फंक्टर: Difference between revisions

Latest revision as of 12:40, 14 September 2023

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत , क्रियात्मकता श्रेणी (गणित) के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे मौलिक समूह ) सामयिक स्थान स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं। आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।

शब्द श्रेणी और क्रियात्मकता क्रमशः दार्शनिकों अरस्तू और रुडोल्फ कार्नाप के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।^[1] उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, ^[2] इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।

परिभाषा

File:Functor.svg

फंक्टर

F

मॉर्फिज्म की रचना को संरक्षित करना चाहिए

\tau

और

\sigma

C और D को श्रेणी (गणित) में C से D तक 'क्रियात्मकता' F मैपिंग है^[3]

प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है $X$ किसी वस्तु के लिए सी में $F(X)$ डी में,
प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है $f\colon X\to Y$ $f\colon X\to Y$ C में मॉर्फिज्म $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ हर वस्तु के लिए $X$ C में,
- $F (g \circ f) = F (g) \circ F$

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 गणित में, विशेष रूप से [[ श्रेणी सिद्धांत |श्रेणी सिद्धांत]] , क्रियात्मकता [[ श्रेणी (गणित) |श्रेणी (गणित)]] के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे [[ मौलिक समूह |मौलिक समूह]] ) [[ सामयिक स्थान |सामयिक स्थान]] स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं। आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।
-शब्द ''श्रेणी'' और ''क्रियात्मकता'' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू |अरस्तू]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप |रुडोल्फ कार्नाप]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, <ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref>इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।
+शब्द ''श्रेणी'' और ''क्रियात्मकता'' क्रमशः दार्शनिकों [[ अरस्तू |अरस्तू]] और [[ रुडोल्फ कार्नाप |रुडोल्फ कार्नाप]] के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे।<ref>{{citation|first1=Saunders|last1=Mac Lane|author-link1=Saunders Mac Lane|title=Categories for the Working Mathematician|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1971|isbn=978-3-540-90035-1|page=30}}</ref> उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, <ref>[[Rudolf Carnap|Carnap, Rudolf]] (1937). ''The Logical Syntax of Language'', Routledge & Kegan, pp.&nbsp;13–14.</ref> इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।
 == परिभाषा ==
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 **<math>F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)</math> सभी रूपों के लिए <math>f \colon X\to Y</math> और <math>g \colon Y\to Z</math> C।
-ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को उलटते हैं।
+ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को व्युत्क्रम कर देते हैं।
-साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी |विपरीत श्रेणी]] में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता <math>C^\mathrm{op}</math> को परिभाषित कर सकता है,{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं अर्थात कहने के अतिरिक्त <math>F \colon  C\to D</math> कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> लिखते हैं (या कभी -कभी <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) और इसे क्रियात्मकता कहते हैं।
+साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है जिससे कि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी [[ विपरीत श्रेणी |विपरीत श्रेणी]] में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता <math>C^\mathrm{op}</math> को परिभाषित कर सकता है,{{sfnp|Jacobson|2009|pp=19–20}} कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं अर्थात कहने के अतिरिक्त <math>F \colon  C\to D</math> कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे <math>F \colon C^{\mathrm{op}} \to D</math> लिखते हैं (या कभी -कभी <math>F \colon C \to D^{\mathrm{op}}</math>) और इसे क्रियात्मकता कहते हैं।
-कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref> यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। [[ वेक्टर क्षेत्र |वेक्टर क्षेत्र]] , वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> [[ स्पर्शरेखा |स्पर्शरेखा]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> स्पर्शरेखा बंडल की <math>T^*M</math> सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी प्रकार से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनसे यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी तरह जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)। यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन | वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन]] भी देखें।
+कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है।<ref name="Popescu1979">{{cite book|last1=Popescu|first1=Nicolae|last2=Popescu|first2=Liliana|title=Theory of categories|date=1979|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=9789400995505|page=12|url=https://books.google.com/books?id=YnHwCAAAQBAJ&q=cofunctor+covariant&pg=PA12|access-date=23 April 2016}}</ref> यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। [[ वेक्टर क्षेत्र |वेक्टर क्षेत्र]] , वर्गों के स्थान के तत्व <math>\Gamma(TM)</math> [[ स्पर्शरेखा |स्पर्शरेखा]] बंडल की <math>TM</math>—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। <math>\Gamma\mathord\left(T^*M\right)</math> स्पर्शरेखा बंडल की <math>T^*M</math> सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे <math>{x'}^{\,i} = \Lambda^i_j x^j</math> के लिए <math>\mathbf{x}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{x}</math> या <math>\omega'_i = \Lambda^j_i \omega_j</math> के लिए <math>\boldsymbol{\omega}' = \boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}.</math> इस औपचारिकता में यह देखा गया है कि समन्वय परिवर्तन प्रतीक <math>\Lambda^j_i</math> (मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करना <math>\boldsymbol{\Lambda}^\textsf{T}</math>) कोवेक्टर निर्देशांक पर उसी प्रकार से वैक्टर के आधार पर कार्य करता है: <math>\mathbf{e}_i = \Lambda^j_i\mathbf{e}_j</math>-उनसे यह वेक्टर निर्देशांक पर विपरीत तरीके से कार्य करता है (लेकिन उसी प्रकार जैसे कि आधार पर कोवेक्टर्स: <math>\mathbf{e}^i = \Lambda^i_j \mathbf{e}^j</math>)। यह शब्दावली श्रेणी के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले के विपरीत है क्योंकि यह कोवेक्टर्स है जिसमें सामान्य रूप से पुलबैक होते हैं और इस प्रकार कंट्रैथेरिएंट होते हैं, जबकि सामान्य रूप से वैक्टर सहसंयोजक होते हैं क्योंकि उन्हें आगे बढ़ाया जा सकता है।[[ वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन | वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन]] भी देखें।
 === विपरीत फंक्शनक ===
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 ;प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत) या (श्रेणी सैद्धांतिक) प्रेसीफ: C और J के लिए, C पर J प्रेसीफ कॉन्ट्रैवेरियन क्रियात्मकता है <math>D \colon C\to J</math> विशेष स्थिति में जब J सेट किया जाता है, तो सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी, ''d'' को ''C'' पर प्रेसीफ (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है।
