्यक्त करता है::

$$e^{-cx}=a_{0}(x-r)$$

(1)

जहाँ a₀, c और r वास्तविक स्थिरांक हैं। हल है

$$x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).$$

लैम्बर्ट W फ़ंक्शन के सामान्यीकरण में सम्मिलित हैं:

• निचले आयामों में सामान्य सापेक्षता सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी (क्वांटम गुरुत्व) के लिए एक अनुप्रयोग, वस्तुतः इन दो क्षेत्रों के मध्य एक लिंक (वर्ष 2007 से पूर्व अज्ञात) जहाँ समीकरण (1) दाहिनी ओर को x में एक द्विघात बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

  $$e^{-cx}=a_{0}\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right),$$

  (2)

  जहाँ r₁ और r₂ द्विघात बहुपद के मूल वास्तविक भिन्न स्थिरांक हैं। यहां हल एक फ़ंक्शन है जिसमें एक एकल तर्क x है किन्तु r_i तथा a₀ जैसे शब्द उस फ़ंक्शन के पैरामीटर हैं। इस संबंध में, सामान्यीकरण हाइपरज्यामितीय फलन और मीजर G फलन जैसा दिखता है किन्तु यह फ़ंक्शन के एक भिन्न वर्ग से संबंधित है। जब r₁ = r₂ समीकरण (2) के दोनों पक्षों को गुणनखंडित किया जा सकता है तथा समीकरण (1) तक घटाया जा सकता है और इस प्रकार हल मानक W फ़ंक्शन तक कम हो जाता है। समीकरण (2) डिलाटन क्षेत्र को नियंत्रित करने वाले समीकरण को व्यक्त करता है, जिससे आर = टी मॉडल का मीट्रिक प्राप्त होता है|R = T या असमान आराम द्रव्यमान के मामले के लिए 1+1 आयामों (एक स्थानिक आयाम और एक समय आयाम) में रैखिक दो-शरीर गुरुत्वाकर्षण समस्या, साथ ही क्वांटम-मैकेनिकल डेल्टा क्षमता की स्वदेशी ऊर्जा#डबल डेल्टा पोटेंशियल|डबल-वेल एक आयाम में असमान आवेशों के लिए डिराक डेल्टा फ़ंक्शन मॉडल।

• क्वान्टम यांत्रिकीय थ्री बॉडी समस्या अर्थात् (त्रि-आयामी) हाइड्रोजन अणु-आयन के एक विशेष स्थिति की आइजेन ऊर्जाओं का विश्लेषणात्मक हल। यहाँ समीकरण (1) के दाहिने ओर को x में अनंत क्रम वाले बहुपदों के अनुपात से परिवर्तित कर दिया गया है:

  $$e^{-cx}=a_{0}{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-r_{i})}{\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }(x-s_{i})}}$$

  (3)

  जहाँ r_i और s_i भिन्न-भिन्न वास्तविक अचर हैं तथा x आइगेन ऊर्जा और अंतरानाभिक दूरी R का एक फलन है। समीकरण (3), (1) और (2) में व्यक्त अपने विशिष्ट स्थितियों  के साथ विलंब अवकल समीकरणों के एक बड़े वर्ग से संबंधित है। जी. एच. हार्डी की "असत्य व्युत्पन्न" की धारणा समीकरण (3) के विशेष स्थितियों के लिए सटीक एकाधिक जड़ें प्रदान करती है।

मूलभूत भौतिक समस्याओं में लैंबर्ट W फ़ंक्शन के अनुप्रयोग समीकरण (1) में व्यक्त मानक स्थितियों के लिए भी समाप्त नहीं हुए हैं, जैसा कि हाल ही में परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी के क्षेत्र में देखा गया है।

प्लॉट

<गैलरी कैप्शन= लैंबर्ट के प्लॉट W जटिल तल पर कार्य > File:LambertWRe.png|z = Re(W₀(x + iy)) File:LambertWIm.png|z = Im(W₀(x + iy)) File:LambertWAbs.png|z = |W₀(x + iy)| File:LambertWAll.png|पिछले तीन कथानकों का अधिरोपण </गैलरी>