 ;प्रीशेव्स (एक टोपोलॉजिकल स्पेस से अधिक): यदि ''x'' टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो समावेश के अनुसार आंशिक रूप से ऑर्डर सेट ओपन ('' x '') ''x'' में खुले सेट किए गए है। हर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के प्रकार ओपन ('' x '') ही तीर जोड़कर छोटी श्रेणी बनाता है, {{nowrap|''U'' → ''V''}} यदि और केवल यदि <math>U \subseteq V</math> या ओपन (X) पर कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को X पर प्रेफ़ेफ़ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, हर ओपन समूह U को U पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के साहचर्य बीजगणित को असाइन करके X पर बीजगणितों का प्रेसिफ़ प्राप्त करता है।
-;लगातार फंक्टर: क्रियात्मकता {{nowrap|''C'' → ''D''}} जो C की प्रत्येक वस्तु को D में निश्चित ऑब्जेक्ट X और C में प्रत्येक रूपांतरण को X पर पहचान मॉर्फिज़्म के लिए मैप करता है। इस तरह के फंक्शनल को निरंतर या चयन क्रियात्मकता कहा जाता है।{{term|term=एंडोफंक्टर}}: एक फ़ंक्शन जो उसी श्रेणी में श्रेणी को मैप करता है, उदाहरण के रूप बहुपद क्रियात्मकता इसका उदाहरण हैं।{{term|term=पहचान फ़ैक्टर}}: श्रेणी सी में, लिखित 1<sub>''C''</sub> या आईडी<sub>''C''</sub> अपने आप को वस्तु और खुद के लिए रूपांतरण मानते हैं। पहचान फ़ंक्शनर एंडोफंक्टर है।
+;लगातार फंक्टर: क्रियात्मकता {{nowrap|''C'' → ''D''}} जो C की प्रत्येक वस्तु को D में निश्चित ऑब्जेक्ट X और C में प्रत्येक रूपांतरण को X पर पहचान मॉर्फिज़्म के लिए मैप करता है। इस प्रकार के फंक्शनल को निरंतर या चयन क्रियात्मकता कहा जाता है।{{term|term=एंडोफंक्टर}}: एक फ़ंक्शन जो उसी श्रेणी में श्रेणी को मैप करता है, उदाहरण के रूप बहुपद क्रियात्मकता इसका उदाहरण हैं।{{term|term=पहचान फ़ैक्टर}}: श्रेणी सी में, लिखित 1<sub>''C''</sub> या आईडी<sub>''C''</sub> अपने आप को वस्तु और खुद के लिए रूपांतरण मानते हैं। पहचान फ़ंक्शनर एंडोफंक्टर है।
 ;विकर्ण क्रियात्मकता: विकर्ण क्रियात्मकता को क्रियात्मकता के रूप में D<sup>C</sup> से फंक्टर श्रेणी D तक परिभाषित किया गया है जो उस ऑब्जेक्ट पर प्रत्येक ऑब्जेक्ट को D में निरंतर फ़ंक्शनर को भेजता है।
 ;फ़ंक्शन को सीमित करें: इस निश्चित [[ सूचकांक श्रेणी |सूचकांक श्रेणी]] J के लिए यदि प्रत्येक फ़ंक्टर {{nowrap|''J'' → ''C''}} [[ सीमा (श्रेणी सिद्धांत) |सीमा (श्रेणी सिद्धांत)]] है उदाहरण के लिए यदि C पूरा हो गया है, तो सीमा फ़ंक्टर {{nowrap|''C''<sup>''J''</sup> → ''C''}} प्रत्येक फ़ंक्टर को इसकी सीमा सौंपता है। इस फ़ंक्शनर के अस्तित्व को यह महसूस करके सिद्ध किया जाता है कि यह [[ आसन्न फंक्शनर्स |आसन्न क्रियात्मकता]] है। विकर्ण क्रियात्मकता के लिए राइट-एडजॉइंट और [[ Freyd Adjoint Functor Theorem |फ्रीड एडज्वाइंट फंक्शनल प्रमेय]] का आह्वान कर रहा है। इसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के उपयुक्त संस्करण की आवश्यकता होती है। इसी प्रकार की टिप्पणी को सीमा फंक्टर पर लागू होती है (जो अपने कोलिमिट फंक्टर के प्रत्येक फ़ंक्टर को असाइन करती है और सहसंयोजक है)।
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      \{1\} \mapsto f(\{1\})   = \{f(1)\}       = \{X\},\ </math> <math>
    \{0,1\} \mapsto f(\{0,1\}) = \{f(0), f(1)\} = \{\{\}, X\}.
-</math> ध्यान दें कि <math>f(\{0, 1\})</math> परिणामस्वरूप [[ तुच्छ टोपोलॉजी |तुच्छ टोपोलॉजी]] उत्पन्न करता है <math>X</math>।यह भी ध्यान दें कि चूंकि फ़ंक्शन <math>f</math> इस उदाहरण में के पावर सेट पर मैप किया गया <math>X</math>, यह सामान्य रूप से स्थिति नहीं है।
+</math> ध्यान दें कि <math>f(\{0, 1\})</math> परिणामस्वरूप <math>X</math> [[ तुच्छ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] उत्पन्न करता है। यह भी ध्यान दें कि फ़ंक्शन <math>f</math> इस उदाहरण में के पावर सेट <math>X</math> पर मैप किया गया , यह सामान्य रूप से स्थिति नहीं है।
 ; {{visible anchor|दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष}}: वह नक्शा जो प्रत्येक [[ सदिश स्थल |सदिश स्थल]] को अपने दोहरे स्थान को सौंपता है और प्रत्येक रैखिक ऑपरेटर को इसके दोहरे या ट्रांसपोज़ में निश्चित [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र (गणित)]] पर सभी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है।
-;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान। वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां X<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस और X है X में बिंदु है। रूपवाद से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}. प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस X<sub>0</sub> के लिए, X<sub>0</sub> पर आधारित मौलिक समूह को निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} द्वारा परिभाषित कर सकता है। यह X<sub>0</sub> पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी |होमोटॉपी]] वर्गों का [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] है, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ किया जाता हैं। यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट X के साथ X<sub>0</sub> में प्रत्येक लूप आधार बिंदु y के साथ y में लूप प्राप्त करने के लिए f<sub>0</sub> के साथ बनाया जा सकता है। यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है और हमें समूह {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} का होमोमोर्फिज्म मिलता है। इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी |समूहों की श्रेणी]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है। इस प्रकार के पास मौलिक समूह के अतिरिक्त मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है।
+;मौलिक समूह: नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी पर विचार करें, अर्थात् प्रतिष्ठित बिंदुओं के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान। वस्तुएं जोड़े हैं {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}}, जहां X<sub>0</sub> टोपोलॉजिकल स्पेस और X है X यहाँ पर बिंदु है। रूपवाद नियम से {{nowrap|(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र द्वारा दिया गया है {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} साथ {{nowrap|1=''f''(''x''<sub>0</sub>) = ''y''<sub>0</sub>}}. प्रतिष्ठित बिंदु x के साथ हर टोपोलॉजिकल स्पेस X<sub>0</sub> के लिए, X<sub>0</sub> पर आधारित मौलिक समूह को निरूपित {{nowrap|π<sub>1</sub>(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} द्वारा परिभाषित कर सकता है। यह X<sub>0</sub> पर आधारित लूप के [[ होमोटॉपी |होमोटॉपी]] वर्गों का [[ समूह (गणित) |समूह (गणित)]] है, कॉन्टेनेशन के समूह संचालन के साथ किया जाता हैं। यदि {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} नुकीले स्थानों का रूपवाद है, फिर बेस पॉइंट X के साथ X<sub>0</sub> में प्रत्येक लूप आधार बिंदु y के साथ y में लूप प्राप्त करने के लिए f<sub>0</sub> के साथ बनाया जा सकता है। यह ऑपरेशन होमोटोपी तुल्यता संबंध और छोरों की संरचना के साथ संगत है और हमें समूह {{nowrap|π(''X'', ''x''<sub>0</sub>)}} को {{nowrap|π(''Y'', ''y''<sub>0</sub>)}} का होमोमोर्फिज्म मिलता है। इस प्रकार हम [[ समूहों की श्रेणी |समूहों की श्रेणी]] में नुकीले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से फ़ंक्टर प्राप्त करते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान (प्रतिष्ठित बिंदु के बिना) की श्रेणी में, कोई जेनेरिक घटता के होमोटॉपी वर्गों पर विचार करता है, लेकिन जब तक वे समापन बिंदु साझा नहीं करते हैं, तब तक उन्हें बनाया नहीं जा सकता है। इस प्रकार के पास मौलिक समूह के अतिरिक्त मौलिक समूह है, और यह निर्माण फंक्शनल है।
 ;निरंतर कार्यों का बीजगणित: वास्तविक सहयोगी बीजगणित की श्रेणी के लिए [[ टोपोलॉजी |टोपोलॉजी]] की श्रेणी (निरंतर नक्शे के रूप में) की श्रेणी से कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर को हर टोपोलॉजिकल स्पेस 'X' 'D बीजगणित C (' 'X' ') को असाइन करके दिया गया है। उस स्थान पर सभी वास्तविक-मूल्य वाले निरंतर कार्यों में से हैं। हर निरंतर नक्शा {{nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} बीजगणित समरूपता को प्रेरित करता है {{nowrap|C(''f'') : C(''Y'') → C(''X'')}} नियम से {{nowrap|1=C(''f'')(''φ'') = ''φ'' ∘ ''f''}} प्रत्येक φ के लिए c (y) में उपलब्ध हैं।