संख्यात्मक मूल्यांकन

W} को न्यूटन की विधि का उपयोग करके w = W(z) (इसलिए z = we^w) के उत्तरोत्तर सन्‍निकटन के साथ अनुमानित किया जा सकता है

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.$

W} फ़ंक्शन को हैली की विधि का उपयोग करके भी सन्निकटित किया जा सकता है,

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}$

कॉर्लेस एट अल में दिया गया है।W की गणना करने के लिए.

वास्तविक $x\geq -1/e$, के लिए इसका सन्निकटित आर. इकोनो और जे.पी. बॉयड के द्विघात-दर आवर्ती सूत्र द्वारा लगाया जा सकता है:

$w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).$

लाजोस लोक्ज़ी उचित $w_{0}(x)$का चयन करके यह सिद्ध करते हैं:

• यदि $x\in (e,\infty )$: $w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),$
• यदि $x\in (0,e):$ $w_{0}(x)=x/e,$
• यदि $x\in (-1/e,0):$
  • प्रमुख शाखा $W_{0}$के लिए : $w_{0}(x)={\frac {ex}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}}\log(1+{\sqrt {1+ex}}),$
  • शाखा $W_{-1}$ के लिए :
    • $w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2(1+ex)}},$ के लिए $x\in (-1/e,-1/4],$
    • $w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),$ के लिए $x\in (-1/4,0),$

कोई भी किसी भी परिशुद्धता के लिए पुनरावृत्ति चरणों की अधिकतम संख्या पूर्व से निर्धारित कर सकता है:

• यदि $x\in (e,\infty )$ (प्रमेय 2.4): $0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},$
• यदि $x\in (0,e)$ (प्रमेय 2.9): $0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},$
• यदि $x\in (-1/e,0):$
  • प्रमुख शाखा $W_{0}$ के लिए (प्रमेय 2.17): $0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},$
  • शाखा $W_{-1}$ के लिए (प्रमेय 2.23): $0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.$

सॉफ़्टवेयर

लैंबर्ट W फ़ंक्शन को मेपल में LambertW , PARI/GP में lambertw (और पारी में glambertW ), मतलब में lambertw, specfun पैकेज के साथ जीएनयू ऑक्टेव मेंlambertw, मैक्सिमा में lambert_w, गणित मेंProductLog (एक साइलेंट उपनाम LambertWके साथ), Python scipy के विशेष फ़ंक्शन पैकेज में lambertw के रूप में, पर्ल केntheory मॉड्यूल में LambertW के रूप में, और जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय के विशेष फ़ंक्शन अनुभाग में gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1 के रूप में कार्य करता है। बूस्ट C++ लाइब्रेरीज़ में, कॉल lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_primeऔर lambert_wm1_prime हैं। आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में, लैम्बर्ट W फ़ंक्शन को lamW पैकेज में lambertW0 और lambertWm1फ़ंक्शन के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।

कॉम्प्लेक्स लैम्बर्ट की सभी शाखाओं के लिए C++ कोड W फ़ंक्शन इस्तवान मेज़ो के होमपेज पर उपलब्ध है।

यह भी देखें

• राइट ओमेगा फ़ंक्शन
• लैंबर्ट का त्रिपद समीकरण
• लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय
• प्रायोगिक गणित
• होल्स्टीन-हेरिंग विधि
• R = T मॉडल
• रॉस' π लेम्मा

संदर्भ

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 5: 329–359. arXiv:1809.07369. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. S2CID 29028411. Archived from the original (PDF) on 2010-12-14. Retrieved 2007-03-10.
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 50 (9). doi:10.1109/TSP.2002.801912. Archived from the original (PDF) on 2012-03-28. Retrieved 2004-03-10.
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बाहरी संबंध

• National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert W
• MathWorld – Lambert W-Function
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library – GSL
• [3]