-;स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा बंडलों: वह नक्शा जो अपने स्पर्शरेखा बंडल में हर अलग-अलग कई गुना को भेजता है और इसके व्युत्पन्न के लिए हर चिकनी नक्शा [[ वेक्टर बंडल |वेक्टर बंडल]] ों की श्रेणी में विभिन्न मैनिफोल्ड्स की श्रेणी से सहसंयोजक क्रियात्मकता है। इस कंस्ट्रक्शंस पॉइंटवाइज को करने [[ स्पर्शरेखा स्थान |स्पर्शरेखा स्थान]] अंतरिक्ष होता है, जो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में नुकीले विभेदक कई गुना की श्रेणी से सहसंयोजक फ़न्टर देता है।इसी तरह, [[ कोटजेंट स्पेस |कोटजेंट स्पेस]] कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर के वेक्टर स्पेस के साथ स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की संरचना है।
+;स्पर्शरेखा और स्पर्शरेखा बंडलों: वह नक्शा जो अपने स्पर्शरेखा बंडल में हर अलग-अलग कई गुना को भेजता है और इसके व्युत्पन्न के लिए हर चिकनी नक्शा [[ वेक्टर बंडल |वेक्टर बंडल]] ों की श्रेणी में विभिन्न मैनिफोल्ड्स की श्रेणी से सहसंयोजक क्रियात्मकता है। इस कंस्ट्रक्शंस पॉइंटवाइज को करने [[ स्पर्शरेखा स्थान |स्पर्शरेखा स्थान]] अंतरिक्ष होता है, जो वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में नुकीले विभेदक कई गुना की श्रेणी से सहसंयोजक फ़न्टर देता है। इसी प्रकार, [[ कोटजेंट स्पेस |कोटजेंट स्पेस]] कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर के वेक्टर स्पेस के साथ स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की संरचना है।
-;समूह क्रियाएं/अभ्यावेदन: प्रत्येक समूह (गणित) जी को एकल वस्तु के साथ श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, जिसका मॉर्फिज़्म जी के तत्व हैं। जी से 'सेट' तक क्रियात्मकता तब कुछ भी नहीं है, लेकिन जी की समूह कार्रवाई (गणित) जी पर कुछ भी नहीं है।एक विशेष सेट, अर्ताथ जी-सेट या इसी तरह, G से वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में फंक्टर, 'वेक्ट'<sub>''K''</sub>, सामान्य रूप से जी का [[ रैखिक प्रतिनिधित्व |रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, फंक्टर {{nowrap|''G'' → ''C''}} श्रेणी C में किसी वस्तु पर G की कार्रवाई के रूप में माना जा सकता है। यदि C समूह है, तो यह कार्रवाई समूह समरूपता है।
+;समूह क्रियाएं/अभ्यावेदन: प्रत्येक समूह (गणित) जी को एकल वस्तु के साथ श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, जिसका मॉर्फिज़्म जी के तत्व हैं। जी से 'सेट' तक क्रियात्मकता तब कुछ भी नहीं है, लेकिन जी की समूह कार्रवाई (गणित) जी पर कुछ भी नहीं है। एक विशेष सेट, अर्ताथ जी-सेट या इसी प्रकार, G से वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में फंक्टर, 'वेक्ट'<sub>''K''</sub>, सामान्य रूप से जी का [[ रैखिक प्रतिनिधित्व |रैखिक प्रतिनिधित्व]] है, फंक्टर {{nowrap|''G'' → ''C''}} श्रेणी C में किसी वस्तु पर G की कार्रवाई के रूप में माना जा सकता है। यदि C समूह है, तो यह कार्रवाई समूह समरूपता है।
 ;लाई बीजगणित: हर वास्तविक (जटिल) को असाइन करना लाई समूह का वास्तविक (जटिल) लाई एलजेब्रा क्रियात्मकता को परिभाषित करता है।
 ;[[ टेंसर उत्पाद ]]: यदि C निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी को दर्शाता है, तो रेखीय ऑपरेटर के रूप में मॉर्फिज्म के साथ, फिर टेंसर उत्पाद <math>V \otimes W</math> फ़ंक्टर को परिभाषित करता है {{nowrap|''C'' × ''C'' → ''C''}} जो दोनों तर्कों में सहसंयोजक है।<ref>{{citation|first1=Michiel|last1=Hazewinkel|author-link1=Michiel Hazewinkel|first2=Nadezhda Mikhaĭlovna|last2=Gubareni|author-link2=Nadezhda Mikhaĭlovna|first3=Nadiya|last3=Gubareni|author-link3=Nadiya Gubareni|first4=Vladimir V.|last4=Kirichenko|author-link4=Vladimir V. Kirichenko|title=Algebras, rings and modules|publisher=Springer|year=2004|isbn=978-1-4020-2690-4}}</ref>
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 *[https://web.archive.org/web/20080916162345/http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page] which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
-{{Category theory}}
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